专题14 二次函数综合运用-【好题汇编】5年（2020-2024）中考1年模拟数学真题分类汇编（重庆专用）

专题14 二次函数综合运用（解析版） 1．（2024•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）的最小值为；（3）点Q的坐标为：或． 【详解】解：（1）由抛物线的表达式知，， ∵，则， 即点， 由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由抛物线的表达式知，点A、B、C的坐标分别为：、、，则点， 由点A、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， 当时，取得最大值，则点、，则， 将点A向右平移2个单位得到点，连接交y轴于点N，过点N作，连接， 则四边形为平行四边形，则， 则此时为最小； （3）将该抛物线沿射线方向平移，当向左平移m个单位时，则向下平移了m个单位， 则新抛物线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得：， 解得：， 则新抛物线的表达式为：， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 当点Q在下方时， ∵，则， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 当点在上方时， 同理可得，点， 由点D、的坐标得，直线DH′的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 即点； 综上，点Q的坐标为：或． 2．（2024•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点， 交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 【答案】（1）；（2）最大值为，此时；（3）N的坐标为或． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于，B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）如图，延长交x轴于G，过P作轴于H， 在中，令得， 解得：，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 由，得直线为， 设，则， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时； （3）∵抛物线沿射线BC方向平移个单位，即把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴新的抛物线为，F的坐标为， 如图，当N在y轴的左侧时，过N作轴于K， 由，得直线解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：或（舍去）， ∴； 如图，当N在y轴的右侧时，过M作y轴的垂线，过作于T， 同理可得， 设，则， 同理可得：， ∴或（舍去）， ∴， 综上所述，N的坐标为或． 3．（2023•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点 ，B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）周长的最大值为，点；（3）点N的坐标为：或或，过程见解析． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）令， 解得：或，即点， ∵轴，则， 则，则，， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 则， 即的最大值为2，此时，点， 则周长的最大值， 即周长的最大值为，点； （3）抛物线沿射线方向平移个单位长度，相当于向右平移2个单位向下平移1个单位， 则平移后抛物线的对称轴为， 设点，点， 由点A、P的坐标得，， 当是对角线时，由中点坐标公式和得： ，解得：， 即点N的坐标为：； 当或是对角线时，由中点坐标公式和或得： 或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 即点N的坐标为：； 综上，点N的坐标为：或或． 4．（2023•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交 于点C，其中，． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 【答案】（1）抛物线的表达式为：；（2）PD的最大值为，此时点；（3）点Q的坐标为：或或，过程见解析． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）令，则或3，则点， 由点A、C知，直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H，则， 则，则， 则， 设点，则点， 则， 即PD的最大值为，此时点； （3）平移后的抛物线的表达式为：， 则点，设点， 则，，， 当时，则， 解得：， 则点Q的坐标为； 当时，则， 解得：或， 则点Q的坐标为：或； 综上，点Q的坐标为：或或． 5．（2022•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点， ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）的最大值为，此时点P的坐标是；（3）N的坐标为：或或，过程见解析． 【详解】解：（1）把，代入得： ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）设直线AB解析式为，把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 设，则， 在中，令得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取最大值， 此时， ∴； ∴的最大值为，此时点P的坐标是； （3）∵将抛物线向左平移5个单位得抛物线， ∴新抛物线对称轴是直线， 在中，令得， ∴， 将向左平移5个单位得， 设，， ①当、为对角线时，、的中点重合， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当、为对角线时，、的中点重合， ∴， 解得， ∴， ∴； ③当、为对角线时，、的中点重合， ∴， 解得， ∴， ∴； 综上所述，N的坐标为：或或． 6．（2022•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）的最大值为，此时；（3）或或，过程见解析． 【详解】解：（1）∵抛物线与x轴交于点，与y轴交于点． ∴， ∴． ∴抛物线的函数表达式为； （2）∵，， ∴，， 由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，，， ∴， ∵， ∴开口向下，， ∴当时，的最大值为，此时； （3）由知，对称轴， ∴， ∵直线l：， ∴抛物线向右平移个单位， ∴平移后抛物线解析式为， 设，， ①与为对角线时， ， ∴， ∴， ②与为对角线时， ， ∴， ∴， ③与为对角线时， ， ∴， ∴， 综上：或或． 7．（2021•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线 交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴， 交于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为；（2）周长最大值为，点P的坐标为；（3）满足条件的点M坐标为，，，过程见解析． 