小升初典型奥数：相遇问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

相遇问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．　　小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 第二部分 典型例题 例题1：甲乙两车从相距450千米的两地同时出发相向而行，经过3小时相遇。已知甲车每小时比乙车少行驶10千米，那么乙车每小时行多少千米？ 【答案】80千米 【分析】根据“甲车每小时比乙车少行驶10千米”，设乙车每小时行千米，则甲车每小时行（－10）千米。 根据“速度×时间＝路程”可得等量关系：（甲车的速度＋乙车的速度）×相遇时间＝两地相距的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设乙车每小时行千米，则甲车每小时行（－10）千米。 （－10＋）×3＝450                          （2－10）×3÷3＝450÷3 2－10＝150 2－10＋10＝150＋10 2＝160 2÷2＝160÷2 ＝80 答：乙车每小时行80千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，根据速度、时间、路程之间的关系得出等量关系，按等量关系列出方程。 例题2：甲车每小时行32米，乙车每小时行34千米，两车同时从两地相对开出，经过3小时相遇。两地相距多少千米？ 【答案】198千米 【分析】甲车往乙地开，乙车往甲地开，两车是相对出发的，每走一个小时，两车的距离就更接近了。每个小时，两车共走了66千米，3小时相遇，那用速度和×时间＝路程，就可以求出两地相距多少千米。 【详解】 （千米） 答：两地相距198千米。 【点睛】本题考查学生对于相遇问题的掌握。解决相遇问题时，可以用速度和×时间＝路程来计算。 例题3：甲乙两车从相距900千米的两地同时相向开出，经过5小时相遇，已知甲乙两车的速度比是5∶4，两车的速度各是多少？ 【答案】甲100千米/时；乙80千米/时 【分析】甲乙两车相遇时，路程之和恰好等于两地相距的距离，据此解题即可。 【详解】解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是x千米/时 5x＋5×x＝900 解得，x＝100，则x＝80 答：甲乙两车的速度分别是100千米/时、80千米/时。 【点睛】本题考查了相遇问题和比的应用，明确相遇时路程之和等于两地相距的距离是解题的关键。 第三部分 高频真题 1．甲、乙两地相距750km，客车以每小时55km的速度从甲地出发，小轿车以每小时70km的速度同时从乙地出发。 （1）估计两车大约在什么地方相遇？在图上标出来。 （2）出发后几小时相遇？相遇地点离乙地多远？（列方程解答） 2．甲、乙两船分别从相距384千米的两个码头同时出发，相向而行，8时后两船在途中相遇。已知甲船每时行21千米，那么乙船每时行多少千米？ 3．甲车和乙车从相距的两座城市同时出发，相向而行，经过4.2小时相遇。已知乙车每小时行驶比甲车快。甲车每小时行多少千米？（列方程解答） 4．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得甲、乙两地相距18厘米，客车与货车分别从甲、乙两地同时相向而行，5小时相遇。已知客车和货车的速度比是5∶4，问客车与货车的速度差是多少？ 5．甲乙两城相距460千米，货车以每小时60千米的速度从甲城开往乙城，2小时后，客车才从乙城开往甲城，又经过3.4小时两车相遇，客车每小时行多少千米？ 6．甲、乙两辆汽车从东、西两城相对开出，已知甲车行完全程用10小时，乙车行完全程用15小时，当两车相遇时甲车比乙车多行12千米，问：东西两城相距多少千米？ 7．快车和慢车同时从甲乙两地相对开出，已知快车每小时行40千米，经过3小时快车已过中点12千米与慢车相遇，慢车每小时行多少千米？ 8．甲、乙两地相距360千米，客车与货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3小时后相遇。客车与货车的速度比是3∶2，货车的速度是多少？ 9．两列火车同时从甲、乙两站相对开出。客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，经过4小时两车相遇。甲、乙两站相距多少千米？ 10．甲、乙两车同时从A、B两地相对开出，相遇后继续前进，当两车又相距70千米时，甲行驶了全程的75%，乙离A地的路程与已行驶的路程比是1∶2，A、B两地相距多少千米？ 11．甲、乙两艘轮船同时从相距126千米的两个码头相对开出，3小时相遇，甲船每小时航行22千米，乙船每小时航行多少千米？（列方程） 12．从甲城到乙城，A汽车匀速行驶用6时，从乙城到甲城，B汽车匀速行驶用5时。现在AB两车分别从甲、乙两城同时出发相对匀速而行，相遇时A汽车行驶了210千米，甲、乙两城相距多远？ 13．