第1章特殊平行四边形 自主学习同步达标测试题 2024-2025学年北师大版九年级数学上册

2024-2025学年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》 自主学习同步达标测试题（附答案） 一、单选题（满分32分） 1．下列命题中，原命题和逆命题都是真命题的是（  ） A．矩形的对角线相等 B．对角线互相平分的四边形是矩形 C．菱形的四条边相等 D．四个角都相等的四边形是正方形 2．如图，在菱形中，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．在菱形中，，则菱形的面积为（    ） A．16 B． C．8 D． 4．如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，四边形是矩形，是边上的一点，把沿折叠至，点的对应点恰好落在边上，，，求（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 6．如图，正方形中，点E，F分别在，上且，连接．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，两点的坐标分别为，，P是线段上一点（点P与点A，B不重合），于点E，于点F，则的最小值为（   ）． A． B． C． D． 8．如图，在正方形中、点是对角线的交点，过点作射线、分别交、于点、，且，、交于点，连接、．给出下列结论： ①；②；③四边形的面积为正方形面积的； ④； ⑤， 其中正确的为（     ） A．①②④⑤ B．①②③④⑤ C．①②③④ D．①②③⑤ 二、填空题（满分32分） 9．如图，矩形的对角线、相交于点O，，，若，则四边形的周长为 ． 10．在矩形中，E为边的中点，F为边上的一点，连接，若，，，则 ． 11．如图，菱形的边长为4，，点，分别是，上的动点，则的最小值为 ． 12．在矩形纸片中，已知，以为折痕折叠纸片，使点B落在点F处，当为直角三角形时，的长为 ． 13．如图，点E为菱形中边上一点，连结，，将菱形沿折叠，点A的对应点F恰好落在边上，则的度数为 ． 14．如图，四边形是菱形，，平分，过点D作，，则对角线的长是 ． 15．如图，在矩形中，，点E，F分别从点D ，B同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿向终点A，C移动．当四边形为菱形时，点E，F的运动时间为 秒． 16．如图，正方形，点、分别是、的中点，，相交于点，连接，若，则的长为 ． 三、解答题（满分56分） 17．如图，在矩形中，以点B为圆心，以为半径画弧，交边于点E，连接，作于点F． (1)求证：； (2)若，，求四边形的周长． 18．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作，过点作，两线交于点，连接、． (1)求证：四边形是矩形； (2)若菱形的边长为4，，求的长． 19．如图，在菱形中，，点E是边的中点，点M是边上一动点（不与点A重合），延长交直线于点N，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当 时，四边形是矩形； (3)当为何值时，四边形是菱形，请说明理由 20．如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，点，．动点从点出发，以每秒1个单位长的速度沿射线方向匀速运动，设运动时间为秒． (1)当______秒时，以、为邻边的平行四边形是菱形； (2)当点在的垂直平分线上时，求的值； (3)已知为轴上的一点，若、关于直线对称，求的值． 21．把两个全等的正方形和正方形，按如图1的位置摆放，交于G；    (1)求证：； (2)如图2，延长交线段于点P，连接，求的度数； (3)在（2）的条件下，若正方形的边长为，，求的面积． 22．如图，直线与坐标轴分别交于点，以为边在轴的右侧作正方形． (1)求点的坐标； (2)如图，点是轴上一动点，点在的右侧，． ①如图1，问点是否在定直线上，若是，求该直线的解析式；若不是，请说明理由； ②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请直接写出点的坐标． 参考答案 1．解：A、矩形的对角线相等，是真命题，逆命题是对角线相等的四边形是矩形，是假命题，不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是矩形，是假命题，逆命题是矩形的对角线互相平分，是真命题，不符合题意； C、菱形的四条边相等，是真命题，逆命题是四条边相等的四边形是菱形，是真命题，符合题意； D、四个角都相等的四边形是正方形，是假命题，逆命题是正方形的四个角都相等，是真命题，不符合题意； 故选：C． 2．解∶∵在菱形中，， ∴，， ∴， 故选∶C． 3．解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 4．解：∵四边形是矩形， ∴， 故选：． 5．解：四边形是矩形，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上， ， 设， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：C． 6．解：在正方形中，，， 将绕点顺时针旋转，得，、、三点共线，如图所示： 则，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． ， ． 故选：B． 7．