模拟训练卷（六）《湖南省数学考纲百套卷》第124卷（原卷版+解析版）

编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第124卷，是模拟训练卷（六）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第124卷 模拟训练卷（六） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据交集的定义即可求解. 【详解】，，则=, 故选：B 2．已知数列满足:．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用递推式直接求解即可. 【详解】. 故选：A. 3．函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 【答案】C 【分析】判断函数的奇偶性，即可得解. 【详解】因为定义域为， 且， 所以为奇函数，函数图象关于原点对称. 故选：C 4．某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（    ） A．240种 B．360种 C．720种 D．2002种 【答案】B 【分析】先在5名女志愿者中选3名女志愿者，再在9名男志愿者中选2名男志愿者，根据分步乘法计数原理即可得到结果. 【详解】根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种. 故选：B. 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用单调性可判断数的范围，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 因为，所以， 故. 故选：C. 6．下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 【答案】C 【分析】根据点线面位置关系及平面的基本性质推理判断各个选项； 【详解】对于A，若 ，则 或 故A错误. 对于B，若 ，则 或a与b异面，故B错误. 对于C，若 ，则a上的所有点都是a与平面α的公共点，故a与平面α有无数个公共点，故C正确. 对于D，若，则 或a与平面α相交，若a与平面α相交，则a与α有且只有一个公共点，故D错误. 故选: C. 7．下列条件中，使成立的充要条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义及指数函数的性质逐项分析即得. 【详解】对A，取，则，错误； 对B，取，则，错误； 对C，，正确； 对D，取，则无意义，错误. 故选：C． 8．函数最大值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．7 【答案】A 【分析】根据正弦函数的图象与性质直接求解. 【详解】时，， 所以， 所以函数最大值为2. 故选:A. 9．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 【答案】B 【分析】利用倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】设的倾斜角为，由， 即，解得或， 因为，所以，所以， 易得的倾斜角为锐角，所以的斜率为3． 故选:B. 10．设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过分析函数的单调性结合，即可得出不等式的解集. 【详解】由题意， 在中，函数是定义在上的偶函数，且在内是增函数， ∴，函数在单调递减， ∵， ∴当和时，， 故选：B. 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为 ． 【答案】2800 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到答案. 【详解】样本中教师人数为15人，学生人数为， 该校学生人数为. 故答案为：. 12．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为 . 【答案】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为， 又，所以，解得， 因为，所以在上的投影向量为. 故答案为： 13．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，以轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为，的坐标是，若，则 【答案】 【分析】根据三角函数的定义知，待求的用二倍角公式展开即可. 【详解】由角的顶点在坐标原点，以轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为， 因为，由三角函数的定义，可得， 所以. 故答案为: 14．已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可. 【详解】因为偶函数在区间上是严格减函数， 所以在上单调递增， 所以不等式，即，所以，即， 解得， 即的取值范围是. 故答案为： 15．点到直线的距离最大值是 ． 【答案】 【分析】根据直线过定点，得到，进而得到答案. 【详解】由题意得，直线过定点，则， 如图所示，当直线与直线垂直时， 此时点到直线的距离最大值，且最大值为. 故答案为：. 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）先设等差数列的公差为，由题中条件，列出方程求出首项和公差，即可得出通项公式； （2）根据（1）的结果，得到，再由等比数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得，所以； （2）由（1）可得，，即数列为等比数列， 所以数列的前n项和. 17．(本小题满分10分) 为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、中位数、均值. 【答案】（1）见解析；（2）众数75和85、中位数72、均值70.5 【分析】(1)利用所有小矩形的面积之和为1，求得分数在的频率，进而可求出对应小矩形的高，即可补全频率分布直方图； (2)众数即是出现次数最多的数，在频率分布直方图中即是频率最高的组的中间值；中位数两边的小矩形面积之和相等，可确定中位数；每组的中间值乘以该组的频率，再求和即可求出均值. 【详解】（1）设分数在内的频率为，根据频率分布直方图，则有，可得， 分数在内的频率为0.25. 所以频率分布直方图为： （2）由图知，众数为：75和85 因为前3组的频率和为0.45，前4组的频率和为0.7，所以中位数在70和80之间，设中位数为，则，解得. 中位数为72. 均值为：. 【点睛】本题主要考查频率分布直方图，注意小矩形的面积即为该组的频率，即可解题，属于基础题型. 18．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，，底面． （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的正切值． 【答案】（1）12；（2）tan∠PBC=. 【分析】（1）直接利用锥的体积公式求四棱锥的体积. （2）平移直线，找到异面直线与所成角，并计算角的大小. 