一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向开出，已知客车的速度是货车的速度的，两车相遇时，客车比货车少行8千米．求甲、乙两地间的距离． 14．甲、乙两车分别从A城、B城同时相向开出，10小时后相遇，两城相距1800千米，甲车的速度是乙车速度的2倍，问甲、乙两车每小时各行多少千米？ 15．两列火车从某站相背而行，甲车每小时行58千米，先开出2小时后，乙车以每小时62千米才开出，乙车开出5小时后，两列火车相距多少千米？ 16．在比例尺是1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地相距20厘米，A、B两列火车同时从甲、乙两地相对开出，经过2.5时相遇。A车和B车的速度分别是多少？ 17．大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？ 18．甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，在到达对方出发地后立即返回。甲车的速度是105千米／时，乙车的速度是90千米／时，经过4小时两车第二次相遇。A、B两地相距多少千米？ 19．如图，甲、乙两人分别在长方形跑道的A、C两点处，甲顺时针行走，乙逆时针行走，甲每走60秒后休息5秒，乙每走60秒后休息10秒，两人第一次相遇时恰好在B点且使用的时间不超过3分钟，若甲行走的速度为1.2米/秒，乙行走的速度为1米/秒，那么长方形跑道的总长度最大是多少米？ 20．大连到北京的铁路线长990千米。甲车从北京开往大连，速度是95千米/时，乙车同时从大连开往北京，速度是85千米/时。经过几时两车相遇？相遇地点距大连多少千米？ 21．货车和客车分别从甲乙两个城市出发，货车每小时行60km，客车每小时行75km，货车行驶了80km后，客车才开出，5小时后两车相遇，甲乙两个城市相距多少千米？ 22．甲、乙二人分别从东、西两镇同时出发相向而行．出发小时后，两人相距千米；出发小时后，两人还相距千米．问出发多少小时后两人相遇？ 23．一只长颈鹿和一只羚羊各自从家同时出发，相对而行，长颈鹿每时跑50千米，羚羊每时的速度是长颈鹿的1.8倍，2.5时后它们相遇。它们的家相距多少千米？ 24．甲、乙两车从两地同时出发，相向而行。甲车每小时行60千米，乙车每小时行75千米，出发2小时后两车相遇。请问两地相距多少千米？ 25．甲、乙两人同时从A、B两地骑车相向而行，甲每小时行驶15km，甲碰到乙后再骑2小时到B地，乙再骑45km到达A地．求乙的速度． 26．甲、乙两车从相距900km的两地相向而行，乙车速度为每小时100km。甲车速度与乙车速度的比是4∶5，求几小时后两车相遇？ 27．如图，两辆汽车从两个城市同时相对开出，几小时相遇？相遇时两辆车分别行驶了多少千米？ 28．一辆客车和一辆货车同时从甲、乙两地相向而行，相遇时，客车比货车多行70千米。已知客车和货车的速度比是7∶5，甲、乙两地相距多少千米？ 29．甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米．两车分别从A，B两地同时出发，相向而行，相遇后3时，甲车到达B地．求A，B两地的距离． 30．列方程解决问题。 客、货两车同时从相距330千米的A、B两地相向而行。3小时后两车相遇，已知客车的速度是货车速度的1.2倍。客车和货车每小时分别行驶多少千米？ 31．甲、乙两城市之间的铁路总长745千米，一列客车以每小时85千米的速度从甲城开往乙城，一列货车在客车出发1小时后，立即以每小时80千米的速度从乙城开往甲城。货车出发后经过多少小时两车相遇？（列方程解答） 32．甲乙两人同时从A地出发到B地去，甲每小时行12千米，乙每小时行9千米，甲到达B地后，立即返回，在返回途中与乙相遇，相遇地点离开B地正好是3.6千米，求AB两地的路程？ 33．公园环湖跑道长3600米，淘气和爸爸两人同时反方向跑步，淘气每分钟跑250米，爸爸每分钟跑350米。 （1）估计两人在何处相遇，在环形图中标出来。 （2）多长时间后两人相遇？ 34．甲、乙两车同时从相距520km的A、B两地出发，相向而行，4小时后相遇。甲车每小时比乙车每小时快10km，甲车、乙车每小时各行多少千米？ 35．一列客车和一列货车分别从甲、乙两地同时相对开出，10小时后在途中相遇。已知货车平均每小时行46千米，客车每小时比货车快8千米。甲、乙两地相距多少千米？ 36．甲乙两地相距1300米，小明和小李同时从两地出发相向而行，小明每分钟行70米，小李每分钟行60米 ｡经过几分钟两人相遇？（列方程解答） 37．甲、乙两车从两地同时出发相向而行，4小时后在距离中点20千米处相遇，已知乙车平均每小时行78千米，问：甲车平均每小时多少千米？（列方程） 38．甲、乙两车同时相向而行，甲速40.5km/时，乙速53.5km/时，行驶72分后两车相遇。请你提出一个问题并解答。 问题：________________？ 39．小张、小李和小王于某日上午分别步行、骑自行车和开汽车从A地出发沿公路向B地匀速前进．已知小李比小张晚1小时出发，小王比小李晚45分钟出发．他们三人恰在中途某地相遇．若小李比小张早到达B地24分钟，则小王比小张早多少分钟． 