7.3.2 正弦型函数的性质与图象课件-2024-2025学年高一数学人教B版（2019）必修第三册

第七章　三角函数 7.3.2　正弦型函数的性质与图象 人教B版 数学 必修第三册 课程标准 1.能正确使用“五点法”“图象变换法”作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象,并熟悉其变换过程. 2.会求函数y=Asin(ωx+φ)的周期、频率与振幅. 3.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义,并且了解y=Asin(ωx+φ)中的参数A,ω,φ对函数图象变化的影响以及它们的物理意义. 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 基础落实·必备知识全过关 知识点1 正弦型函数 一般地,形如　　　　　　　的函数,在物理、工程等学科的研究中经常遇到,这种类型的函数称为正弦型函数,其中A,ω,φ都是常数,且A≠0,ω≠0.  y=Asin(ωx+φ) 振幅 初相 周期 频率 过关自诊 函数 的振幅是　　　　　,周期是　　　　　,频率是　　　　　,初相是　　　　　.  知识点2 正弦型函数的图象变换 1.A,ω,φ对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响 (1)φ对函数y=sin(x+φ)图象的影响: (2)ω对函数y=sin(ωx+φ)图象的影响: 左 右 缩短 伸长 (3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响: (3)A对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响: 伸长 缩短 2.由函数y=sin x的图象通过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象有两种主要途径: (1)先平移后伸缩 y=sin(ωx+φ) (2)先伸缩后平移 过关自诊 [北师大版教材习题]有以下四种变换方式: A.①④ B.①③ C.②④ D.②③ A 知识点3 正弦型函数的性质 根据正弦型函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象,我们可以得到它的性质. 正弦型函数的性质可借助正弦函数的性质将ωx+φ整体代换 (1)定义域:　　　　.  (2)值域:　　　　.  R [-A,A] (3)单调性: (4)奇偶性:当　　　　时,为奇函数.  (5)周期性:T=　　　　　　.  (6)对称性:直线x=　　　　　　 　　都是其对称轴;点 　　　　　　　　　为其对称中心.  φ=0 过关自诊 BC 重难探究·能力素养全提升 探究点一　“五点法”作正弦型函数的图象 【例1】 用“五点法”作出函数y=2sin( )的图象. 分析采用“五点法”作三角函数图象,关键在于确定“五点”. 描点、连线并向左右两边分别扩展,得到如图所示的函数图象: 描点连线,可得函数图象如图所示: 探究点二　正弦型函数的图象变换 A.g(x)=-cos 4x B.g(x)=cos 4x C.g(x)=-cos x D.g(x)=cos x D D 规律方法　两种不同变换的注意点 两种途径的变换顺序不同,其中变换的量也有所不同:(1)是先相位变换后周期变换,平移|φ|个单位长度;(2)是先周期变换后相位变换,平移丨 丨个单位长度,这是很容易出错的地方,应特别注意. 探究点三　已知图象求正弦型函数的解析式 【例3】 [北师大版教材习题]函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<2π)一个周期的图象如图所示,试确定A,ω,φ的值. 分析先求A,再求ω,最后求φ. 规律方法　根据图象求解析式的方法 (1)由图象的最高点、最低点确定最值,从而求A. (2)由图象的零点、最值点确定周期,从而求ω. (3)由图象上一个特殊点的坐标代入后根据范围求φ. 变式训练3已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< )的部分图象如图所示. (1)求函数f(x)的解析式; 探究点四　正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的性质 【例4】 [北师大版教材习题改编]已知函数 ,求它的周期、单调区间、值域、对称轴、对称中心. 变式探究1若本例中函数的定义域为[0,2π],求函数的值域. 变式探究2若本例函数的定义域为[0,2π],求函数的单调递增区间. 【例5】 已知函数f(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π). (1)若函数f(x)=sin(2x+φ)为偶函数,求φ的值; (2)若函数f(x)=sin(2x+φ)关于x= 对称,求出φ的值及f(x)的对称轴方程及对称中心的坐标. 规律方法　1.函数y=Asin(ωx+φ)的性质较为综合,主要围绕着函数单调性、最值、奇偶性、图象的对称性等考查. 2.有关函数y=Asin(ωx+φ)的性质运用问题,要特别注意整体代换思想的运用. 