4.2.2等差数列的前n项和公式（第一课时） - 2024-2025学年高二年级上学期同步课件

选修第二册 《第四章 数列》 4.2.2 等差数列的前n项和公式 第1课时 讲课人：方韶红 学习目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式及其应用. 情景导入 情景1：古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩画点或用小石子表示数。他们研究过三角形数：1，3，6，10，15，....，如图所示，这个图案有n层 德国著名数学家高斯10岁的时就能够很快解决这个问题：1＋2＋3＋…＋100=？ 高斯算法： 1＋ 2＋ 3 ＋… +98＋ 99 ＋ 100=？ (1+100)+(2+99)+(3+98)+⋯+(50+51) =101×50=5050 首尾配对 101 101 101 101 共50对 不同数的求和 相同数的求和 转化 问题1：你知道高斯是怎样算出来的吗？ 新知探索 问题2：能用上述方法计算1+2+3+……+100+101吗？ 法1原式 发现奇数个数首尾配对时会剩下一个中间的数 新知探索 追问：还有其他方法求1+2+3+……+100+101吗？ 发现对于奇数个数，再增加一组相同的数能使所有数两两配对，且配对的两数之和相等 法2原式 拿出末项，再首尾配对 法3原式 先凑成偶数项，再配对 问题3：如果图中的石子有n层，那么从第1层到第n层一共有多少粒石子？ 仿照问题2的解法，从奇偶分析法入手 新知探索 方法1： 当n是偶数时， 当n是奇数时， 问题3：如果图中的石子有n层，那么从第1层到第n层一共有多少粒石子？ 新知探索 方法2： 当n是偶数时， 当n是奇数时， 问题3：如果图中的石子有n层，那么从第1层到第n层一共有多少粒石子？ 新知探索 方法2： 当n是偶数时， 当n是奇数时， 问题4 ：能否借助梯形面积公式的推到方法研究“石子堆”问题？ 新知探索 问题5：上述方法的妙处在哪里？具体是什么如何操作的？这种方法能够推广到求等差数列{an}的前n项和吗？ 妙处：把不同的数求和转化为n个相同的数求和 倒序相加法 倒序 n个相同的数(n+1) 新知探索 对于任意等差数列{an}，使用倒序相加法用以下两种方式表示Sn： ①+②得: n项 m＋n＝p＋q=2t  am＋an＝ap＋aq = 2at . (m，n，p，q∈N*) 新知探索 知首项/公差 知首项/末项 首末项和的平均数即 为前n项和的平均数 新知探索 新知探索 公式与梯形面积： 补成平形四边形 分割成一个平行四边形和一个三角形 两个公式的共同已量是a1和n,不同的已知量是: 公式（1）已知an; 公式（2）已知d . 已知三个量就可以求出Sn ， 我们要根据具体题目，灵活采用这两个公式。 an=a1+(n-1)d 新知探索 梯形的面积等于中位线乘以高. 新知探索 例6 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求； （2）若a1=2, = ,求； （3）若=，d= , = 5,求. 例题讲解 例6 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求； （2）若a1=2, = ,求； （3）若=，d= , = 5,求. 知三求二 例题讲解 例6 已知数列{an}是等差数列. （1）若a1=7, =101,求； （2）若a1=2, = ,求； （3）若=，d= , = 5,求. 例题讲解 反思感悟 a1,n,d称为等差数列的三个基本量,an和Sn都可以用这三个基本量来表示,五个量a1,n,d,an,Sn中可知三求二,一般是通过通项公式和前n项和公式列出关于基本量a1和d的方程(组)求解,这种方法是解决数列问题的基本方法.在具体求解过程中应注意整体代换思想的运用,以便简化计算. 新知探索 问题6 请同学们总结一下本节课学习的主要内容和思想方法？ 课堂小结 1. 等差数列的前n项和 2.等差数列的基本量 3.思想方法转化与化归、分类讨论、数形结合、方程思想 中“知三求二 课本第22-23页第1-3题必做题 作业布置 课本第22-23页第4题必做题 对接高考 谢谢观看 请批评指正 $$