精品解析：2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题（二）

2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题 数学试题（二） 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 9 C. D. 3 2. 下列与潍坊相关的logo图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 4. 某校在学校科技节宣传活动中，科技活动小组将着重介绍2023年度十大科技新词，将其中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A. 摸出“百模大战”小球的可能性最大 B. 摸出“墨子巡天”小球的可能性最大 C. 摸出“数智生活”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 5. 点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列．定义数列的“伴生数列”是：，，，…，，其中是这个数列中第个位置上的数，，2，…，且并规定，．如果数列只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”是（ ） A. 0，1，0，1． B. 1，0，1，0． C. 1，0，0，1． D. 0，1，1，0． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 10. 如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ） A. B. C. 若抛物线上有点，，，则 D. 方程解为， 第Ⅱ卷（非选择题共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 因式分解：________． 12. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点．．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当时，则l的值为________． 13. 骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是______． 14. 小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_________． 四、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）下面是一道例题及其解答过程一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例  先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… （2）求不等式组的所有整数解的和． 16. 出入相补原理是我国古代数学重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 17. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 18. 潍县萝卜是山东潍坊市的特产，中国国家地理标志产品；因原产于山东潍县而得名，已有多年的栽培历史．月日，潍坊市第十六届潍坊·寒亭潍县萝卜文化节嘉年华活动在潍坊国家农综区国际博览馆隆重举办．期间，某农产品合作社主要推销A、B两种不同品种的有机萝卜，已知A、B两种有机萝卜的批发价和零售价如下表所示： 品名 A品种 B品种 批发价/（元/） 4 零售价/（元/） 展会后，某商超采购员到有机萝卜产区进行了采购． （1）若他批发A、B两种有机萝卜共花元．求批发A，B两种有机萝卜各多少千克？（列方程或方程组求解） （2）若他批发A、B两种有机萝卜共花m元，设批发A种有机萝卜n，求m与n的函数关系式； （3）在（2）的条件下，全部卖完这些萝卜后要保证利润不低于元，至少批发A种有有机萝卜多少千克？ 19. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示统计图（尚不完整）． 表1 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 35% 第二次 b 8 9 c 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； （2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； （3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果． 20. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 21. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求的长度． 22. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1． （1）【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． （2）【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l距离为6，求点P的坐标； （3）【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； （4）【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024年山东省潍坊市初中学业水平考试模拟试题 数学试题（二） 注意事项： 1．