8.1 成对数据的统计相关性 同步练习-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

8.1成对数据的统计相关性 同步练习-2023--2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册 一、选择题 1．下列说法中正确的有（　　） A．已知互不相同的30个样本数据，若去掉其中最大和最小的数据，则剩下28个数据的分位数可能等于原样本数据的分位数； B．若A、B两组成对数据的样本相关系数分别为，则组数据比组数据的线性相关性强； C．设随机变量，则； D．某人参加一次游戏，游戏有三个题目，每个题目答对的概率都为0.5，答对题数多于答错题数可得4分，否则得2分，则某人参加游戏得分的期望为3 2．如图，由观测数据的散点图可知，与的关系可以用模型拟合，设，利用最小二乘法求得关于的回归方程．已知， ，则（　　） A． B． C．1 D．． 3．已知气候温度和海水表层温度相关，且相关系数为正数，对此描述正确的是(　　) A．气候温度高，海水表层温度就高 B．气候温度高，海水表层温度就低 C．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈上升趋势 D．随着气候温度由低到高，海水表层温度呈下降趋势 4．下列图中，相关性系数最大的是（　　） A． B． C． D． 5． 下列关于统计概率知识的判断，正确的是（　　） A．将总体划分为层，通过分层随机抽样，得到两层的样本平均数和样本方差分别为、和，且已知，则总体方差 B．在研究成对数据的相关关系时，相关关系越强，相关系数越接近于 C．若，，则事件、相互独立 D．某医院住院的位新冠患者的潜伏天数分别为、、、、、、、，则该样本数据的第百分位数为 6． 下列说法错误的是（　　） A．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2个单位 B．若变量和之间的样本相关系数为，则变量和之间的负相关很强 C．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 D．决定系数越大，模型的拟合效果越好 7．对于一组具有线性相关关系的数据，根据最小二乘法求得经验回归方程为，则以下说法正确的是（　　） A．至少有一个样本点落在回归直线上 B．预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C．决定系数越小，说明该模型的拟合效果越好 D．在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高 8．下列说法正确的是（　　） A．线性回归分析中决定系数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好 B．两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1 C．正态分布的图象越瘦高，越大 D．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好 二、多项选择题 9． 如下图所示，5个数据，去掉后，下列说法正确的是（　　） A．相关系数r变大 B．残差平方和变大 C．决定系数变小 D．解释变量x与响应变量y的相关性变强 10．下列选项中正确的有（　　） A．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1 B．在残差图中，残差点分布的水平带状区域越窄，说明模型的拟合精度越高 C．已知随机变量服从正态分布，则 D．若数据的方差为8，则数据的方差为2 11．对两个变量和进行回归分析，则下列说法正确的是（　　） A．在比较两个回归模型的拟合程度时，决定系数越大，拟合效果越好 B．若变量和具有线性相关关系，则回归直线方程至少经过样本点的其中一个点 C．建立两个回归模型，模型1的线性相关系数，模型2的线性相关系数，则模型1的线性相关性更强 D．残差图中的点均匀地分布在一条水平的带状区域内，该带状区域宽度越窄，模型的拟合效果越好 三、填空题 12．用线性回归模型求得甲、乙、丙组不同的数据对应的的值分别为，其中　 　（填甲、乙、丙中的一个）组数据的线性回归的效果最好. 13．已知成对样本数据，，，中，，，互不相等，且所有样本点都在直线上，则这组成对样本数据的样本相关系数　 　． 14．下列关系中，属于相关关系的是　 　． ①正方形的边长和面积之间的关系； ②水稻产量与施肥量之间的关系； ③人的身高与学习成绩之间的关系； ④降雪量与交通事故的发生率之间的关系． 四、解答题 15．研究表明，温度的突然变化会引起机体产生呼吸道上皮组织的生理不良反应，从而导致呼吸系统疾病的发生或恶化.某中学数学建模社团成员欲研究昼夜温差大小与该校高三学生患感冒人数多少之间的关系，他们记录了某周连续六天的温差，并到校医务室查阅了这六天中每天高三学生新增患感冒而就诊的人数，得到资料如下： 日期 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 昼夜温差x（℃） 4 7 8 9 14 12 新增就诊人数y（位） 参考数据：，. （1）已知第一天新增患感冒而就诊的学生中有7位女生，从第一天新增的患感冒而就诊的学生中随机抽取3位，若抽取的3人中至少有一位男生的概率为，求的值； （2）已知两个变量与之间的样本相关系数，请用最小二乘法求出关于的经验回归方程，据此估计昼夜温差为时，该校高三学生新增患感冒的学生数（结果保留整数）. 参考公式：，. 16．新冠肺炎疫情发生以来，中医药全面参与疫情防控救治，做出了重要贡献．日前公布的《“十四五”中医药发展规划》提出，提升中医药参与新发突发传染病防治和公共卫生事件的应急处置能力．某中药企业决定加大中药产品的科研投入，根据市场调研和模拟，得到科研投入x（亿元）与产品的收益y（亿元）的数据统计如下： 投入x（亿元） 2 3 4 5 6 产品收益y（亿元） 3 7 9 10 11 参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：． 本题相关数据：． （1）是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明（当时，变量x，y有较强的线性相关关系）； （2）利用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程，并预测当科研投入为10亿元时产品的收益． 17．人口结构的变化能明显影响住房需求.