模拟训练卷（一）《湖南省数学考纲百套卷》第119卷（原卷版+解析版）

编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第119卷，是模拟训练卷（一）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第119卷 模拟训练卷（一） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列的通项公式为那么是它的（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项 3．在直角坐标系中，函数的图象（  ） A．关于对称 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 6．下列命题是假命题的是（ ） A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 7．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 9．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（  ） A． B． C． D． 10．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．采用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，初一年级被抽取30人，初二年级被抽取40人，初三年级共有600人，则这个学校共有初中学生 人． 12．已知向量，，且，则 ． 13．已知，则 ． 14．已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 15．圆上的点到直线的距离最小值是 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)设，求数列前项和. 17．(本小题满分10分) 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n＝1,2， ，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：1,2,3,4,5 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s； （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率． （注：方差s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋ ＋（xn－）2]，其中为x1，x2， ，xn的平均数） 18．(本小题满分10分) 已知四棱锥中，，，，，， (1)求证： (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 19．(本小题满分10分) 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围. 20．(本小题满分10分) 已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 . 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在平面四边形中，，    (1)求的值. (2)若为锐角，，求角. 22．(本小题满分10分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 单位产品所需资金(百元) 空调机 洗衣机 月资金供应量(百元) 成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润 6 8 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第119卷，是模拟训练卷（一）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第119卷 模拟训练卷（一） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用交集的定义直接求解即可. 【详解】集合，，所以. 故选：B 2．已知数列的通项公式为那么是它的（    ） A．第1项 B．第2项 C．第3项 D．第10项 【答案】C 【分析】由已知条件，根据通项公式求出即可得答案. 【详解】因为数列的通项公式为， 令，解得， 所以9是数列的第3项， 故选：C. 3．在直角坐标系中，函数的图象（  ） A．关于对称 B．关于原点对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】利用定义判断函数的奇偶性，即可得出结论. 【详解】令，定义域为，关于原点对称，且，该函数为偶函数，因此，函数的图象关于轴对称. 故选：D. 【点睛】本题考查函数图象对称性的判断，判断函数的奇偶性是关键，考查推理能力，属于基础题. 4．把三张游园票分给10个人中的3人，分法有（    ） A．种 B．种 C．种 D．30种 【答案】B 【分析】把三张游园票分给10个人中的3人，只需从10个人中选3人即可. 【详解】把三张游园票分给10个人中的3人，只需从10个人中选3人即可， 所以共有种， 故选：B. 5．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指对数函数的知识得出的范围即可. 【详解】因为函数在上单调递增，所以， 因为函数在上单调递增，所以， 因此， 故选：B. 6．下列命题是假命题的是（ ） A．不在平面上的一条直线与这个平面上的一条直线平行，则该直线与这个平面平行 B．如果一条直线与平面上的两条直线都垂直，则该直线与这个平面垂直 C．如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 D．如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面垂直 【答案】B 【分析】根据线面平行、面面平行、线面垂直、面面垂直的判定与性质逐项判断即可. 【详解】对A，根据线面平行的判定可知其正确； 对B，平面内的两条直线有可能是平行直线，这条直线也可能和平面不垂直，故B项不正确； 对C，根据面面平行的性质可知其正确； 对D，根据面面垂直的判定定理可知其正确. 故选：B. 7．已知，是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】由不等式的性质、充要条件的定义即可求解. 【详解】由不等式的性质可知：等价于，即“”是“”的充要条件. 故选：C. 8．函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据辅助角公式化简即可求解. 【详解】，故最大值为2 故选：B 9．若直线l经过点和，且与斜率为的直线垂直，则实数a的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用斜率公式表示出；再根据两直线垂直列出关系式求解即可. 【详解】由题意得，直线l的斜率必存在，且. 因为直线l与斜率为的直线垂直 所以，解得. 故选：A. 10．已知偶函数在区间上单调递增，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，转化不等式，解出即可. 【详解】因为偶函数在区间上单调递增， 故由得： ， 解得， 故选：C 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．采用按比例分配的分层抽样的方法抽取一个容量为100的样本，初一年级被抽取30人，初二年级被抽取40人，初三年级共有600人，则这个学校共有初中学生 人． 【答案】2000 【分析】首先求出初三年级抽取的人数，再求出初中学生总人数； 【详解】依题意，初三年级抽取人，又初三年级共有600人， 所以学校共有初中生人； 故答案为：2000. 12．已知向量，，且，则 ． 【答案】8 【分析】利用向量垂直的坐标表示，列式计算即得. 