【详解】解：（1）在中,,则， 则． （2）由，所以即为异面直线与所成角（或其补角）， 由，，且，得面，又面， 所以，在中，tan∠PBC= 【点睛】本题考查了棱锥的体积公式和异面直线所成的角,属于容易题. 19．(本小题满分10分) 已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 【答案】(1)4，4； (2)或0 【分析】（1）根据分段函数解析式直接计算可得； （2）分，，三种情况求解即可. 【详解】（1）由题知， 因为， 所以. （2）当时，由得； 当时，由得； 当时，由得（舍去）. 综上，或. 20．(本小题满分10分) 设双曲线：，点，是双曲线的左，右顶点，点在双曲线上. (1)若，点，求双曲线C的方程； (2)当P异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的离心率. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由实轴长、点在双曲线上列方程求双曲线参数，即可得双曲线方程； （2）设点，根据点在双曲线上有，再由得到双曲线参数的齐次方程，进而求离心率. 【详解】（1）由题意，解得，故双曲线的方程为. （2）设点，则，即，    又，，则有， ∴，从而. ∴双曲线的离心率为. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在锐角中内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由2倍角公式统一角度与函数名称后解方程即可； （2）先由余弦定理求得，再用正弦定理求解. 【详解】（1） 所以或者（舍去），又，所以； （2）由余弦定理，所以（时不是锐角三角形，舍去）. 所以，可得. 22．(本小题满分10分) 某运输公司计划装运甲乙两种货物（单位：箱），已知两种货物的体积、重量、可获利润和装载能力限制数据如表所示，甲乙两种货物各装运多少箱可使公司获利最大？最大利润为多少？ 货物 体积/箱 重量/箱 利润/箱 甲 2（吨） 20（百元） 乙 5（吨） 10（百元） 装载能力限制 13（吨） 【答案】甲2箱，乙1箱，获利50百元. 【分析】设甲、乙两种货物应各托运的箱数为，，列出约束条件，目标函数，利用线性规划求解即可． 【详解】解：设甲、乙两种货物应各托运的箱数为，，则， 目标函数，画出可行域如图： 由图可知，当直线平移经过点时，取得最大值，且， 答：当托运2箱甲货物1箱乙货物时，可使获利最大，最大利润为50百元． 【点睛】本题主要考查线性规划在实际问题中的应用，列出约束条件，画出可行域是解题的关键，考查数形结合以及计算能力，属于基础题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 编写说明：《湖南省数学考纲百套卷》 依据湖南省《数学考试基本要求及考试大纲》编写。本套试卷由三个部分128份试卷组成。第一部分是基础模块和拓展模块划分为11章54节，编写了108份知识点训练卷，第二部分是根据两个职业模块的考试内容及要求，编写了10份职业能力训练卷，第三部分参考湖南省近几年职教高考真题，编写了10份高考模拟训练卷。 本试卷是《湖南省数学考纲百套卷》的第124卷，是模拟训练卷（六）。 《湖南省数学考纲百套卷》 第124卷 模拟训练卷（六） 本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分。时量120分钟，满分120分。 班级 姓名 学号 成绩_______ 一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合，，则=（    ） A． B． C． D． 2．已知数列满足:．若，则（   ） A． B． C． D． 3．函数的图像关于（    ） A．轴对称 B．直线对称 C．坐标原点对称 D．直线对称 4．某地下雪导致路面积雪，现安排9名男志愿者，5名女志愿者参与扫雪和铲雪工作，其中3名女志愿者，2名男志愿者参与扫雪工作，其余志愿者参与铲雪工作，则不同的安排方法共有（    ） A．240种 B．360种 C．720种 D．2002种 5．设，，，则（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中，正确的命题是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则与有无数个公共点 D．若，则与没有公共点 7．下列条件中，使成立的充要条件是（） A． B． C． D． 8．函数最大值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．7 9．已知直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，且的斜率为，则的斜率为（    ） A．3或 B．3 C．或 D． 10．设是定义在上的偶函数，且在内是增函数，又，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共5小题，每小题4分，共20分) 11．某学校师生共有3000人，现用分层抽样方法抽取一个容量为225的样本，已知样本中教师人数为15人，则该校学生人数为 ． 12．已知向量，若，则在上的投影向量的坐标为 . 13．在平面直角坐标系中，角的顶点在坐标原点，以轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为，的坐标是，若，则 14．已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是 . 15．点到直线的距离最大值是 ． 三、解答题(本大题共7小题，其中第21,22小题为选做题．满分60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分10分) 已知等差数列中，，. （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和. 17．(本小题满分10分) 为了了解我市参加2018年全国高中数学联赛的学生考试结果情况，从中选取60名同学将其成绩（百分制，均为正数）分成六组后，得到部分频率分布直方图（如图），观察图形，回答下列问题： （1）求分数在内的频率，并补全这个频率分布直方图； （2）根据频率分布直方图，估计本次考试成绩的众数、中位数、均值. 18．(本小题满分10分) 如图，在四棱锥中，底面为正方形，边长为3，，底面． （1）求四棱锥的体积； （2）求异面直线与所成角的正切值. 19．(本小题满分10分) 已知函数. (1)求的值； (2)若，求的值. 20．(本小题满分10分) 设双曲线：，点，是双曲线的左，右顶点，点在双曲线上. (1)若，点，求双曲线C的方程； (2)当P异于点，时，直线与的斜率之积为2，求双曲线的离心率. 选做题：请考生在第21,22题中选择一题作答．如果两题都做，则按所做的第21题计分．作答时，请写清题号． 21．(本小题满分10分) 在锐角中内角，，的对边分别为，，，且. (1)求角； (2)若，，求的值. 22．(本小题满分10分) 某运输公司计划装运甲乙两种货物（单位：箱），已知两种货物的体积、重量、可获利润和装载能力限制数据如表所示，甲乙两种货物各装运多少箱可使公司获利最大？最大利润为多少？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$