《第1章 特殊平行四边形》 章末检测卷-（题型·技巧培优系列）2024-2025学年九年级数学上册同步精讲精练（北师大版）

（北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2024春•旬阳市期末）如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 2．（2024春•丰台区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB⊥AD B．∠BAD＝60° C．AD＝EF D．CD＝2AD 3．（2023秋•太原期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 4．（2024春•文登区期末）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB＝OC＝OD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 5．（2024春•来宾期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 6．（2024春•巴中期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　） A．1 B．1.2 C．2.4 D．4.8 7．（2024春•崇左期末）如图，P为线段AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、PBEF，若∠CBE＝28°，则∠AFP的度数为（　　） A．56° B．62° C．73° D．76° 8．（2024春•泰兴市月考）点E是长方形ABCD内任意一点，连接AE、BE、CE、DE把长方形分成4个三角形，△ABE、△BCE、△CDE、△ADE的面积分别记为S1、S2、S3、S4.已知长方形的面积，则一定可求出的值是（　　） A．S1 B．S1+S2 C．S1+S2+S3 D．S1+S3 9．（2024春•海安市期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 10．（2024春•龙沙区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．（2024•宝应县三模）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 12．（2024春•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的面积为48，顶点A（﹣6，0），则顶点B的坐标为 　 　． 13．（2024春•道里区期末）如图，AC为矩形ABCD的一条对角线，点O为AC的中点，∠BAD的平分线交BC于点E，连接OE，若∠ACD＝60°，则∠AEO为 　 　度． 14．（2024春•虞城县期末）如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为 　 　． 15．（2024•碑林区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，△FCE与△FGE关于EF对称，连接AG．当点G恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，CF的长为 　 　． 16．（2024•鼓楼区二模）如图，正方形ABCD边长为12，E为BC上一点，CE＝4．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE＝2QE．若PD和AQ交于点F，连接BF，则BF的最小值为 　 　． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（2024春•碑林区校级期末）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线与且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）当AC＝12，EF＝16，EC＝10时．则AB的长为多少？ 18．（8分）（2024春•武汉期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使DF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，请添加一个条件：　 　使四边形AECF为菱形（不需要说明理由）． 19．（8分）（2024•肇源县三模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝20，EF＝8，求OE和BG的长． 20．（8分）（2024春•同安区期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，点F在DA的延长线上，且∠AFE＝∠ABE． （1）求证：EF＝EB； （2）用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明． 21．（9分）（2024春•顺义区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE．若AC＝8，BC＝5，求CE的长． 22．（9分）（2024春•大连期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF． （1）求证：四边形ABEF是矩形； （2）连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为48，求OE的长度． 