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A级 必备知识基础练 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.[探究点四]若函数y=5sin 的周期不大于1,则自然数k的最小值为　　　　　.  19 又k为自然数,∴k≥6π,因此kmin=19. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.[探究点一·2023北京西城校级期中]用“五点法”作函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图象时,列表如下,则f(-1)=　　　　,f(0)+f( )=　　.  -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)列表: 用“五点法”描点、连线、作图得: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.[探究点四·2023福建城厢校级期末]设函数f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一个对称中心是( ,0). (1)求φ的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B级 关键能力提升练 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 A.[-1,1] B.[1,2] C.(-1,2] D.[-1,2] D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 AB 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.设f(x)=sin(2x+φ),φ∈[0,π),将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度得到g(x)的图象,若对任意x∈R,都有g(-x)=g(x),则φ=　　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.已知函数f(x)=Asin(ωx+ )(A>0,ω>0)的周期为π,且该函数图象上的最低点的纵坐标为-3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递增区间及对称轴方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 C级 学科素养创新练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 所以实数m的取值范围为[1,2). 其中|A|称为　　　,φ称为　　　　,T=称为　　　　,f=称为　　　.  - y=sin y=sin x的图象y=sin(x+φ)的图象　　 　　　的图象y=Asin(ωx+φ)的图象.  y=sin x的图象y=sin ωx的图象y=sin(ωx+φ)的图象y=Asin(ωx+φ)的图象. ①向左平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ②向右平移个单位长度,再将每个点的横坐标缩短为原来的; ③每个点的横坐标缩短为原来的,再向右平移个单位长度; ④每个点的横坐标缩短为原来的,再向左平移个单位长度. 其中能将函数y=sin x的图象变为函数y=sin(2x+)的图象的是(　　) 解析 ①将y=sin x的图象向左平移个单位长度得到y=sin(x+)的图象,再将各点的横坐标缩短为原来的,得到y=sin(2x+)的图象,符合要求. ②将y=sin x的图象向右平移个单位长度,得到y=sin(x-)的图象,再将各点的横坐标缩短为原来的,得到y=sin(2x-)的图象,不符合要求. ③将y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到y=sin 2x的图象,再向右平移个单位长度,得到y=sin 2(x-)=sin(2x-)的图象,不符合要求. ④将y=sin x图象上各点的横坐标缩短为原来的,得到y=sin 2x的图象,再向左平移个单位长度,得到y=sin 2(x+)=sin(2x+)的图象,符合要求. 当ωx+φ=　　　　　　　,即x=(k∈Z)时,y取得最大值A;当ωx+φ=　　　　　　　,即x=(k∈Z)时,y取得最小值-A.  2kπ+(k∈Z) 2kπ+(k∈Z) +2kπ(k∈Z) 当　　　　　　≤ωx+φ ≤　　　　　　,即x∈(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调递增;当__________　　　　　≤ωx+φ≤　　 　　,即x∈(k∈Z)时,函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)单调递减.  -+2kπ　 　+2kπ(k∈Z) 　+2kπ (k∈Z)　 (k∈Z) (多选题)对于函数f(x)=2sin(x+),下列结论正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期是π B.