5.1 导数的概念及其意义 练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义 练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册 一、选择题 1．某运动物体的位移（单位：米）关于时间（单位：秒）的函数关系式为，则该物体在秒时的瞬时速度为（　　） A．9米/秒 B．8米/秒 C．7米/秒 D．6米/秒 2．函数的图象在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 3．已知函数，则在点处的切线的斜率为（　　） A．3 B．2 C．1 D．-1 4．曲线在点处的切线与直线平行，则（　　） A． B． C．1 D．2 5．一质点沿直线运动，位移（单位：米）与时间（单位：秒）之间的关系为，则质点在秒时的瞬时速度为（　　） A．1米/秒 B．2米/秒 C．3米/秒 D．4米/秒 6．已知函数，则（　　） A．-11520 B．-23040 C．11520 D．23040 7．已知函数在上可导，且满足，则曲线在点处的切线方程为（　　） A． B． C． D． 8．若函数在处的导数等于2，则的值为（　　） A．4 B．2 C．0 D． 二、多项选择题 9．一个质量为4kg的物体做直线运动，该物体的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，且（表示物体的动能，单位：J；m表示物体的质量，单位：kg；v表示物体的瞬时速度，单位：m/s），则（　　） A．该物体瞬时速度的最小值为1m/s B．该物体瞬时速度的最小值为2m/s C．该物体在第1s时的动能为16J D．该物体在第1s时的动能为8J 10．下列求导运算正确的是（　　）． A． B． C． D． 11．已知函数，则(　　) A．在定义域上单调递增 B．曲线上任意一点处的切线斜率大于0 C．的图象关于点对称 D． 三、填空题 12．已知函数在R上连续且存在导函数，对任意实数x满足，当时，.若，则a的取值范围是　 　. 13．已知函数在上仅有两个零点，则实数的取值范围是　 　. 14． 已知函数有且仅有一条切线经过点.若，恒成立，则实数的最大值是　 　. 四、解答题 15．已知函数，． （1）当时，求在处的切线方程； （2）讨论的单调性． 16．已知函数，的解集为. （1）求a，b的值； （2）若是定义在R上的奇函数，且当时， （ⅰ）求的解析式 （ⅱ）求不等式的解集. 17．已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程． （2）若有极小值，且极小值小于0，求的取值范围． 18．已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）求函数的单调区间和极值． 19．已知函数在点处的切线与直线垂直. （1）求的值； （2）求函数的极值. 答案 1．【答案】A 2．【答案】A 【解析】【解答】解：因为，．由， 所以切线的斜率为 所以切线的方程为， 故答案为：A． 【分析】利用导数的几何和直线的点斜式方程，从而求解. 3．【答案】C 4．【答案】C 【解析】【解答】解：因为， 所以，解得a=1， 故答案为：C. 【分析】直接对函数 求导，再根据函数f(x)在（0，1)处的切线与y=2x平行即可求解. 5．【答案】C 6．【答案】A 【解析】【解答】解：令， 则，， 则. 故答案为：A. 【分析】令，则，对函数求导后结合导数的定义求解即可. 7．【答案】A 【解析】【解答】解： 由导数的定义知，而得f'(x)=1， 故切线的斜率为1，故切线方程为y-1=1(x-1)，即y=x. 故答案为：A. 【分析】根据导数的定义与题中的条件可知切线的斜率，由点斜式求出切线方程. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：由已知得 ， 故答案为：A. 【分析】根据导数的定义化简求值即可. 9．【答案】A,D 【解析】【解答】解：由题意得，， 对函数进行求导可得，， 即该物体瞬时速度的最小值为，A正确，B错误. 由，得， 所以该物体在第时的动能为，C错误，D正确. 故答案为：AD. 