4.5.1函数的零点与方程的解 同步训练-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

4.5.1　函数的零点与方程的解（同步训练） 一、选择题 1.函数f(x)＝2x2－3x＋1的零点是(　　) A.－，－1 B.，1 C.，－1 D.－，1 2.函数y＝x2－bx＋1有一个零点，则b的值为(　　) A.2 B.－2 C.±2 D.3 3.下列函数中，在(－1，1)内有零点且单调递增的是(　　) A.y＝x B.y＝3x－1 C.y＝x2－ D.y＝－x3 4.函数f(x)＝4x－x2的零点所在的大致区间是(　　) A. B. C. D. 5.函数f(x)＝x＋lg (x－1)－3的零点所在的区间是 (　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，3) D.(3，4) 6.已知函数f(x)＝－log2x，在下列区间中，包含f(x)零点的区间是(　　) A.(0，1) B.(1，2) C.(2，4) D.(4，＋∞) 7.已知函数f(x)＝(a∈R)，若函数f(x)在R上有两个零点，则a的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(－∞，0) C.(－1，0) D.[－1，0) 8.已知函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，则函数g(x)＝lognx＋nx的零点所在区间为(　　) A.(1，2) B.(2，3) C.(3，4) D.(4，5) 9.(多选)若函数f(x)的图象在R上连续不断，且满足f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，则下列说法正确的有(　　) A.f(x)在区间(0，1)上一定有零点 B.f(x)在区间(0，1)上一定没有零点 C.f(x)在区间(1，2)上可能有零点 D.f(x)在区间(1，2)上一定有零点 二、填空题 10.函数f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)的零点有________个． 11.若函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，则实数a的取值范围为________ 12.函数f(x)＝ex＋1＋2x－10的零点所在区间为(n，n＋1)，n∈Z，则n的值为________(e≈2.71828) 13.函数f(x)＝|4x－x2|－a的零点的个数为3，则a＝________ 三、解答题 14.已知函数f(x)＝2x－x2，方程f(x)＝0在区间[－1，0]内是否有解，为什么？ 15.（1）求函数f(x)＝的零点； (2)已知函数f(x)＝ax－b(a≠0)的零点为3，求函数g(x)＝bx2＋ax的零点． 16.已知函数f (x)＝x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5有两个零点． (1)若函数的两个零点是－1和－3，求k的值； (2)若函数的两个零点是α和β，求α2＋β2的取值范围． 参考答案及解析： 一、选择题 1.B 解析：方程2x2－3x＋1＝0的两根分别为x1＝1，x2＝，所以f(x)＝2x2－3x＋1的零点是，1． 2.C 解析：因为函数有一个零点，所以Δ＝b2－4＝0，解得b＝±2． 3.B 解析：对于A，y＝x，其定义域为(0，＋∞)，为减函数，不符合题意；对于B，y＝3x－1，在(－1，1)上有零点x＝0，且在(－1，1)单调递增，符合题意；对于C，y＝x2－，为二次函数，在(－1，0)上单调递减，不符合题意；对于D，y＝－x3，在(－1，1)上单调递减，不符合题意．故选B． 4.A 解析：因为f(x)＝4x－x2是连续函数，f(－1)＝－1＝－＜0，＝2－＝＞0，f(－1)·＜0，所以根据零点存在定理，可得f(x)的零点所在的大致区间是，A正确．同理可验证B，C，D均不正确．故选A． 5.C 解析：易知f(x)＝x＋lg (x－1)－3为增函数．又因为f(2)＝－1＜0，f(3)＝lg 2＞0，由零点存在定理可知f(x)的零点所在区间是(2，3)． 6.C 解析：因为f(x)＝－log2x，所以f(x)为(0，＋∞)上的减函数，且f(1)＝6＞0，f(2)＝3－log22＝2＞0，f(4)＝－2＝－＜0，由零点存在定理，可知包含f(x)零点的区间是(2，4)． 7.D 解析：当x＞0时，f(x)＝3x－1有一个零点x＝．因此当x≤0时，f(x)＝ex＋a＝0只有一个实根，∴a＝－ex(x≤0)，则－1≤a＜0． 8.A 解析：∵函数f(x)＝loga(x＋n)＋ax－n(a＞0，且a≠1)的图象过定点(m，1)，∴loga(m＋n)＋am－n＝1，∴解得故函数g(x)＝lognx＋nx＝logx＋在(0，＋∞)上单调递减．由于g(1)＝＞0，g(2)＝－1＋＜0，故g(x)在区间(1，2)上存在唯一零点．故选A． 9.AC 解析：因为f(0)＜0，f(1)＞0，f(2)＞0，所以f(0)f(1)＜0，因为函数f(x)的图象在R上连续不断，由零点存在定理，可得f(x)在区间(0，1)上一定有零点．又因为f(1)f(2)＞0，故无法判断f(x)在区间(1，2)上是否有零点． 二、填空题 10.答案：3 解析：因为f(x)＝(x－1)(x2＋3x－10)＝(x－1)(x＋5)(x－2)，所以令f(x)＝0，解得x＝－5或x＝1或x＝2．故零点有3个． 11.答案：[，＋∞) 解析：因为函数f(x)＝x2－2ax＋2在区间[0，4]上至少有一个零点，且f(0)＝2＞0， 所以或解得≤a≤4或a＞4，即a≥． 所以实数a的取值范围为[，＋∞)． 12.答案：1 解析：f(x)在R上递增，f(1)＝e2－8＜0，f(2)＝e3－6＞0，所以f(x)的零点在区间(1，2)内，所以n的值为1． 13.答案：4 解析：令函数f(x)＝|x2－4x|－a＝0，可得|x2－4x|＝a．由于函数f(x)＝|x2－4x|－a的零点个数为3，故函数y＝|x2－4x|的图象和直线y＝a有3个交点，如图所示，故a＝4． 三、解答题 14.解：有解．理由如下： 因为f(－1)＝2－1－(－1)2＝－＜0，f(0)＝20－02＝1＞0，且函数f(x)＝2x－x2的图象是连续曲线， 所以f(x)在区间[－1，0]内有零点，即方程f(x)＝0在区间[－1，0]内有解． 15.解：(1)当x≤0时，令x2＋2x－3＝0，解得x＝－3； 当x＞0时，令－2＋ln x＝0，解得x＝e2． 所以函数f(x)＝的零点为－3和e2． (2)由已知得f(3)＝0，即3a－b＝0，则b＝3a，故g(x)＝3ax2＋ax＝ax(3x＋1)． 令g(x)＝0，即ax(3x＋1)＝0，解得x＝0或x＝－． 所以函数g(x)＝bx2＋ax的零点为0和－． 16.解：(1)－1和－3是函数f (x)的两个零点，故－1和－3是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两个实数根． 则解得k＝－2． (2)函数的两个零点为α和β，则α和β是方程x2－(k－2)x＋k2＋3k＋5＝0的两根． ∴ 则－4≤k≤－，且α2＋β2＝(α＋β)2－2αβ＝－k2－10k－6在上单调递减， ∴α2＋β2在区间上的最大值是18，最小值是． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$