本试题满分150分，考试时间120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要错位置． 第I卷（选择题共44分） 一、单项选择题（共6小题，每小题4分，共24分，每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 计算的结果是（ ） A. B. 9 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 根据二次根式性质即可得到结果． 【详解】解：， 故选：D． 2. 下列与潍坊相关的logo图形中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：B，C，D选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； A选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：A 3. 潍坊红木嵌银漆器是山东潍坊特有的传统手工艺品，最早可追溯到战国时代在一些铜器上镶嵌金银丝花纹；如图为某嵌银厂制作的传统工艺红木嵌银靠背马扎，其侧面图如图所示，，与地面平行，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是熟练运用平行线的性质及三角形的内角和定理． 先由平角求出的度数，再由平行线的性质求出的度数，最后根据三角形的内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， 故选：C． 4. 某校在学校科技节宣传活动中，科技活动小组将着重介绍2023年度十大科技新词，将其中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（　　） A. 摸出“百模大战”小球可能性最大 B. 摸出“墨子巡天”小球的可能性最大 C. 摸出“数智生活”小球的可能性最大 D. 摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查判断事件发生可能性的大小，掌握概率公式是解题的关键．根据概率公式计算摸出三种小球的概率，即可得出答案． 【详解】解：∵九个小球中4个标有“百模大战”，3个标有“墨子巡天”，2个标有“数智生活”， ∴P（摸出“百模大战”小球）； P（摸出“墨子巡天”小球）； P（摸出“数智生活”小球）， ∵， ∴摸出“百模大战”小球的可能性最大． 故选：A． 5. 点、在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟悉反比例函数的增减性，当，在每一象限内y随x的增大而减小；当，在每一象限内y随x的增大而增大． 反比例函数中，则每一象限内y随x的增大而减小，由于，得到，从而得到的取值范围． 【详解】解：∵在反比例函数中， ∴反比例函数图象在第一，三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴这两个点在第三象限， ∴， 解得：， 故选：B． 6. 若把第n个位置上的数记为，则称，，，…，有限个有序放置的数为一个数列．定义数列的“伴生数列”是：，，，…，，其中是这个数列中第个位置上的数，，2，…，且并规定，．如果数列只有四个数，且，，，依次为3，1，2，1，则其“伴生数列”是（ ） A. 0，1，0，1． B. 1，0，1，0． C. 1，0，0，1． D. 0，1，1，0． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义题型，数字的变化规律，根据“伴生数列”的定义取，依次求出，，…，，再求出对应的即可，解题的关键在于理解新定义的概念． 【详解】解：由题意得：，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴“伴生数列”是0，1，0，1， 故选：A． 二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分，每小题的四个选项中，有多项正确，全部选对得5分，部分选对得3分，有错选的得0分） 7. 下列计算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查合并同类项，幂的乘方，同底数幂除法，同底数幂乘法，熟练掌握合并同类项、幂的乘方 、同底数幂除法，同底数幂乘法运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则判定A；根据幂的乘方法则计算并判定B；根据同底数幂相除法则计算并判定C；根据同底数幂相乘运算法则计算并判定D． 【详解】解：A、，故此选项符合题意； B、，故此选项符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项不符合题意； 故选：AB． 8. 如图，的顶点坐标是，，，以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查图标与图形、位似变换，解题的关键是掌握位似变换的性质，注意分情况计算． 根据位似变换的性质、坐标与图形性质计算． 【详解】解：以点O为位似中心，将缩小为原来的，得到，， 当在第一象限时，点的坐标为，即； 当在第三象限时，点的坐标为，即； 综上可知，点的坐标为或， 故答案为：AC． 9. 如图，在中，，D为的中点．若点E在边上，且，则的长为（ ） A 1 B. 2 C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：在中，， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴， ∴， ∴， 如图，当时，取的中点H，连接， ∵点D是中点，点H是的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选AB． 