2024年九年级中考数学复习专题七 二次函数中面积最值存在性问题解题策略

专题七 二次函数中面积最值存在性问题解题策略 一、经典习题----面积最值存在性问题 1．如图，抛物线（a≠0）与x轴交于点A（1，0）和点B（-3，0），与y轴交于点C，直线经过点B和点C． ⑴ 抛物线的表达式为______________________； ⑵ 若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，求△BCE面积的最大值. ⑶ 若点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE，CE，当四边形BOCE面积的最大值时，求点E的坐标. ⑷ 抛物线的对称轴与x轴相交于点D，若点E为第二象限抛物线的对称轴左侧上一动点，连接DE， CE，求△CDE面积的最大值，并求出此时点E的坐标. 二、面积最值存在性问题解题策略 1. 直接法求图形的面积----常见图形的基本公式 ⑴ 正方形；⑵ 矩形；⑶ 平行四边形；⑷ 菱形；⑸ 三角形；⑹ 等边三角形的面积（a为等边三角形的边长）；⑺ 梯形 2. 作割补法求图形的面积.（以三角形为例） ⑴ 如图1，如果三角形的某一条边与坐标轴平行，计算这样“规则”的三角形的面积，直接用面积公式． ⑵ 如图2，图3，三角形的三条边没有与坐标轴平行的，计算这样“不规则”的三角形的面积，用“割”或“补”的方法． ( 图 1 图 2 图3 ) 3. 作和法求图形的面积.（以三角形为例） 过△ABC的三个顶点分别作出与水平垂直的三条线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽a”，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高h”. 三角形面积公式: ⑴三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半；⑵三角形面积等于两边与其夹角正弦的乘积的一半 4. 转化法求图形的面积.（以三角形为例） 三、举一反三----面积最值存在性问题 2. 如图，二次函数的图象与y轴交于点A（0，4），与x轴交于点B，C，点C坐标为 （8，0），连接AB，AC． ⑴ 求二次函数的表达式； ⑵ 若点N在线段BC上运动（不与点B，C重合），过点N作NM∥AC，交AB于点M，当△AMN面积最大时，请直接写出点N的坐标． 3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数（a≠0）的图象与x轴交于A（﹣2，0）， C（8，0）两点，与y轴交于点B，其对称轴与x轴交于点D． ⑴ 求二次函数的表达式； ⑵ 若点P（m，n）是该二次函数图象上的一个动点（其中m＞0，n＜0），连接PB，PD，BD，请直接写出△BDP面积的最大值及此时点P的坐标． ( 图 1 图 2 ) 4. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5． ⑴ 求抛物线和一次函数的表达式； ⑵ 抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并直接写出此时点E的坐标． 5． 如图，在平面直角坐标系中，抛物线，与坐标轴交于B，C，D三点，且B点的坐标为B（﹣1，0），D（0，3）． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 在x轴上方的抛物线上有两个动点M，N，且点N在点M的左侧，过M，N作x轴的垂线交x轴于点G，H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值； ⑶ 当矩形MNHG的周长最大时，能否在抛物线上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，请直接写出点P的横坐标；若不存在，请说明理由． ( 备用 图 ) 6. 如图1，抛物线（a≠0）与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝2，OB＝8． ⑴ 求抛物线的表达式； ⑵ 如图2，点M从A点出发，在线段AB上以每秒3个单位长度的速度向B点运动，同时，点N从 B 出发，在线段 BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动，当△MBN存在时，求运动多少秒时△MBN的面积最大，最大面积是多少？ ⑶ 在⑵的条件下，△MBN面积最大时，在BC上方的抛物线上是否存在点P，使△BPC的面积是△MBN面积的9倍，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由. ( 图 1 图 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$