23．（10分）（2023春•绥棱县校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长； （3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 24．（10分）（2024•庐阳区校级三模）如图1，正方形ABCD中，E为对角线上一点． （1）连接DE，BE．求证：BE＝DE； （2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，FE交AB于点G． ①求证：BF＝FG； ②当BE＝BF时，求证：． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）九年级上册数学《第1章 特殊的平行四边形》 章 末 检 测 卷 时间：120分钟 试卷满分：120分 一、选择题（每小题3分，共10个小题，共30分） 1．（2024春•旬阳市期末）如图，在菱形ABCD中，∠1＝25°，则∠B的度数为（　　） A．110° B．120° C．130° D．140° 【分析】根据菱形的对角线平分一组对角求出∠BAD＝2∠1＝50°，再由平行线的性质即可得到答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠1＝25°， ∴∠BAD＝2∠1＝50°，AD∥BC， ∴∠B＝180°﹣∠BAD＝130°， 故选：C． 【点评】本题主要考查了菱形的性质，熟知菱形的性质是解题的关键． 2．（2024春•丰台区期末）如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接EF．如果只添加一个条件即可证明四边形AEFD是菱形，那么这个条件可以是（　　） A．AB⊥AD B．∠BAD＝60° C．AD＝EF D．CD＝2AD 【分析】先证四边形AEFD是平行四边形，由CD＝2AD，CD＝2DF，可得DF＝AD，可判定四边形AEFD是菱形． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC， ∵E，F分别是AB，CD的中点， ∴DFCD，AEAB， ∴DF＝AE， ∴四边形AEFD是平行四边形， 当CD＝2AD时，则AD＝DF， ∴四边形AEFD是菱形， 故选：D． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 3．（2023秋•太原期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，点E在边BC上，且BE＝1，若EA平分∠BED，则AD的长是（　　） A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 【分析】证出AD＝DE，设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1，由勾股定理可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，AB＝3， ∴∠C＝90°，AD＝BC，AB＝DC＝3，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠AEB， ∵EA平分∠BED， ∴∠AEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠DAE， ∴AD＝DE， 设AD＝BC＝x，则CE＝x﹣1， ∵CE2+CD2＝DE2， ∴（x﹣1）2+32＝x2， ∴x＝5， ∴AD＝5， 故选：B． 【点评】本题考查矩形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的性质、勾股定理，解答本题的关键是熟练掌握以上知识． 4．（2024春•文登区期末）如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则下列结论正确的是（　　） A．当AB＝CD，AD∥BC时，四边形ABCD是平行四边形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当OA＝OB＝OC＝OD时，四边形ABCD是矩形 D．当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形ABCD是正方形 【分析】根据平行四边形的性质和判定、菱形的判定、矩形的性质、正方形的判定逐项判断即可． 【解答】解：A、当AB＝CD，AD∥BC时，四边形可能是等腰梯形，该选项错误，不符合题意； B、当四边形ABCD是平行四边形且AC⊥BD时，四边形是菱形，该选项说法错误，不符合题意； C、若四边形的对角线相等且相互平分，则为矩形，该选项说法正确，符合题意； D、当AC＝BD，AC⊥BD时，四边形不一定是正方形，选项说法错误，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定、矩形的性质、正方形的判定等知识点，熟练运用相关知识成为解题的关键． 5．（2024春•来宾期末）如图所示，丽丽家有一个菱形中国结装饰，对角线AC，BD相交于点O，测得AB＝10cm，AC＝12cm，过点A作AH⊥BC于点H，则AH的长为（　　） A．9.6cm B．10.8cm C．12cm D．