12.3 角平分线的性质（教学课件）-2024-2025学年八年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

八年级人教版数学上册 第十二章 全等三角形 12.3 角平分线的性质 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用尺规作图法作一个角的平分线，知道作法的理论依据.（重点） 2.探究并证明角平分线的性质.（难点） 3.会用角平分线的性质解决实际问题. 4.探究并证明角的平分线的判定.（重点） 5.会用角的平分线的判定解决实际问题.（难点） 6.熟练掌握角的平分线的性质和角的平分线的判定的综合运用. 情景导入 旧知回顾 判定三角形全等的基本事实有哪些？ SSS：三边分别相等的两个三角形全等 SAS：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 ASA：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等 AAS：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个 三角形全等 HL：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 不利用工具，将一张纸片分成两个相等的角. 有什么办法可以做到？ A O B C 再打开纸片后 ，这个折痕与这个角有何关系？ 我们将纸对折 情景导入 1.角平分线的性质 新知探究 如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC. 将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B D C E 证明：在△ACD和△ACB中 AD=AB（已知） DC=BC（已知） CA=CA（公共边） ∴ △ACD≌ △ACB（SSS） ∴∠CAD=∠CAB（全等三角形的对应角相等） ∴AC平分∠DAB（角平分线的定义） 那么该如何用尺规作已知角的平分线呢？ A B M N C O 作已知角的平分线的方法. 已知：∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：（1)以点O为圆心，适当长为半径画弧， 交OA于点M，交OB于点N. (2)分别以点M，N为圆心，大于 MN的长 为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. (3)画射线OC.射线OC即为所求（如图). 为什么说射线OC 是∠AOB 的平分线吗？ 注意:（1）以“适当的长为半径”是为了方便画图，不能太长，也不能太短. （2）“以大于 MN的长为半径画弧”是因为小于 MN的长为半径画弧时两弧没有交点，等于 MN的长为半径画弧时不容易操作. A B O C （3）应该在角的内部找所作两弧的交点，因为所作的射线为角的平分线，而角的平分线应该在角的内部. （4）“画射线OC”不能说成“连接OC”，因为连接OC得到的是线段，而角的平分线是一条射线. 概念归纳 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 画一画 如右图，任意作一个角∠AOB，作出∠AOB的平分线OC.在OC上任取一点P，过点P画出OA、OB的垂线，分别记垂足为D、E，测量PD、PE并作比较，你得到什么结论？在OC上再取几个点试一试. 经过测量我们可以发现，PD=PE，在OC上再取几个点，都能得到同样的结论. 通过测量你发现了什么规律？ 已知：如图， ∠AOC= ∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E.求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 结论验证 不必证全等 ∵OC是∠AOB的平分线， PD⊥OA，PE⊥OB ， ∴PD=PE． 几何语言： 角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 概念归纳 应用这个性质所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明两条线段相等. 证明的书写格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 三者缺一不可，否则不可证明两线段相等 PD⊥OA,PE⊥OB， 一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即 1.明确命题中的已知和求证； 2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证； 3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程. 概念归纳 例1.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC， 求证：BD＝DF. 典例剖析 点拨：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得． 在△BDE和△FDC中， DE=CD , ∠DEB=∠C, BE=FC, ∴ △BDE ≌ △FDC , ∴ BD=DF . 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°，∴DE＝DC. 1.已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F. 求证：EB=FC. A B C D E F 证明： ∵AD是∠BAC的角平分线， DE⊥AB, DF⊥AC， ∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °. 在Rt△BDE 和 Rt△CDF中， DE=DF， BD=CD， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL). ∴ EB=FC. 练一练 如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. （1）求△APB的面积. ·AB·PD=28. 由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4， 2.角平分线的性质的应用 新知探究 A B C P D = （2）求∆PDB的周长. A B C P D = 如图，在Rt △ABC中，AC=BC,∠C＝90°， AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14. 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 面积 周长 条件 利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解 概念归纳 猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 　　交换角的平分线的性质中的已知和结论， 你能得到什么结论，这个新结论正确吗？ 我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. 