40．两辆汽车同时从两地出发，相向而行，快车每小时行驶64千米，慢车每小时行驶60千米，出发2.5小时后，两车还相距15千米（相遇前）。两地之间的路程是多少千米？ 41．上午8点整。甲从A地出发匀速去B地，8点20分甲与从B地出发匀速去A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地。那么，乙从B地出发时是8点几分？ 42．夏夏和冬冬同时从两地相向而行，夏夏每分钟行50米，冬冬每分钟行60米，两人在距两地中点50米处相遇，求两地的距离是多少米？ 43．一辆客车和一辆货车同时从相距540千米的两地出发，相向而行，经过3小时相遇。客车的速度是95千米/时，货车的速度是多少千米/时？ 44．一辆客车和一辆货车同时从两个城市相对开出，客车每小时行60千米，货车的速度是客车的。两车开出2.5小时后相遇，这两个城市相距多少千米？ 45．长沙到广州的铁路长699千米，一列货车从长沙开往广州，每小时行69千米，这列货车开出1小时后，一列客车从广州出发开往长沙，每小时行71千米，再过几小时后两车相遇？ 46．小张从甲地到乙地步行需要36分钟，小王骑自行车从乙地到甲地需要12分钟.他们同时出发，几分钟后两人相遇？ 47．甲乙两车同时从相距千米的、两地相对开出，2.5小时后两车相遇。甲车平均每小时比乙车多行千米，求甲车的速度是多少？（列方程解答。） 48．两地间的路程是630千米。甲、乙两辆汽车同时从两地开出，相向而行，经过4.5小时相遇。甲车每小时行75千米，乙车每小时行多少千米？（列方程解答） 49．上午7时，甲列车从洛阳开往西安速度为60km/时；8时，乙列车从西安开往洛阳，速度为65km/时。洛阳与西安两站间的距离为504km，上午10时两车相距多远？ 50．快车和慢车同时从两地出发相向而行，已知快车平均每小时行82千米，慢车平均每小时行68千米，问：经过多少小时后两车在距中点28千米处相遇？（列方程） 51．A、B两地相距36千米，甲、乙两人分别从两地同时出发，相向而行，已知甲每小时比乙少走1千米，4小时相遇，甲、乙两人的速度分别是多少？ 52．小王和小李从甲、乙两地同时相向而行，已知走完全程小王和小李分别需要40分钟和60分钟．出发后5分钟小王发现忘带东西回去取，已知取东西要耽误5分钟，求出发到相遇共需多长时间？ 53．客、货两列火车分别从东、西两站出发相向而行，客车每小时行驶90km，两车相遇后货车再行270km到达东站，客车再行驶4小时到达西站．求货车行驶完全程所用的时间． 54．如图，A、B是圆直径的两个端点，小华在点A，小明在点B，他们同时出发，反向而行．他们在C点第一次相遇，C点离A点100米；在D点第二次相遇，D点离B点80米．求这个圆的周长． 55．一辆公共汽车和一辆小轿车同时从相距千米的两地相向而行，公共汽车每小时行千米，小轿车每小时行千米，问几小时后两车相距千米？ 参考答案： 1．（1） （2）出发后6小时相遇，相遇地点离乙地420千米 【分析】（1）根据题意可知，两车相遇时所行时间相同，因为相同的时间内，路程的比和速度的比相等，所以相遇时两车所行路程的比为55∶70＝11∶35，据此做题。 （2）根据题意，设出发后x小时相遇，利用相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，列方程求解，然后求小轿车所行路程就是距离乙地的距离。 【详解】（1）55∶70＝11∶35 相遇地点如图所示： （2）解：设出发后x小时相遇。 （55＋70）x＝750 125x＝750 x＝6 70×6＝420（千米） 答：出发后6小时相遇，相遇地点离乙地420千米。 【点评】本题主要考查相遇问题，关键利用路程和、速度和和时间之间的关系做题。 2．27千米 【分析】由题意可知，设乙船每时行x千米，根据相遇中的等量关系：速度和×相遇时间＝相遇路程，据此列方程解答即可。 【详解】解：设乙船每时行x千米。 21×8＋8x＝384 168＋8x＝384 168＋8x－168＝384－168 8x＝216 8x÷8＝216÷8 x＝27 答：乙船每时行27千米。 【点睛】本题考查用方程解决实际问题，明确等量关系是解题的关键。 3．60千米 【分析】设甲车每小时行x千米，则乙车每小时行驶（x＋15）千米，再根据相遇时间×速度和＝相遇路程，据此列出方程解答即可。 【详解】解：设甲车每小时行x千米。 2x＋15＝135 2x＝120 答：甲车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，解答本题的关键是掌握相遇问题中的数量关系。 4．12千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出甲、乙两地之间的实际距离；路程÷相遇时间＝速度和，已知客车和货车的速度比是5∶4，客车速度就是速度和的，货车的速度就是速度和的，利用速度和乘－的差，就是客货两车的速度差。 【详解】18×3000000÷100000 ＝540千米 540÷5×（－） ＝108× ＝12（千米） 答：客车与货车的速度差是12千米。 