专题三 利用三角形三边关系求折线段最值问题解题策略2024年九年级中考数学复习

专题三 利用三角形三边关系求折线段最值问题解题策略 一、经典习题----利用三角形三边关系求折线段最值问题 1. 如图，抛物线与x轴交于点A(3,0)，B（-1,0），与y轴交于点C，D为抛物线顶点. ⑴ 抛物线的表达式________________； ⑵ 点P在抛物线的对称轴上，当|PB-PC|的值最大时，求点P的坐标． ⑶ 点Q在y轴上，当|QA-QD|的值最大时，求点Q的坐标； ⑷ P为抛物线上第一象限的点，连接PA、PC，当四边形AOCP面积最大时，在抛物线对称轴上找一动点M，使得|MB-MP|的值最大，求点M的坐标及|MB-MP|最大值． 二、利用三角形三边关系求折线段最值问题解题策略 类型一：同侧差值最大问题 【问题】两定点A,B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？ 【解析】根据三角形任意两边之差小于第三边，|PA-PB|≤AB,当A,B,P三点共线时，等号成立，即|PA-PB|的最大值为线段AB的长． 连接AB并延长交直线l于点P，所以当且仅当A，B，P三点共线时，|PA-PB|值最大． 类型二：异侧差值最大问题 【问题】两定点A,B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大？ 【解析】将异侧问题通过作对称，转化为同侧问题． 作点A关于直线l的对称点，因为AP＝P，所以当且仅当，B，P三点共线时，|PA-PB|值最大． 最大值问题 ( 点 A , B 是定点，动点 P 在直线 l 上 当点 A , B 在直线 l 同侧时 ，连接 AB 交直线 l 于 , 即 最大. ) ( 点 A , B 是定点，动点 P 在直线 l 上 当点 A , B 在直线 l 异 侧时 ，作点 A 关于直线 l 的对 称点 , 连接 B 交直线 l 于 , 即 最大. ) 三、举一反三----利用三角形三边关系求折线段最值问题解题策略 2. 如图，抛物线与x轴相交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点C． ⑴ 求抛物线的解析式； ⑵ 若点D是边BC上方抛物线对称轴右侧的一个动点，过点D作DE∥y轴交BC于点E，当DE＝AB时，在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使|PA-PD|最大，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 3. 如图1，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴交于点C． ⑴ 求点A、B、C的坐标； ⑵ 如图2，若点E是直线BC下方抛物线上的一个动点，点F在抛物线的对称轴上，连接CE，BE， 当△BCE面积最大时，请直接写出|EF-BF|的最大值，及此时点F的坐标． ( 图 1 图 2 ) 4. 如图1,抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点D，已知点C(0，)，连接AC. ⑴ 求直线AC的表达式； ⑵ 如图2,点P是直线AC上方的抛物线上一动点,过点P作PE∥y轴，交直线AC于点E，过点P作PG⊥AC，垂足为点G，当△PEG周长最大时,在x轴上存在一点Q,使|QP-QG|的值最大, 请直接写出这个最大值以及点P的坐标． ( 图 1 图 2 ) 5. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F． ⑴ 求直线BD的表达式； ⑵ 如图2，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE 上找一点G，使得|∣的值最小，请直接写出点G的坐标． ( 图 1 图 2 ) 6. 如图1，抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左侧），交y轴于C点，D 点是抛物线的顶点，连接AC，AD，CD． ⑴ 求△ACD的周长； ⑵ 如图2，点P是线段AD下方的抛物线上的一点，过点P作PE∥y轴分别交AC于点E，交AD于 点F，过P作PG⊥AD于点G，当PG+EF的值最大时，将线段EF沿射线AC方向平移，设E，F平移后的对应点分别为E′，F′，连接PF′，BE′，请直接写出|PF′-BE′|的最大值． ( 图 1 图 2 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$