精品解析：山东省聊城市2022-2023学年高二下学期期中质量检测数学试题

2022—2023学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 第I卷选择题（60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 360 B. 180 C. 90 D. 6. 已知随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.72 C. 0.14 D. 0.86 7. 在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养．某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（ ）项中结论有误，需要进一步落实纠错． A. 能被整除 B. 乘积展开后，共有项 C. 一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个 D. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 给出下列问题，属于组合问题的有（ ） A. 从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B. 有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C. 从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D. 艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 10. 函数的极值点是（ ） A. B. C. D. 11. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 12. 已知实数且则下列选项正确的是（ ） A. B. C D. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 中国航天史是从1956年二月开始，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》.1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业.航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始.某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第秒时的高度，（其中的单位为m，的单位为s），则第2s末的瞬时速度为_________m/s. 14. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 15. 某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则__． 16. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 __． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 18 已知函数，，且． （1）求的值； （2）求函数在的最值． 19. 甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙小. （1）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （2）求测试结束后通过的人数X的数学期望. 20. （结果可用指数幂的形式表示） 设.求： （1）； （2）求的值； （3）求的值. 21. 运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? （2）从这8名选择羽毛球的学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 22. 已知函数，. （1）当时，求函数的零点； （2）讨论的单调区间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2022—2023学年度第二学期期中教学质量检测 高二数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试用时120分钟.注意事项： 1.答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写到答题卡和试卷规定的位置上. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效. 第I卷选择题（60分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 从A地到B地要经过C地，已知从A地到C地有三条路，从C地到B地有四条路，则从A地到B地不同的走法种数是（ ） A. 7 B. 9 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】先确定从A地到C地有3种不同的走法，再确定从C地到B地有4种不同的走法，最后求从A地到B地不同的走法种数. 【详解】解：根据题意分两步完成任务： 第一步：从A地到C地，有3种不同的走法； 第二步：从C地到B地，有4种不同的走法， 根据分步乘法计数原理，从A地到B地不同的走法种数：种， 故选：C. 【点睛】本题考查分步乘法计数原理，是基础题. 2. 曲线在处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先对函数求导，得到，再结合，即可得解． 【详解】，则，又， 则所求切线方程为，即． 故选：A． 3. 4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求基本事件个数为，而取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”有1种，直接求出概率即可. 【详解】4张卡片上分别写有“中”、“国”、“你”、“好”四个字，从这4张卡片中随机抽取2张，基本事件有种,取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”只有1种， 故取出的2张卡片上的文字恰好是“中”、“国”的概率. 故选：C 4. 已知定义在的函数，导函数在区间上的图象如图所示，则函数在区间上的极大值点的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】通过导函数的图象得到导函数的符号，进而得到原函数的单调性，进而判断出极大值点的个数. 【详解】极大值点在导函数的零点处，且满足零点的左侧导函数符号为正，右侧为负，由导函数的图象可知极大值点共有2个， 故选：C 5. 的展开式中，的系数为（ ） A. 360 B. 180 C. 90 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可得答案. 