10. 如图，抛物线经过点，．下列结论中正确是（ ） A. B. C. 若抛物线上有点，，，则 D. 方程的解为， 【答案】AC 【解析】 【分析】本题考查二次函数，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据二次函数图象可知：，得出，可判断A；将点代入，得出：，再求出，可判断B；根据函数图象可得，可判断C；把，代入方程，解出方程，可判断D． 【详解】解：根据二次函数图象可知：，，， ∴， ∴，故A正确； 将点，代入得出：， 得出：， ∴， 再代入①得出：，故B不正确； ∵， ∴，， ∵， ∴， 根据图象可知：离对称轴更远，， ∴，故C正确； ∵方程， ∴， ∴， ∴，故D不正确； 故选：AC． 第Ⅱ卷（非选择题共106分） 三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．只写最后结果） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查提公因式因式分解以及公式法因式分解，熟知完全平方公式的结构特点是解题关键． 先提取公因式，然后运用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故答案：． 12. 《梦溪笔谈》是我国古代科技著作，其中它记录了计算圆弧长度的“会圆术”．如图，是以点O为圆心、为半径的圆弧，N是的中点．．“会圆术”给出的弧长l的近似值计算公式：．当时，则l的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形，弧长的计算，二次根式的混合运算等知识，求出弧长的近似值计算公式所需线段是解题关键． 连接，证明是等边三角形，进而得到，由余弦函数求出，再证明、、三点共线，得出，最后利用弧长的近似值计算公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， ， ∴是等边三角形， ， ∵是的中点， ， ， 三点共线， ， ， ， 故答案为：． 13. 骰子各面上的点数分别是1，2，…，6．抛掷一枚骰子，点数是偶数的概率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据概率公式直接求解即可． 【详解】解：∵抛掷一枚骰子，共有6种等可能的结果，偶数有3种， ∴点数是偶数的概率=． 【点睛】本题主要考查随机事件的概率，掌握概率公式是关键． 14. 小王同学从家出发，步行到离家a米的公园晨练，4分钟后爸爸也从家出发沿着同一路线骑自行车到公园晨练，爸爸到达公园后立即以原速折返回到家中，两人离家的距离y（单位：米）与出发时间x（单位：分钟）的函数关系如图所示，则两人先后两次相遇的时间间隔为_________． 【答案】3分钟 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意确定相关点的坐标、求出直线的解析式成为解答本题的关键． 先根据题意求得A、D、E、F的坐标，然后再运用待定系数法分别确定、、的解析式，再分别联立与和求得两次相遇的时间，最后作差即可． 【详解】解： 如图： 根据题意可得，，，， 设的解析式为，则 ， 解得 ∴直线的解析式为， 同理：直线的解析式为：， 直线的解析式为： 联立 ， 解得， 联立 ， 解得 ． ∴两人先后两次相遇的时间间隔为分钟． 故答案：3分钟． 四、解答题（共8小题，共90分，请写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （1）下面是一道例题及其解答过程的一部分，其中M是单项式．请写出单项式M，并将该例题的解答过程补充完整． 例  先化简，再求值：，其中． 解：原式 …… （2）求不等式组的所有整数解的和． 【答案】（1），过程见解析；（2）7 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值以及解一元一次不等式组，正确对分式进行化简和解一元一次不等式组是解题的关键． （1）先根据通分的步骤得到M，再对原式进行化简，最后代入计算即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【详解】（1）解：由题意，第一步进行的是通分， ∴， ∴， 原式， 当时，原式． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 由x为整数，可取，0，1，2，3，4， 则所有整数解的和为7． 16. 出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，垂足分别为点F，G，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 连接，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 17. 一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯（灯杆底部不可到达）的高．如图所示，当小明爸爸站在点处时，他在该景观灯照射下的影子长为，测得；当小明站在爸爸影子的顶端处时，测得点的仰角为．已知爸爸的身高，小明眼睛到地面的距离，点、、在同一条直线上，，，．求该景观灯的高．（参考数据：，， 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再根据垂直定义可得，从而证明字模型相似三角形，最后利用相似三角形的性质可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，， 设， 在中，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 该景观灯的高约为． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，中心投影，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18. 