2.2 二次函数的图象与性质（第一课时）课件 -2023—2024学年北师大版数学九年级下册

2.2 二次函数的图象与性质 1 是常数,a≠0) 1．定义：一般地,形如______________________ 2．我们学习过哪些函数？ y =ax²+bx+c(a、b、c ____________的函数叫做二次函数. 旧知回顾 2 y = ax² + bx +c (a≠0) 二次函数 y = k x+ b (k≠0) y = k x (k≠0) 一次函数 变量之间的关系 函数 反比例函数 正比例函数 y = (k≠0) 3 3.一次函数的图象是 ． 4.反比例函数的图象是 . 双曲线 5.二次函数的图象是什么形状呢？ 一条直线 6.通常怎样画一个函数的图象？ 4 (1)观察 y=x2 的表达式，选择适当的 x 值，并计算相应的 y 值，完成下表： 探究1 请作出二次函数 y=x2 的图象． x … … y … … 9 4 9 0 1 4 1 -3 -2 -1 0 1 2 3 新知探究 5 (2)在直角坐标系中描点. (3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=x2 的图象. x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … 9 4 1 0 1 4 9 … 6 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (1)你能描述图象的形状吗？ 议一议 7 8 9 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (1)你能描述图象的形状吗？ 议一议 二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过的路线,我们把它叫做抛物线 y=x2. 开口向上 10 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (2)图象与x轴有交点吗？如果有，交点坐标是什么？ 有，（0，0） 11 　　是，对称轴是 y 轴． （-2，4）和（2，4）； （-3，9）和（3，9）等等． （-1，1）和（1，1）； (3)图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点． 对称点有很多，如： x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 x=0 12 x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (4)当x<0时，随着x值的增大， y的值如何变化？当x>0时呢？ 当 x<0 时，y随着x的递增而递减． 当 x>0 时，y随着x的递增而递增． x=0 13 　　二次函数y=x2的图象的顶点是原点，它是图象的最低点． x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 (5)图象与对称轴有交点吗？ 　　抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点． 直线x=0 （0,0） 14 (6)当x取什么值时,y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？ 　　当x=0时，函数y的值最小，最小值是0． x y -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 y=x2 因为抛物线上的最低点坐标是 (0，0 ) 15 二次函数y=x2的图象特点： 性质 函数 形状 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 y = x2 抛物线 向上 y轴或 直线x=0 原点 （0,0） 最小值=0 左减右增 探究2 作出二次函数y = -x2 的图象． (1) 列表: x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y … … -9 -4 -1 -1 -4 -9 0 17 (2)在直角坐标系中描点. (3)用光滑的曲线顺次连接各点，便得到函数 y=-x2 的图象. y x -1 -2 -3 O 1 2 3 -6 -7 -8 -3 -4 -5 -9 -1 -2 y=- x2 18 二次函数y=-x2的图象特点： 性质 函数 形状 开口方向 对称轴 顶点 最值 增减性 y = -x2 抛物线 向下 y轴或 直线x=0 原点 （0,0） 最大值=0 左增右减 2．顶点坐标； 1．对称轴； 　　　　　　 3．开口方向； 二次函数 y=±x2 的图象和性质： 4．增减性； 5．函数最值. y x o y=x2 y=－x2 20 二次函数 y= x2 和y=- x2的图象与性质． 抛物线 y = x2 y = - x2 图象 开口方向 对称轴 顶点 增减性 函数最值 y x o y x o 在对称轴左侧,y随x的增大而增大；在对称轴右侧,y随着x的增大而减小 y 轴/直线x=0 开口向上 开口向下 原点（最低点） 原点（最高点） 当x=0时,y最大值为0 在对称轴左侧,y随x的增大而减小；在对称轴右 侧,y随着x的增大而增大 当x=0时,y最小值为0 课堂小结 21 1：点A（-2，a）是抛物线y=-x2上的一点，则a=________,A点关于x轴的对称点B点的坐标是___________,A点关于y轴的对称点C点的坐标是_________，B,C两个点中在抛物线y=-x2上的是_______. 4 （-2，-4） （2，4） C点 2.已知A,B是函数y = - x2图像上的两点（A点在B点的左侧），且线段AB y轴.若AB=6，则A点的坐标为_________. （-3，9） 3．已知a＜－1,点（a－1,y1）、（a,y2）、（a＋1, y3）都在函数y=x2 的图象上，则（      ） A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2      C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3 C 观察图象，在 y 轴的左侧 y 随 x 的增大而减小，所以 y3＜y2＜y1. y1 y2 y3 也可以用特殊值法计算得到答案． 分析：用数形结合的思想解决问题． 因为a<-1，所以a-1<a<a+1<0 24 a S -1 -2 -3 O 1 2 3 3 2 1 6 5 4 9 8 7 4．设正方形的边长为 a，面积为 S，（1）写出 S 与 a函数关系式（2）试画出此函数图像 的变化而变化的图象． 解： （1）S = a2(a>0) （2）列表： a 0 1 2 3 … S … 0 1 4 9 描点并连线． S=a2 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 25 5.已知：如图，直线y=3x+4与抛物线y=x2交于A、B两点，求出A、B两点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积。 y x o y=x2 y=3x+4 A B 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 　　二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.请看下面的一些例子： １．某一物体的质量为m，它运动时的能量E与它的运动速度v之间的关系是： （m为定值） 拓展应用 27 2．导线的电阻为R，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I之间的关系是： （R为定值） Q=RI2 28 3．g表示重力加速度，当物体自由下落时，下落的距离s与下落时间t之间的关系是： （g为定值） 2 1 2 S gt = 29 此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等.要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析. 30 31 32 33 这节课 你学到了什么？ $$