当一个地区青壮年人口占比高，住房需求就会增加，而当一个地区老龄化严重，住房需求就会下降.某机构随机选取了某个地区的10个城市，统计了每个城市的老龄化率和空置率，得到如下表格. 城市 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总和 老龄化率 0.17 0.2 0.18 0.05 0.21 0.09 0.19 0.3 0.17 0.24 1.8 空置率 0.06 0.13 0.09 0.05 0.09 0.08 0.11 0.15 0.16 0.28 1.2 经计算得. （1）若老龄化率不低于，则该城市为超级老龄化城市，根据表中数据，估计该地区城市为超级老龄化城市的频率； （2）估计该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数（结果精确到0.01）. 参考公式：样本相关系数 答案 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】C 【解析】【解答】解：因为气候温度和海水表层温度的相关系数为正数，所以随着气候温度由低到高时，海水表层温度呈上升趋势，但气候温度高，海水表层的温度是高是低无法确定确定. 故答案为：C. 【分析】根据相关系数的性质判断即可. 4．【答案】A 【解析】【解答】解：由图可知：A图散点分布比较集中，且大体分布在某一条直线附近，线性回归模型拟合效果比较好，呈现明显的正相关，且值相比于BCD图更接近1. 故答案为：A. 【分析】根据点的分布特征直接判断即可. 5．【答案】C 【解析】【解答】解：A、设层数据分别为、、、；、、、， 且，则总体平均数为， ，， 故总体方差为， 则， 当或时，，否则，故A错误； B、相关关系越强，相关系数的绝对值越接近于，故B错误； C、由条件概率公式得，则，， 故，则事件、相互独立，故C正确； D、将样本数据由小到大排列分别为、、、、、、、，该样本数据的第百分位数为，故D错误. 故答案为：C. 【分析】利用方差公式即可判断A；利用相关系数与线性相关关系即可判断B；利用条件概率公式以及独立事件的定义即可判断C；利用百分位数的定义即可判断D. 6．【答案】A 【解析】【解答】解：A、因为回归方程，所以当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均减少2个单位，故A错误； B、因为相关系数为，且接近于1，所以变量和之间的负相关很强，故B正确； C、残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故C正确； D、决定系数越大，模型的拟合效果越好，故D正确； 故答案为：A. 【分析】根据经验回归方程的解析式即可判断A；根据相关系数r的意义即可判断B；根据残差的定义计算即可判断C；根据决定系数的意义即可判断D； 7．【答案】D 【解析】【解答】解：A、对于一组具有线性相关关系的数据，可能所有的样本点都不在回归直线上，故A错误； B、预报变量的值由解释变量进行估计，故B错误； C、相关系数越小，残差的平方和越大，说明该模型的拟合效果越不好，故C错误； D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高，故D正确. 故答案为：D. 【分析】由线性回归方程的特点即可判断A与B；由相关指数与预报效果间的关系即可判断C；由残差图的形状与拟合效果间的关系即可判断D. 8．【答案】D 【解析】【解答】解：模型的拟合效果越好，因为 值越大，故A错误； 两个随机变量的线性相关性越强， 则 的绝对值越接近于 1 ， 故B错误； 正态分布 越小，的图象越瘦高，故C错误； 残差平方和越小的模型，拟合的效果越好，故D正确. 故答案为：D. 【分析】利用统计相关性和正态分布知识进行判断即可. 9．【答案】A,D 【解析】【解答】解：由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关， 所以相关系数的值变大，决定系数的值变大，残差平方和变小. 故答案为：AD. 【分析】由散点图知，去掉离群点后，与的相关性变强，且为正相关，再结合相关系数，决定系数，残差平方和的统计学意义，可判断选项，据此可选出答案. 10．【答案】A,B,D 11．【答案】A,C,D 【解析】【解答】解：系数R2越大，拟合效果越好，故A正确； 回归方程必过样本中心点()，故B错误； 相关系数的绝对值越接近1，则相关必更强，故C正确； 残差图越窄，表示实际值与理论值越接近，即拟合效果越好，故D正确. 故答案为：ACD 【分析】根据相关系数、线性回归方程、残差等相关识记的概念直接进行判断即可. 12．【答案】乙 【解析】【解答】解：线性回归模型中越接近1，效果越好，故乙效果最好． 故答案为：乙. 【分析】根据所表示的意义，可直接得出结论. 13．【答案】 【解析】【解答】解：所有样本点都在直线上，直线斜率， 样本数据成负相关，这组成对样本数据的样本相关系数 . 故答案为：-1. 【分析】根据相关系数的定义计算求解. 14．【答案】②④ 【解析】【解答】两变量之间的关系有两种：函数关系与相关关系．①正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；②水稻产量与施肥量之间的关系是相关关系；③人的身高与学习成绩之间的关系既不是函数关系，也不是相关关系；④降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系． 【分析】利用已知条件结合变量间相关关系的判断方法，进而找出满足要求的序号。 15．【答案】（1）解：，， 又，， （2）解：，， . ， ，. 又，， 解得. ，. 当时，， 可以估计，昼夜温差为15℃时，该校新增患感冒的学生数为33人. 【解析】【分析】 （1）至少有一位男生的对立事件是没有男生，再由求解； （2）根据样本相关系数，求得，再利用公式求得即可. 16．【答案】（1）解：由表中数据可得，， ，，， ， 变量x、y有较强的线性相关关系，可用线性回归模型拟合y与x的关系． （2）解：由（1）知，所以， 故y关于x的回归方程为， 将代入回归方程可得，， 故预测投入10（亿元）时产品的收益为19.4（亿元）． 17．【答案】（1）解：由表中数据可知，调查的10个城市中，老龄化率不低于的有4个，故估计该地区城市为超级老龄化城市的频率为 （2）解：， 则 . 故该地区城市的老龄化率和空置率的相关系数约为0.63 【解析】【分析】（1）由已知数据确定老龄化率不低于的城市个数后用频率估计概率； （2）根据样本相关系数公式计算相关系数求解即可． 学科网（北京）股份有限公司 $$