14cm 【分析】根据菱形的性质得出∠AOB＝90°，，BC＝AB＝10cm，再根据勾股定理即可得出BD＝16cm，然后再利用三角形面积公式即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝10cm， ∴AC⊥BD，，，BC＝AB＝10cm，AC＝12cm， ∴∠AOB＝90°，， 在Rt△AOB中，， ∴BD＝2OB＝16cm， ∵， ∴， ∴AH＝9.6cm， 故答案为：A． 【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键． 6．（2024春•巴中期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF长度的最小值是（　　） A．1 B．1.2 C．2.4 D．4.8 【分析】连接MC，根据矩形的性质可得MC＝EF，则，当CM⊥AB时，CM取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得最小值． 【解答】解：连接MC， ∵∠ACB＝90°，ME⊥AC，MF⊥BC， ∴四边形MECF是矩形， ∴MC＝EF， ∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4 ∴， ∵点P是EF的中点，则， ∴当CM⊥AB时，CM取得最小值， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点评】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将PF转化为是解题的关键． 7．（2024春•崇左期末）如图，P为线段AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、PBEF，若∠CBE＝28°，则∠AFP的度数为（　　） A．56° B．62° C．73° D．76° 【分析】根据正方形的性质先表示出∠CBP的度数，然后利用“SAS”证明△APF≌△CPB，可得∠AFP＝∠CBP，从而求得答案． 【解答】解：∵四边形PBEF为正方形， ∴∠PBE＝90°， ∵∠CBE＝28°， ∴∠CBP＝90°﹣28°＝62°， ∵四边形APCD、PBEF是正方形， ∴AP＝CP，∠APF＝∠CPB＝90°，PF＝PB， 在△APF和△CPB中，， ∴△APF≌△CPB（SAS）， ∴∠AFP＝∠CBP＝62°，故B正确． 故选：B． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质．将四边形的问题转化为三角形的问题是解题的关键． 8．（2024春•泰兴市月考）点E是长方形ABCD内任意一点，连接AE、BE、CE、DE把长方形分成4个三角形，△ABE、△BCE、△CDE、△ADE的面积分别记为S1、S2、S3、S4.已知长方形的面积，则一定可求出的值是（　　） A．S1 B．S1+S2 C．S1+S2+S3 D．S1+S3 【分析】设△ABE边AB的高为 h1，△BCE边BC的高为h2，△CDE边CD的高为h3，△ADE边AD的高为 h4，根据长方形的性质可得AB＝CD，AD＝BC，h1+h3＝BC，h2+h4＝AB 再分别表示出 ，，，，逐一判断即可． 【解答】解：设△ABE边AB的高为h1，△BCE边BC 的高为 h2，△CDE边CD的高为 h3，△ADE边AD的高为 h4， 长方形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC， ∴h1+h3＝BC，h2+h4＝AB， ∴，，，， ∵已知长方形的面积，即AB•BC已知， ∴S1不可求，故A选项不符合题意； 不可求，故B选项不符合题意； 不可求，故C选项不符合题意； 可求，故D选项符合题意； 故选：D． 【点评】此题考查了矩形的性质，三角形的面积．注意掌握 数形结合思想的应用． 9．（2024春•海安市期末）如图，点E，F，G，H分别是正方形ABCD四条边上的点，EF，GH相交于点O，且OA＝4，EF⊥AB，GH⊥BC，BE＝BH，则四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为（　　） A．4 B． C．8 D．16 【分析】先证四边形BEOH与四边形DFOG为正方形，再根据勾股定理即可求出它们的面积之和． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AD∥BC，AB∥CD，AD＝CD， ∵EF⊥AB，GH⊥BC， ∴∠AEF＝∠BEF＝90°，∠BHO＝∠CHO＝90°， ∴∠B＝∠BEO＝∠BHO＝90°， ∴四边形BEOH是矩形， ∵BE＝BH， ∴四边形BEOH是正方形， ∵∠BAC＝∠B＝∠BHO＝90°， ∴四边形ABHG是矩形， ∴AG＝BH， ∵AD∥BC，GH⊥BC， ∴GH⊥AD， ∴∠DGO＝∠AGO＝90°， ∵AB∥CD，EF⊥AB， ∴EF⊥CD， ∴∠DFO＝∠CFO＝90°， ∴∠DGO＝∠DFO＝∠D＝90°， ∴四边形DFOG是矩形， ∵∠B＝∠BEO＝∠C＝90°， ∴四边形BEFC是矩形， ∴CF＝BE， ∴AG＝CF， ∵AD＝CD， ∴DG＝DF， ∴四边形DFOG是正方形， ∴S正方形BEOH+S正方形DFOG＝BH2+OG2＝AG2+OG2， 在Rt△AOG中，由勾股定理得，OA2＝AG2+OG2＝42＝16， ∴四边形BEOH与四边形DFOG的面积之和为16， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 10．