随机变量及其概率分布、期望与方差 课件-2025届高三数学一轮复习

第52讲　随机变量及其概率分布、期望与方差 第十章　 计数原理、概率及其分布 1 1．若随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，则D(X)＝_____． 激 活 思 维 【解析】 0 因为随机变量X满足P(X＝c)＝1，其中c为常数，所以E(X)＝c×1＝c，所以D(X)＝(c－c)2×1＝0. 2．已知随机变量X的分布列为 【解析】 E(X)＝1×0.1＋2×0.3＋3×0.4＋4×0.1＋5×0.1＝2.8，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝3×2.8＋2＝10.4. X 1 2 3 4 5 P 0.1 0.3 0.4 0.1 0.1 则E(X)＝_______；E(3X＋2)＝________． 2.8 10.4 3．已知随机变量X的分布列为 【解析】 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 则D(X)＝________ ；σ(2X＋7)＝________． 0.84 4．随机变量X的分布列为P(X＝0)＝0.2，P(X＝1)＝a，P(X＝2)＝b，若E(X)＝1，则a＝_______；b＝_______． 0.6 【解析】 0.2 5．现要发行10 000张彩票，其中中奖金额为2元的彩票1 000张，10元的彩票300张，50元的彩票100张，100元的彩票50张，1 000元的彩票5张.1张彩票可能中奖金额的均值是_______． 【解析】 所以X的分布列为 【答案】2元 X 0 2 10 50 100 1 000 P 0.854 5 0.1 0.03 0.01 0.005 0.000 5 所以E(X)＝2×0.1＋10×0.03＋50×0.01＋100×0.005＋1 000×0.000 5＝2，即1张彩票可能中奖金额的均值是2元． 1．离散型随机变量的分布列的性质 (1) pi______0(i＝1，2，…，n)； (2) p1＋p2＋…＋pn＝_____． 2．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 ≥ 聚 焦 知 识 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 1 x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 平均水平 标准差 偏离程度 3．均值与方差的性质 (1) E(aX＋b)＝____________； (2) D(aX＋b)＝__________(a，b为常数)； (3) D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. aE(X)＋b a2D(X) (1) 设X是一个离散型随机变量，其分布列为 则常数a的值为 (　　) 离散型随机变量的分布列的性质 举 题 说 法 1 A 【解析】 X 0 1 P 9a2－a 3－8a (2) 设离散型随机变量ξ的分布列如下表所示： 则下列各式正确的是 (　　) 1 【解析】 C 【解析】 变式　(2) 设随机变量X的分布列为 【解析】 则P(|X－3|＝1)＝______． 离散型随机变量的分布列、期望与方差 2 【解答】 2 【解答】 故随机变量X的分布列为 变式　医学上发现，某种病毒侵入人体后，人的体温会升高．记病毒侵入后人体的平均体温为X ℃.医学统计发现，X的分布列如下． 【解答】 由题可得E(X)＝37×0.1＋38×0.5＋39×0.3＋40×0.1＝38.4，D(X)＝(37－38.4)2×0.1＋(38－38.4)2×0.5＋(39－38.4)2×0.3＋(40－38.4)2×0.1＝0.64. (1) 求出E(X)，D(X)； X 37 38 39 40 P 0.1 0.5 0.3 0.1 (2) 已知人体体温为X ℃时，相当于Y＝1.8X＋32 (℃)，求E(Y)，D(Y). 【解答】 由Y＝1.8X＋32可知，E(Y)＝1.8E(X)＋32＝1.8×38.4＋32＝101.12，D(Y)＝1.82×D(X)＝1.82×0.64＝2.073 6. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1) 若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列、均值和方差． 期望与方差的决策应用 3 【解答】 由题可知，X的所有可能取值为0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4，D(X)＝02×0.2＋202×0.32＋1002×0.48－54.42＝1 968.64. 