潍县萝卜是山东潍坊市的特产，中国国家地理标志产品；因原产于山东潍县而得名，已有多年的栽培历史．月日，潍坊市第十六届潍坊·寒亭潍县萝卜文化节嘉年华活动在潍坊国家农综区国际博览馆隆重举办．期间，某农产品合作社主要推销A、B两种不同品种的有机萝卜，已知A、B两种有机萝卜的批发价和零售价如下表所示： 品名 A品种 B品种 批发价/（元/） 4 零售价/（元/） 展会后，某商超采购员到有机萝卜产区进行了采购． （1）若他批发A、B两种有机萝卜共花元．求批发A，B两种有机萝卜各多少千克？（列方程或方程组求解） （2）若他批发A、B两种有机萝卜共花m元，设批发A种有机萝卜n，求m与n的函数关系式； （3）在（2）的条件下，全部卖完这些萝卜后要保证利润不低于元，至少批发A种有有机萝卜多少千克？ 【答案】（1）批发A种有机萝卜，B种有机萝卜 （2） （3）至少批发A种有机萝卜 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用．熟练掌握一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用是解题的关键． （1）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得，，计算求解，然后作答即可； （2）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得：，然后作答即可； （3）设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜，依题意得，，计算求解，然后作答即可． 【小问1详解】 解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得，， 解得：， ∴， ∴批发A种有机萝卜，B种有机萝卜； 【小问2详解】 解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得：， ∴m与n的函数关系为：； 【小问3详解】 解：设批发A种有机萝卜，B种有机萝卜， 依题意得，， 解得，， ∴至少批发A种有机萝卜． 19. 某校德育处开展专项安全教育活动前，在全校范围内随机抽取了40名学生进行安全知识测试，测试结果如表1所示（每题1分，共10道题），专项安全教育活动后，再次在全校范围内随机抽取40名学生进行测试，根据测试数据制作了如图1、图2所示的统计图（尚不完整）． 表1 分数/分 人数/人 2 4 5 6 6 8 7 8 8 12 9 2 设定8分及以上为合格，分析两次测试结果得到表2． 表2 平均数/分 众数/分 中位数/分 合格率 第一次 6.4 a 7 35% 第二次 b 8 9 c 请根据图表中的信息，解答下列问题： （1）将图2中的统计图补充完整，并直接写出a，b，c的值； （2）若全校学生以1200人计算，估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数； （3）从多角度分析本次专项安全教育活动的效果． 【答案】（1）见解析，，，； （2）估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人； （3）见解析 【解析】 【分析】（1）先求出第二次测试得8分的人数，然后求出第二次测试得7分的人数，再补全统计图即可；根据众数、中位数的定义，合格率的计算方法求解即可； （2）用总人数乘以专项安全教育活动后的合格率即可； （3）可以从平均数、中位数以及合格率这几个角度进行分析． 【小问1详解】 解：第二次测试得8分的人数为：（人）， 第二次测试得7分的人数为：（人）， 补全图2中的统计图如图： 由表1知，第一次测试得8分的人数有12人，人数最多，故众数， 第二次测试的平均数为， 第二次测试的合格率； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计专项安全教育活动后达到合格水平的学生人数为1050人； 【小问3详解】 解：第二次测试的平均数、中位数以及合格率较第一次均有大幅提升， 故本次专项安全教育活动的效果非常显著． 【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的综合应用，众数、中位数的定义，用样本估计总体等知识，能够从不同的统计图中获取有用信息是解题的关键． 20. 如图1，在中，于点D，在DA上取点E，使，连接BE、CE． （1）直接写出CE与AB的位置关系； （2）如图2，将绕点D旋转，得到（点，分别与点B，E对应），连接，在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图3，当绕点D顺时针旋转30°时，射线与AD、分别交于点G、F，若，求的长． 【答案】（1）CE⊥AB，理由见解析 （2）一致，理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠DAB=45°，∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°，可得结论； （2）通过证明，可得，由余角的性质可得结论； （3）由等腰直角的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【小问1详解】 如图，延长CE交AB于H， ∵∠ABC=45°，AD⊥BC， ∴∠ADC=∠ADB=90°，∠ABC=∠DAB=45°， ∵DE=CD， ∴∠DCE=∠DEC=∠AEH=45°， ∴∠BHC=∠BAD+∠AEH=90°， ∴CE⊥AB； 【小问2详解】 在旋转的过程中与的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是一致的，理由如下： 如图2，延长交于H， 由旋转可得：CD=，=AD， ∵∠ADC=∠ADB=90°， ∴， ∵， ∴, ， ∵+∠DGC=90°，∠DGC=∠AGH， ∴∠DA+∠AGH=90°， ∴∠AHC=90°， ； 【小问3详解】 如图3，过点D作DH于点H， ∵△BED绕点D顺时针旋转30°， ∴， ， ， ∴AD=2DH，AH=DH=， ， 由（2）可知：， ， ∵AD⊥BC，CD=， ∴DG=1，CG=2DG=2， ∴CG=FG=2， ， ∴AG=2GF=4， ∴AD=AG+DG=4+1=5， ∴． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质等知识，证明三角形相似是解题的关键． 21. 如图，在单位长度为1的网格中，点O，A，B均在格点上，，，以O为圆心，为半径画圆，请按下列步骤完成作图，并回答问题： ①过点A作切线，且（点C在A的上方）； ②连接，交于点D； ③连接，与交于点E． （1）求证：为的切线； （2）求的长度． 【答案】（1）画图见解析，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意作图，首先根据勾股定理得到，然后证明出，得到，即可证明出为的切线； （2）首先根据全等三角形的性质得到，然后证明出，利用相似三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 如图所示， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点D在上， ∴为的切线； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴解得． 【点睛】此题考查了格点作图，圆切线的性质和判定，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 22. 某数学兴趣小组运用《几何画板》软件探究y＝ax2（a＞0）型抛物线图象．发现：如图1所示，该类型图象上任意一点M到定点 F（0，）的距离MF，始终等于它到定直线l：y＝﹣上的距离MN（该结论不需要证明），他们称：定点F为图象的焦点，定直线l为图象的准线，y＝﹣叫做抛物线的准线方程．其中原点O为FH的中点，FH=2OF= ，例如，抛物线y＝x2，其焦点坐标为F（0，），准线方程为l：y＝﹣．其中MF=MN，FH=2OH=1． （1）【基础训练】 请分别直接写出抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程：　 　，　 　． （2）【技能训练】 如图2所示，已知抛物线y＝x2上一点P到准线l的距离为6，求点P的坐标； （3）【能力提升】 如图3所示，已知过抛物线y＝ax2（a＞0）的焦点F的直线依次交抛物线及准线l于点A、B、C．若BC＝2BF，AF＝4，求a的值； （4）【拓展升华】 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点C将一条线段AB分为两段AC和CB，使得其中较长一段AC是全线段AB与另一段CB的比例中项，即满足：＝＝．后人把这个数称为“黄金分割”把点C称为线段AB的黄金分割点． 如图4所示，抛物线y＝x2的焦点F（0，1），准线l与y轴交于点H（0，﹣1），E为线段HF的黄金分割点，点M为y轴左侧的抛物线上一点．当＝时，请直接写出△HME的面积值． 【答案】（1）（0，），， （2），4）或（，4 ） （3） （4）或 【解析】 【分析】（1）根据交点和准线方程的定义求解即可； （2）先求出点P的纵坐标为4，然后代入到抛物线解析式中求解即可； （3）如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E，证明△FDB∽△FHC，推出，则，点B的纵坐标为，从而求出，证明△AEF∽△BDF，即可求出点A的坐标为（，），再把点A的坐标代入抛物线解析式中求解即可； （4）如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， 先证明△MNH是等腰直角三角形，得到NH=MN，设点M的坐标为（m，），则，求出，然后根据黄金分割点的定义求出，则；同理可求当点E是靠近H的黄金分割点时△HME的面积． 【小问1详解】 解：由题意得抛物线y＝2x2的焦点坐标和准线l的方程分别为（0，），， 故答案为：（0，），， 【小问2详解】 解：由题意得抛物线y＝x2的准线方程为， ∵点P到准线l的距离为6， ∴点P的纵坐标为4， ∴当时，， 解得， ∴点P的坐标为（，4）或（，4 ）； 【小问3详解】 解：如图所示，过点B作BD⊥y轴于D，过点A作AE⊥y轴于E， 由题意得点F的坐标为F（0，）直线l的解析式为：y＝﹣， ∴，， ∴△FDB∽△FHC， ∴， ∵BC=2BF， ∴CF=3BF， ∴， ∴， ∴， ∴点B的纵坐标为， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴△AEF∽△BDF， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴EF=2， ∴， ∴点A的坐标为（，）， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； 【小问4详解】 解：如图，当E为靠近点F的黄金分割点的时候，过点M作MN⊥l于N，则MN=MF， ∵在Rt△MNH中，， ∴∠MHN=45°， ∴△MNH是等腰直角三角形， ∴NH=MN， 设点M的坐标为（m，）， ∴， ∴， ∴HN=2， ∵点E是靠近点F的黄金分割点， ∴， ∴； 同理当E时靠近H的黄金分割点点，， ∴， ∴， 综上所述，或 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，等腰直角三角形的性质与判定，黄金分割等，正确理解题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$