【详解】解：（1）∵抛物线经过，， ∴， 解得：， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）如图1，设直线的函数表达式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为， 令，得， 解得：， ∴， 设，其中， ∵点E在直线上，轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴的周长为， 令的周长为l，则， ∴， ∴当时，周长取得最大值，最大值为． 此时，点P的坐标为． （3）如图2，满足条件的点M坐标为，，． 由题意可知，平移后抛物线的函数表达式为，对称轴为直线， ①若是平行四边形的对角线， 当与互相平分时，四边形是平行四边形， 即经过的中点， ∵点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为2， ∴点M的坐标为， ②若是平行四边形的边， Ⅰ．当且时，四边形是平行四边形， ∵，，点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为； Ⅱ．当且时，四边形是平行四边形， ∵，，点N的横坐标为2， ∴点M的横坐标为， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或或． 8．（2021•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值． （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 【答案】（1）；（2）最大为8；（3）或或，过程见解析． 【详解】解：（1）将，代入得 ， ∴， ∴， （2）当时，， ∴点， ∵点D与点C关于直线l对称，且对称轴为直线， ∴， ∵， ∴直线的函数关系式为：， 设， 作轴交直线于H， ∴， ∴， ∴， 当时，最大为8， （3）∵直线与x轴正方向夹角为， ∴沿方向平移，实际可看成向右平移4个单位，再向下平移4个单位， ∵， ∴， 抛物线平移后， ∴抛物线的对称轴为：直线， 当为平行四边形的边时： 若D平移到对称轴上F点，则G的横坐标为， 代入得， ∴， 若E平移到对称轴上F点，则G的横坐标为， 代入得， ∴， 若为平行四边形的对角线时， 若E平移到对称轴上F点，则G平移到D点， ∴G的横坐标为， 代入得， ∴ ∴或或． 9．（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两 点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S的最大值为；（3）点E的坐标为：或或或． 【详解】解：（1）将点A、B的坐标代入抛物线表达式得，解得， 故抛物线的表达式为：； （2）设直线的表达式为：，则，解得， 故直线的表达式为：， 过点P作y轴的平行线交于点H， 设点，则， 面积， ∵，故S有最大值，当时，S的最大值为； （3）抛物线的表达式为：， 则平移后的抛物线表达式为：， 联立上述两式并解得：，故点； 设点、点，而点B、C的坐标分别为、； ①当为菱形的边时， 点C向右平移1个单位向上平移3个单位得到B，同样D（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到E（D）， 即且①或且②， 当点D在E的下方时，则，即③， 当点D在E的上方时，则，即④， 联立①③并解得：，或（舍去），故点； 联立②④并解得：，，故点或； ②当为菱形的对角线时， 则由中点公式得：且⑤， 此时，，即⑥， 联立⑤⑥并解得：，， 故点， 综上，点E的坐标为：或或或． 10．（2020•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作，交抛物线于点D，点E为直线上方抛物线上一动点，连接，，，．求四边形面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位，已知点M为抛物线的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）S的最大值为，此时点；（3）点N的坐标为：或或． 【详解】解：（1）直线的解析式为，令，则，令，则， 故点B、C的坐标分别为、； 则， 即，解得：， 故抛物线的表达式为：①； （2）如图，过点B、E分别作y轴的平行线分别交于点H，交于点F， ∵，则设直线的表达式为：②， 联立①②并解得：，故点， 由点C、D的坐标得，直线的表达式为：， 当时，，即点， 设点，则点， 则四边形的面积 ， ∵，故S有最大值，当时，S的最大值为，此时点； （3）存在，理由： ，抛物线向左平移个单位， 则新抛物线的表达式为：， 点A、E的坐标分别为、；设点，点，； ①当是平行四边形的边时， 点A向右平移个单位向上平移个单位得到E，同样点M（N）向右平移个单位向上平移个单位得到N（M）， 即， 则或， 故点N的坐标为或； ②当是平行四边形的对角线时， 由中点公式得：，解得：， ， 故点N的坐标； 综上点N的坐标为：或或． 11．（2024•沙坪坝区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点 ，．直线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D为平移后的抛物线与x轴负半轴的交点，将点D向下平移一个单位得到点E，在直线上确定一点Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 【答案】（1）；（2）的最大值为6，此时；（3）Q点坐标为或．． 【详解】解：（1）将，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）过点P作轴，交于点H，交于点G， ∵，，． ∴，，， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴，， ∴， 设， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 同理可得直线的解析式为， ∴，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为6，此时； （3）∵抛物线沿射线方向平移个单位长度， ∴抛物线沿x轴正半轴平移2个单位，沿y轴负半轴平移3个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， 当时，， ∴， ∵点D向下平移一个单位得到点E， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设， 当Q点在A点右侧时， ∵， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴点坐标为； 在上截取，设， ∴， 解得或， ∴， 当Q点在A点左侧时，， ∴A、F的中点与、的中点重合， 设点的横坐标为x， ∴， 解得， ∴点的坐标为； 综上所述：Q点坐标为或． 12．（2024•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A， B两点，其中，与y轴交于，且过连接，作直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线下方抛物线上有一动点P，过点P作轴交直线于M，过M作轴交x轴于N，求的最大值和此时M点坐标； （3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点D的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）最大值为，此时M点坐标为；（3）或，过程见解析． 