【点睛】此题是一道有关比例尺、相遇问题、和按比例分配知识的应用题，要认真审题，求实际距离时注意变换单位。 5．40千米 【分析】根据题意从问题出发，要求客车每小时行多少千米？因为客车行驶的时间知道3.4小时必须先求客车行驶的路程；要求客车的路程，必须再求货车2＋3.4＝5.4小时内行驶了多少千米60×5.4；然后解答即可。 【详解】解：设客车每小时行x千米， 3.4x＋60×（2＋3.4）＝460 3.4x＋60×5.4＝460 3.4x＝460﹣324 3.4x＝136 x＝136÷3.4 x＝40 答：客车每小时行40千米。 6．60千米 【详解】根据题意可知相遇时间为：（时），那么甲车相遇时行了全程的，乙车行了全程的．甲车多行的12千米正好对应全程的，这样就能求出全程． 方法一：1÷（+）=6  （时） 12÷（）=60（千米） 方法二：甲车1小时比乙车1小时多行全程的-= 相遇时间为1÷（+）=6  （时） 所以全程为12÷6÷=60（千米） 答：东西两城相距60千米． 7．32千米 【分析】 从图中可知：快车3小时行的路程40×3=120千米，比全程的一半多12千米，全程的一半是120-12=108千米．而慢车3小时行的路程比全程的一半还少12千米，所以慢车3小时行的路程是108-12=96千米，由此可以求出慢车的速度． 【详解】①甲乙两地路程的一半：40×3-12=108（千米） ②慢车3小时行的路程：108-12=96（千米） ③慢车的速度：96÷3=32（千米） 答：慢车每小时行32千米． 8．48千米/时 【分析】根据路程和÷相遇时间＝速度和，用360÷3即可求出客车与货车的速度和；已知客车与货车的速度比是3∶2，把客车的速度看作3份，货车的速度看作2份，用360÷3÷（3＋2）即可求出每份是多少，进而求出2份，也就是货车的速度。 【详解】360÷3÷（3＋2） ＝360÷3÷5 ＝24（千米/时） 24×2＝48（千米/时） 答：货车的速度是48千米/时。 【点睛】本题主要考查了相遇问题以及按比分配问题，要熟练掌握相应的公式。 9．1408千米 【分析】已知客车每小时行驶172千米，货车每小时行驶180千米，相遇时间是4小时，根据总路程＝（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间，代入数据，即可求出甲、乙两站相距多少千米。 【详解】（172＋180）×4 ＝352×4 ＝1408（千米） 答：甲、乙两站相距1408千米。 10．168千米 【分析】此题可以画线段图来帮助理解： 乙离A地的路程与已行路程的比为1：2，也就是乙离A地的路程占全程的，已知甲行了75%，由图意可知，70千米占全长的（75%－），由此列式解决问题。 【详解】70÷（75%－） ＝70÷（－） ＝70÷ ＝168（千米） 答：A、B两地相距168千米。 【点睛】此题主要考查学生运用行程问题的基本知识，解答较复杂的行程问题的能力。在解答此题时，关键是要找出70千米所占全程的百分率。 11．20千米 【分析】设乙船每小时航行x千米，用甲、乙两艘轮船的速度和乘3小时，即总路程，列方程计算即可。 【详解】解：设乙船每小时航行x千米 （22＋x）×3＝126 66＋3x＝126 3x＝126－66 3x＝60 x＝20 答：乙船每小时航行20千米。 【点睛】本题体现了根据路程＝速度和×相遇时间列方程解决问题的灵活应用。 12．462千米 【分析】根据题意可知相同的路程，A汽车用6时，B汽车用5时，据此求出AB两车的速度比＝∶ ＝5∶6；所用时间相同，甲和乙的速度比就等于所行路程比，即相遇时A汽车行驶的路程占5份，B汽车行驶行驶的路程占6份，据此可以列式计算。 【详解】AB两车的速度比：∶＝5∶6 两城的距离：210÷＝462（千米） 答：相距462千米。 【点睛】此题关键是理清相遇时他们的速度比就等于所行路程比。 13．40千米 【分析】客车速度：货车速度=2：3，客车路程：货车路程=2：3，客车行驶的路程为2份，货车行驶的路程为3份，也就是说客车比货车少行了1份，少行了8千米；所以两城相距8÷=40千米． 【详解】8÷=40 (千米) 答：甲、乙两城相距40千米． 14．甲车120千米；乙车60千米 【分析】根据路程÷相遇时间＝速度和，求出甲、乙两车的速度和，再按和倍问题的知识，把乙车的速度看作1，则甲乙两车的速度和是乙车的速度的（1＋2）倍，然后根据关系式：和÷（1＋倍数）＝较小数，求出乙车的速度，进而求出甲车的速度。 【详解】速度和：1800÷10＝180（千米） 乙车速度：180÷（1＋2） ＝180÷3 ＝60（千米/小时） 甲车速度：180－60＝120（千米/小时） 答：甲车每小时行120千米；乙车每小时行60千米。 【点睛】此题主要考查相遇问题的有关知识，以及和倍问题的解答方法。解答此题的关键是求出两车的速度之和是多少。 15．716千米 【详解】甲车行驶的路程：（2+5）×58=406（千米） 乙车行驶的路程：62×5=310（千米） 两车相距：406+310=716（千米） 16．A车的速度是192千米/时，B车的速度是128千米/时。 