【详解】的系数为. 故选：A. 6. 已知随机变量X服从正态分布，，则（ ） A. 0.5 B. 0.72 C. 0.14 D. 0.86 【答案】D 【解析】 【分析】根据随机变量X服从正态分布，可知正态曲线的对称轴，利用对称性，即可求得. 【详解】因为随机变量X服从正态分布，所以正态曲线的对称轴是， 因为，所以，则， 则， 故选：D 7. 在某个章节学习完成后，进行系统化归纳梳理以及个性化回顾整理，不仅可以帮助我们构建完整的知识框架，也能够及时查漏补缺，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等学科素养．某同学在学完“计数原理”这一章之后的纠错本整理过程中发现以下四个课后习题中仍然有一个结论是错误的，则该同学（ ）项中结论有误，需要进一步落实纠错． A. 能被整除 B. 乘积展开后，共有项 C. 一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有20个 D. 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是58 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式的展开式可判断A，利用乘法原理可判断B，利用排列组合知识可判断CD． 【详解】对于A， ， 因为为正整数，所以能被整除，故正确； 对于B，利用乘法原理，在中有种取法，在中也有种取法， 所以共有种取法，即乘积展开后，共有项，故B正确； 对于C，一含有5个元素的集合，其含有3个元素的子集共有个，故C错误； 对于D，正方体有8个顶点，从8个顶点中随机选取4个顶点，有种取法， 且这4个顶点共面的情况有这四个顶点在正方体的6个面或者6个对角面上，即4个顶点共面的情况有， 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数是个，故D正确． 故选：C． 8. 已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断出函数的值域，利用函数的值域为可得答案. 【详解】因为时，是单调递增函数，且， 时，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以在时有极小值，且极小值为， 要使函数的值域为，则， 可得. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点判断函数的单调性，利用单调性求出函数的值域. 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 给出下列问题，属于组合问题的有（ ） A. 从2，11，13，17中任选两个数相除，可以得到多少个不同的商. B. 有5张广场演唱会门票，要在8人中确定5人去观看，有多少种不同的选法 C. 从20只不同颜色的气球中选出6只布置教室，有多少种不同的选法 D. 艺术节排练，从甲、乙、丙等9名同学中选出4名分别去参加两个不同的节目，有多少种不同的安排方法 【答案】BC 【解析】 【分析】利用组合的定义一一判定选项即可. 【详解】对于选项A，选数后作商有顺序，故不是组合问题，A错误； 对于选项B，从8人中选5人，无顺序，符合组合定义，B正确； 对于选项C，从20只不同的球中选6只，无顺序，符合组合定义，C正确； 对于选项D，9人中选4人参加两个不同节目，有先后顺序，不是组合问题，D错误. 故选：BC 10. 函数的极值点是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】先求导数得到单调区间，根据增减性求出极值点． 【详解】由题意，， 所以，令，得，即，即， 解得或或， 所以当或时，； 当或时，， 所以函数在和上单调递减，在和上单调递增， 所以与为极小值点，为极大值点， 综上，函数的极值点为或或． 故选：ABC． 11. 甲、乙、丙三人玩掷硬币游戏，依次连续抛掷一枚质地均匀的硬币1次，每次结果要么正面向上，要么反面向上，两种结果等可能，而且各次抛掷相互独立.记事件A表示“3次结果中有正面向上，也有反面向上”，事件B表示“3次结果中最多一次正面向上”，事件C表示“3次结果中没有正面向上”，则（ ） A. 事件B与事件C互斥 B. C. 事件A与事件B相互独立 D. 记C的对立事件为，则 【答案】CD 【解析】 【分析】利用列举法将三人抛掷硬币的结果一一列举，再结合古典概型、独立事件、互斥事件、对立事件及条件概率公式一一判定选项即可. 【详解】由题意可知三人抛掷硬币可能的结果有：（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正）， （反，正，正），（正，反，反），（反，正，反），（反，反，正），（反，反，反）八种 情况，显然事件A为中间六种情况，事件B为后四种情况，事件C为最后一种情况. 对于A选项，易知，故A错误； 对于B选项，，故B错误； 对于C选项，易知，故C正确； 对于D选项，易知，故D正确. 故选：CD 12. 已知实数且则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】将等式变形为，构造函数，利用其单调性及最值判定两函数的大小， 【详解】原等式， 令，则， 即在上单调递增，显然在上也单调递增， 又，可得，所以， 则有，即， 又，即， 显然D正确，C错误； 由上知，即A正确； 因为取，由D可知，推不出，故B错误. 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于双变量等式可采用构造函数方法，本题巧用常用的切线放缩，及指对构造，利用所构函数的单调性计算即可判定大小. 第Ⅱ卷 非选择题（90分） 三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分. 13. 中国航天史是从1956年二月开始的，当时著名科学家钱学森向中央提出《建立中国国防航空工业的意见》.1956年四月，成立中华人民共和国航空工业委员会，统一领导了中国的航空和火箭事业.航空工业委员会的成立标志着中国的航天事业创业的开始.某次模拟实验中航天飞机发射后的一段时间内，第秒时的高度，（其中的单位为m，的单位为s），则第2s末的瞬时速度为_________m/s. 【答案】225 【解析】 【分析】利用瞬时变化率计算即可. 【详解】根据导数的物理意义知瞬时速度， 所以. 故答案为：225 14. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 【答案】180 【解析】 【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】当②、④不同色时，有种涂色方案； 当②、④同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 15. 某旅游品生产厂家要对生产产品进行检测，后续进行产品质量优化．