模拟训练卷（五）《湖南省数学考纲百套卷》第123卷（原卷版+解析版）

编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第123卷，是模拟训练卷（五）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第123卷 模拟训练卷（五） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 2．在数列中，，，，则（    ） A．10 B．1 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题中递推公式分析求解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 3．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，C,D错误； 又因为， 当时，，； 当时，； 当时，，，故A错误，B满足题意； 故选:B. 4．有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作多少个三角形．（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可判断大小. 【详解】由题知，， ， ， 所以. 故选：D 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项； 【详解】对于A，若，则或，A错误； 对于B，若，则或，相交或异面，B错误； 对于C，因为，所以又因为，所以，C正确； 对于D，若，则或两平面相交，D错误； 故选：C. 7．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的判断方法即可求解. 【详解】当两条直线异面时，满足“两条直线没有公共点”，但推不出“两条直线平行”， 又“两条直线平行”可以得出“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件， 故选：B. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 9．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 10．已知函数，对任意实数都有成立，若存在时，使得有解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：由对任意实数都有成立可知函数的对称轴为，则在上函数单调递增，要使得在有解，则 考点：函数的图像，方程的解 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为 ． 【答案】5 【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：． 故答案为：5． 12．已知向量.若三点共线，则 . 【答案】 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的解法及正弦函数的性质，利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 14．定义：区间的长度等于.函数的定义域为，值域为.若区间的长度的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】4 【解析】画出函数的图像.根据函数的值域为，结合区间的长度的最小值，求得的值. 【详解】由题意可作出函数的图像，如图所示. 在区间和区间上的取值范围都是. 因为，所以区间的长度最小，故，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可. 【详解】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最小值为. 故答案为：1 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1)405； (2)5； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 17．(本小题满分10分) 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 (1)求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差； (2)从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率． 【答案】(1)平均数8，方差1.4； (2). 【分析】（1）利用平均数和方差的公式求解；      （2）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为， ；                            方差为； （2）依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，投中9个球的有3人，编号为2，4，10，从中任选2人， 有，共6种，     这2人恰好都是投进9个球的有，共3种，     所以这2人恰好都是投进9个球的概率． 18．(本小题满分10分) 如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 19．(本小题满分10分) 已知函数． (1)求证：函数在R上单调递增； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）定义法判定函数单调性步骤：取值，作差，变形，判号，下结论； （2）变形得到，构造，结合（1）可知函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】（1），， ， 因为在R上单调递增，， 所以， 因为，所以， 故， 故， 故在R上单调递增； （2）， 令， 由（1）知，在R上单调递增，故在R上单调递增， 故， 故，解得， 的解集为， 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）首先判断，即可求出，最后根据及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理可得，所以， 所以， 所以 . 22．(本小题满分10分) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. (1)设投资人用万元、万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形； (2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【答案】(1)不等关系式，不等式组确定的平面区域图形见解析； (2)投资人对甲项目投资4万元，对乙项目投资6万元，可能的盈利最大，最大盈利为7万元． 【分析】（1）由题意列出关于和不等式组，根据二元一次不等式表示的平面区域画出不等式组确定的平面区域； （2）设盈利为（万元），则，利用简单线性规划求目标函数的最优解． 【详解】（1）解：由题意，有，即， 不等式组的平面区域如图所示： （2）解：设盈利为（万元），则， 由（1）可得当直线过点时，纵横距最大，这时也取得最大值， 由，得，，即， 所以， 所以投资人对甲项目投资4万元，对乙项目投资6万元，可能的盈利最大，最大盈利为7万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第123卷，是模拟训练卷（五）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第123卷 模拟训练卷（五） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 2．在数列中，，，，则（    ） A．10 B．1 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据题中递推公式分析求解. 【详解】因为，，， 所以. 故选：D. 3．函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性以及函数值求解. 【详解】函数的定义域为， ，所以函数为偶函数，C,D错误； 又因为， 当时，，； 当时，； 当时，，，故A错误，B满足题意； 故选:B. 4． 有8个点在同一平面内，其中任意三点不共线，从中任选三点为顶点，可以作多少个三角形（    ） A．28 B．42 C．56 D．112 【答案】C 【分析】因选定三点为顶点的三角形只有一个，故是组合问题，列式求解即得. 【详解】因8个点中，任意三点不共线，且选定三点为顶点的三角形只有一个， 故这样的三角形有个. 故选：C. 5．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数和对数函数的性质即可判断大小. 