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题，每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误，则该同学比赛结束；若回答正确，则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (2) 为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 3 【解答】 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因为54.4＜57.6，所以小明应选择先回答B类问题． 变式　某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (1) 若袋中所装的4个阄中有1个所标的面值为800元，其余3个均为200元，求： ①员工所获得的奖励金额为1 000元的概率； ②员工所获得的奖励金额的分布列及数学期望． 【解答】 设员工所获得的奖励金额为X. 变式　某公司为活跃气氛提升士气，年终拟通过抓阄兑奖的方式对所有员工进行奖励．规定：每位员工从一个装有4个标有面值的阄的袋中一次性随机摸出2个阄，阄上所标的面值之和为该员工获得的奖励金额． (2) 公司对奖励金额的预算是人均1 000元，并规定袋中的4个阄只能由标有面值200元和800元的两种阄或标有面值400元和600元的两种阄组成．为了使员工得到的奖励总额尽可能符合公司的预算且每位员工所获得的奖励额相对均衡，请对袋中的4个阄的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 【解答】 根据公司预算，每个员工的平均奖励额为1 000元，所以先寻找期望为1 000元的可能方案． 对于面值由800元和200元组成的情况，如果选择(200，200，200，800)的方案，因为1 000元是面值之和的最大值，所以期望不可能为1 000元；如果选择(800，800，800，200)的方案，因为1 000元是面值之和的最小值，所以期望不可能为1 000元，因此可能的方案是(800，800，200，200)，记为方案1. 对于面值由600元和400元组成的情况，同理排除(600，600，600，400)和(400，400，400，600)的方案，所以可能的方案是(400，400，600，600)，记为方案2. 由于两种方案的奖励额都符合预算要求，但方案2的方差比方案1小，所以应选择方案2. 随 堂 练习 1．若随机变量ξ的分布列如下表所示，且m＋2n＝1.2，则n＝ (　　) B 【解析】 依题意得m＋n＋0.1＋0.1＝1，又m＋2n＝1.2，解得n＝0.4，m＝0.4. ξ 0 1 2 3 P 0.1 m n 0.1 A．－0.2 B．0.4 C．0.2 D．0 2．已知随机变量X的分布列如下表(其中a为常数)： 【解析】 因为0.2＋0.3＋0.4＋a＝1，所以a＝0.1，故A错误； 由分布列知P(X≥2)＝0.4＋0.1＝0.5，故B错误； E(X)＝0×0.2＋1×0.3＋2×0.4＋3×0.1＝1.4，故C正确； D(X)＝(0－1.4)2×0.2＋(1－1.4)2×0.3＋(2－1.4)2×0.4＋(3－1.4)2×0.1＝0.84，故D错误． X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列计算结果正确的是 (　　) A．a＝0.2 B．P(X≥2)＝0.7 C．E(X)＝1.4 D．D(X)＝6.3 C 3．已知随机变量X，Y满足Y＝2X＋1，且随机变量X的分布列为 则随机变量Y的方差D(Y)＝ (　　) B 【解析】 4．设随机变量ξ等可能地取1，2，3，4，…，10.若随机变量η＝2ξ－1，则P(η＜6)＝_______． 0.3 【解析】 5．已知随机变量X的分布列为 【解析】 若Y＝2X＋3，则E(Y)＝______，D(Y)＝______． 配套精练 33 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．若随机变量X的分布列如下表，则P(|X－2|＝1)的值为 (　　) A 【解析】 【解析】 B X 1 2 P m n 3．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝ (　　) A 【解析】 【解析】 B 【解析】 AC 6．已知离散型随机变量X的分布列如下，则 (　　) X 1 2 3 4 P p2 3p2 1－2p＋p2 1－3p＋p2 【解析】 【答案】BCD 三、 填空题 7．若随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝2，则D(2X－3)＝_____． 4 【解析】 8．