【详解】向量，，由，得， 所以. 故答案为：8 13．已知，则 ． 【答案】 【分析】利用二倍角正弦公式、同角三角函数商关系和平方关系代入计算得出结果； 【详解】． 故答案为：． 14．已知（且，函数的图象恒过定点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】令即可求出定点. 【详解】令得， 此时， 所以函数的图象恒过定点，即点. 故答案为：. 15．圆上的点到直线的距离最小值是 ． 【答案】 【分析】圆化为标准方程，求出圆心和半径，再利用点到直线的距离公式， 求出圆心到直线的距离，从而算出圆上的点到直线的距离最小值. 【详解】因为圆，化为标准方程为：， 其圆心为，半径为1， 因为直线，所以圆心到该直线的距离， 所以圆上的点到直线的距离最小值是. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列前项和为，，. (1)求数列的通项公式及前项和; (2)设，求数列前项和. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）设公差，由条件列出关于的方程组，求解即得数列通项与前项和； （2）求出，由定义法判断数列为等比数列，利用求和公式即得. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由题意，，解得， 则，； （2）由，可知数列为等比数列， 其首项为2，公比为2，故数列的前项和. 17．(本小题满分10分) 在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n＝1,2， ，6）的同学所得成绩，且前5位同学的成绩如下：1,2,3,4,5 编号n 1 2 3 4 5 成绩xn 70 76 72 70 72 （1）求第6位同学的成绩x6，及这6位同学成绩的标准差s； （2）从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间（68,75）中的概率． （注：方差s2＝[（x1－）2＋（x2－）2＋ ＋（xn－）2]，其中为x1，x2， ，xn的平均数） 【答案】（1） s＝7；（2） 【详解】试题分析：(1)根据平均数的计算公式，可直接求解；（2）本题考查古典概型概率求法，关键是 正确求出基本事件总数和所求事件包含基本事件数，要做到不重不漏，例:从5个不同小球中，取出2个小球，有三种取法： ①同时取：10种取法；②依次取，取后不放回：20种取法；③依次取，取后放回：25种取法. 试题解析：(1)∵ ∴ 2分 4分 ∴. (2)从5位同学中随机选取2位同学，共有如下10种不同的取法： {1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}． 7分 选出的2位同学中，恰有1位同学的成绩位于(68，75)的取法共有如下4种： {1，2}，{2，3}，{2，4}，{2，5}．                        10分 故所求概率为. 12分 考点：概率和统计. 18．(本小题满分10分) 已知四棱锥中，，，，，， (1)求证： (2)求直线PC与平面PBD所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明线面垂直，从而得到线线垂直；（2）利用几何法找到线面所成角进而求解或者利用空间向量求解. 【详解】（1）在梯形ABCD中，，，，， 可算得，, 所以,所以， 在中，，，满足，所以， 又平面PBD，平面PBD，且， 所以平面PBD，又因为平面PBD， 所以； （2）由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD， 则平面平面ABCD，取BD中点O，连OP，OC， 因为，所以，而平面ABCD，且平面平面， 平面PBD， 所以就是PC与平面PBD所成的角， 在中，易得， 在中，，，计算可得， 所以， 所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 解法由证明可知，平面PBD，因为平面ABCD， 则平面平面ABCD， 通过计算可得， 建立以，为x轴，y轴的正方向， 以过D与平面ABCD垂直的向量为在z轴的正方向建立如图空间直角坐标系， 显然z轴再平面PBD中且垂直于BD， 则，，，， 所以，，， 设平面PBD的法向量为， 则，即 取， 设直线PC与平面PBD所成角为，则 ，所以求直线PC与平面PBD所成角的正弦值为 19．(本小题满分10分) 已知函数在区间上有最大值2和最小值1. (1)求的值； (2)不等式在上恒成立，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将函数配方，根据抛物线开口方向分类讨论函数单调性，依题意列出方程组，计算即得； （2）将函数式代入，再利用参变分离法，将其转化为求函数的最小值问题即得. 【详解】（1）由已知可得. 当时，在上为增函数，所以，解得； 当时，在上为减函数，所以，解得. 由于，所以. （2）由（1）知， 所以在上恒成立，即， 因为，所以在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时取等号. 所以，即. 即实数的范围为. 20．(本小题满分10分) 已知抛物线C：的焦点与双曲线E：的右焦点重合，双曲线E的渐近线方程为. (1)求抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程. (2)斜率为1且纵截距为的直线l与抛物线C交于A、B两点，O为坐标原点，求的面积 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由双曲线的渐近线方程为，可得，继而得到双曲线的右焦点为，即为抛物线的焦点坐标，可得，即得解； （2）联立直线与抛物线，可得，再由直线过抛物线的焦点，故，三角形的高为O到直线的距离，利用点到直线公式，求解即可. 【详解】（1）因为双曲线E的渐近线方程为. 所以，解得，从而，即， 所以右焦点为，从而，解得， 抛物线C的标准方程和双曲线E的标准方程依次分别为，. （2）    由题意直线，它过抛物线的焦点， 联立抛物线方程得，化简并整理得， 显然，， 所以， 点到直线的距离为， 所以，即的面积为. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 如图所示，在平面四边形中，，    (1)求的值. (2)若为锐角，，求角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理直接可求； （2）由正弦定理求出，再根据为锐角，确定角即可. 【详解】（1）在中，由余弦定理可得 （2）在中，由正弦定理可得，因为为锐角，所以 22．(本小题满分10分) 某公司计划在今年内同时出售变频空调机和智能洗衣机，由于这两种产品的市场需求量非常大，有多少就能销售多少，因此该公司要根据实际情况(如资金、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总利润达到最大．已知对这两种产品有直接限制的因素是资金和劳动力，通过调查，得到关于这两种产品的有关数据如下表： 资金 单位产品所需资金(百元) 空调机 洗衣机 月资金供应量(百元) 成本 30 20 300 劳动力(工资) 5 10 110 单位利润 6 8 试问：怎样确定两种货物的月供应量，才能使总利润达到最大，最大利润是多少？ 【答案】当月供应量为空调机4台，洗衣机9台时，可获最大利润9600元． 【详解】利用线性规划的思想方法解决某些实际问题属于直线方程的一个应用．本题主要考查找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解． 设空调机、洗衣机的月供应量分别是x、y台，总利润是P， 则P=6x+8y， 约束条件为 可行域如图所示 可化为，可看作一组斜率为的直线， 由图知直线y=－x+P过点M时，纵截距最大这时P也取最大值， 由 解得 Pmax=6×4+8×9=96（百元） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$