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”即可求出甲、乙两地的实际距离；再据“路程÷相遇时间＝速度和”即可求出两车的速度和，从而再利用按比例分配的方法即可分别求出两车的速度． 【详解】两地的实际距离： 20÷＝80000000（厘米）＝800（千米） 解：设B车的速度为x千米/小时 （x＋1.5x） ×2.5＝800 2.5x ×2.5＝800 2.5x ×2.5÷2.5＝800÷2.5 2.5x＝320 2.5x÷2.5＝320÷2.5 x＝128 1.5×128＝192（千米/时） 答：A车的速度是192千米/时，B车的速度是128千米/时。 【点睛】解答此题的主要依据是：实际距离＝图上距离÷比例尺以及相遇问题中的基本数量关系“路程÷相遇时间＝速度和”，解答时要注意单位的换算。 17．18米 【详解】大头儿子和小头爸爸的速度和：(米/分钟)，小头爸爸的速度：(米/分钟)，大头儿子的速度：(米/分钟)． 18．260千米 【分析】两车相向而行，当两车第一次相遇时，行驶路程和就是A、B两地的距离。当两车到达对方出发地后立即返回，然后两车第二次相遇，此时行驶路程和是3个A、B两地的距离。先将两车速度相加，再乘行驶时间，求出行驶路程和，再除以3，即可求出A、B两地的距离。 【详解】（105＋90）×4÷3 ＝195×4÷3 ＝780÷3 ＝260（千米） 答：A、B两地相距260千米。 【点睛】本题考查相遇问题，可以通过画图理解题意，关键是明确第二次相遇时行驶路程和是3个A、B两地的距离。 19．728米 【分析】要求长方形跑道的总长度最大，那么甲、乙相遇在B点使用的时间取3分钟。然后根据3分钟甲乙各走了几个60秒，算出甲乙实际行走的时间，再根据速度×时间＝路程，算出甲乙的路程，即为AB和BC的长度，进而求出长方形的周长。 【详解】要求长方形跑道的总长度最大，那么甲、乙相遇在B点使用的时间取3分钟。 3×60÷（60＋5） ＝180÷65 ＝2……50 3×60÷（60＋10） ＝180÷70 ＝2……40 那么甲实际休息了2次，甲走了 60×2＋50 ＝120＋50 ＝170（秒）    170×1.2＝204（米） 乙休息了2次，乙走了 60×2＋40 ＝120＋40 ＝160（秒） 160×1＝160（米） 那么长方形跑道的长度为 （204＋160）×2 ＝364×2 ＝728（米） 答：长方形跑道的总长度最大是728米。 【点睛】本题解题关键是跑道最大时所需时间是最长3分钟，看3钟包含几个65秒和70秒，就可算出甲乙实际走的时间。 20．5.5小时；467.5千米 【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：相遇时间＝路程÷速度和，可以计算出经过几时两车相遇，再用乙车速度乘相遇时间，可以计算出相遇地点距大连多少千米。 【详解】990÷（95＋85） ＝990÷180 ＝5.5（时） 85×5.5＝467.5（千米） 答：经过5.5时两车相遇；相遇地点距大连467.5千米。 【点睛】本题考查行程问题的解题方法，解题关键是掌握行程问题的数量关系，利用相遇时间＝路程÷速度和，路程＝速度×时间，列式计算。 21．755千米 【详解】（60＋75）×5＋80＝755（千米） 答：甲乙两个城市相距755千米。 22．8小时 【详解】根据小时后相距千米，小时后相距千米，可以求出甲、乙二人小时行的路程和为千米，即可求出两人的速度和：（千米），根据相遇问题的解题规律；相隔距离÷速度和=相遇时间，可以求出行千米需要：（小时）． 23．350千米 【分析】羚羊每时的速度是长颈鹿的1.8倍，可求出羚羊每小时的速度，根据公式：总路程＝速度和×相遇时间，代入数据列式即可。 【详解】（1.8×50＋50）×2.5 ＝（90＋50）×2.5 ＝140×2.5 ＝350（千米） 答：它们的家相距350千米。 【点睛】本题考查了行程问题，灵活运用公式：总路程＝速度和×相遇时间是解题关键。 24．270千米 【分析】两车相遇的时间是2小时，速度之和是60＋75＝135千米/小时，所以两地相距135×2＝270千米。 【详解】（60＋75）×2 ＝135×2 ＝270（千米） 答：两地相距270千米。 【点睛】本题主要考查了相遇问题的实际应用。解答相遇问题的关键是要弄清速度和、路程和与相遇时间的对应关系。 25．10千米/小时 【详解】甲后来骑了15×2=30（千米） 全程：30+45＝75（千米） 甲乙速度比45：30＝3：2 乙速度15×=10（千米/小时） 26．5小时 【分析】先根据甲乙两车的速度比求出甲车的速度，再利用“相遇时间＝总路程÷（甲车速度＋乙车速度）”求出两车的相遇时间，据此解答。 【详解】甲车速度：100÷5×4 ＝20×4 ＝80（km） 相遇时间：900÷（80＋100） ＝900÷180 ＝5（小时） 答：5小时后两车相遇。 【点睛】根据比的应用求出甲车的速度，并掌握相遇问题的计算公式是解答题目的关键。 27．6小时；324千米；276千米 【分析】路程÷速度和＝相遇时间，600除以两车的速度和等于两车相遇的时间，然后用各自的速度乘相遇时间得出各自行驶的路程，据此即可解答。 