（2024春•龙沙区期末）如图，菱形ABCD中，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，E为CD延长线上的一点，且DE＝CD，连接BE分别交AC，AD于点F，G，连接OG．则下列结论：①；②∠FOG＝30°；③S四边形ODEG＝S四边形ABOG；④由点A，B，D，E构成的四边形是菱形．其中正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【分析】由“AAS”可证△ABG≌△DEG，可得AG＝DG，由三角形中位线定理可得OGCDAB，OG∥CD，可得∠FOG＝∠BAC＝30°，故①和②正确；由菱形的判定可证四边形ABDE是菱形，故④正确；由面积和差关系可证③正确，即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝DA，AB∥CD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∠BAC＝∠CAD＝30°， ∴∠BAG＝∠EDG，△ABO≌△BCO≌△CDO≌△AOD， ∵CD＝DE， ∴AB＝DE， 在△ABG和△DEG中， ， ∴△ABG≌△DEG（AAS）， ∴AG＝DG， ∴OG是△ACD的中位线， ∴OGCDAB，OG∥CD， ∴OG∥AB， ∴∠FOG＝∠BAC＝30°， ∴①和②正确； ∵AB∥CE，AB＝DE， ∴四边形ABDE是平行四边形， ∵∠BCD＝∠BAD＝60°， ∴△ABD、△BCD是等边三角形， ∴AB＝BD＝AD，∠ODC＝60°， ∴OD＝AG，四边形ABDE是菱形， ∴④正确； ∵四边形ABDE是菱形， ∴S△ABD＝S△BDES菱形ABDE， ∵OB＝OD， ∴S△BOG＝S△ODG， ∴S四边形ODEG＝S四边形ABOG； ∴③正确； 故选：A． 【点评】本题考查了菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，三角形中位线定理，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共6个小题，共18分） 11．（2024•宝应县三模）如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解． 【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点， ∴BO＝2MN＝6． ∵四边形ABCD是矩形， ∴BD＝2BO＝12． 故答案为12． 【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形中位线的定理，解题的关键是找到线段间的倍分关系． 12．（2024春•桓台县期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的面积为48，顶点A（﹣6，0），则顶点B的坐标为 　 　． 【分析】根据菱形ABCD的面积为48，求出BD＝8即可求解． 【解答】解：由题意得， ∵A（﹣6，0），四边形ABCD为菱形， ∴AC＝12， ∴BD＝8， ∴顶点B的坐标为（0，﹣4）， 故答案为：（0，﹣4）． 【点评】本题考查了坐标与图形，菱形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 13．（2024春•道里区期末）如图，AC为矩形ABCD的一条对角线，点O为AC的中点，∠BAD的平分线交BC于点E，连接OE，若∠ACD＝60°，则∠AEO为 　 　度． 【分析】已知EA平分∠BAD，即∠BAE＝45°；可得出的条件是△AOB为等边三角形，即AB＝BO；而∠BAE＝45°，可知△ABE是等腰直角三角形，则BO＝BE＝AB；等腰△BOE中，易求得∠OBE＝30°，根据三角形内角和定理，可求出∠BEO的度数，即可求出∠AEO． 【解答】解：连接BD， ∵四边形ABCD是矩形，EA平分∠BAD， ∴∠BAE＝45°； ∴△ABE是等腰直角三角形， ∴AB＝BE； ∴∠BAE＝∠AEB＝45°， ∵AB∥CD，∠ACD＝60°， ∴∠BAC＝∠ACD＝60°， ∴∠OAE＝15°， 又∵点O为AC的中点， ∴OA＝OB， ∴△BAO是等边三角形，得AB＝BO； ∴BO＝BE； ∵∠OBC＝90°﹣∠ABO＝30°； ∴∠BOE＝∠BEO＝（180°﹣30°）÷2＝75°， ∴∠AEO＝75°﹣45°＝30°． 故答案为：30． 【点评】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识．能够看出△BOE是等腰三角形是解答此题的关键． 14．（2024春•虞城县期末）如图，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线的交点重合放置．若正方形A的面积为4，则阴影部分面积为 　 　． 【分析】根据正方形的性质可得∠DOE＝∠MON＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°，再利用等量代换可得∠COD＝∠FOE，从而可证△COD≌△FOE（ASA），可得S△COD＝S△FOE，再由S阴影＝S△DOE求解即可． 【解答】解：如图，∵四边形A、B是正方形， ∴∠DOE＝∠MON＝90°，OD＝OE，∠CDO＝∠FEO＝45°， ∵∠COD+∠DOF＝90°，∠FOE+∠DOF＝90°， ∴∠COD＝∠FOE， 在△COD和△FOE中， ， ∴△COD≌△FOE（ASA）， ∴S△COD＝S△FOE， ∴S阴影＝S△COD+S△DOF＝S△DOF+S△FOE＝S△DOE， ∵SA＝4， ∴， 故答案为：1． