精品解析：浙江省绍兴市诸暨市2023-2024学年八年级下学期期中数学试题

暨阳初中教育共同体2023学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 3. 若是最简二次根式，则的值可能是（ ） A 24 B. 25 C. 26 D. 27 4. 平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称图形 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2024 D. 2023 9. 如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ） A 6 B. 7 C. 2 D. 3 二、填空题（本区有6小题，每题3分，共18分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 12. 如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是________． 13. 如果一组数据，，，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是______． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 16. 如图1为停车场出入口的车辆识别道闸，机箱高8分米，与墙面的距离分米，静止时档杆为长方形．当车辆通行时，档杆升起降下，各边长度保持不变，如图2所示，当档杆升至点恰好与点高度相同时，点到地面的距离为15分米，则________分米．当档杆升至离地距离为16分米时，到的距离为到距离的3倍，则________分米． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，比赛结束后（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表． 一班成绩统计表： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______； （2）将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整； （3）经计算，二班的平均分是分，中位数是8分；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好． 20. 如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 22. 配方法是数学中重要一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），求m，n的值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 23. 如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是，B是y轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E，H分别在边和上，将沿着对折，使点B落在上的点F处，将沿着对折，使点A落在上的点G处． （1）求证：四边形是平行四边形． （2）如图2，当点F，G重合时，求点B坐标，判断四边形的形状，并说明理由． （3）当点F，G将对角线三等分时，求点B的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 暨阳初中教育共同体2023学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 分值：100分 时间：90分钟 一、选择题（本题有10小题，每题3分，共30分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义（含有一个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程）进行判断即可． 【详解】解：A．是一元二次方程，故本选项符合题意； B．含有2个未知数，故本选项不合题意； C．未知数的最高次数是1，故本选项不合题意； D．是分式方程，故本选项不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，解题时，要注意两个方面：1、一元二次方程包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2；2、一元二次方程的一般形式是． 2. 下列数学曲线中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 笛卡尔心形线 B. 卡西尼卵形线 C. 赵爽弦图 D. 费马螺线 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合要求； B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合要求； C不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； D不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合要求； 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的识别．解题的关键在于熟练掌握：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 3. 若是最简二次根式，则的值可能是（ ） A. 24 B. 25 C. 26 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； C选项，是最简二次根式，故该选项符合题意； D选项，，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是最简二次根式的有关知识，由题意根据最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 4. 在平行四边形中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，根据平行四边形的两个对角相等，邻角互补求解即可． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5. 在元旦节目汇演比赛中，7位评委给某节目打分，得到互不相等的7个分值，同时去掉一个最高分和一个最低分，则以下四种统计量中一定不会发生改变的是（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 标准差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，根据平均数、众数、中位数、方差的意义即可求解． 【详解】解：根据题意，从7个原始评分中去掉个最高分和个最低分，得到5个有效评分． 5个有效评分与7个原始评分相比，不变的是中位数． 故选：B． 6. 矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ） A. 对角相等 B. 对边平行且相等 C. 对角线相等 D. 