角平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 3.角平分线的判定定理 新知探究 如图，已知PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE. 求证：点P在∠AOB的角平分线上. 证明： 作射线OP， ∴点P在∠AOB 角的平分线上. 在Rt△PDO和Rt△PEO 中， （全等三角形的对应角相等）. OP=OP（公共边）， PD= PE（已知 ）， B A D O P E ∵PD⊥OA,PE⊥OB. ∴∠PDO=∠PEO=90°， ∴Rt△PDO≌Rt△PEO（ HL）. ∴∠AOP=∠BOP 验证结论 角平分的判定定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： （1）位置关系：点在角的内部； （2）数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE. ∴点P 在∠AOB的平分线上. 概念归纳 这个结论与角的平分线的性质在应用上有什么不同？ 角平分线的性质定理和它的逆定理，揭示了“角相等”和“线段相等”之间的一种特殊关系. 这个结论可以用来判定角的平分线，而角的平分线的性质可用来证明线段相等． 角相等 角平分线性质 角平分线性质定理的逆定理 线段相等 这为今后我们证明角相等，线段相等提供了一种解题思路. 1.如右图所示，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等， 离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰2 0000）？ 思考探究 P 图上距离 500m 1 20000 = 解：∵ ∴图上距离 = 0.025m = 2.5cm. 如图所示：P点即为所求 ; 理由：P点在这个交叉口的角平分线上，所以P点到公路与铁路的距离相等. 根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点. 我们任意的在纸上画三个三角形，如下图所示，沿顶点作分别画出三角形三个内角的平分线，你发现了什么？ 三角形的三条角平分线都相交于一点 由上图，我们分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量每组垂线段，你发现了什么规律？ 我们可以发现，过交点作三角形三边的垂线段相等 你可以证明这个结论吗？ 如右图，已知： △ABC的角平分线BM，CN相交于点P， 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. 证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F. ∵BM是△ABC的角平分线， 点P在BM上， ∴PD=PE.同理PE=PF. ∴PD=PE=PF. 即点P到三边AB，BC，CA的距离相等. D E F A B C P N M 结论验证 点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？ 点P在∠A的平分线上. 结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等. D E F A B C P N M 2.如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 证明：如图，过点P 证明：如图，过点P作PF⊥BC于F，PG⊥AB于G，PH⊥AC于H， 因为△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的外角的平分线CE相交于P， ∴PF = PG，PG = PH， ∴PF = PG = PH， ∴点P到三边AB、BC、CA所在直线的距离相等. 练一练 判定方法： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 书写格式： 如图，∵PD⊥OA，PE⊥OB，PD＝PE, ∴点P在∠AOB的平分线上(或∠AOC＝∠BOC)． 证明角平分线的“两种方法” (1)定义法：应用角平分线的定义. (2)定理法：应用“到角两边距离相等的点在角的平分线上”来判定 . 判定角平分线时，需要满足两个条件：“垂直”和“相等”. M E N A B C P O D 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4, (1)求点O到△ABC三边的距离和. 点到边的距离即过点作该边的垂线如图，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥BC于点F，连接OC ∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC ∴OE=OM（角平分上的点到角两边的距离相等） 又∵BD平分∠ABC且OE⊥AB，OF⊥BC ∴OE=OF，∴OE=OF=OM，又∵OM=4，∴OE=OF=OM=4 ∴OE+OF+OM=12 4.角平分线的判定定理的应用 新知探究 解：连接OC M E N A B C P O D 如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4. (2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积. 1.应用角平分线性质： 存在角平分线 涉及距离问题 2.联系角平分线性质： 距离 面积 周长 条件 概念归纳 3.如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为(　　) A．110° B．120° C．130° D．140° A 解：由已知，O到三角形三边的距离 相等，所以O是内心，即三条角平分线 的交点，AO，BO，CO都是角平分线， 所以有∠CBO＝∠ABO＝ ∠ABC， ∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB， ∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°， ∠OBC＋∠OCB＝70°， ∠BOC＝180°－70°＝110°. 练一练 点拨：由已知，O 到三角形三边的距离相等，得O是内心，再利用三角形内角和定理即可求出∠BOC的度数． 内容 图形 已知 条件 结论 角的平分线的性质 P C P C OP平分∠AOB PD⊥OA于D PE⊥OB于E PD=PE OP平分∠AOB PD=PE PD⊥OA于D PE⊥OB于E 角的平分线的判定 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 概念归纳 1.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 到射线 OA 和OB 的距离相等. B O A N M 课本练习 解：如图所示 2.如图，△ABC 的∠ABC 的外角的平分线 BD 与∠ACB 的外角的平分线 CE 相交于点 P . 求证：点 P 到三边 AB，BC，CA 所在直线的距离相等. 课本练习 证明：过P作PM⊥AC于M，PN⊥BC于N，PQ⊥AB于Q. ∵CE为∠MCN的平分线，∴PM = PN， 同理PN = PQ，∴点P到三边AB，BC，CA的距离相等. Q N M 1.