产品分为优秀、良好、合格、不合格四个等级，设其级别为随机变量，且优秀、良好、合格、不合格四个等级分别对应的值为1、2、3、4，其中优秀产品的数量是良好产品的数量的两倍，合格产品的数量是良好产品的数量的一半，不合格产品的数量与合格产品的数量相等，从这批产品中随机抽取一个检验质量，则__． 【答案】0.5## 【解析】 【分析】根据取得不同值概率之间的关系式和概率之和为一的性质，可以求得取得对应的概率，再分析的情况即可求出结果． 【详解】根据题意可知： 优秀产品的数量是良好产品数量的两倍，即， 合格产品的数量是良好产品数量的一半，即， 不合格产品的数量等于合格产品数量，即， 因为所有产品的总数量是固定的，可以根据以上条件计算各个等级产品的概率： ，，，， 其中表示良好产品的占比， 因此应该满足以下条件：，解得， 因此：，，，． 就是取到2，3或4的概率之和： ， 因此，即抽取的产品质量大于优秀的概率为0.5． 故答案为：0.5． 16. 已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为 __． 【答案】, 【解析】 【分析】将在上单调递增，转化为恒成立即可，设，求导确定单调性即可得最值，从而可得实数取值范围． 【详解】，， 若在上单调递增，则只需在上恒成立， 即在上恒成立，令，， 在上单调递增， ，则，解得， 则实数的取值范围为． 故答案为：． 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知的二项展开式中二项式系数之和为256． （1）求的值； （2）求展开式中项的系数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用二项式的系数和求出的值； （2）利用二项式的展开式求出结果． 【小问1详解】 因为二项式的系数和为：，解得． 【小问2详解】 因为，代入得原式， 则二项式的展开式通项，，1，2，3，4，5，6，7，， 令，整理得， 所以． 所以展开式中项的系数为． 18. 已知函数，，且． （1）求的值； （2）求函数在的最值． 【答案】（1）； （2）最大值为10，最小值为． 【解析】 【分析】（1）求出，利用即可求出a的值； （2）由（1）可知，，求导可得函数的单调性，进而求出的极值，再与端点值比较即可求出的最值. 【小问1详解】 函数，定义域为，则， 又因为，即，解得； 【小问2详解】 因为，， 所以，令，则， 解得，，又因为，， 列表得： 0 3 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 10 所以在处取得极大值，在处取得极小值， 又因为，，所以的最大值为10，最小值为． 19. 甲、乙、丙三位电竞爱好者参加一项比赛的海选赛测试，三人测试相互独立，已知甲能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都能通过测试的概率是，甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是，且乙通过测试的概率比丙小. （1）求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少； （2）求测试结束后通过的人数X的数学期望. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用独立事件的乘法公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列和期望公式计算即可. 【小问1详解】 设乙、丙两人各自通过测试的概率分别是. 由题意得：， 解得或（舍去）， 所以乙、丙两人各自通过测试的概率分别是，； 【小问2详解】 的取值分别为0，1，2，3， 则，， ， ， 所以. 20. （结果可用指数幂的形式表示） 设.求： （1）； （2）求的值； （3）求的值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）令可解； （2）令和可解，联立方程可解； （3）换元后，化为，分析系数正负后去绝对值符号，后再赋值即可. 【小问1详解】 令即， 则， 即 【小问2详解】 令即时有 ① 令即时有 ② ①-②有 即 【小问3详解】 令，则 所以 因为对二项展开有 因为 所以 令有 所以的值为. 21. 运动能让大脑分泌更多多巴胺，提高幸福感.而球类运动不仅能够改善身体素质、提升反应能力，更能够提升人际关系，因此颇受人们喜爱.某高校对开设体育选修课进行调查，从该校大学生中随机抽取容量为100的样本，其中选择球类运动的有24人（其中选择羽毛球的有8人，2名男生，6名女生） （1）若从样本中选一位学生，已知这位学生选择球类运动，那么，他选的是羽毛球的概率是多大? （2）从这8名选择羽毛球学生中，选出3个人，求其中男生人数X的期望与方差； （3）若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从该校的大学生中，随机选出20位，求选择羽毛球的人数Y的期望和方差. 【答案】（1）； （2）， （3）期望是，方差是. 【解析】 【分析】（1）根据古典概型及条件概率公式计算即可； （2）利用离散型随机变量的分布列、期望、方差公式计算即可； （3）根据二项分布的期望、方差公式计算即可. 【小问1详解】 设“这位大学生选择球类运动”为事件A，则， “这位大学生选择羽毛球”为事件B， 则“这位大学生选择球类，且选择羽毛球”为事件，则， 故所求的概率为：， 所以已知这位大学生选择球类运动，则他选的是羽毛球的概率是； 【小问2详解】 因为选择羽毛球的有8人，其中2名是男生，6名是女生，故从中抽3人， 男生人数X的所有可能取值分别为0，1，2， 其中：； ； . 所以男生人数的分布列为： 0 1 2 所以， ； 【小问3详解】 由已知可得：， 则：， ， 所以选择羽毛球人数的期望是，方差是. 22. 已知函数，. （1）当时，求函数的零点； （2）讨论的单调区间. 【答案】（1）2和； （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）令，即，通过解方程，得函数的零点； （2）令，得或，分类讨论的范围，由的正负得的单调区间. 【小问1详解】 令，即. 因为，所以. 又，所以，解得，. 所以函数有且只有两个零点2和. 【小问2详解】 ，令，即， 解得或. 若，则，恒成立，单调递减区间为，无增区间. 当，列表得： 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 当时，①若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 ②若，则，列表得 1 - 0 + 0 - 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 综上，当，单调递减区间为，无增区间， 当时，单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，； 当时，单调递增区间为，单调递减区间为，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$