第六章 数列（课件）-2023-2024学年高一下学期高教版中职数学基础模块下册

第六章 数列 数学（基础模块）下册 1 在自然界和日常生活中，我们经常会遇到按照一定次序排列的一列数．例如，假设每一对新生的小兔子要一个月后才能到成熟期，且一对成熟的兔子每一个月都会生一对小兔子．若现在有一对小兔子，则以后每个月兔子的对数依次为（如图6-1所示） 5 3 2 1 1 图6-1 若要计算一年后共有兔子多少对， 就需要应 用数列的 知识． 6.1 数列的概念 6.2 等差数列 6.3 等比数列 6.1 数列的概念 6.1.1 数列的定义 观察 全体自然数从小到大排成一列数为 ① 2,4,6,8,10的倒数排成一列数为 ② 观察 无穷多个3构成一列数为 2006～2012年某市普通高中生人数（单位：万人）构成一列数为 ③ ④ 像这样，按照一定次序排成的一列数称为数列．数列中的每一个数称为这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项（或首项），排在第二位的数称为这个数列的第2项，……，排在第n位的数称为这个数列的第n项． 观察 所以，数列的一般形式可以写成 简记为{an}．其中，反映各项在数列中位置的数字0,1,2,3，…，n分别称为对应各项的项数． 项数有限的数列称为有穷数列；项数无限的数列称为无穷数列．上面的例子中，数列②④为有穷数列，数列①③为无穷数列． 6.1.2 数列的通项公式 如果数列{an}的第n项与项数n之间可以用一个公式来表达，那么这个公式就称为这个数列的通项公式． 例如，数列①的通项公式为 例如，数列②的通项公式为 例如，数列③的通项公式为 像数列③这样各项都相等的数列称为常数列． 例题解析 例1 写出下列数列的一个通项公式，使其前4项分别是下列各数． （1） （2） 解： （1）观察数列的前4项与其项数的关系 ， ， ， 。 由此可知，该数列的通项公式为 解： （2）观察数列的前4项与其项数的关系 由此可知，该数列的通项公式为 ， ， ， 。 例题解析 例2 已知数列的通项公式为an=10+2n，求： （1）数列的前4项； （2）数列的第10项； （3）若54为该数列的一项，请计算它的项数． 解： （3） an=10+2n=54， n=22. 所以， 54为该数列的第22项． （1） ， ， ， ． 所以，数列的前4项是12,14,16,18 ． （2）数列的第10项是 例题解析 例3 某水泥厂生产水泥，今年的产量为18万吨，由于技术改造，计划每年增产15%，写出从今年开始5年内每年的产量排成的数列，并写出通项公式． 解： 故该数列为 其通项公式为 6.2 等差数列 6.2.1 等差数列的定义 观察 正偶数从小到大排列，可组成数列 2,4,6,8… ① 某住宅楼，从第1层开始，每一层的楼板高度，可组成数列 0,3,6,9,… ② 买衣服时会发现，衣服的号码从小到大可组成数列 160,165,170,175,… ③ 观察 观察上面的数列，可以发现： 数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于2； 数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于3； 数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于5． 这三个数列有一个共同特点，就是从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一常数． 观察 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么，这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，用字母d表示． 如果三个数a，A，b成等差数，则A-a=b-A，即 此时，A就称为a与b的等差中项． 等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项． 6.2.2 等差数列的通项公式 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则 …… 依次类推，最终可推导出等差数列的通项公式为 例题解析 例1 求等差数列10,6,2，…的第15项。 解： 因 ，所以该数列的通项公式为 该数列的第15项为 例题解析 例2 等差数列2,5,8，…的第几项是59？ 解： 设该数列的第n项等于59，则 因 ，所以该数列的通项公式为 因此，该数列的第20项为59． 例题解析 例3 在等差数列{an}中，公差d=5，a9=38，求首项a1。 解： 因d=5，故设等差数列的通项公式为 因a9=38，故 例题解析 例4 某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km（不含4 km）计价10元．如果某人在该市坐出租车去14 km处的地方，需要支付多少车费？ 解： 根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每加1 km，乘客需要支付1.2元．所以，可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1=11.2表示4 km处的车费，公差d=1.2.那么，当出租车行至14 km处时，n=11，此时需要支付的车费为 6.2.3 等差数列的前n项和公式 著名数学家高斯在上小学的时候就显示出了惊人的天赋．最能证明这一点的是高斯十岁那年，老师出了一道题目，要求学生将1到100的所有整数加起来．