模拟训练卷（三）《湖南省数学考纲百套卷》第121卷（原卷版+解析版）

编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第121卷，是模拟训练卷（三）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第121卷 模拟训练卷（三） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 3．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   4．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．“”是“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 8．求函数的最大值（    ） A． B． C． D． 9．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 10．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为 ． 12．已知向量，，则 ． 13．计算： . 14．若函数（且）恒过定点，则的值为 . 15．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和. 17．(本小题满分10分) “中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲 × 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75 乙 × 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73 据表1中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下表2： 数字特征 均值（单位：秒）方差 方差 甲 85 50.2 乙 84 54 （1）在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率； （2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由. 18．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线和所成的角 19．(本小题满分10分) 当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且. (1)求角A； (2)若，，求c. 22．(本小题满分10分) 某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示： （1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域； （2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第121卷，是模拟训练卷（三）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第121卷 模拟训练卷（三） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出交集及并集再分别判断各个选项即可. 【详解】，A、B错误； ，C正确； 不正确，D错误. 故选：C. 2．已知数列满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】由递推数列的性质，代值求解即可. 【详解】 ， 故选：B. 3．函数的图像大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】先判断出函数的奇偶性，再判断出函数为下凸函数，得到答案. 【详解】的定义域为R，且， 故为偶函数，排除AB， 因为，故函数在上增长速度越来越快，为下凸函数，C正确，D错误. 故选：C 4．五名同学排队，甲、乙两名同学必须排在一起，排队方案共有（    ） A．24种 B．36种 C．48种 D．120种 【答案】C 【分析】运用相邻元素“捆绑法”易得. 【详解】运用相邻元素“捆绑法”，将甲和乙看成一个元素与其他三个同学全排，有种排法， 再对甲乙“松绑”，有种排法， 由分步乘法计数原理可得，排队方案共有种. 故选：C. 5．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合对数函数单调性分析判断. 【详解】因为在定义域内单调递增， 则，所以. 故选：D. 6．已知直线和平面，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由直线与平面的位置关系即可逐一判断各个选项，进而得解. 【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确； 对于D，若，则或相交或异面，故D错误. 故选：C. 7．“”是“”成立的（    ） A．充要条件 B．充分非必要条件 C．必要非充分条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【分析】解不等式求出，再根据充要条件的定义判断可得答案. 【详解】由得，由得， 所以是成立的充要条件. 故选：A. 8．求函数的最大值（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用两角差的余弦公式、辅助角公式化简，从而求得的最大值. 【详解】 所以，当时取得最大值为. 故选：A 9．已知直线过点，且在轴上的截距为在轴上的截距的2倍，则直线的方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设与轴交于，然后分类讨论：，则直线的斜率可求，结合所过的点直线方程可知. 【详解】由题意设与轴的交点为，则其与轴的交点为， 当时，过原点，斜率为，故方程为； 当时，斜率为，故方程为，即； 故选：C. 10．若函数是定义域为，且对，且，有，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】读懂题意，能把变形为，得出为单调递增函数，再利用函数的单调性求解． 【详解】函数是定义域为，且对，且，有， 即， 为单调递增函数， ， 整理得到：， 为单调递增函数， 解得：， 故选：C． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．已知某工厂生产三种型号的零件，这三种型号的零件周产量之比为，现在用分层抽样的方法从某周生产的零件中抽取若干个进行质量检查，若抽取型号零件15个，则这三种型号的零件共抽取的个数为 ． 【答案】50 【分析】直接利用分层抽样的定义求解即可 【详解】设这三种型号的零件共抽取的个数为个， 因为这三种型号的零件周产量之比为，且抽取型号零件15个， 所以，解得. 