中心对称图形 【答案】C 【解析】 【分析】矩形的性质：对边平行且性质，四个角都是直角，对角线相等且互相平分，菱形的性质，四条边相等，对边平行，对角相等，对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角，矩形与菱形都是轴对称图形与中心对称图形，根据矩形与菱形的性质即可解答本题． 【详解】解：矩形与菱形的对角相等，故A不符合题意； 矩形与菱形的对边平行且相等，故B不符合题意； 矩形对角线相等，菱形的对角线互相垂直，故C符合题意； 矩形与菱形都是中心对称图形，故D不符合题意； 故选C 【点睛】本题考查了矩形与菱形的性质，中心对称图形的含义，解题的关键是熟练掌握矩形与菱形的性质． 7. 牛顿曾说过：“反证法是数学家最精良的武器之一．”那么我们用反证法证明：“在同一平面内，若，，则”时，首先应假设（ ） A. B. C. 与相交 D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】用反证法证明问题的关键是清楚结论的反面是什么，写出与结论相反的假设即可 【详解】解：反证法证明命题“在同一平面内，若，，则”时， 首先应假设与不平行，即与相交． 故选：D． 【点睛】本题考查的是反证法的应用，解题的关键是要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 8. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为（ ） A. 2025 B. 2023 C. 2024 D. 2023 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，本题的关键是明确两根之和为． 先根据一元二次方程根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ， ， 故选：A． 9. 如图，矩形的两对角线相交于点，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据矩形的性质可得，，根据，可得是等边三角形，，在中，根据含角的直角三角形的性质可得的值，根据矩形的面积计算方法即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵对角线相交于点，， ∴，即是等边三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴矩形的面积为， 故选：． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质的综合等知识，掌握以上知识是解题的关键． 10. 如图，在中，，若将该三角形往任意一方向一次性平移4个单位得到，分别取边的中点，则线段的长可能是（ ） A. 6 B. 7 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平移的性质、三角形中位线定理、三角形的三边关系，取的中点，连接，根据平移的性质得到，根据三角形中位线定理求出，再根据三角形的三边关系计算即可． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 由平移的性质可知：， 点Q是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， 在中， ， ， 线段的长可能是3， 故选：D． 二、填空题（本区有6小题，每题3分，共18分） 11. 若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是_____． 【答案】9 【解析】 【详解】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9． 故答案为：9． 12. 如果关于的一元二次方程有一个解是0，那么的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的解的定义，首先把方程的解代入原方程中即可求出待定字母的值，然后就可以求出方程的解； 由于的一元二次方程有一个根为0，直接把代入方程中，二次项系数不为0，即可求出的值． 【详解】∵关于的一元二次方程有一个根为0， 将代入原方程中得 当时， 故答案为：． 13. 如果一组数据，，，的方差是5，则另一组数据，，…，的方差是______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．根据方差定义去化简计算即可． 【详解】解：记，，，的平均数为，则， 数据，，…，的平均数为， 由题意得，， ∴数据，，…，的方差为 ； 故答案为：20． 14. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】## 【解析】 【分析】依据数轴即可得到，即可化简． 【详解】解：由题可得，， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，解决问题的关键是掌握二次根式的性质以及绝对值的性质． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】k＞且k≠1. 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可． 【详解】根据题意得k﹣1≠0且△=22﹣4（k﹣1）×（﹣2）＞0， 解得：k＞且k≠1． 故答案为k＞且k≠1． 考点：根的判别式；一元二次方程的定义. 16. 如图1为停车场出入口的车辆识别道闸，机箱高8分米，与墙面的距离分米，静止时档杆为长方形．当车辆通行时，档杆升起降下，各边长度保持不变，如图2所示，当档杆升至点恰好与点高度相同时，点到地面的距离为15分米，则________分米．当档杆升至离地距离为16分米时，到的距离为到距离的3倍，则________分米． 【答案】 ①. 1 ②. 25 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，矩形的判定与性质，解一元二次方程，正确作出辅助线构造直角三角形是解答本题的关键．延长交于点P，交于点K，延长交于点T，交于点L，延长交于点O，则四边形、四边形、四边形都是矩形，先求出的长，再求出的长，设，利用勾股定理求出x的值，进而可求出的长． 【详解】如图，延长交于点P，交于点K，延长交于点T，交于点L，延长交于点O， 则四边形、四边形、四边形都是矩形， 由题意，得，，，， ∴（分米）， ∴（分米）， ∴（分米）， ∵到的距离为到距离的3倍， ∴设， ∴． ∵， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴（分米）． 故答案为：1；25． 三、解答题（本题有7小题，共52分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）先化简二次根式，根据二次根式的除法法则运算，再计算加减即可； （2）先利用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），． （2），． 【解析】 【分析】本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，在解答此类问题时要根据方程的特点选择适当的方法． （1）提取公因式，把方程化为两个因式积的形式，求出的值即可； （2）先移项，再把方程化为两个因式积的形式，求出的值即可； 【小问1详解】 解： ， ， 或， ，． 【小问2详解】 解：， ， ， 或， ，． 19. 