导数及其应用检测卷-江苏地区2024届高考数学模拟题汇编

导数及其应用检测卷-江苏地区模拟题训练 一、选择题 1．（2024·江苏南京模拟）已知，则（　　） A． B． C． D． 2．（2024·苏州模拟）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·徐州模拟）函数（　　） A．是偶函数，且在区间上单调递增 B．是偶函数，且在区间上单调递减 C．是奇函数，且在区间上单调递增 D．既不是奇函数，也不是偶函数 4．（2024·连云港模拟） 已知函数及其导函数的定义域均为，且，，则不等式的解集是（　　） A． B． C． D． 5．（2024·南京模拟）设，其中，则D的最小值为(　　) A． B． C． D． 6．（2024·无锡模拟）已知是R上的奇函数，且对任意的均有成立.若，则不等式的解集为(　　) A． B． C． D． 7．（2024·南通模拟）若，则函数的图象可能是(　　) A． B． C． D． 8．（2022·连云港三模）进入4月份以来，为了支援上海抗击疫情，A地组织物流企业的汽车运输队从高速公路向上海运送抗疫物资.已知A地距离上海500，设车队从A地匀速行驶到上海，高速公路限速为.已知车队每小时运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度v的立方成正比，比例系数为b，固定部分为a元.若，，为了使全程运输成本最低，车队速度v应为（　　） A．80 B．90 C．100 D．110 二、多项选择题 9．（2024·苏州模拟）已知函数，且，则（　　） A．是奇函数 B． C．的值域是 D．在上单调递减 10．（2024·无锡三模）已知函数(为常数)，则下列结论正确的是（　　） A．当时，在处的切线方程为 B．若有3个零点，则的取值范围为 C．当时，是的极大值点 D．当时，有唯一零点，且 11．（2024·扬州模拟）若函数的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使得曲线在这两点处的切线垂直，则称函数为“垂切函数”.下列函数中为“垂切函数”的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 12．（2024·扬州模拟）已知，则在处的切线方程是　 　． 13．（2024·宿迁模拟）已知0是函数的极大值点，则的取值范围为　 　. 14．（2024·无锡模拟）已知函数，，对任意，存在使得不等式成立，则满足条件的的最大整数为　 　. 四、解答题 15．（2024·南京模拟）已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围. 16．（2024·南通模拟）设函数，． （1）当时，在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上存在零点，求实数的取值范围． 17．（2024·扬州模拟）已知函数． （1）若是的一个极值点，求的值； （2）若有两个极值点，，其中，求的取值范围． 18．（2024·徐州模拟）已知曲线在点处的切线方程为． （1）求a，b的值； （2）求的单调区间； （3）已知，且，证明：对任意的，． 19．（2024·溧阳模拟）若函数在区间上有定义，且，，则称是的一个“封闭区间”． （1）已知函数，区间且的一个“封闭区间”，求的取值集合； （2）已知函数，设集合． （i）求集合中元素的个数； （ii）用表示区间的长度，设为集合中的最大元素． 证明：存在唯一长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”． 答案解析部分 1．【答案】B 2．【答案】A 3．【答案】A 4．【答案】C 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】B 8．【答案】C 9．【答案】B,C,D 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,C,D 12．【答案】 13．【答案】 14．【答案】-4 15．【答案】（1）解：由题意知的定义域为， ， 当时，，在上单调递减； 当时，令， ， 故方程有两个不同的实数根， 分别为，，且，， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增. 综上可知，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）解：由可得，即， 设，， 则， 设，， 因为， 则在上单调递减，且， 所以当时，，即，所以在上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 所以的最大值为， 所以，即的取值范围为. 16．【答案】（1）解：当时，转化为，在上单调递增． 令，． 若，则在上恒成立，在上单调递增，故，符合题意； 若，令函数，则在上恒成立， 在上单调递增，，且当时，． ，，故当时，，单调递减， 当时，，单调递增，则，不符合题意． 综上所述，实数的取值范围为； （2）解：，，令，即，． 令，，则． 令，得． 当时，，单调递减； 当时，单调递增． 当时，取得极小值，即当时，取得极小值． 又，，． ． 当取得极大值，即当时，取得极大值． 又，，． ，当，． ． ，时，在上存在零点，实数的取值范围为． 17．【答案】（1）解：易知， 又是的一个极值点，所以，即，所以， 此时， 令，， 所以在上单调递增，且， 当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以是的极小值点，即符合题意，因此的值为． （2）解：因为，且有两个极值点，， 所以方程在上有两个不同的根，即方程有两个不同的正数根，将问题转化为函数与函数的图象在上有两个不同的交点，则，令，解得， 当时，，单调递减，当时，，单调递增， 且当时，，，故作出的图象如图所示： 由图象可知满足题意，即，即的取值范围为． 18．【答案】（1）解：， 则． 因为，所以， 解得，． （2）解：． 令，则， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，所以恒成立，即恒成立，故在上单调递增，无单调递减区间． （3）证明：由，可得．又，所以． 因为，，所以只需证明，，即证明，． 先证明，即，令， 则，所以在上单调递增． 只需证，， 即，． 令，，则， 所以，故． 再证明，即．同理，只需证明， 即． 令，，则． 令，，则，所以在上单调递增． 又因为，， 则存在，使得， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增． 又因为，，所以，故．综上，对任意的，． 19．【答案】（1）解：由题意，，， 因为恒成立，所以在上单调递增，的值域为， 因此只需， 所以，即， 则的取值集合为． （2）解：（i）记函数， 则， 由得或；由得； 所以函数在和单调递增，在单调递减． 其中，因此当时，，不存在零点； ，而，在单调递减， 由零点存在定理可知存在唯一的使得； 当时，，不存在零点． 综上所述，函数有0和两个零点，即集合中元素的个数为2． （ii）由（i）得，假设长度为的闭区间是的一个“封闭区间”， 则对，， 当时，由（i）得在单调递增， ，即，不满足要求； 当时，由（i）得在单调递增， ， 即，也不满足要求； 当时，闭区间，而显然在单调递增， ， 由（i）可得，， ，满足要求． 综上，存在唯一的长度为的闭区间，使得是的一个“封闭区间”． 学科网（北京）股份有限公司 $$