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 15．（2024•碑林区校级一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，点E是边CD的中点，点F是边BC上的一个动点，△FCE与△FGE关于EF对称，连接AG．当点G恰好落在矩形ABCD的对称轴上时，CF的长为 　 　． 【分析】由轴对称的性质可得EG＝EC＝2，CF＝FG，∠C＝∠EGF＝90°，则G在以E为圆心，2为半径的圆上运动，通过证明四边形GECF是正方形，可得CF＝EC＝2． 【解答】解：如图，画出矩形ABCD的两条对称轴EH，MN， ∵点E是边CD的中点， ∴EC＝DE＝2， ∵△FCE与△FGE关于EF对称， ∴EG＝EC＝2，CF＝FG，∠C＝∠EGF＝90°， ∴G在以E为圆心，2为半径的圆上运动， ∵点G恰好落在矩形ABCD的对称轴上，且点E到MN的距离为4， ∴点G只能在EH上， ∴∠GEC＝90°， ∴四边形GECF是矩形， 又∵EC＝EG， ∴四边形GECF是正方形， ∴CF＝EC＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，正方形的判定等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 16．（2024•鼓楼区二模）如图，正方形ABCD边长为12，E为BC上一点，CE＝4．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE＝2QE．若PD和AQ交于点F，连接BF，则BF的最小值为 　 　． 【分析】由题干条件可以得出点F的运动轨迹是线段EO，点到直线最短距离是垂线段，所以作BN⊥EO于点N，求BN长度即可． 【解答】解：如图，连接AC、BD交于点O，连接EO， 当点P、Q两点与点E重合时，F在点E处，当P运动到点B处，点Q运动到点C处，此时F在O处，所以点F运动轨迹就是EO线段上， 当BF⊥EO时，BF有最小值． 延长EO交AD于点M，连接BM，过M作MK⊥BC于点K，作BN⊥EO于点N， ∵OA＝OC，∠MAO＝∠ECO，∠AOM＝∠COE， ∴△AOM≌△COE（ASA）， ∴CE＝AM＝4， ∴KE＝BE﹣BK＝4， ∵EM2， S△BMEBE•MKEM•BN， 解得BN， 即BF最小值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正方形的性质以及动点轨迹问题，掌握动点问题的处理思路是解题关键． 三、解答题（共8个小题，共72分） 17．（8分）（2024春•碑林区校级期末）如图，已知矩形ABCD，点E，F分别在CB的延长线和AD的延长线与且BE＝DF． （1）求证：四边形AECF是平行四边形； （2）当AC＝12，EF＝16，EC＝10时．则AB的长为多少？ 【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC，可得AF＝EC，可得结论； （2）根据平行四边形的性质得到CO6，OE8，根据勾股定理的逆定理得到∠COE＝90°，推出四边形AECF是菱形，根据菱形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AD＝BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝EC， ∴四边形AECF是平行四边形， （2）解：∵四边形AECF是平行四边形， ∴CO6，OE8， ∵CE＝10， ∴OE2+OC2＝82+62＝102＝CE2， ∴∠COE＝90°， ∴AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形， ∴， ∴AB， 故AB的长为． 【点评】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定和性质，菱形的判定，熟练掌握各判定和性质定理是解题的关键． 18．（8分）（2024春•武汉期末）如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是AB上一点，连接ED并延长ED到点F，使DF＝DE． （1）求证：AE＝CF； （2）连接CE，AF，请添加一个条件：　 　使四边形AECF为菱形（不需要说明理由）． 【分析】（1）由D是AC的中点，得到AD＝CD，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； （2）添加AC⊥EF，由（1）知，△ADE≌△CDF，根据全等三角形的性质得到AE＝CF，∠AEF＝∠F，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【解答】（1）证明：∵D是AC的中点， ∴AD＝CD， 在△ADE与△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（SAS）， ∴AE＝CF； （2）解：添加AC⊥EF， 由（1）知，△ADE≌△CDF， ∴AE＝CF，∠AEF＝∠F， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形． 故答案为：AC⊥EF． 【点评】本题考查了菱形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键， 19．