【详解】由题知，， ， ， 所以. 故选：D 6．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】利用空间点线面的位置关系判断各项； 【详解】对于A，若，则或，A错误； 对于B，若，则或，相交或异面，B错误； 对于C，因为，所以又因为，所以，C正确； 对于D，若，则或两平面相交，D错误； 故选：C. 7．“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据充分条件与必要条件的判断方法即可求解. 【详解】当两条直线异面时，满足“两条直线没有公共点”，但推不出“两条直线平行”， 又“两条直线平行”可以得出“两条直线没有公共点”， 所以“两条直线没有公共点”是“两条直线平行”的必要不充分条件， 故选：B. 8．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用二倍角的正弦公式求解即得. 【详解】. 故选：C 9．已知直线：的倾斜角为，则（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】由倾斜角为得直线与轴垂直，从而得系数关系. 【详解】由题意直线倾斜角为，则直线轴， 故方程中，的系数为， 即，解得．此时，直线符合题意. 故选：D． 10．已知函数，对任意实数都有成立，若存在时，使得有解，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】试题分析：由对任意实数都有成立可知函数的对称轴为，则在上函数单调递增，要使得在有解，则 考点：函数的图像，方程的解 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某班有男生25人，女生20人．为了解该班学生的体质健康情况，按性别进行分层，采用分层随机抽样的方法抽取一个容量为9的样本进行调查．若样本按比例分配，则抽取的男生人数为 ． 【答案】5 【分析】利用比例分配的分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由比例分配的分层抽样得：男生应该抽取的人数为：． 故答案为：5． 12．已知向量.若三点共线，则 . 【答案】 【分析】求出的坐标，根据可得. 【详解】因为，所以， 又三点共线，所以， 所以，解得. 故答案为： 13．已知，则 . 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程的解法及正弦函数的性质，利用余弦的二倍角公式即可求解. 【详解】由，得，解得或（舍）， 所以. 故答案为：. 14．定义：区间的长度等于.函数的定义域为，值域为.若区间的长度的最小值为，则实数a的值为 . 【答案】4 【解析】画出函数的图像.根据函数的值域为，结合区间的长度的最小值，求得的值. 【详解】由题意可作出函数的图像，如图所示. 在区间和区间上的取值范围都是. 因为，所以区间的长度最小，故，解得. 故答案为： 【点睛】本小题主要考查对数型函数的图像与性质，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题. 15．已知半径为1的圆经过点，则其圆心到直线距离的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先得出圆心的轨迹圆，再用轨迹圆的圆心到直线的距离减半径即可. 【详解】由题意知，半径为1的圆经过点，所以圆心的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 到直线的距离为， 所以圆心到直线距离的最小值为. 故答案为：1 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，， 求； (2)若，，，求； (3)已知，，求； 【答案】(1)405； (2)5； (3). 【分析】（1）根据给定条件，利用等比数列性质计算即得. （2）（3）利用等比数列通项公式求解即得. 【详解】（1）在等比数列中，，而， 所以. （2）依题意，，则， 所以. （3）依题意，. 17．(本小题满分10分) 团建的目的是增强团队凝聚力和团队融合度，提高团队间熟悉感和协助能力，在紧张的工作中放松，能够更好地完成日常工作．某文化传媒公司团建活动是投篮比赛，其中10名员工的投中个数（每人投10个球）统计表如下： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 投中个数 7 9 8 9 8 10 7 7 6 9 (1)求这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数和方差； (2)从投进9个球和10个球的员工中选2人分享活动感受，求这2人恰好都是投进9个球的员工的概率． 【答案】(1)平均数8，方差1.4； (2). 【分析】（1）利用平均数和方差的公式求解；      （2）利用古典概型的概率求解. 【详解】（1）解：依题意，这10名员工在本次投篮比赛中投中个数的平均数为， ；                            方差为； （2）依题意，这10名员工投中10个球的有1人，编号为6，投中9个球的有3人，编号为2，4，10，从中任选2人， 有，共6种，     这2人恰好都是投进9个球的有，共3种，     所以这2人恰好都是投进9个球的概率． 18．(本小题满分10分) 如图，在正方体中，E是的中点.    (1)求证：平面； (2)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证，再用直线与平面平行的判定定理证明平面； （2）利用等体积法，求三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正方体的棱长是1，E是的中点，所以， 三角形ABC的面积， 三棱锥的体积. 19．(本小题满分10分) 已知函数． (1)求证：函数在R上单调递增； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）定义法判定函数单调性步骤：取值，作差，变形，判号，下结论； （2）变形得到，构造，结合（1）可知函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】（1），， ， 因为在R上单调递增，， 所以， 因为，所以， 故， 故， 故在R上单调递增； （2）， 令， 由（1）知，在R上单调递增，故在R上单调递增， 故， 故，解得， 的解集为， 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的焦距为为双曲线的右焦点，且点到渐近线的距离为4． (1)求双曲线的方程； (2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2)23 【分析】（1）利用点到直线的距离公式列方程得到，根据焦距得到，然后根据得到即可得到双曲线的方程； （2）根据双曲线的定义将的最小值转化为的最小值，然后根据两点之间线段最短求最小值即可. 【详解】（1）的一条渐近线的方程为，即， 点到的距离， 又因为，所以， 所以，所以双曲线的方程为． （2） 记双曲线的左焦点为，则， ， 当三点共线时，最小，且最小值为． 故的最小值为． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 记的内角所对的边分别为，已知. (1)求； (2)若，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理计算可得； （2）首先判断，即可求出，最后根据及两角和的正弦公式计算可得. 【详解】（1）因为， 由余弦定理， 因为，所以. （2）因为，由正弦定理可得，所以， 所以， 所以 . 22．(本小题满分10分) 制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元. (1)设投资人用万元、万元分别投资甲、乙两个项目，列出满足题意的不等关系式，并画出不等式组确定的平面区域图形； (2)求投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？ 【答案】(1)不等关系式不等式组确定的平面区域图形见解析； (2)投资人对甲项目投资4万元，对乙项目投资6万元，可能的盈利最大，最大盈利为7万元． 【分析】（1）由题意列出关于和不等式组，根据二元一次不等式表示的平面区域画出不等式组确定的平面区域； （2）设盈利为（万元），则，利用简单线性规划求目标函数的最优解． 【详解】（1）解：由题意，有，即 不等式组的平面区域如图所示： （2）解：设盈利为（万元），则， 由（1）可得当直线过点时，纵横距最大，这时也取得最大值， 由，得，，即， 所以， 所以投资人对甲项目投资4万元，对乙项目投资6万元，可能的盈利最大，最大盈利为7万元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$