函数f(x)的最大值是2 C.函数f(x)的图象关于直线x=对称 D.函数f(x)的图象关于点(,0)对称 解析 对于函数f(x)=2sin(x+),它的最小正周期为2π,故A错误; 函数f(x)的最大值是2,故B正确; 令x=,求得f(x)=2,为最大值,可得它的图象关于直线x=对称,故C正确,D错误.故选BC. 解 令t=,列表如下: x - t 0 π 2π y 0 2 0 -2 0 规律方法　本例采用“五点法”作图,要注意,不是x取0,,π,,2π这五个值,而是换元后的t=取这五个值. 变式训练1已知函数f(x)=sin(2x-),请用“五点法”画出函数f(x)在一个周期[]上的简图. 解 因为f(x)=sin(2x-), 取值列表: x 2x- 0 π 2π f(x) 0 1 0 -1 0 【例2】 (1)[2023云南丽江一模]已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象上相邻两条对称轴的距离为,把f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　) 解析 ∵函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)图象上相邻两条对称轴的距离为, ∴,∴ω=2,f(x)=sin(2x+). 把f(x)图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,可得y=sin(x+)的图象,再把得到的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin(x-)=sin(x-)=cos x的图象,故选D. (2)[北师大版教材习题]为了得到函数y=sin(x-)的图象,只需将函数y=sin(x-)的图象上各点(　　) A.横坐标伸长为原来的倍,纵坐标不变 B.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变 C.纵坐标伸长为原来的倍,横坐标不变 D.纵坐标缩短为原来的,横坐标不变 变式训练2如何由函数y=sin(2x-)的图象得到函数y=sin x的图象? 解 把y=sin的图象上的所有点纵坐标变为原来的3倍,得y=sin的图象;再把图象上的所有点横坐标变为原来的2倍,得y=sin的图象;再把y=sin的图象向左平移个单位,得到y=sin x的图象. 解 由函数图象可知A=4,T=-(-)=4π,则ω=,所以y=4sin(x+φ). 由×(-)+φ=π+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z. 又0<φ<2π,故φ=. 综上可知,A=4,ω=,φ=. (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)≥的解的集合. 解 (1)由题中函数f(x)图象,可得A=2,T=,所以T=2π,因为ω>0,可得ω==1, 所以f(x)=2sin(x+φ). 又因为f(x)图象过点(,-2),可得2sin(+φ)=-2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又由0<φ<,所以φ=, 所以函数f(x)的解析式为f(x)=2sin(x+). (2)将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到g(x)=2sin(2x+),由g(x)≥,可得sin(2x+)≥,解得+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z. 所以kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 即不等式g(x)≥的解集为[kπ,kπ+],k∈Z. y=3sin(x-) 解 T==4π. 由2kπ-x-≤2kπ+(k∈Z),得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),所以函数y=3sin(x-)的单调递增区间为[4kπ-,4kπ+](k∈Z); 同理得单调递减区间为[4kπ+,4kπ+](k∈Z). 当x=4kπ+(k∈Z)时,ymax=3; 当x=4kπ-(k∈Z)时,ymin=-3. 所以值域为[-3,3]. 由x-=kπ+得x=2kπ+,k∈Z,所以函数图象的对称轴方程为x=2kπ+,k∈Z. 令x-=kπ得x=2kπ+,k∈Z,所以函数图象的对称中心坐标为(2kπ+,0)(k∈Z). 解 设x-=t. 因为0≤x≤2π,-≤t≤,所以当t=-时,ymin=-; 当t=时,ymax=-3.所以函数的值域为[-,-3]. 解 因为函数的单调递增区间为[4kπ-,4kπ+](k∈Z),当k=0时,-≤x≤,又函数的定义域为[0,2π],所以单调递增区间为[0,]. 解 (1)∵f(x)为偶函数,∴φ=kπ+,k∈Z. 又0<φ<π,∴φ=. (2)∵f(x)=sin(2x+φ)关于x=对称, ∴2×+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=kπ+(k∈Z). 