【详解】解：（1）将点，，代入抛物线， 得， 解得， 故该抛物线的解析式为； （2）∵抛物线与x轴交于A，B两点， 当时，即， 解得或， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴交于M， ∴点M纵坐标为， ∴点M的横坐标为， 即， ∵轴交x轴于N， ∴， ∴，， ∴， 当时，取最大值，最大值为， 此时M点坐标为； （3）∵，，， ∴，， ∴， ∵将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线， ∴原抛物线向右，向上平移了2个单位长度， ∴新抛物线的解析式为， 若点D在x上方，过点D作轴于点H，如图所示， 设，则，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为； 若点D在x下方，过点B作轴，过点D作轴于点H，如图所示， ∴轴，则，， 设， 则，， ∵， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 整理得， 解得或（舍去）， ∴点D的坐标为， 综上所述，或． 13．（2024•沙坪坝区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的与y轴交 于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）的最大值为，此时；（3）或． 【详解】解：（1）当时，， 解得， 解得， 将点，代入， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设， 抛物线与y轴的交点， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， ∴， 当时，，解得或， ∴， ∴，， ∴， 当时，的最大值为，此时； （3）存在点F，使得点恰好落在直线上，理由如下： 设函数沿x轴正方向平移m个单位长度， ∵， ∴平移后的函数解析式为， ∵平移后的抛物线恰好经过原点， ∴或（舍）， ∴平移后的函数解析式为， 当时，解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， ∴直线的解析式为， 设， ∵，K与关于对称， ∴四边形是菱形， 由平移可得， ∵， ∴， 解得或， ∴或． 14．（2024•九龙坡区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、 两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、、、，设和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点P的坐标； （3）如图2，作点C关于x轴的对称点，将抛物线沿射线方向平移单位长度得新抛物线点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）有最大值，此时点；（3）点Q的横坐标为或或，过程见解析． 【详解】解：（1）把 、两点代入抛物线得，， 解得：， ∴抛物线解析式为：． （2）过点P作轴交于点M，交延长线于点N，如图 由（1）得，，当时，， ∴点， ∴设的解析式为，把点代入得， ∴的解析式为， 同理的解析式为， ∴设点，，， ∴，， ，当时，有最大值，此时点； （3）如图： 由题可知，平移后抛物线的解析式为， ∵，，， ∴， ，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∵， ∴，即， ①当时，满足条件， ∵点， ∴点Q的横坐标为． ②当时，如图 设与交于点M，此时， 设，则，， 解得：，，即， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， 联立， 解得： 或， ∴点Q的横坐标为或或． 15．（2024•渝北区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交 于点A，，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作，过点P作交y轴于点E，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点Q，点K为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点M，使，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）最大值是6，点P点坐标为；（3）M点横坐标为1，，，过程见解析． 【详解】解：（1）∵过，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，如图所示， ∵，， ∴，， 将代入， 得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 不妨设，那么， ∴， ∴， 设直线为，代入，， ∴， ∴， ∴直线为， ∵， 不妨设直线为， 当与相切时，m取最大值， 联立与， ∴， 可化简为， 当时，即， 则直线与相切， 那么直线为， 当代入， 解得， 将代入， 得到， ∴P点坐标为， 当代入， 得， ∴E点坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， 故最大值是6，点P点坐标为； （3）将代入， 解得，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵，K是该抛物线的顶点， ∴K点坐标为， 作交于点N， ∴，， ∴， ∴， 那么当原抛物线沿射线BK方向平移个单位时，， 即是将原抛物线沿水平方向向左移动了个单位，向下移动了个单位， ∴，， ∴新抛物线， 作轴交于点L，连接，， ∴T点坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 即， ∴， 设直线为，代入，， ∴， ∴， ∴直线为， 当点M在直线上时， 联立， 整理得， ∴， ∴当点M在直线上，横坐标为1； 作的垂直平分线交于S，连接，作交于点M， 那么，， ∴， 不妨设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴S点坐标为， 设直线为，代入，， ∴， ∴， ∴直线为， ∵， ∴设直线的表达式为，代入点， 得， ∴， ∴直线的表达式为， 联立， 解得，， 此时M点的横坐标是或， 综上所述，M点横坐标为1，，． 16．（2024•渝中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）线段DE位于第四象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点F，连接．若，求的面积的最大值，及此时点E的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线相交于另一点K．点P为新抛物线上的一个动点，当和中，其中一个角与相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 【答案】（1）抛物线的表达式为：；（2）的面积的最大值为1，此时点；（3）点P的坐标为：或或，过程见解析． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为： ， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由点B、C的坐标知，直线BC的表达式为：， 则直线和x轴坐标轴的夹角为， ∵， 则D、E的横坐标差为1， 故设点， 则点， 则的面积， ∵，故的面积有最大值， 当时，的面积的最大值为1，此时点， （3）过点B作于点H， 由点A、B、C的坐标得，，，，， 则， 即， 解得：， 则， 则； ∵抛物线沿射线方向平移， 故设抛物线向右平移m个单位、向上平移m个单位符合题意， 则新抛物线的表达式为：， 将点E的坐标代入上式得：， 解得：（舍去）或2， 则新抛物线的表达式为：， 由点C、E的坐标得，， 由直线的表达式知，， 当时， 即， 设直线交y轴于点N，作于点H， 在中，，， 故设，则，， 则， 则， 则， 则点， 由点E、N的坐标得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或3， 即点； 当点P在x轴上方时， 同理可得：直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或0， 即点； 当时， ∵， 则直线过点K且分别和或平行， 故直线的表达式为：或， 同理可得：或， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故点； 综上，点P的坐标为：或或． 17．（2024•渝中区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线过点和点， 交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求抛物线y的函数表达式； （2）如图1，点P为线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 【答案】（1）；（2）有最大值16，此时；（3）M点坐标为或． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， ∴； （2）作轴交于点H， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， 由点B、C的坐标得，， 设，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值16，此时； （3）存在点M，使得，理由如下： 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿射线方向平移个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵，， ∴， ∵，， ∴轴， 过点B作交于E点，作交抛物线于点M， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，解得或（舍）， ∴； 作关于直线的对称点， 设， ∴的中点为， ∵直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得（舍）或， ∴， ∴直线的直线解析式为， 当时，解得或（舍）， ∴； 综上所述：M点坐标为或． 18．（2024•沙坪坝区校级三模）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点， 过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，过点E作于点F，连接．求面积的最大值，及此时点D的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点D时，新抛物线与x轴交于点M，N（M在N左侧），与y轴交于点G．点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，使得，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）面积的最大值为3，点D的坐标为；（3）点P的坐标为或，过程见解析． 【详解】解：（1）∵抛物线与直线交于点， ∴， 解得， ∴抛物线为； （2）设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∵， 设直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴， ∴， 解得， 设，则， 如图，过点F作交于点W，记交于点Q， 由平移的性质可知， ∵， ∴， 即， ∵，轴交直线于点E， ∴， ∴， 即为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴当时，面积的最大值为3，点D的坐标为； （3）设原抛物线向右平移e个单位， ∴平移后的抛物线解析式为， ∵平移后的抛物线解析式过点， ∴， 解得，（不符合题意的根舍去）， ∴平移后的抛物线解析式为，，，， ①如图，连接，作的垂直平分线交于点H， 有， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∵过点， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则，， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， ∴ 解得， ∴直线的解析式为， ∵点P为新抛物线上的一点， 连接交直线于点H， ∴， 整理得， 解得，， 当时，， ∴点P的坐标为； ②如图，作H关于N的对称点，连接、，交抛物线于点P， ∵，，， ∴， ∴， 由对称性可知， ∴， 设， ∵，， ∴， 整理得， 解得，， 当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴， 整理得， 解得，， 当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或． 19．（2024•两江新区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，过点A的直线与y轴交于点C，过点B的直线与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，过点Q作直线的垂线交于点M；求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，把抛物线向右平移3个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线，过新抛物线上点E作直线的平行线交新抛物线对称轴于点F、交y轴于点G，连接、．若，直接写出点F的坐标． 【答案】（1）；（2） 的最大值为，此时；（3）点或． 【详解】解：（1）由题意得，抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）如图：过点Q作x轴平行线交直线于点E，直线解析式：， 由点B、D的坐标得，直线解析式：， 则， 则， 则， 则， 设，，， 则， ∵，故有最大值， 故， 的最大值为， 此时； （3）平移后抛物线的对称轴为直线，设点， 由点D、B的坐标得，直线的表达式为：， ∵， 则直线的表达式为：， 则点， 则， ∵， ∴， 解得：或（不合题意的值已舍去）， 则点或． 20．