专题2.2 区间和一元二次不等式（考点精讲）-【中职专用】2025年中职高考数学一轮复习讲练测（河南专用）

专题2.2 区间和一元二次不等式 【考纲要求】 1. 会用区间表示范围. 2. 掌握一元一次不等式的解法，理解一元二次不等式和一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式求参数及范围. 【考向预测】 1.区间的表示 2.一元二次不等式的解法 1．区间 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点一：区间 【例1】数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【变式探究】不等式的解集是___________.（用区间表示） 【例2】不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【变式探究】不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 考点二：一元一次不等式及其解法 【例1】不等式的解集为______． 【变式探究】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【例2】在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式探究】不等式2x+1＞3+3x的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【例3】满足不等式的最小整数是 ． 【变式探究】不等式的正整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 考点三：一元二次不等式及其解法 【例1】不等式的解集是（       ） A． B． C． D．，或 【变式探究】不等式的解集为 A． B． C． D．{或} 【例2】不等式的解集是 . 【变式探究】不等式的解集是 . 【例3】已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【变式探究】不等式的解集是或，则的值是（       ） A．14 B．0 C． D． 已知，则关于的不等式的解集是 .（用区间表示） 【例4】已知，则关于的不等式的解集是 .（用区间表示） 【变式探究】若，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 考点四：一元二次不等式的应用 【例1】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 【变式探究】不等式的解集为，则的取值范围是 . 【例2】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【变式探究】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【例3】已知的解集为或，则不等式的解集为 . 【变式探究】关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为 . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.2 区间和一元二次不等式 【考纲要求】 1. 会用区间表示范围. 2. 掌握一元一次不等式的解法，理解一元二次不等式和一元二次方程的关系. 3. 会利用一元二次不等式求参数及范围. 【考向预测】 1.区间的表示 2.一元二次不等式的解法 1．区间 定义 名称 符号 数轴表示 {x|a≤x≤b} 闭区间 [a，b] {x|a<x<b} 开区间 (a，b) {x|a≤x<b} 左闭右开区间 [a，b) {x|a<x≤b} 左开右闭区间 (a，b] {x|x≥a} [a，＋∞) {x|x>a} (a，＋∞) {x|x≤a} (－∞，a] {x|x<a} (－∞，a) R (－∞，＋∞) 取遍数轴上所有的值 2．一元一次不等式解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax＞b(a≠0)的形式．当a＞0时，解集为；当a＜0时，解集为．若关于x的不等式ax>b的解集是R，则实数a，b满足的条件是 a＝0，b＜0 ． 3．一元二次不等式及其解法 (1)我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为 一元二次 不等式． (2)使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解组成的集合叫做一元二次不等式的 解集 ． (3)若一元二次不等式经过同解变形后，化为一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(或ax2＋bx＋c＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不相等的实根x1，x2，且x1＜x2(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于号取 两边 ，小于号取 中间 ”求解集． (4)一元二次不等式的解： 二次函数 （）的图象 有两相异实根 有两相等实根 无实根 考点一：区间 【例1】数集，用区间表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】根据区间的符号可知，数集，用区间表示为：， 故选：C. 【变式探究】不等式的解集是___________.（用区间表示） 【答案】 【解析】由题设，，即，所以不等式解集为， 故答案为：. 【例2】不等式的解集为（       ） A． B．（－4，1） C．（－1，4） D． 【答案】C 【解析】因为不等式可化为:， 解得:，所以解集为:， 故选:C. 【变式探究】不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得，解得，即解集为， 故选：C. 考点二：一元一次不等式及其解法 【例1】不等式的解集为______． 【答案】 【解析】，∴，∴， ∴，∴，∴， 故答案为：． 【变式探究】不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：，移项得：，合并同类项得：，系数化为1得：， 故选：B． 【例2】在数轴上表示不等式x+5＞1的解集，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】不等式x+5＞1，移项得：x＞1﹣5，合并得：x＞﹣4， 表示在数轴上，如图所示：． 故选：C． 【变式探究】不等式2x+1＞3+3x的解集在数轴上表示，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】2x+1＞3+3x，移项得，2x﹣3x＞3﹣1，合并得，﹣x＞2，系数化1得，x＜﹣2． 故选：B． 【例3】满足不等式的最小整数是 ． 【答案】3 【解析】不等式去括号得：，移项得：4x+3x＞6+8， 合并得：7x＞14，把x系数化为1得：x＞2，则不等式的最小整数解为3． 故答案为： 3． 【变式探究】不等式的正整数解有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【解析】，去括号得，移项得， 合并同类项得，解得：， 所以不等式的正整数解为1，2，3，4共4个， 故选：B． 考点三：一元二次不等式及其解法 【例1】不等式的解集是（       ） A． B． C． D．，或 【答案】C 【解析】由，解得， 即不等式的解集为， 故选：C. 【变式探究】不等式的解集为 A． B． C． D．{或} 【答案】D 【解析】不等式，即， 由函数零点及穿根法可知不等式的解集为或， 即不等式的解集为{或}， 故选：D. 【例2】不等式的解集是 . 【答案】 【解析】不等式可化为，则解集为， 故答案为：. 【变式探究】不等式的解集是 . 【答案】 【解析】∵不等式可化为，解得：， ∴该不等式的解集是， 故答案为：． 【例3】已知关于的不等式的解集是，则的值是（       ） A． B．2 C．22 D． 【答案】C 【解析】由题意得：2与3是方程的两个根， 故，，所以， 故选：C. 【变式探究】不等式的解集是或，则的值是（       ） A．14 B．0 C． D． 【答案】D 【解析】∵不等式2x2+mx+n＞0的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}， ∴一元二次方程2x2+mx+n＝0的两个根为3，﹣2． 由根与系数关系得，解得：m＝﹣2，n＝﹣12． 所以， 故选：D． 已知，则关于的不等式的解集是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 【例4】已知，则关于的不等式的解集是 .（用区间表示） 【答案】 【解析】因为，所以，又， 所以不等式的解集为， 故答案为：. 【变式探究】若，则不等式的解集是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，则不等式解集为：， 故选：A. 考点四：一元二次不等式的应用 【例1】若关于x的一元二次不等式对于一切实数x都成立，则实数k的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意，， 故答案为：． 【变式探究】不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】①当时，不等式可化为1＞0，此时不等式的解集为，符合题意； ②当时，要使得不等式的解集为，则满足，解得； 综上可得，实数的取值范围是， 故答案为：. 【例2】若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意，得，所以， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 【变式探究】若关于的一元二次不等式的解集为，则实数的取值范围是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故选：B. 【例3】已知的解集为或，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】∵的解集为或， ∴，或是方程的两个实数根，且， 于是，即， 于是． 因此不等式的解集为， 故答案为：. 【变式探究】关于x的不等式的解集为，则不等式的解集为___________. 【答案】 【解析】由题意可知方程的两根为，1，所以，解得 则不等式即为，其解集为：， 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！4 学科网（北京）股份有限公司 $$