第七章 平面向量（课件）-2023-2024学年高一下学期高教版中职数学基础模块下册

数学（基础模块）下册 第七章 平面向量 1 素材天下网 sucaitianxia.com-PPT模板免费下载 平面向量是一种既有大小、又有方向的量，它的应用非常广泛． 例如，汽车从A点出发向东行驶3 km到达B点，再向南行驶4 km到达C点，如图所示． 此时若要描述汽车与A点的位置关系，不仅需要给出汽车与A点之间的距离，还需要指明汽车相对A点的方向．这就需要大家了解平面向量的知识． 3 7.1 平面向量的概念 7.2 平面向量的线性运算 7.3 平面向量的坐标表示 7.4 平面向量的内积 7.1 平面向量的概念 标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等；向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等． 规定：模为0的向量称为零向量，记作0，零向量的方向是任意的． 模为1的向量称为单位向量． 如图所示，规定了起点和终点的线段称为有向线段，记作 ，其箭头由A指向B，A称为起点，B称为终点． 向量的大小称为向量的模，记作 ． 例题解析 例1 一辆汽车从A处向正北方向行驶100 m，另一辆汽车从A处向正东方向行驶100 m，请问两辆汽车的位移相同吗？分别用有向线段表示两辆汽车的位移． 解 位移是向量，它包括大小和方向两个要素．本题中，虽然这两个向量的模相等，但它们的方向不同，所以，两辆汽车的位移不相同．如图所示为用有向线段表示两辆汽车的位移． 规定：零向量与任何一个向量平行． 方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 ． 如图所示，向量 平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出 ， ．也就是说，任意一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此，平行向量又称为共线向量． 规定：零向量的负向量仍为零向量． 例题解析 例2 在图所示向量中，找出： （1）平行向量； （2）模相等的向量； （3）相等向量； （4）互为负向量的向量． 解 （1）平行向量为 ． （2）模相等的向量为 ． （3）相等向量为 ． （4）互为负向量的向量为 ． 8 7.2 平面向量的线性运算 7.2.1 平面向量的加法 如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点走到C点，则他的最终位移 可以看作是位移 与 的和． 如右图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作 ， ，则向量 称为向量a与b的和，记作 ，即 根据三角形法则进行向量a与b的加法运算，其结果仍然是向量，称为a与b的和向量．和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b的终点． 求向量和的运算称为向量的加法．上述求向量和的方法称为向量加法的三角形法则． 例题解析 例1 如图所示，已知向量 ，分别作出向量 ． （a） （b） （c） 解 在平面内任取一点O，作 ， ，则 ，如图所示． （a） （b） （c） 11 如图所示，ABCD为平行四边形，由于 ，则根据三角形法则可得 可以看出，在平行四边形ABCD中， 所表示的向量即为 与 的和．这种求和的方法称为向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量． 12 向量的加法具有以下性质： 例题解析 例2 一艘船以4 km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，已知河水的水流速度为3 km/h，求该船的实际航行速度． 解 如图所示，设 表示船向垂直于对岸方向行驶的速度， 表示水流的速度．由向量加法的平行四边形法则可知， 就是船的实际航行速度． 根据题意可得 因为 所以 故船的实际航行速度大小为5 km/h，方向与水流方向的夹角约为53°． 7.2.2 平面向量的减法 向量a加上向量b的负向量称为向量a与b的差，记作 ，即 求向量差的运算称为向量的减法． 如图所示，已知向量a与b，在平面内任取一点O，作 ，则向量 即为向量a与b的差，即 起点相同的两个向量a与b，其差 仍然是一个向量，称为a与b的差向量．差向量的起点是向量b的终点，终点是向量a的终点． 例题解析 例3 如图（a）所示，已知向量c与d，求作差向量 ． （a） （b） 解 如图（b）所示，在平面内任取一点O，作 ，则 例4 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC和BD交于点O，且 ，试用a和b表示向量 ． 解 7.2.3 平面向量的数乘运算 如图所示，已知非零向量a， 和 ，可以看出，向量a与向量 ， 共线，且 ． 一般地，实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的模为 当 时，λa的方向与a的方向相同；当 时，λa的方向与a的方向相反；当 时， ． 数与向量相乘的运算称为向量的数乘运算． 可以验证，对于任意向量 及任意实数 ，向量的数乘运算满足如下法则： 例题解析 例5 如图所示，已知平行四边形ABCD的两条对角线交于点O，若 ，试用a和b表示向量 ． 解 因为 所以 因为 所以 例6 计算下列各式． （1） ； （2） ； （3） ． 解 （1） ． （2） ． （3） 我们将 称为 的一个线性组合（ 均为系数）．如果 ，则称l可以用 线性表示． 向量的加法、减法、数乘运算都称为向量的线性运算． 例5中， 等都称为向量 线性组合，或者说， 等可以用向量 线性表示． 7.3 平面向量的坐标表示 7.3.1 平面向量的直角坐标 在平面直角坐标系中，每一个平面向量也都可以用一对实数来表示． 23 例题解析 解 它们的坐标分别为 因为 所以它的坐标为 解 7.3.2 向量线性运算的坐标表示 所以 类似可得 例题解析 解 即 于是 消去λ，得 所以， 7.3.3 共线向量的坐标表示 解 例题解析 7.4 平面向量的内积 7.4.1 平面向量的内积 由向量内积的定义可以得出以下结论： 向量的内积满足下面的运算律： 解 例题解析 解 因 7.4.2 向量内积的坐标表示 也就是说，两个向量的内积等于它们对应坐标的乘积之和，即 由此还容易得出以下结论： 解 因 例题解析 解 因 谢谢观赏 $$