又φ∈(0,π),∴φ=,∴f(x)=sin(2x+). 由2x+=kπ+(k∈Z),得函数f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z). 由2x+=kπ,得x=(k∈Z), ∴f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z),对称中心的坐标为(,0)(k∈Z). 变式训练4(1)求函数y=4sin(-x)的单调递增区间. (2)已知函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π),其图象的一条对称轴与相邻对称中心的横坐标相差,　　　　　.从以下两个条件中任选一个补充在空白横线中.  ①函数f(x)向左平移个单位长度得到的图象关于y轴对称且f(0)<0; ②函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=-且f()<1. 求函数f(x)的解析式. 解 (1)∵y=4sin=4sin(π+-x)=-4sin=4sin, ∴2kπ-≤x-≤2kπ+,k∈Z, ∴2kπ-≤x≤2kπ+,k∈Z, ∴函数y=4sin的单调递增区间为[2kπ-,2kπ+],k∈Z. (2)由题意可知,函数f(x)的周期为T=4×=π, ∴ω==2. 选①,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度,所得函数为y=2sin[2(x+)+φ]=2sin(2x++φ). 由于函数y=2sin(2x++φ)的图象关于y轴对称,可得+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z). ∵|φ|<π,∴φ的可能取值为-. 若φ=-,则f(x)=2sin(2x-),f(0)=2sin(-)=-1,符合题意; 若φ=,则f(x)=2sin(2x+),f(0)=2sin=1,不符合题意. ∴f(x)=2sin(2x-). 选②,∵函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=-,则2×(-)+φ=+kπ(k∈Z),解得φ=+kπ(k∈Z). ∵|φ|<π,∴φ的可能取值为-. 若φ=-,则f(x)=2sin(2x-),则f()=2sin(-)=-2<1,符合题意; 若φ=,则f(x)=2sin(2x+),则f()=2sin=2>1,不符合题意. ∴f(x)=2sin(2x-). 1.[探究点四]函数y=2sin的单调递增区间是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 2.[探究点二·2023上海杨浦校级期中]将函数y=sin x的图象上各点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变),再把所得图象向左平移个单位长度,得到的函数解析式为(　　) A.y=sin(2x+) B.y=sin(2x+) C.y=sin() D.y=sin() 3. [探究点三·2023云南西山校级模拟]如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象,则f()=(　　) A.- B.-1 C.- D. 4.[探究点四·2023福建南平模拟]已知函数f(x)=2sin(ωx+)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴间的距离为,则(　　) A.f(x)的周期为 B.f(x)在[-]上单调递增 C.f(x)的图象关于点(,0)对称 D.f(x)的图象关于直线x=对称 解析 ∵T=,且|T|≤1,即≤1. - x - 2 ωx+φ 0 π 2π f(x) 0 2 0 -2 0 7.[探究点四·2023贵州安顺期末]函数f(x)=5sin(2x+). (1)求f(x)的单调递增区间; (2)求f(x)在[-]上的值域. 解 (1)由-+2kπ≤2x++2kπ,k∈Z可得,-+2kπ≤2x≤+2kπ,k∈Z,所以-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,所以函数f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. (2)由-≤x≤可得,0≤2x+≤π, 所以0≤sin(2x+)≤1,0≤5sin(2x+)≤5, 所以函数f(x)在[-]上的值域为[0,5]. 8.[探究点一、二·2023云南嵩明期末]要得到函数y=2sin(2x-)的图象,可以从正弦函数y=sin x图象出发,通过图象变换得到,也可以用“五点法”列表、描点、连线得到. (1)由y=sin x图象变换得到函数y=2sin(2x-)的图象, 写出变换的步骤; (2)用“五点法”作图,画出函数y=2sin(2x-)在区间 []上的简图. 