用三角尺可按下面方法画角平分线:在已知的∠AOB的两边上,分别取OM=ON,再分别过点M，N作OA，OB的垂线,交点为P,画射线OP,则OP平分∠AOB.为什么? 解：∵PM⊥OA，PN⊥OB， ∴∠OMP = ∠ONP = 90°． 在 Rt△MOP 和 Rt△PON 中， ∴ Rt△OMP ≌ Rt△ONP（HL）. ∴∠MOP = ∠NOP， 即 OP 是∠AOB 的平分线． 习题12.3 证明：∵ AD 是∠BAC 的平分线，且 DE，DF 分别垂直 AB，AC 于点 E，F， ∴ DE = DF． 在 Rt△BDE 和 Rt△CDF 中， ∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF（HL）． ∴ EB = FC． 2.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F,求证EB=FC. 证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC， ∴∠BDO = ∠CEO = 90°． 又∵∠DOB = ∠EOC，OB = OC， ∴△DOB ≌ △EOC（AAS）． ∴ OD = OE． ∴ 点 O 在∠BAC 的平分线上． ∴∠1 = ∠2． 3.如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D，E，BE，CD相交于点 O,OB=OC.求证∠1=∠2. 证明：∵AD 是 △ABC 的角平分线， ∴∠BAD = ∠CAD． 又∵PE∥AB，PF∥AC， ∴∠EPD = ∠BAD，∠FPD = ∠CAD． ∴∠EPD = ∠FPD． 即PD平分∠EPF． ∴点 D 到 PE 和 PF 的距离相等． 4.如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,P是AD上的一点,PE∥ AB,交BC于点E,PF∥AC,交BC于点F,求证:点D到PE和PF的距 离相等. 证明：∵OC 平分∠AOB，且 PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD = PE，∠DOP = ∠EOP，∠ODP = ∠OEP=90°． 又∠DPF =∠DOP+∠ODP，∠EPF= ∠EOP+∠OEP，∴∠DPF =∠EPF． 在△DPF 和 △EPF 中， PD = PE，∠DPF =∠EPF，PF = PF． ∴△DPF ≌ △EPF (SAS)．∴DF = EF． 5.如图,OC是∠AOB的平分线,P是OC上的一点，PD⊥OA,PE⊥ OB,垂足分别为D,E.F是OC上的另一点,连接DF,EF.求证DF=EF. 解：AD 与 EF 垂直．证明如下： ∵ AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC， ∴ DE = DF，∠ADE = ∠ADF． 又 ∵DG = DG， ∴△GDE ≌ △GDF (SAS)． ∴∠DGE = ∠DGF． ∵∠DGE + ∠DGF = 180°， ∴∠DGE = ∠DGF = 90°，即 AD⊥EF． 6.如图,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E, F,连接EF,EF与AD相交于点G.AD与EF垂直吗?证明你的结论. 证明：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F． ∵∠B = ∠C = 90°，∴ EC⊥CD，EB⊥AB． ∵DE 平分∠ADC，∴ EF = EC． 又∵ E 是 BC 的中点，∴ EC = EB． ∴ EF = EB． ∵ EF⊥AD，EB⊥AB， ∴ 点 E 在∠DAB 的平分线上，即 AE 是∠DAB 的平分线. F 7.如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE 是∠DAB的平分线.(提示:过点E作EF⊥AD,垂足为F.) B 随堂练 C 随堂练 C 随堂练 4 随堂练 3 随堂练 随堂练 三边对应相等的两个三角形全等 C 分层练习-基础 距离 10 A 分层练习-基础 分层练习-基础 相等 60° C 分层练习-基础 B A 分层练习-巩固 4 6cm 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 SSS 课堂反馈 相等 10 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 角的平分线 ∠AOB 课堂反馈 角平分线 尺规作图 属于基本作图，必须熟练掌握 性质定理 一个点：角平分线上的点； 二距离：点到角两边的距离； 两相等：两条垂线段相等 辅助线 添加 过角平分线上一点向两边作垂线段 课堂小结 角平分线 的判定定理 内容 角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 作用 判断一个点是否在角的平分线上 结论 三角形的角平分线相交于内部一点 课堂小结 1．(怀化中考)如图所示，OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C、D，则下列结论错误的是(　　) A．PC＝PD　　　　　 B．∠CPO＝∠DOP C．∠CPO＝∠DPO D．OC＝OD 2．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，DC＝eq \f(1,3)AD，BD平分∠ABC，则点D到AB的距离等于(　　) A．4　　　 B．3 C．2　　　 D．1 3．已知△ABC内一点P，如果点P到AB、AC两边的距离相等，则点P(　　) A．在BC边的垂直平分线上 B．在BC边的高上 C．在BC边所对角的平分线上 D．在BC边的中线上 4．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，且BC＝9 cm，BD＝5 cm，则DE＝ cm. 5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD＝3，P为AB上一动点，则PD的最小值为 . 6．如图，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.求证：DE＝DF. 证明：连接AD.在△ABD和△ACD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(AB＝AC,BD＝CD,AD＝AD))，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，即AD平分∠EAF，又∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF. 知识点一：用尺规作角的平分线 用尺规作一个角的平分线的依据是“ ”． 1．要作∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　　) ①作射线OC；②在OA、OB上分别截取OD、OE，使OD＝OE；③分别以D、E为圆心，大于eq \f(1,2)DE的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于点C. A．①②③　　 B．②①③　　 C．②③①　　 D．