精品解析：山东省枣庄市滕州市2023-2024学年高一下学期期中质量检测数学试卷

2023～2024学年第二学期期中质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 2. 如图，是直观图，则是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 3. 设复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 4 8. 已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，，则的最小值为 10. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 11. 点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的垂心； B. 若，则点为△的内心； C. 若，则点为△的外心； D. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则___ ． 13. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________. 14. 已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求与夹角的余弦值； （2）求 16. 已知复数，，且纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 17. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积； （2）当r为何值时，该球内接圆柱侧面积最大，最大值是多少？ 18. 如图，在中，D是边BC上一点，，，． （1）求DC的长； （2）若，求的面积． 19. 如图，中，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1． （1）已知，请用表示； （2）求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023～2024学年第二学期期中质量检测 高一数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，，若，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示得到方程，解得即可. 【详解】因为，且， 所以，解得. 故选：C 2. 如图，是的直观图，则是（ ） A. 正三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，画出的直观图，结合图形，即可求解. 【详解】因为线段与轴相交，设交点为，如图（1）所示， 在直角坐标系中，点在轴上，可得，点C在y轴上，可得， 如图（2）所示，因此点必在线段的延长线上，所以， 所以是钝角三角形． 故选：C． 3. 设复数满足，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法性质求解即可. 【详解】. 故选：D 4. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得和，代入圆台的侧面积公式，即可求解. 【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为， 可得，可得， 又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为， 所以圆台的侧面积为. 故选：B. 5. 在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知可推得，.然后根据，即可得出答案. 【详解】 因为D为BC的中点，所以. 又因为，，所以. 所以，. 故选：A. 6. 已知在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用余弦定理求出和，再利用相反向量、平面向量的数量积进行求解. 【详解】因为，，， 所以， 则，， 则. 故选：B. 7. 已知棱长均相等的四面体的外接球的半径为，则这个四面体的棱长为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将棱长均相等的四面体放正方体中，设正方体的棱长为，根据，求出，求出正方体的面对角线即可求解. 【详解】由题意可知为正四面体， 将此正四面体放在正方体中，如图： 设正方体的棱长为，，解得， 所以四面体棱长为. 故选：D 8. 已知，，，平面区域为由所有满足的点组成的区域（其中，），若区域的面积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作图得出区域D，然后根据向量关系得出，，然后表示出，根据和的关系可得出，，进而得出，根据“1”的代换，即可得出答案. 【详解】 如图所示，延长AB到点N，延长AC到点M，使得， ， 作，，，， 则四边形，，均为平行四边形. 由题意可知:点组成的区域D为图中的四边形及其内部. 因为，，， 所以，，，， 所以，，， 所以，. 又，则. 所以，. 因为四边形的面积， 所以，即， ， 当且仅当时取等号. 最小值为4. 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 定义：，两个向量的叉乘，则以下说法正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若四边形ABCD为平行四边形，则它的面积等于 D. 若，，则的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，根据叉乘定义，判断，至少有一个为零向量或，即可判断；对于B，根据叉乘定义，讨论和，即可判断；对于C，结合平行四边面积即可判断；对于D，由，推出，结合向量模的计算以及基本不等式即可判断. 【详解】对于A，， 若，至少有一个为零向量，则满足； 若，均不为零向量，则，即，同向或反向，即，故A正确， 对于B，， ， 若，则 ，此时； 若，，此时，故B错误； 对于C，若四边形为平行四边形， 则它的面积等于，即 ，故C正确； 对于D， ， ，两式平方后相加得，即， 又， 当且仅当时等号成立， 故的最小值为，故D错误， 故选：AC 10. 已知为复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用复数运算性质判断ABD,举反例判断C. 【详解】设，，因为， ，所以，故A正确； 又， ， ， 所以，故B正确； 取，，可得，故C错误； 若，由B选项知，所以或，可得或，故D正确； 故选：ABD． 11. 点在△所在的平面内，则以下说法正确的有（ ） A. 若动点满足，则动点轨迹一定经过△的垂心； B. 