解 (1)步骤1,把y=sin x图象上所有点向右平移个单位长度,得到函数y=sin(x-)的图象; 步骤2,把y=sin(x-)图象上所有点的横坐标变为原来的(纵坐标不变),得到函数y=sin(2x-)的图象; 步骤3,最后把函数y=sin(2x-)的图象的纵坐标变为原来的2倍(横坐标不变),得到函数y=2sin(2x-)的图象. 2x- 0 π 2π x y 0 2 0 -2 0 解 (1)∵y=f(x)图象的一个对称中心是(,0). ∴sin(2×+φ)=0,∴2×+φ=kπ,k∈Z, ∴φ=kπ-,k∈Z,又-π<φ<0,∴φ=-. (2)由(1)得函数f(x)=sin(2x-),由2x-∈[-+2kπ,+2kπ],k∈Z得,x∈[-+kπ,+kπ],k∈Z,即f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. 10.[2023甘肃一模]将函数y=sin(2x+)图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,再将图象向右平移个单位长度,得到函数f(x)的图象,以下方程是函数f(x)图象的对称轴方程的是(　　) A.x=- B.x=- C.x= D.x= 11.[2023陕西模拟]已知直线x=-是函数f(x)=2sin(2x+φ)(|φ|<)图象的一条对称轴,则f(x)在[0,]上的值域为(　　) 解析 由题可知,-+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又因为|φ|<,所以φ=-,所以f(x)=2sin(2x-),由0≤x≤,得-≤2x-,则2sin(2x-)∈[-1,2],即f(x)在[0,]上的值域为[-1,2].故选D. 12.已知函数f(x)=sin(2x+),将其图象向右平移φ(φ>0)个单位后得到函数g(x)的图象,若函数g(x)为偶函数,则φ的最小值为(　　) A. B. C. D. 解析 由题意得g(x)=sin[2(x-φ)+]=sin(2x-2φ+)(φ>0),因为g(x)为偶函数,所以-2φ+=kπ+,k∈Z,解得φ=-,k∈Z,因为φ>0,所以当k=-1时,φmin=,故选B. 13. (多选题)[2023安徽安庆期末]已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,下列说法正确的是(　　) A.函数f(x)的最小正周期为π B.函数f(x)的图象关于直线x=-对称 C.函数f(x)图象向右平移个单位可得函数y=2sin x的图象 D.若方程f(x)=m(m∈R)在[-]上有两个不等实数根x1,x2,则cos(x1+x2)= 解析 由图可知A=2,,所以T=π,故A正确;因为T==π,所以ω=2,则f(x)=2sin(2x+φ),将点(,2)代入得2sin(+φ)=2,所以+φ=+2kπ,k∈Z,又|φ|<,所以φ=,所以f(x)=2sin(2x+), 对于B,因为f(-)=2sin(-)=-2,为最小值,所以函数f(x)的图象关于直线x=-对称,故B正确; 对于C,将函数f(x)图象向右平移个单位长度,可得函数y=2sin[2(x-)+] =2sin 2x,故C错误; 对于D,由条件结合图象可知,于是x1+x2=,所以cos(x1+x2)=cos,故D错误.故选AB. 解析 由题意知,g(x)=sin[2(x+)+φ]=sin(2x++φ),因为对任意x∈R,都有g(-x)=g(x),所以g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=+kπ,k∈Z,又因为φ∈[0,π),所以φ=. 解 (1)∵f(x)的周期为π, 又ω>0,T==π,∴ω==2. 又函数f(x)图象上的最低点纵坐标为-3,且A>0, ∴A=3.∴f(x)=3sin(2x+). (2)由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z, 可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,由2x++kπ,得函数图象的对称轴方程为x=,k∈Z. 16.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象大致如图. (1)求f(x)的单调递增区间; (2)将函数f(x)的图象向右平移个单位得到曲线C,把C上各点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍得到函数g(x)的图象.若关于x的方程g(x)-m=0在[0,]上有两个不同的实数解,求实数m的取值范围. 解 (1)根据题中图象,可得A=1,由,得ω=2,所以f(x)=cos(2x+φ),由2×+φ=2kπ,k∈Z,|φ|≤,得φ=-,所以f(x)=cos(2x- 令2kπ-π≤2x-≤2kπ,k∈Z, 得-+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 所以f(x)的单调递增区间为[-+kπ,+kπ],k∈Z. (2)由题得到g(x)=2sin(2x-)的图象. 由g(x)-m=0在[0,]上有两个不同的实数解, 即m=2sin(2x-)在[0,]上有两个不同的实数解, 因为x∈[0,],设t=2x-∈[-], 则需直线y=m与y=2sin t的图象在t∈[-]上有两个不同的公共点. 画出y=2sin t在t∈[-]时的图象(图略). $$