【分析】对函数进行求导，并结合二次函数的最值问题可求得瞬时速度的最小值，再借助所给动能公式计算即可. 10．【答案】B,C 【解析】【解答】解：对于A选项：，故A选项错误； 对于B选项：，故B选项正确； 对于C选项：，则C选项正确， 对于D选项：，故D选项错误. 故答案为：BC. 【分析】本题主要考查导数的运算规则及性质，根据导数的运算规则及性质对各个选项逐个化简求导即可求解. 11．【答案】B,D 【解析】【解答】解：对于A选项：，，又根据复合函数的单调性可得在和上单调递增，当时，，当时，，所以在定义域上不是单调递增，故A选项错误； 对于B选项：因为，所以 曲线上任意一点处的切线斜率大于0 ，故B选项正确； 对于C选项：，则，所以 的图象关于点对称，故C选项错误； 对于D选项：因为又根据C选项知：可知D选项正确. 故答案为：BD. 【分析】本题主要考查函数的单调性，对称性，导数的几何意义，由指数型复合函数单调性即可判定A选项；求导后，利用导数的几何意义即可判定B选项；根据题意证得：，据此即可判定C选项；根据C选项的结论即可判定D选项. 12．【答案】 13．【答案】 【解析】【解答】解：令， 则， 令； 由函数在上仅有两个零点， 只需在上仅有两个交点； 作图，画出图象分析： 记图象的公切点为， 即同时在图象上， 即在点A处的切线斜率相等， 则有， ， 所以 所以， 由为向右平移a个单位， 当移到B点是刚好为3个交点，及a平移只能是A到B之间， 所以. 故答案为：. 【分析】零点问题转化为的交点问题，画出函数图象进行平移分析即可得到答案. 14．【答案】 【解析】【解答】解：函数定义域为，， 设切点为， 由题意，有且仅有一解，即只有一解， 则，解得或（舍）， 所以，恒成立， 即在上恒成立， 当时，，； 当时，在上恒成立， 记，则，， 令，则，， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以，即， 综上可知，，即实数的最大值是. 故答案为：. 【分析】根据导数的几何意义以及直线的点斜式方程，将原问题转化为方程的根的问题，求出函数表达式，再分离参数，构造函数，求导利用导数法求最值即可. 15．【答案】（1）解：当时，，，，， 切线方程为：． （2）解：， ①若，，则在上单调递减， ②若，当时，解得，则在上单调递增，在上单调递减． 16．【答案】（1）因为，所以， 又的解集为， 所以1和2是方程的两个根，且， 所以，解得，. （2）（ⅰ）由（1）知，， 当时，， 因为是定义在R上的奇函数，所以， 当时，， ， 故， 所以. （ⅱ）当时，， ，所以函数在上单调递增， 又是定义在R上的奇函数，， 所以函数在上单调递增，所以函数在R上单调递增. 由，得， 所以，即， 所以不等式的解集为. 17．【答案】（1）解：当时，函数，， 则，， 故切点坐标为，所以切线方程为，即.​​​​ （2）解：函数的定义域为，， 当时，对任意恒成立，则在上单调递增，无极值，不合题意； 当时，令，解得；令，解得； 则函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值， 由题意可得：，即， 令，，则在上单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. ​​​​ 【解析】【分析】（1）将代入，求导，利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，再构建函数，解不等式即可求得a的取值范围. 18．【答案】（1）函数，导函数，切点为，切线斜率为1， 所以切线方程为． （2）函数，导函数，所以单调递增区间为，单调递减区间为，． 极大值为，极小值为． 19．【答案】（1）解：函数定义域为，，则， 因为切线与直线垂直，所以，解得. （2）解：由(1)知，函数定义域为，， 当或时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，取得极大值，极大值为， 当时，取得极小值，极小值为， 故函数的递增区间为，递减区间为，极大值，极小值. 【解析】【分析】（1）求导，利用导数的几何意义，结合两直线垂直时的斜率关系求解即可； （2）结合（1）可得，利用导数判断函数的单调性，从而确定函数的极值点，求极值即可. 学科网（北京）股份有限公司 $$