【详解】600÷（54＋46） ＝600÷100 ＝6（小时） 54×6＝324（千米） 46×6＝276（千米） 答：6小时相遇，相遇时一辆车行驶了324千米，另一辆车行驶了276千米。 【点睛】本题主要考查学生对路程、速度和时间三者关系的掌握。 28．420千米 【分析】把甲乙两地路程看作单位“1”，已知客车和货车的速度比是7∶5，由此可知：相遇时，客车行了全程的，货车行了全程的，求出客车比货车多行的路程占全程的几分之几，然后再依条件用除法求出甲乙两地路程。 【详解】7＋5＝12 70÷（－） ＝70÷ ＝420（千米） 答：甲、乙两地相距420千米。 【点睛】根据相遇时客车和货车所行的路程比，求出客车比货车多行的70千米占全程的分率，进而求出全程是完成本题的关键。 29．200千米 【详解】相遇后甲行驶了40×3=120千米，即相遇前乙行驶了120千米，说明甲乙二人的相遇时间是120÷60=2小时，则两地相距（40+60）×2=200千米． 30．货车：50千米；客车：60千米 【分析】设货车每小时行x千米，依据“客车的速度是货车速度的1.2倍”，则客车每小时行1.2x千米。根据速度和×时间＝路程，列方程解答。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米，则客车每小时行驶1.2x千米。 （1.2x＋x）×3＝330 2.2x×3＝330 2.2x×3÷3＝330÷3 2.2x＝110 2.2x÷2.2＝110÷2.2 x＝50 50×1.2＝60（千米） 答：货车每小时行驶50千米，客车每小时行驶60千米。 31．4小时 【分析】相遇时两车行的路程和就是两地之间的距离，根据相遇问题的数量关系式：客车速度×客车行驶时间＋货车速度×货车行驶时间＝路程，列方程解答。 【详解】解：设货车出发后经过x小时两车相遇。 85×（x＋1）＋80x＝745 85x＋85＋80x＝745 165x＋85＝745 165x＋85－85＝745－85 165x＝660 165x÷165＝660÷165 x＝4 答：货车出发后经过4小时两车相遇。 【点睛】本题考查列方程解应用题，解题关键是找出题目中的等量关系。 32．25.2千米 【分析】根据题意，可以知道，由于甲比乙走的快，到达B地后立刻返回与乙在距离B点处相遇，则比乙多走了2个3.6的路程，那么根据“路程差÷速度差”求出他们相遇时行走的时间；两车相遇时，共同走了2个全程，根据“速度和×相遇时间÷2”，即可求出AB两地的距离。 【详解】相遇时间：3.6×2÷（12－9） ＝7.2÷3 ＝2.4（小时） 两地距离：（12＋9）×2.4÷2 ＝21×2.4÷2 ＝25.2（千米） 答：AB两地的路程是25.2千米。 【点睛】本题考查相遇问题，关键是通过画线段图等方式分析出两人相遇时的路程差以及两人相遇时共同走了2个全程。 33．（1）见详解；（2）6分钟 【分析】（1）淘气每分钟跑250米，爸爸每分钟跑350米，所以用250÷（250＋350）即可求出在相遇时，淘气所行距离占全圈的几分之几。 （2）环湖跑道一周的长度是3600米，根据路程÷速度和＝相遇时间，用3600÷（250＋350）即可求出两人相遇所需时间。 【详解】（1）250÷（250＋350） ＝250÷600 ＝ 两人相遇点估计如下： （2）3600÷（250＋350） ＝3600÷600 ＝6（分钟） 答：6分钟后两人相遇。 【点睛】本题考查相遇问题，熟记公式：路程÷速度和＝相遇时间是解题的关键。 34．甲车每小时70千米；乙每小时行60千米。 【分析】甲车每小时比乙车每小时快10km，可设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米，再根据（甲车速度＋乙车速度）×相遇时间＝总路程，列方程解答即可。 【详解】解：设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x＋10）千米。 甲：60＋10＝70（千米/时） 答：甲车每小时行70千米，乙车每小时行60千米。 【点睛】本题考查列方程解决问题，相遇问题，解答本题的关键是掌握列方程解决问题的方法。 35．1000千米 【分析】题意可知，“10小时在途中相遇”说明两辆车都行了10小时，数量之间存在以下相等关系：（货车速度＋客车速度）×相遇时间＝总路程．或客车速度×客车行驶时间＋货车速度×货车行驶时间＝总路程． 【详解】10×（46＋8＋46） ＝10×100 ＝1000（千米） 答：甲乙两地相距1000千米． 【点睛】本题要注意的是客车和火车在途中相遇，说明两辆车行驶的时间是相同的，都是10小时。 36．10分钟 【分析】根据等量关系式：相遇时小明走的路程＋小东走的路程＝两地之间的距离1300米，列方程进行解答即可。 【详解】解：设经过X分钟两人相遇。 70X＋60X＝1300 130X＝1300 130X÷130＝1300÷130 X ＝10 答：经过10分钟两人相遇｡ 【点睛】本题考查列方程解应用题。 37．88千米或68千米 【分析】由于距离中点20千米处相遇，说明快车比慢车多走20×2＝40（千米），可以设甲车平均每小时x千米，由于不知道是甲车速度快还是乙车速度快，则有两种情况，当甲车速度快时，甲车路程－乙车路程＝40；当乙车速度快时，乙车路程－甲车路程＝40，据此即可列方程。 