（2024•九龙坡区模拟）如图，抛物线交x轴于和B两点，交y轴于点 （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交y轴上一点N，直线交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）问的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出求解点G的横坐标其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）的最大值为，此时，点；（3）点G的横坐标为：或，过程见解析． 【详解】解：（1）由题意得：， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）由点B、C的坐标得，直线得表达式为：，， 同理可得，直线的表达式为：， 设点， ∵， 则直线的表达式为：， 联立上式和的表达式得：， 解得：， 过点P作轴交过点Q和y轴的平行线于点N， 则， 则，则， 当时，的最大值为：， 此时，点； （3）将抛物线沿方向平移个单位长度相当于向左平移个单位向上平移3个单位， 则新抛物线的表达式为：， 当点G在的左侧时， ∵， 则， 而直线的表达式为：， 则直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 当点G在的右侧时， 同理可得，直线的表达式为：， 联立上式和新抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）， 综上，即点G的横坐标为：或． ( 69 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题14 二次函数综合运用（原卷版） 1．（2024•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与y 轴交于点C，与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），连接，，． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为E，交于点D．点M是线段上一动点，轴，垂足为N，点F为线段的中点，连接，．当线段长度取得最大值时，求的最小值； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中线段长度取得最大值时的点D，且与直线相交于另一点K．点Q为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 2．（2024•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点， 交y轴于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作轴交抛物线于点D，作于点E，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位，在取得最大值的条件下，点F为点P平移后的对应点，连接交y轴于点M，点N为平移后的抛物线上一点，若，请直接写出所有符合条件的点N的坐标． 3．（2023•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线过点，且交x轴于点 ，B两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点D，过点P作y轴的平行线交直线于点E，求周长的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中周长取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线方向平移个单位长度，点M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平面内确定一点N，使得以点A，P，M，N为顶点的四边形是菱形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 4．（2023•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交 于点C，其中，． （1）求该抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，将该抛物线向右平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，Q为平移后的抛物线的对称轴上任意一点．写出所有使得以为腰的是等腰三角形的点Q的坐标，并把求其中一个点Q的坐标的过程写出来． 5．（2022•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点， ． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 6．（2022•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y 轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为直线上方抛物线上一动点，过点P作轴于点Q，交于点M，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）的条件下，点与点P关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l上，直接写出所有使得以点A、、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并把求其中一个点D的坐标的过程写出来． 7．（2021•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过，．直线 交x轴于点C，P是直线下方抛物线上的一个动点．过点P作，垂足为D，轴， 交于点E． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当的周长取得最大值时，求点P的坐标和周长的最大值； （3）把抛物线平移，使得新抛物线的顶点为（2）中求得的点P．M是新抛物线上一点，N是新抛物线对称轴上一点，直接写出所有使得以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形的点M的坐标，并把求其中一个点M的坐标的过程写出来． 8．（2021•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，与y轴交于点C． （1）求该抛物线的解析式； （2）直线l为该抛物线的对称轴，点D与点C关于直线l对称，点P为直线下方抛物线上一动点，连接，，求面积的最大值． （3）在（2）的条件下，将抛物线沿射线平移个单位，得到新的抛物线y1，点E为点P的对应点，点F为的对称轴上任意一点，在上确定一点G，使得以点D，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点G的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程． 9．（2020•重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线AB相交于A，B两 点，其中，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，点D为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E，使以点B，C，D，E为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2020•重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点C，与x 轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作，交抛物线于点D，点E为直线上方抛物线上一动点，连接，，，．