若，则点为△的内心； C. 若，则点为△的外心； D. 若动点满足，则动点的轨迹一定经过△的重心. 【答案】BC 【解析】 【分析】A由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的轨迹一定经过的哪种心；B、C分别假设为△的内心、外心，利用向量的几何图形中的关系，及向量的运算律和数量积判断条件是否成立即可；D由，根据数量积的运算律及向量数量积的几何意义求的值，即知的轨迹一定经过的哪种心； 【详解】A：由正弦定理知，而，所以，即动点的轨迹一定经过△的重心，故错误. B：若为△的内心，如下图示：，同理，，， ∴，，故正确； C：若为△的外心，分别为的中点，则，而，同理，又，故，正确； D：由，故，即，动点的轨迹一定经过△的垂心，错误. 故选：BC 【点睛】关键点点睛：应用已知等量关系，结合向量的运算律、数量积的值判断向量过三角形的何种心，或假设为△的内心、外心，再应用几何图形中相关线段所表示的向量，结合向量的线性关系及数量积的运算律，判断条件是否成立. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在中，若，则___ ． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意结合余弦定理运算求解. 【详解】因为，根据余弦定理可得：， 又因为A为三角形的内角，则， 故答案为：. 13. 如图所示，隔河可以看到对岸两目标，但不能到达，现在岸边取相距的两点，测得（在同一平面内），则两目标间的距离为_________. 【答案】 【解析】 【分析】在中，在中，分别由正弦定理求出，，在中，由余弦定理可得解. 【详解】由图可得， 在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 在中，由余弦定理可得： . 故答案： 【点睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，根据已知边角关系建立等式求解，此题求AB的长度可在多个三角形中计算，恰当地选择可以减少计算量. 14. 已知平面向量，，满足，，与的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量的模的运算求得，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C，求得平面向量+的终点N的轨迹，由与的夹角为，得到C的轨迹，利用圆的性质得到|NC|的距离的最大值，即为所求. 【详解】解：∵，,∴， 如图所示，设平面向量，，都是以O为起点，终点分别是A,B,C， 则平面向量+的终点N到O的距离为2， 设AB的中点为M,则|MN|=1,∴N在以M为圆心，半径为1的圆周上. 由与的夹角为，∴点C在以AB为弦的圆周角为的优弧上， 当C,M,N共线，且C,N在直线AB的两侧，并且CM⊥AB时，|CN|最大，也就是取得最大值, 此时,, |CN|=, 故答案为：. 【点睛】本题考查向量的线性运算的几何意义，向量的模的几何意义，向量的夹角的几何意义，向量的数量积和模的运算，圆的性质和与圆有关的距离最值问题，属中高档题. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，满足，，． （1）求与的夹角的余弦值； （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直得到，由数量积定义及运算律计算可得； （2）首先求出，再根据数量积的运算律求出，即可得解. 【小问1详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 由（1）知， ∴， ∴； 16. 已知复数，，且为纯虚数． （1）求复数； （2）设、在复平面上对应的点分别为A、B，O为坐标原点．求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的概念及乘法运算计算即可； （2）利用复数的几何意义和投影向量的坐标表示计算即可. 【小问1详解】 由已知可得， 因为为纯虚数，所以； 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 17. 如图，圆柱内接于球O，已知球O的半径R＝2，设圆柱的底面半径为r． （1）以r为变量，表示圆柱的表面积和体积； （2）当r为何值时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是多少？ 【答案】（1） ，. （2）当时，该球内接圆柱的侧面积最大，最大值是. 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，根据勾股定理求出的值，即可求得圆柱的表面积和体积； （2）利用基本不等式可求得圆柱的侧面积最大值，利用等号成立的条件可求得的值. 【小问1详解】 解：记圆柱底面的一条直径为，取中点，连接. 高为，则，所以， 所以，圆柱的底面积为，侧面积为， 圆柱的表面积为，圆柱的体积为. 【小问2详解】 由（1）知，圆柱的侧面积为， 则， 当且仅当时取等号，即当时，圆柱的侧面积最大，最大值为． 18. 如图，在中，D是边BC上一点，，，． （1）求DC的长； （2）若，求的面积． 【答案】（1）3（2） 【解析】 【分析】（1）在中，中分别使用正弦定理，结合，，即，即得解； （2）在中，中分别使用余弦定理，结合，可解得，分别计算，又可得解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得． 在中，由正弦定理，得． 因为，所以，所以． 从而有，即． 又，所以． （2）在中，由余弦定理， 得 ． 在中，由余弦定理， 得 ． 由，得． 因为，所以． 故有． 解得．又， 所以，． ； ． 故的面积． 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题. 19. 如图，中，AD为BC边上的中线，点E，F分别为边上的动点，线段EF交AD于G，且线段AE与线段AF的长度乘积为1． （1）已知，请用表示； （2）求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意设，然后根据共线求出，进而求解； （2）令，，根据题意得，设，利用共线设，得到，利用平面向量基本定理得到，然后代入数量积，进行等量代换，最后利用函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 因为且，所以， 设， 又因为共线，所以，解得， 所以. 【小问2详解】 令，，即， 设，又因为共线， 设，则， 所以，解得， ， 又因为， 所以， 又因为，所以， 因为，所以，令， 所以时，函数单调递减， 当时，函数取最大值； 当时，函数取最小值； 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$