解：如下图所示，连接， ∵两点的坐标分别为，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴ ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，最小， 当时，当最小， 当时，， ∴， ∴最小值为， 故选：C． 8．解：∵正方形，， ∴， ， ∴，， ∴， ∴，，故②正确； ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， 在中，， ，故④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 设交于点， ∴， ∴；故⑤正确； 故选：B． 9．解： ，， 四边形为平行四边形， 四边形为矩形， ， 四边形为菱形， ， ， 菱形的周长为， 故答案为：8． 10．解：①如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，； ②如图所示，当时，过F作于G，则， 在中，， 又∵E是的中点，， ∴， ∴， ∴中，中，， 故答案为：或． 11．解：连接，作于， 四边形是菱形， ，， ， ， ， 当点、、共线，的最小值为的长， ，， ， 的最小值为， 故答案为：． 12．解：①如图1：当时， ∵， ∴点A、F、C共线， ∵矩形的边， ∴， 在中，， 设，则， 由翻折的性质得，， ∴， 在中，，即，解得，即； ②如图2：当时， 由翻折的性质得，， ∴四边形是正方形， ∴， 综上所述，BE的长为． 故答案为：或3． 13．解：将菱形沿折叠，点的对应点，， ， ， ， ， ，， ， ． 故答案为：． 14．解：连接交于点O， ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．解：设点E，F的运动时间为t， 由题意得：， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴ ， ∴四边形是平行四边形， 当时，四边形是菱形， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：． 故答案为：． 16．解：如图，在正方形中，， ∵分别为边的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 取的中点，连接， ∵是的中点， ∴， ∵， 是平行四边形， ， ， 设与相交于点， ∴是的中点，， ∴垂直平分， ∴， 故答案为：2． 17．（1）证明：在矩形中，，，， ， ， ， 在和中， ， ； ， ； （2）由题意可得， 在中，， ， ， ，， 四边形的周长． 18．（1）证明：∵四边形是菱形，对角线，相交于点， ∴，，，即， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形的边长为4， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴． 19．（1）证明：四边形是菱形， ， ，， 点是边的中点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）四边形为菱形， ， 点是边的中点， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形． 故答案为：5； （3）当的值为10时，四边形是菱形． 理由如下： ，， ， ， 是等边三角形， ∵E是的中点， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 20．（1）解：∵点，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， 当以、为邻边的平行四边形是菱形时，则：垂直平分， ∴， ∴； 故答案为：16； （2）∵动点在射线上，且点在的垂直平分线上， ∴， ∴， 在上，， ∴； （3）∵， ∴， ∵、关于直线对称， ∴， 当点在轴正半轴上时，如图：则：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 当点在轴负半轴上时，如图，则：， 在中，由勾股定理，得：， 解得：； 综上：或． 掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 21．（1）证明：连接，如图，    ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知：， ∴， ∵四边形和四边形都是全等的正方形， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴ ∴ = = = = =， ∴的度数为． （3）解：设， ∵正方形的边长为，， ∴，， ∴， ∴， 在中，，即 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 22．（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ∴ ∴； （2）解：①过点作轴，如下图：    由题意可得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 由题意可得：，即， ∴E在定直线上； ②连接，由题意可得为等腰直角三角形， ∴ ∵四边形为正方形， ∴ ∴， ∴当点与点重合时满足题意， ∵点是线段的中点， ∴， 由①可得，， 设直线解析式为，将、代入可得 ，解得， ∴直线解析式为， 设交于M， 在中，当时，，即点 作点关于直线的对称点，则 ∴， ∴点为直线与的交点， 同理可得直线解析式为 联立，解得 此时；    综上，点坐标为或 学科网（北京）股份有限公司 $$