故答案为：50. 12．已知向量，，则 ． 【答案】 【分析】根据向量坐标的加法运算和数量积运算求解. 【详解】由题意，， 则. 故答案为： 13．计算： . 【答案】 【分析】根据二倍角余弦公式和商关系化简解出结果. 【详解】， 故答案为：. 14．若函数（且）恒过定点，则的值为 . 【答案】 【分析】根据对数函数的图象恒过定点可得出关于、的方程组，可得出这两个未知数的值，进而可求得的值. 【详解】由于对数函数的图象恒过定点，由题意可得，解得， 因此，. 故答案为：. 【点睛】本题考查对数型函数过定点问题，考查计算能力，属于基础题. 15．已知点，点Q是直线上：的动点，则的最小值为 . 【答案】 【分析】的最小值即为点到直线的距离，再根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】的最小值即为点到直线的距离， 故的最小值为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差中项可得，进而求出公差，由此即可求出数列的通项公式； （2）由题意可知是首项为，公比为的等比数列，再根据等比数列的前项和公式，即可求出结果. 【详解】（1）解：设等差数列的公差为， 因为， 所以，即， 所以, 所以，即； （2）解：由（1）可知，， 所以， 又，所以是首项为，公比为的等比数列， 所以的前项和. 17．(本小题满分10分) “中国大能手”是央视推出的一档大型职业技能挑战赛类节目，旨在通过该节目，在全社会传播和弘扬“劳动光荣、技能宝贵、创造伟大”的时代风尚.某公司准备派出选手代表公司参加“中国大能手”职业技能挑战赛.经过层层选拔，最后集中在甲、乙两位选手在一项关键技能的区分上，选手完成该项挑战的时间越少越好.已知这两位选手在15次挑战训练中，完成该项关键技能挑战所用的时间（单位：秒）及挑战失败（用“×”表示）的情况如下表1： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 甲 × 96 93 × 92 × 90 86 × × 83 80 78 77 75 乙 × 95 × 93 × 92 × 88 83 × 82 80 80 74 73 据表1中甲、乙两选手完成该项关键技能挑战成功所用时间的数据，应用统计软件得下表2： 数字特征 均值（单位：秒）方差 方差 甲 85 50.2 乙 84 54 （1）在表1中，从选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩中，任取2个，求这2个成绩都低于80秒的概率； （2）若该公司只有一个参赛名额，以该关键技能挑战成绩为标准，根据以上信息，判断哪位选手代表公司参加职业技能挑战赛更合适？请说明你的理由. 【答案】（1） ；（2）选手乙，见解析. 【分析】（1）用列举法求出基本事件数，求出所求的概率值； （2）根据甲、乙选手的均值和方差，选出均值高且方差小的选手参赛更合适． 【详解】（1）选手甲完成挑战用时低于90秒的成绩共有6个， 其中低于80秒的有3个，分别记为，，，其余的3个分别记为，，， 从中任取2个的所有取法有： ，，，，， ，，，， ，，, ， ， 共种，其中2个成绩都低于80秒的有3种， 所以，所取的2个成绩都低于80秒的概率. （2）甲、乙两位选手完成关键技能挑战成功的次数都为10次，失败次数都为5次，所以，只需要比较他们完成关键技能挑战成功的情况即可， 其中，（秒），（秒）， ，， 选手乙代表公司参加技能挑战赛比较合适，因为在相同次数的挑战练习中，两位选手在关键技能挑战的完成次数和失败次数都分别相同，但，乙选手用时更短，从表格中数据整体看，他们的用时逐步减少，由，这说明乙选手进步幅度更大，成绩提升趋势更好. 【点睛】本题考查了列举法求古典概型的概率问题，也考查了样本的数字特征应用问题，属于基础题． 18．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，是的中点. （1）求三棱锥的体积； （2）求异面直线和所成的角 【答案】（1）；（2）tanθ= 【分析】（1）利用三棱锥的体积计算公式即可得出； （2）由于，可得或其补角为异面直线和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的边角关系即可得出 【详解】 （1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故 （2），或其补角为异面直线和所成的角， 又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，， ， 【点睛】本题考查三棱锥体积公式的计算，异面直线所成的夹角，属于基础题 19．(本小题满分10分) 当时，函数，图象经过点；当时，函数，且图象经过点． (1)求的解析式； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意将点的坐标代入相应解析式中，从而得到关于、的方程组，解得、，即可求出函数解析式； （2）根据分段函数解析式计算可得. 【详解】（1）依题意可得，解得， 所以. （2）因为， 所以，， 所以. 20．(本小题满分10分) 已知双曲线的上、下焦点分别是，P为双曲线C上支上的动点，． (1)求双曲线C的方程； (2)若，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线基本量关系求解即可； （2）设，再根据余弦定理求解即可. 【详解】（1），得，，所以双曲线． （2）设，则， 在中，由余弦定理得， ，解得或（舍）， 故，故． 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 已知a，b，c分别为内角A、B、C的对边，且. (1)求角A； (2)若，，求c. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后化简可得角A； （2）利用余弦定理可求出 【详解】（1）因为，所以由正弦定理得， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以； （2）在中，，，， 所以由余弦定理得， ，整理得， 解得（舍去），或. 22．(本小题满分10分) 某企业生产甲、乙两种产品均需用两种原料.已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示： （1）设该企业每天生产甲、乙两种产品分别为吨，试写出关于的线性约束条件并画出可行域； （2）如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，试求该企业每天可获得的最大利润. 【答案】（1）见解析; （2）18. 【详解】（1）由题意可列，其表示如图阴影部分区域： （2）设该企业每天可获得的利润为万元，则. 当直线过点时，取得最大值， 所以. 即该企业每天可获得的最大利润18万元. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$