求四边形面积的最大值及相应点E的坐标； （3）将抛物线向左平移个单位，已知点M为抛物线的对称轴上一动点，点N为平移后的抛物线上一动点．在（2）中，当四边形的面积最大时，是否存在以A，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 11．（2024•沙坪坝区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点 ，．直线经过点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作于点M，作于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到新抛物线，点D为平移后的抛物线与x轴负半轴的交点，将点D向下平移一个单位得到点E，在直线上确定一点Q，使得，请直接写出所有符合条件的点Q的坐标． 12．（2024•渝中区校级三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A， B两点，其中，与y轴交于，且过连接，作直线． （1）求该抛物线的解析式； （2）已知直线下方抛物线上有一动点P，过点P作轴交直线于M，过M作轴交x轴于N，求的最大值和此时M点坐标； （3）将原抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，已知D点是新抛物线上一动点，且，求所有符合条件的点D的坐标并写出其中一种情况的求解过程． 13．（2024•沙坪坝区校级一模）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的与y轴交 于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为，直线BC的解析式为． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P为线段上方抛物线上的任意一点，过点P作交于点D，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，将原抛物线水平向右平移，使得平移后的抛物线恰好经过原点，则抛物线与原抛物线交于点K，连接，过B作直线交y轴于点E，设F是直线上一点，点K关于直线的对称点为，试探究，是否存在满足条件的点F，使得点恰好落在直线上，如果存在，求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 14．（2024•九龙坡区校级模拟）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于、 两点，与y轴交于点C，连接． （1）求抛物线的解析式． （2）如图1，点P是直线下方抛物线上一点，连接、、、，设和的面积分别为、，请求出的最大值及取得最大值时点P的坐标； （3）如图2，作点C关于x轴的对称点，将抛物线沿射线方向平移单位长度得新抛物线点D是新抛物线的顶点，点E是新抛物线对称轴上一点，在新抛物线上确定一点Q，使得，写出所有符合条件的点Q的横坐标，并写出求解点Q的横坐标的其中一种情况的过程． 15．（2024•渝北区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，与x轴交 于点A，，与y轴交于点C，连接、． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作，过点P作交y轴于点E，求出的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接交于点Q，点K为原抛物线的顶点，连接，将原抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，在新抛物线上存在一点M，使，写出所有符合条件的点M的横坐标，并写出求解点M的横坐标的其中一种情况的过程． 16．（2024•渝中区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 和点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的函数表达式； （2）线段DE位于第四象限，且在线段上移动，轴交抛物线于点F，连接．若，求的面积的最大值，及此时点E的坐标； （3）将该抛物线沿射线方向平移，使得新抛物线经过（2）中的面积取得最大值时对应的点E处，且与直线相交于另一点K．点P为新抛物线上的一个动点，当和中，其中一个角与相等时，直接写出所有符合条件的点P的坐标，并写出其中一个点的求解过程． 17．（2024•渝中区校级一模）在平面直角坐标系中，抛物线过点和点， 交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧） （1）求抛物线y的函数表达式； （2）如图1，点P为线段下方抛物线上一动点，过点P作交于点M，作轴交y轴于点N，求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，在（2）的条件下，连接，，将抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，问在平移后的抛物线上是否存在点M，使得，请直接写出所有符合条件的点M的坐标． 18．（2024•沙坪坝区校级三模）如图1，抛物线与x轴交于点A，与直线交于点， 过点A作直线的平行线，交抛物线于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）点D为直线下方抛物线上一点，过点D作轴交直线于点E，过点E作于点F，连接．求面积的最大值，及此时点D的坐标； （3）如图2，在（2）问条件下，将原抛物线向右平移，再次经过（2）问条件下的点D时，新抛物线与x轴交于点M，N（M在N左侧），与y轴交于点G．点P为新抛物线上的一点，连接交直线于点H，使得，写出所有符合条件的点P的坐标，并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 19．（2024•两江新区模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点， ，过点A的直线与y轴交于点C，过点B的直线与y轴交于点． （1）求抛物线的表达式： （2）如图1，点P是x轴下方抛物线上一动点，过点P作轴交直线于点Q，过点Q作直线的垂线交于点M；求的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，把抛物线向右平移3个单位，再向上平移8个单位得到新抛物线，过新抛物线上点E作直线的平行线交新抛物线对称轴于点F、交y轴于点G，连接、．若，直接写出点F的坐标． 20．（2024•九龙坡区模拟）如图，抛物线交x轴于和B两点，交y轴于点 （1）求抛物线的表达式； （2）点P是直线下方抛物线上一动点，过点P作交y轴上一点N，直线交直线于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； （3）在（2）问的条件下，将抛物线沿方向平移个单位长度得到新抛物线，点G是新抛物线上一点，当时，写出所有符合条件的点G的横坐标，并写出求解点G的横坐标其中一种情况的过程． ( 19 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$