【详解】解：设甲车平均每小时行x千米。 4x－78×4＝40 4x－312＝40 4x－312＋312＝40＋312 4x＝352 4x÷4＝352÷4 x＝88 78×4－4x＝40 312－4x＝40 4x＝312－40 4x＝272 4x÷4＝272÷4 x＝68 答：甲车平均每小时行88千米；或甲车平均每小时行68千米。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键要清楚甲的速度可能比乙快，甲的速度也可能比乙慢。 38．相遇时，甲车比乙车少行多少km；15.6km（答案不唯一） 【分析】已知甲、乙两车的速度与相遇时间，要求补充问题并解答，此题常见有两种问题可以提出（答案不唯一）。可以问“相遇时，甲、乙两辆车共行了多少km？”，根据路程＝速度和×时间代入相关数据即可解答；也可以问“相遇时，甲车比乙车少行（乙车比甲车多行）多少km？” 根据路程＝速度差×时间代入相关数据即可解答。注意不管是哪一个提问，解答过程中都要把72分钟换算成以小时为单位的数。 【详解】问题：相遇时，甲车比乙车少行多少km？ （53.5－40.5）×（72÷60） ＝13×1.2 ＝15.6（km） 答：甲车比乙车少行15.6km。 或问题：相遇时，甲、乙两辆车共行了多少km？ （53.5＋40.5）×（72÷60） ＝94×1.2 ＝112.8（km） 答：甲、乙两辆车共行了112.8km。 【点睛】此题重点考查对相遇问题的理解及相关等量关系式的灵活运用。 39．42分钟 【详解】解法一：由题目可知小张、小李、小王都是以匀速前进，且无论相遇点之前和相遇点之后总行程都相等，所以我们应当使用“路程相同，速度比等于时间的反比”这条比例关系来解答本题． 首先，小张和小李的相遇前后的两个追及，相遇前的追及路程为小张行走一小时的路程，相遇后的追及路程为小张行走24分钟的路程，所以追及路程比为60：24=5：2，两人速度都不变，所以速度差也不变，所以追及时间比为5：2，所以小李前后行走的时间比也是5：2，即前后两段路程比为5：2． 其次，小王和小张的前后两个追及问题：由于前后路程比为5：2，所以小王的行走时间比为5：2，也即是追及时间比为5：2，速度都不变，所以追及路程比为5：2， 而前段追及路程是小张行走60+45=105分钟的路程，所以后段追及路程是小张行走105÷5×2=42（分钟）所行走的路程，即小王比小张早42分钟到达． 解法二：运用折线示意图，结合基本几何知识，整个行程过程和其中的数量关系即可一目了然，即： ，解得，t=42． 40．325千米 【分析】由题意可知，两地之间的路程等于2.5小时两车行驶的距离加上还相距的15千米，根据速度×时间＝路程，据此分别求出两车行驶的距离，再加上15千米即可。 【详解】64×2.5＋60×2.5＋15 ＝160＋150＋15 ＝310＋15 ＝325（千米） 答：两地之间的路程是325千米。 【点睛】本题考查小数乘法，明确速度、时间和路程之间的关系是解题的关键。 41．8点5分 【分析】路程一定，速度和时间成反比例关系；相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程，那么甲走20分钟的路程乙用了10分钟，可知乙的速度是甲提速前的2倍，而甲后来走了10分钟，则是提速前的3倍，也就相当于走了原来速度的30分钟的路程；而乙是甲原来速度的2倍，甲后来走的10分钟，相当于乙走30÷2＝15分钟从8：20向前推算15分钟就是8点05分出发。 【详解】8时20分－8时＝20分钟 8时30分－8时20分＝10分钟 甲原来走20分钟的路程乙用了10分钟，那么乙的速度相当于原来甲的2倍； 甲提速后走10分钟的路程相当于原来10×3＝30分钟的路程； 乙的速度相当于原来甲的2倍；那么相遇时乙需要的时间就是 30÷2＝15（分钟） 8时20分－15分钟＝8时05分 答：乙从B地出发时是8点5分。 【点睛】解决本题抓住“相遇后乙走的路程是甲相遇前的路程，相遇后甲走的路程是乙相遇前的路程”这一关系，根据速度的变化，得出时间的变化，从而得解。 42．1100米 【详解】根据题意，画线段图如下： 从图中可以看出(可让学生先判断相遇点在中点哪一侧，为什么？)，因为夏夏的速度比冬冬慢，所以相遇点一定在中点偏向夏夏的这一边50米，由图可以得出：夏夏所行路程全程一半50米 ，冬冬所行路程全程一半米 ；所以两人相遇时，冬冬比夏夏多走了(米)，冬冬比夏夏每分钟多走10米，所以两人从出发到相遇共走了10分钟，两地的距离：(米)． 43．85千米/时 【分析】路程÷相遇时间＝速度和，速度和－客车的速度＝货车的速度，据此列式解答即可。 【详解】540÷3－95 ＝180－95 ＝85（千米/时） 答：货车的速度是85千米/时。 【点睛】灵活运用速度和×相遇时间＝路程这一关系式。 44．270千米 【分析】根据求一个数的几分之几是多少，用乘法求出货车的速度，然后根据相遇问题中，总路程＝速度和×相遇时间，据此解答即可。 