（8分）（2024•肇源县三模）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF． （1）求证：四边形OEFG是矩形； （2）若AD＝20，EF＝8，求OE和BG的长． 【分析】（1）证OE为△ABD的中位线，则OE∥FG，再证四边形OEFG为平行四边形，然后证∠EFG＝90°，即可得出结论； （2）根据菱形的性质得到AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD，根据点E为AD的中点，AD＝20，得到OE＝AEAD＝10，根据矩形的性质得到∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，根据勾股定理得到AF＝6，于是得到BG＝4． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD为菱形， ∴OB＝OD， ∵点E为AD中点， ∴OE为△ABD的中位线， ∴OE∥FG， ∵OG∥EF， ∴四边形OEFG为平行四边形， ∵EF⊥AB， ∴∠EFG＝90°， ∴平行四边形OEFG为矩形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝AD＝20，OB＝OD，AC⊥BD， ∵点E为AD的中点，AD＝20， ∴OE＝AEAD＝10， 由（1）可知，四边形OEFG是矩形， ∴∠EFG＝∠AFE＝90°，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10， ∴AF6， ∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4． 【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解题的关键，属于中考常考题型． 20．（8分）（2024春•同安区期中）如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，连接EB，点F在DA的延长线上，且∠AFE＝∠ABE． （1）求证：EF＝EB； （2）用等式表示线段AB，AE，AF的数量关系并证明． 【分析】（1）过点E作EH⊥AC交AB于H，根据正方形性质得∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°，则∠FAE＝135°，△AEH为等腰直角三角形，进而得AE＝HE，∠EHA＝∠BAC＝45°，则∠BHE＝135°，进而得∠FAE＝∠BHE＝135°，由此可判定△AFE和△HBE全等，然后根据全等三角形的性质可得出结论； （2）由（1）可知△AFE≌△HBE，△AEH为等腰直角三角形，则AF＝HB，，由此可得出线段AB，AE，AF的数量关系． 【解答】（1）证明：过点E作EH⊥AC交AB于H，如图所示： ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BAD＝90°，∠BAC＝∠DAC＝45°， ∴∠FAB＝90°，△AEH为等腰直角三角形， ∴∠FAE＝∠FAB+∠BAC＝135°，AE＝HE，∠EHA＝∠BAC＝45°， ∴∠BHE＝180°﹣∠EHA＝180°﹣45°＝135°， ∴∠FAE＝∠BHE＝135°， 在△AFE和△HBE中， ， ∴△AFE≌△HBE（AAS）， ∴EF＝EB； （2）解：AB，AE，AF的数量关系是：，证明如下： 由（1）可知：△AFE≌△HBE，△AEH为等腰直角三角形， ∴AF＝HB，AH， ∴． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解正方形的性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 21．（9分）（2024春•顺义区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AC⊥BD于点O，O为AC中点．（1）求证：四边形ABCD是菱形； （2）延长AB到点E，使得BE＝AB，连接CE．若AC＝8，BC＝5，求CE的长． 【分析】（1）证明△ABO≌△CDO，得到OB＝OD，四边证得ABCD是平行四边形，由AC⊥BD，可得平行四边形ABCD是菱形； （2）根据勾股定理求出OB，进而求出BD，证明四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的性质即可求得答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥DC， ∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC， ∵O为AC中点， ∴OA＝OC， 在△ABO和△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（AAS）， ∴OB＝OD， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∵AC⊥BD ∴平行四边形ABCD是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OCAC8＝4，OB＝ODBD，AC⊥BD，AB∥CD，AB＝CD， 在Rt△BCO中， OB3， ∴BD＝2OB＝6， ∵BE＝AB， ∴CD＝BE， ∴四边形ABCD是平行四边形， ∴CE＝BD＝6， 即CE的长为6． 【点评】本题主要考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，综合运用这些性质定理是解决问题的关键． 