21.1一元二次方程 导学案2024--2025学年人教版数学九年级上册

21.1一元二次方程 【学习目标】 学生经历对现实问题中量的分析,借助用字母表达的未知数,建立两个量之间关系的过程,知道方程是现实问题中含有未知数的等量关系的数学表达;建立模型观念。 【学习过程】 1、 自主学习: 1.前面我们学习了一元一次方程、分式方程。请说明经历了怎样的学习过程。 2.设未知数列方程。 (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25,求正方形的边长? (2) 一个矩形的长比宽多1 cm,面积是132 cm2,矩形的长和宽各是多少? (3) 把长为1的木条分成两段,使较短一段的长与全长的积,等于较长一段长的平方,求较短一段的长. (4) 参加一次聚会的每两人都握了一次手,所有人共握手10次,有多少人参加聚会? (5) 对于上抛物体,在不计空气阻力的情况下,物体上升高度h(m)与抛出时间t(s)有如下关系:h=v0t -gt2. 其中,v0(m/s)是上抛物体的初速度,g(m/s)是重力加速度,如果以25 m/s的初速度向上抛出一物体,求它在距离抛出点20m的高处时的时间?(g取10 m/s) (6) 要组织一次排球邀请赛,参赛的每两个队之间都要比赛一场。根据场地和时间等条件,赛程计划安排7天,每天安排4场比赛,比赛组织者应邀请多少个队参赛? (7) 如图,有一块矩形铁皮,长100cm,宽50 cm,在它的四角各切去一个同样的正方形,然后将四周突出部分折起,就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为3600 cm2,那么铁皮各角应切去多大的正方形? (8) 一个长为10 m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m.如果梯子的顶端下滑l m,那么梯子的底端滑动多少米? 2、 独立思考: 1、你会解哪些方程?它们是我们学过的方程吗?为什么? 2、根据前面学习的几种方程,你能给方程下定义吗?为什么这样定义呢? 3、请正确地指出上述未学过的方程中a、b、c的值? 4、类比一元一次方程的解、分式方程的解。说明什么是一元二次方程的解(根)? 3、 合作探究 1.一元二次方程的一般形式是怎样的?a可以等于0吗?b、c呢?为什么? 2.方程( a- 1 ) x 2 +ax - 5= 0中,x是未知数,a表示一个已知的实数,那么,它一定是一元二次方程吗?为什么?怎样判断这个方程的类型? 3.若a是方程的一个根,求的值。 4、 应用探究 (一)单选题 1.(北京市通州区23-24学年八年级下学期期末数学试题)一元二次方程的一次项系数是( ) A.2 B.3 C.4 D. 2.(23-24八年级下 云南 期末)下列方程是关于x的一元二次方程的是( ) A. B. C. D. 3.(23-24八年级下 安徽安庆 期末)已知多项式的值是,则多项的值是( ) A. B. C. D. x … 0 1 2 3 … … 10 4 0 0 … 4.(23-24八年级下 浙江湖州 期末)下表是某同学求代数式的值的情况,根据表格可知方程的根是( ) A. B. C.或 D.或 5.(23-24八年级下 黑龙江哈尔滨 期末)已知关于的方程是一元二次方程,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 6.(23-24八年级下 重庆沙坪坝 期末)若关于的一元二次方程的一个根是,则代数式的值为( ) A. B.2018 C. D.2024 (二)填空题 7.(23-24八年级下 福建厦门 期末)若方程的一根为1,则 . 8.(2024 广东清远 二模)如果是一元二次方程的一个解,则的值是 . 9.(2023 湖北孝感 一模)已知一元二次方程,将其化成二次项系数为正数的一般形式后,它的常数项是 . 10.(23-24八年级下 江苏淮安 阶段练习)已知m是方程的一个根,则的值为 . 11.(23-24八年级下 浙江宁波 期末)若关于x的方程为一元二次方程,则m的值是 . 12.(23-24九年级上 湖南怀化 期中)一元二次方程的二次项系数和常数项的和是 . (三)解答题 13.(23-24八年级下 全国 假期作业)将下列方程化成一元二次方程的一般形式,并写出二次项系数、一次项系数和常数项. (1); (2); (3)关于的方程. 14.(23-24九年级上 山东临沂 阶段练习)已知都是方程的根,求a、b的值,并写出这个一元二次方程的一般形式. 15.(23-24八年级下 安徽滁州 阶段练习)已知是一元二次方程的一个根,求的值. 16.(2024八年级下 上海 专题练习)阅读下题的材料: 已知:是一元二次方程的根,求的值. 小明是这样做的:将代入中,得到;两边同时除以,得到;解得. 小芳觉得小明的做法不对,将其改为:将代入中,得到;移项,得;解得,,.你认为他们两人的做法正确吗?说明理由. 五、拓展探究 17.(23-24九年级上 广西钦州 阶段练习)【阅读材料】 【问题】已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的2倍. 解:设所求方程的根为,则,所以,把,代入已知方程,得. 化简,得,故所求方程为. 这种利用方程根的代换求新方程的方法,我们称为“换根法”. 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求:把所求方程化为一般形式): 【类比探究】 (1)已知方程,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为_; 【拓展运用】 (2)已知关于的一元二次方程有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的倒数. 18.(23-24八年级下 黑龙江哈尔滨 期中)如图所示,四边形是证明勾股定理时用到的一个图形,a、b、c是和的边长,易知,这时我们把关于x的形如的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”.请解决下列问题: (1)试判断方程是否为“勾系一元二次方程”. (2)若是“勾系一元二次方程”的一个根,且四边形的周长是12,求的面积. 试卷第1页,共3页 试卷第1页,共3页 学科网(北京)股份有限公司 参考答案: 1.D 2.D 3.A 4.C 5.A 6.D 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13.(1),二次项系数为3,一次项系数为,常数项为 (2),二次项系数为3,一次项系数为,常数项为0 (3),二次项系数为,一次项系数为,常数项为 14.,, 15.2 16.都不对,不能直接约去,因为有可能有0. 正确的解答:把代入,化简,得 ,,或,,解得或,. 是一元二次方程,,或. 17.类比探究(1);拓展运用(2)所求方程为 18.(1)是勾系一元二次方程; (2)2. $$