当其他学生忙于把100个数逐个相加时，高斯却用下面的方法迅速算出了正确答案： 高斯的算法实际上解决了求等差数列1,2,3，…，n，…前100项和的问题．此数列的首项为1，第100项为100，公差为1，根据高斯的计算可知，其前100项和为 下面我们将这种方法推广到求一般等差数列的前n项和． 等差数列{an}的前n项和可用Sn表示，即 根据高斯算法的启示，对于公差为d的等差数列，其前n项和可表示为 ① ② 将①②两式相加可得 由此得到等差数列{an}的前n项和公式 将等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d代入上式，可得 例5 等差数列{an}中，d=2，a20=29，求前20项的和S20． 解： 由已知条件可得 因此，其前20项之和为 解： 例6 已知数列{an}的前n项和公式为 ，求出这个数列的通项公式，并判断其是否为等差数列？ 因 因此 当n=1时， ，也适合上式，所以该数列的通项公式为 又因 所以，{an}是等差数列。 例7 在政府的安排下，银行提供无息贷款58 000元帮助某地区发展一个项目，还款方式为一年后的第一个月还1 000元，以后每个月都比前一个月多还200元，问需要多少个月能还清全部贷款？ 解： 由题意可知，每月还款数是首项a1=1 000，公差d=200的等差数列．设n个月可以还清贷款，则n个月的还款总额为Sn，即 因为还款是无息的，所以有 故20个月可以还清这笔贷款． 6.2.4 等差数列实际应用举例 例8 用一辆汽车从预制场运送54根水泥电杆去500 m处的地方开始安装，以后每隔50 m放一根，一辆车一次运三根，请计算完成整个任务汽车行程多少公里？ 解： 即完成整个任务汽车行程67.5公里． 6.2.4 等差数列实际应用举例 第一车运三根，放在500 m，550 m，600 m处返程，汽车行程 ，以后每车比前一车多行 ，共运18车，则18车的往返行程成等差数列，其a1=1 200，d=300，n=18，故 6.3 等比数列 6.3.1 等比数列的定义 在现实生活中，我们还会遇到下面一组数列，即细胞分裂时每次1个细胞分裂为2个，则每次分裂后细胞的个数依次为2,4,8,16,32，…。 观察上面的数列，可以发现，从第2项开始，数列中每一项与其前一项的比都等于2． 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的比都等于同一常数，那么，这个数列称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，用字母q 表示． 如果三个数a，G，b成等比数列，则 此时，G就称为a与b的等比中项． 等比数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项． 即 6.3.2 等比数列的通项公式 与等差数列类似，下面我们通过观察等比数列各项之间的关系来探求其通项公式． 设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则 …… 依次类推，最终可推导出等比数列的通项公式为 例题解析 例1 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项． 解： 设这个等比数列的第1项为a1，公比为q，那么 ① ② ②÷①，得 将q代入式①，可得 于是 例题解析 例2 求等比数列11,3.3,0.99，…的第4项和第5项． 解： 由题意可知， 所以该数列的通项公式为 因此 例3 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的这种物质是原来的84%，问这种物质的半衰期是多长？（精确到1年） 解： 设这种物质最初的质量是1，经过n年，剩余量是an，由已知条件可知，数列{an}是一个等比数列，其中 设an=0.5，则 即这种物质的半衰期大约为4年． 6.3.3 等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的前n项和为 根据等比数列的通项公式，上式可以写成 ① 用公比q乘以式①两边，可得 ② 将式①②的两边分别相减，得 当q≠1时，等比数列{an}的前n项和公式为 因a1qn=a1qn-1·q=anq，所以上式还可写成 当q=1时，等比数列各项都相等，其前n项和为 综上所述，等比数列{an}的前n项和公式为 例题解析 例4 求下列数列前8项的和． 解： （1） （2） （1）因 ，所以，当n=8时 （2）因 ，所以，当n=8时 例题解析 例5 已知等比数列{an}的q=3，S5=242，求a3. 解： （1）因q=3，S5=242，n=5，所以 解得 所以 例6 10年内公司对某企业投资为：第一年100万元，以后每年依次为上一年的90%，求10年内公司对该企业的投资总额． 解： 即10年内公司对该企业的投资总额约为651万元． 6.3.4 等比数列实际应用举例 10年内各年投资依次是 这是一个首项a1=100，公比q=90%，项数n=10的等比数列．由求和公式可知 例7 一个四级火箭，从最上面一级开始，每一级的重量是它下面一级的四分之一，最下面一层的重量为a吨，求这个火箭的总重量． 解： 即这个火箭的总重量约为1.111a吨． 这个四级火箭的重量从下往上依次为 这是一个首项a1=a，公比q=0.1，项数n=4的等比数列．由求和公式可知 例8 某人从银行贷款10 000元，贷款期限为5年，年利率为5.20%，按复利计息法计算利息．如果5年后一次性还款，计算到期后，此人应偿还银行多少钱？ 解： 贷款一年后的本利和为 第二年后的本利和为 依次类推，从第一年后起，每年后的本利和组成等比数列 其通项公式为 所以 即到期后，此人应偿还银行12 884.83元． 谢谢观赏 n个 $$