22．（9分）（2024春•大连期末）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点B作BE⊥CD于点E，延长CD至点F，使DF＝CE，连接AF． （1）求证：四边形ABEF是矩形； （2）连接OE，若BD＝BC，AB＝8，平行四边形ABCD的面积为48，求OE的长度． 【分析】（1）由在平行四边形性质得到AD∥BC且AD＝BC，由平行线的性质得到∠BCE＝∠ADF，根据三角形的判定可证得△BCE≌△ADF，由全等三角形的性质得到BE＝AF，∠BEC＝∠F，可得B⊥AF，根据矩形的判定即可得到结论； （2）由矩形的性质得到AB＝CD＝8，进而求得CE＝DE＝4，由勾股定理可求得BC＝2，由平行四边形性质得CE＝DE，由由中位线的性质可以得到结论． 【解答】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∴∠BCE＝∠ADF． 又∵CE＝DF， ∴△BCE≌△ADF（SAS） ∴BE＝AF，∠BEC＝∠F， ∴BE∥AF． ∴BE⊥AF， ∴四边形ABEF是平行四边形， ∵BE⊥CD， ∴∠BEF＝90°， ∴四边形ABEF是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD， ∵AB＝8， ∴CD＝8． ∵BD＝BC，BE⊥CD， ∴． 由题意可知CD•BE＝48， ∴8BE＝48， ∴BE＝6， 在Rt△BEC 中，． ∵在平行四边形ABCD中，CE＝DE， ∴OE为△BDC的中位线， ∴． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 23．（10分）（2023春•绥棱县校级期中）如图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F． （1）求证：EO＝FO； （2）当CE＝12，CF＝10时，求CO的长； （3）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论． 【分析】（1）先根据等角对等边，得出OE＝OC，OF＝OC，再根据等量代换，得出OE＝OF； （2）先根据角平分线的定义，求得∠ECF＝90°，再根据勾股定理求得EF的长，最后根据直角三角形的性质，求得CO的长； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形矩形判定即可． 【解答】解：（1）证明：∵MN∥BC，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠BCE＝∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠FCD＝∠OFC， ∴OE＝OC，OC＝OF， ∴OE＝OF； （2）∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD， ∴∠ECF∠ACB∠ACD180°＝90°， ∴Rt△CEF中，EF2， 又∵OE＝OF， ∴COEF； （3）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形， 证明：∵AO＝CO，OE＝OF， ∴四边形AECF是平行四边形， 由（2）可得∠ECF＝90°， ∴四边形AECF是矩形． 【点评】本题主要考查了矩形的判定，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，解题时注意：有一个角是直角的平行四边形是矩形；在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 24．（12分）（2024•庐阳区校级三模）如图1，正方形ABCD中，E为对角线上一点． （1）连接DE，BE．求证：BE＝DE； （2）如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，FE交AB于点G． ①求证：BF＝FG； ②当BE＝BF时，求证：． 【分析】（1）先判断出AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°，进而判断出△ABE≌△ADE（SAS），即可得出结论； （2）①先证明∠AGD＝∠FBG，进而判断出∠FBG＝∠FGB，即可得出结论；②先证明，由（1）知BE＝DE，由①知FG＝BF，则FG＝BF＝BE＝DE，即可判断出结论． 【解答】（1）证明：∵AC是正方形ABCD的对角线， ∴AB＝AD，∠BAE＝∠DAE＝45°， ∵AE＝AE， ∴△ABE≌△ADE（SAS）， ∴BE＝DE； （2）①证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠GAD＝90°， ∴∠AGD+∠ADG＝90°， 由（1）知，△ABE≌△ADE， ∴∠ADG＝∠EBG， ∴∠AGD+∠EBG＝90°， ∵FB⊥BE， ∴∠EBF＝90°， ∴∠FBG+∠EBG＝90°， ∴∠AGD＝∠FBG， ∵∠AGD＝∠FGB， ∴∠FBG＝∠FGB， ∴FG＝FB； ②证明：∵FB⊥BE， ∴∠FBE＝90°， 在Rt△EBF中，BE＝BF， ∴， 由（1）知，BE＝DE， 由①知，FG＝BF， ∴FG＝BF＝BE＝DE， ∴． 【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握正方形的性质、勾股定理是解题的关键． 6 学科网（北京）股份有限公司 $$