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则 P(ξ＝2)＝______． 【解析】 9．一批产品分为四级，其中一级产品是二级产品的两倍，三级产品是二级产品的一半，四级产品与三级产品相等．从这批产品中随机抽取一个检验质量，设其级别为随机变量ξ，ξ＝1，2，3，4分别对应一级产品、二级产品、三级产品、四级产品，则P(ξ＞1)＝______． 【解析】 四、 解答题 10．某公司专门生产体育赛事纪念品，为回馈体育迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次. 已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖. 假设每人每次抽奖是否中奖互不影响． (1) 任选2名成功下单金额达500元的顾客，求这两名顾客至少一人中奖的概率； 【解答】 任选一名成功下单金额达500元的顾客，记事件A＝“该顾客抽到一等奖”，事件B＝“该顾客抽到二等奖”，事件C＝“该顾客不中奖”， 则P(A)＝0.1，P(B)＝0.3，则P(C)＝1－P(A)－P(B)＝1－0.1－0.3＝0.6.任选2名成功下单金额达500元的顾客，这两名顾客都不中奖的概率为0.6×0.6＝0.36，所以这两名顾客至少一人中奖的概率为1－0.36＝0.64. 10．某公司专门生产体育赛事纪念品，为回馈体育迷，该公司推出了盲盒抽奖活动，每位成功下单金额达500元的顾客可抽奖1次. 已知每次抽奖抽到一等奖的概率为10%，奖金100元；抽到二等奖的概率为30%，奖金50元；其余视为不中奖. 假设每人每次抽奖是否中奖互不影响． (2) 任选2名成功下单金额达500元的顾客，记ξ为他们获得的奖金总数，求ξ的分布列和数学期望． 【解答】 ξ 0 50 100 150 200 P 0.36 0.36 0.21 0.06 0.01 E(ξ)＝0×0.36＋50×0.36＋100×0.21＋150×0.06＋200×0.01＝50. 11．某公司开发了一款可以供n(n＝3或n＝4)个人同时玩的跳棋游戏．每局游戏开始，掷两枚质地均匀的骰子(骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6)，两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步. 两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，…，n－1分别对应游戏者A1，A2，A3，…，An. (1) 当n＝3时，在已知两枚骰子的点数之和为偶数的条件下，求A3先走第一步概率. 【解答】 掷两枚质地均匀的骰子所得点数之和有如右表所示的36个样本点．   1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 在已知两个骰子点数之和为偶数的条件下，共有基本事件18个，设事件“A3先走第一步”为D，表示点数之和被n＝3除后的余数为2的基本事件，包含点数之和为2，8对应的情形，共有6个． 11．某公司开发了一款可以供n(n＝3或n＝4)个人同时玩的跳棋游戏．每局游戏开始，掷两枚质地均匀的骰子(骰子出现的点数为1，2，3，4，5，6)，两个骰子的点数之和除以n所得的余数对应的人先走第一步. 两个骰子的点数之和除以n的余数0，1，2，…，n－1分别对应游戏者A1，A2，A3，…，An. (2) 当n＝4时，求两枚骰子点数之和除以n的余数X的概率分布和数学期望，并说明该方法对每个游戏者是否公平． 【解答】 【解析】 A 谢谢观赏 (1) 均值： E(X)＝________________________＝ipi为随机变量X的均值或数学期望，数学期望简称期望．它反映了离散型随机变量取值的____________． (2) 方差： D(X)＝[x1－E(X)]2p1＋[x2－E(X)]2p2＋…＋[xn－E(X)]2pn＝__________________为随机变量X的方差，并称为随机变量X的__________，记为σ(X)，它们都可以度量随机变量取值与其均值的____________． ξ －1 0 1 2 3 P X 1 2 3 4 P m X －2 0 1 3 4 6 P X 400 1 000 P 对于方案1，设员工所获得的奖励额为X1，X1可取400，1 000，1 600，P(X1＝400)＝＝，P(X1＝1 000)＝＝，P(X1＝1 600)＝＝，所以X1的期望为E(X1)＝400×＋1 000×＋1 600×＝1 000，方差D(X1)＝(400－1 000)2×＋(1 000－1 000)2×＋(1 600－1 000)2×＝120 000. X 0 1 2 P a X －1 0 1 P X 1 2 3 4 P a X －2 0 1 P a b X 0 2 a P p X 0 1 2 3 P $$