某校八年级举办的数学学科知识竞赛，总体成绩取得前两名的一班和二班参加的人数相等，比赛结束后（满分10分）．依据统计数据绘制了如图所示的不完整的统计图表． 一班成绩统计表： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 8 （1）在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于______； （2）将一班成绩统计表和二班成绩条形统计图补充完整； （3）经计算，二班的平均分是分，中位数是8分；并从平均分和中位数的角度分析哪个班级成绩较好． 【答案】（1）144 （2）见解析 （3）二班的成绩好 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，求平均数和中位数： （1）用二班得分为10分的人数乘以其圆心角度数再除以360度求出参与调查的总人数，再由360度乘以得分为7分的人数占比即可得到答案； （2）求出一班得分为9分的人数，二班得分为8分的人数，进而补全统计图和统计表即可； （3）先求出一班的中位数和平均数，再与二班的中位数和平均数进行比较即可得到答案． 【小问1详解】 解： 人， ∴二班参与调查的人数为20人， ∴在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于， 故答案为：144； 【小问2详解】 解：一班得分为9分的人数为人 二班得分为7分的人数为人， 补全统计图和统计表如下： 分数 7分 8分 9分 10分 人数 11 0 1 8 【小问3详解】 解：一班的平均分为（分），结合中位数的概念，可得一班的中位数为7分， 而二班校的平均分是8．3分，中位数是8分， 从平均分、中位数的角度分析，两个班级的平均分相同，二班的中位数一班的中位数， 可知二班成绩好． 20. 如图，E，F是四边形对角线上两点，，，．求证： （1） （2）四边形是平行四边形． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用两边和它们的夹角对应相等的两三角形全等，这一判定定理即可证明． （2）由，可证明且，可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 【小问1详解】 证明：， ， ∴， 在和中， ， ； 【小问2详解】 证明：由（1）知， ，， ． 四边形是平行四边形． 21. 某商场销售一批衬衫，平均每天可以售出20件，每件盈利40元．为回馈顾客，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件． （1）若每件衬衫降价5元，商场可售出多少件？ （2）若商场每天的盈利要达到1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【答案】（1）30件；（2）每件衬衫应降价10元或20元 【解析】 【分析】（1）根据“每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件”直接计算即可得出答案； （2）设每件衬衫应降价x元，商场每天要获利润1200元，可列方程求解． 【详解】解：（1）∵每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件， ∴每件衬衫降价5元，可售出20+5×2＝30（件）； （2）设每件衬衫应降价x元，据题意得： （40﹣x）（20+2x）＝1200， 解得：x＝10或x＝20． 答：每件衬衫应降价10元或20元． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，准确抓住题目中的相等关系，列出方程是解题的关键． 22. 配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 解决问题：（1）若可配方成、为常数），求m，n值； 探究问题：（2）已知，求的值； （3）已知（x、y都是整数，k是常数），要使s的最小值为2，试求出k的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了配方法的应用，非负数的性质，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）把变形为，即可得出，； （2）已知等式利用完全平方公式配方后，根据非负数的性质求出与的值，即可求出的值； （3）由得出，根据，是整数，得出，也是整数，求出的最小值为0，的最小值为1，根据S的最小值为2，得出，求出k的值即可． 详解】解：（1）∵， ∴，， （2）∵， ∴， ∴， ，， ，， 解得：，， ∴； （3） ， ，是整数， ，也是整数， ∴的最小值为0，的最小值为0， ∵S的最小值为2， ∴， 解得：． 23. 如图1，已知O是坐标原点，点A的坐标是，B是y轴正半轴上一动点，以，为边作矩形，点E，H分别在边和上，将沿着对折，使点B落在上的点F处，将沿着对折，使点A落在上的点G处． （1）求证：四边形平行四边形． （2）如图2，当点F，G重合时，求点B的坐标，判断四边形的形状，并说明理由． （3）当点F，G将对角线三等分时，求点B的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）点B的坐标是；四边形是菱形，理由见解析 （3）点B的坐标是 【解析】 【分析】本题是几何变换综合题，考查了矩形的性质、平行四边形和菱形的判定方法和折叠的性质；理解坐标与图形的性质；会运用勾股定理进行几何计算；能运用分类讨论的思想解决数学问题是关键． （1）根据矩形的性质得，再利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质得到，，所以，根据平行线的判定定理得，加上，于是可根据平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形； （2）先根据折叠的性质得，由点F，G重合得到，根据菱形的判定方法得到平行四边形是菱形，则，所以，而，根据三角形内角和定理可计算出，在中，根据含30度的直角三角形三边的关系得，于是得到点B的坐标是； （3）分类讨论：当点F在点O，G之间时，根据折叠的性质得，则，所以，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则点B的坐标是；当点G在O，F之间时，同理可得，设，则，在中，根据勾股定理得，解得，则，所以点B的坐标是． 【小问1详解】 证明：∵四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：点B的坐标是；四边形是菱形．理由如下： ∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处， ∴， ∵点F，G重合， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点A的坐标是， ∴， ∴， 在中，， ∴点B的坐标是； 【小问3详解】 解：当点F在点O，G之间时，如图， ∵沿着对折，使点B落在上的F点处；沿着对折，使点A落在上的G点处， ∴， 而， ∴， ∵点F，G将对角线三等分， ∴， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点B的坐标是； 当点G在O，F之间时，如图， 同理可得， 设，则， 在中，， ∵， ∴，解得， ∴， ∴点B的坐标是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$