③②① 知识点二：角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的 相等． 2．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E，PD＝10，则PE的长度为 ． 3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　　) A．点M B．点N C．点P D．点Q 4．如图所示，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D、点E，BE、CD相交于点O，∠1＝∠2.求证：OB＝OC. 证明：∵∠1＝∠2，∴AO是∠BAC的平分线．又∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴OD＝OE，∠BDO＝∠CEO＝90°.在△BDO和△CEO中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(∠BDO＝∠CEO,∠BOD＝∠COE,OD＝OE))，∴△BDO≌△CEO(ASA)．∴OB＝OC. 知识点三：角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离 的点在角的平分线上． 5．如图所示，点P到∠AOB两边的距离相等， 若∠POB＝30°，则∠AOB＝ ． 6．如图，OC是∠AOB内部的一条射线，P是射线OC上任一点，PD⊥OA，PE⊥OB.下列条件：①PD＝PE；②OD＝OE；③∠DPO＝∠EPO.其中能判定OC是∠AOB的平分线的有(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 7．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线 OM上的一个动点．若PA＝2，则PQ的最小值为(　　) A．1　　　 B．2　　　 C．3　　　 D．4 8．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　) A．3 B．4 C．6 D．5 9．如图所示，已知AB∥CD，O是∠BAC与∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，OE＝2，则AB与CD之间的距离为 ． 10．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E，且AB＝6cm，则△BED的周长是 ． 11．如图，点D在△ABC的AB边上，且∠ACD＝∠A. (1)作∠BDC的平分线DE，交BC于点E(用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法)； (2)在(1)的条件下，判断直线DE与直线AC的位置关系(不要求证明)． 解：(1)如图　 (2)DE∥AC.∵DE平分∠BDC，∴∠BDE＝eq \f(1,2)∠BDC.∵∠ACD＝∠A，∠ACD＋∠A＝∠BDC，∴∠A＝eq \f(1,2)∠BDC.∴∠A＝∠BDE，∴DE∥AC. 12．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3. (1)求DE的长； (2)求△ADB的面积． 解：(1)∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE＝DC＝3；　 (2)∵BC＝CD＋BD＝8，∴BD＝5，∴S△ADB＝eq \f(1,2)×BD×AC＝eq \f(1,2)×5×6＝15. 13．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD，BE＝CF. (1)求证：AD平分∠BAC； (2)猜想AB＋AC与AE之间的数量关系，并给予证明． (1)证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴∠E＝∠AFD＝∠DFC＝90°.在Rt△BDE和Rt△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BD＝CD,BE＝CF))，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)，∴DE＝DF，即AD平分∠BAC；　 (2)解：AB＋AC＝2AE.证明：由(1)知AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠CAD.在Rt△AED和Rt△AFD中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(DE＝DF,AD＝AD))，∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL)，∴AE＝AF.又BE＝CF，AB＋AC＝AE－BE＋AF＋CF＝AE＋AF＝2AE. 角平分线的作法 1. 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC＝∠BOC的依据是 . 角平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离 ． 2. 已知OC是∠AOB的角平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E，PD＝10，则PE的长为 . 会运用角的平分线的性质解题． 3.如图所示，在△ABC中，AD是它的角平分线，且BD＝CD，DE、DF分别垂直AB、AC，垂足为点E、F.求证：EB＝FC. 【思路分析】若证EB＝FC，可证△BDE≌△CDF，已具备条件BD＝CD和Rt△BDE，Rt△CDF，所缺条件是DE＝DF，此条件可由角平分线性质定理推出． 【规范解答】∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.在Rt△BDE和Rt△CDF中，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(BD＝CD,DE＝DF))，∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)．∴EB＝FC. 会证明角的平分线． 4.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点F.求证：点F在△ABC的外角∠CAD的平分线上． 【思路分析】要证明点F在△ABC的外角∠CAD的平分线上，只需证明点F到△ABC的外角∠CAD的两边的距离相等即可． 【规范解答】作FP⊥BA，FN⊥AC，FM⊥BC，垂足分别为P、N、M.∵∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点F，∴FP＝FM，FN＝FM.∴FP＝FN.∴点P在△ABC的外角∠CAD的平分线上． 【方法归纳】证明一条射线是角的平分线有两种方法：一是利用三角形全等证两个角相等；二是利用角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上． 角平分线的判定 角的内部到角的两边的距离相等的点在 上． 5. 已知点P为∠AOB内部的一点，PD⊥OB于点D，PC⊥OA于点C，且PC＝PD，则OP平分 . $$