【详解】（60＋60×）×2.5 ＝108×2.5 ＝270（千米） 答：这两个城市相距270千米。 【点睛】本题考查相遇相遇，明确总路程＝速度和×相遇时间是解题的关键。 45．4.5 【分析】因为每小时行69千米的贷车先开出1小时后，客车才开始出发，所以要先算出两车共同走的路程，再根据相遇时间＝路程÷速度和，解答即可。 【详解】（699﹣69）÷（69＋71） ＝630÷140 ＝4.5（小时） 答：再过4.5小时后两车相遇。 46．9分钟 【分析】走同样长的距离，小张花费的时间是小王花费时间的 36÷12＝3（倍），因此自行车的速度是步行速度的3倍，也可以说，在同一时间内，小王骑车走的距离是小张步行走的距离的3倍.如果把甲地乙地之间的距离分成相等的4段，小王走了3段，小张走了1段． 【详解】36÷12＝3 小张花费的时间是36÷（3＋1）＝9（分钟）. 答：两人在9分钟后相遇. 47．78千米时 【分析】设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时，甲车2.5小时行驶的距离＋乙车2.5小时行驶的距离＝A、B两地的距离；列方程：2.5x＋2.5×（x－12）＝360，解方程，即可解答。 【详解】解：设甲车的速度是千米时，则乙车的速度是千米时。 2.5x＋2.5×（x－12）＝360 2.5x＋2.5x－30＝360 5x＝360＋30 5x＝390 x＝390÷5 x＝78 答：甲车的速度是78千米/时。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据速度、时间和距离三者的关系，列方程，解方程。 48．65千米 【分析】（1）找出未知数，用字母x表示，即设乙车每小时行x千米； （2）根据等量关系“甲车行驶的路程＋乙车行驶的路程＝两地间的总路程”列出方程； （3）解方程并检验作答。 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 75×4.5＋4.5x＝630 337.5＋4.5x＝630 4.5x＝630－337.5 4.5x＝292.5 x＝292.5÷4.5 x＝65 答：乙车每小时行65千米。 【点睛】列方程解决问题时，把所求的未知数用x表示，未知数参与列式，把算术法的逆向思维转变成列方程的顺向思维来思考。 49．194千米 【详解】略 50．4小时 【分析】两车在距离中点28千米处相遇，也就是快车过了中点又走了28千米，而慢车离中点还有28千米，设x小时两车相遇，快车共行驶了（82x－28）千米，慢车共行驶了（68x＋28）千米，列方程计算即可。 【详解】解：设经过x小时两车在距中点28千米处相遇 82x－28＝68x＋28 82x－68x＝28＋28 14x＝56 x＝4 答：经过4小时后两车在距中点28千米处相遇。 【点睛】解答此题应认真审题，找出各题中数量间的关系，根据数量间的关系，列方程进行解答即可。 51．甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时 【分析】用A、B两地的距离除以从出发到相遇的时间，求出甲、乙两人的速度和。甲每小时比乙少走1千米，则用甲、乙两人的速度和加上1千米/时，求出两个乙的速度，进而求出乙的速度。再用乙的速度减去1千米/时，求出甲的速度。 【详解】36÷4＝9（千米/时） （9＋1）÷2 ＝10÷2 ＝5（千米/时） 5－1＝4（千米/时） 答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时。 【点睛】本题先根据速度＝路程÷时间，求出甲、乙两人的速度和，再根据和差问题的解题方法解答。 52．33分钟 【详解】可以设出小王与小李的速度为，小王第二次出发与第一次出发相隔十五分钟，因为是相向而行，利用相遇问题解答． 18+15=33（分） 答：从出发到相遇共需要33分钟． 53．5.25小时 【详解】两车相遇后客车行驶路程：90×4=360（千米） 东、西两站相距：270+360=630（千米） 两车相遇时间：270÷90=3（小时） 货车速度：360÷3=120（千米/小时） 货车行驶完全程所用时间：630÷120=5.25（小时） 答：货车行驶完全程所用的时间为5.25小时． 54．440米 【分析】第一次相遇，两人合起来走了半圈，第二次相遇，两人合起来走了一圈，因此，从开始出发到第二次相遇，两人合起来走了一圈半．也就是说，第二次相遇时两人合起来走的路程是第一次相遇时合起来所走路程的3倍，因此，不难看出AD的距离是AC距离的3倍，所以再求圆周的长度就比较简单了． 【详解】解：因为AC=100米，AD的长度是AC长度的3倍．AD=AC×3=100×3=300（米） 半个圆的周长：300－80=220（米） 整个圆的周长：220×2=440（米） 55．4小时或6小时 【详解】两车在相距千米的两地相向而行，距离逐渐缩短，在相遇前某一时刻两车相距千米，这时两车共行的路程应为（）千米．即(小时)．需要注意的是当两车相遇后继续行驶时，两车之间的距离又从零逐渐增大，到某一时刻，两车再一次相距千米．这时两车共行的路程为千米，即（小时)． 学科网（北京）股份有限公司 $$