5.3.4 频率与概率课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第二册

第五章　统计与概率 5.3.4　频率与概率 人教B版 数学 必修第二册 基础落实·必备知识全过关 重难探究·能力素养全提升 目录索引 成果验收·课堂达标检测 课程标准 1.在具体情境中,了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性. 2.正确理解概率的意义,利用概率知识正确理解现实生活中的实际 问题. 3.理解概率的意义以及频率与概率的区别. 4.通过该内容的学习,培养逻辑推理、数学运算和直观想象的能力. 基础落实·必备知识全过关 知识点1　随机事件的概率 一般地,如果在n次重复进行的试验中,事件A发生的频率为 ,则当n很大时,可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为　　　　　　.其中　　　　　.  名师点睛 随机事件发生的概率的求法 (1)利用随机事件概率的定义,进行大量重复试验,寻找这个事件发生的频率的可能值. (2)一般是先求出频率,再根据频率的摆动情况估算出其概率. 0≤P(A)≤1 过关自诊 [北师大版教材习题]问题辨析: (1)天气预报:“明天降雨的概率是80%”,明天出门是否一定遇上雨? (2)彩票中奖率为1%,你买100张彩票是否一定中奖? (3)抛掷一枚均匀的硬币,出现正面的概率为0.5,那么连续抛掷这枚硬币2次,一定是一次出现正面、一次出现反面吗? 解 (1)不一定,“明天降雨的概率是80%”是指“明天降雨”这一事件发生的可能性是80%,还有20%的可能性“明天不降雨”,故不一定遇上雨. (2)不一定,中奖率1%表示中奖的可能性大小为1%,并不是说买100张彩票就一定有一张中奖. (3)不一定,出现正面的概率为0.5表示抛掷硬币一次,出现正面的可能性为0.5,连续抛掷这枚硬币2次,可能都出现正面,也可能都出现反面,也可能是一正一反. 知识点2　频率与概率之间的关系 大数定律能够保证,在大量重复的试验过程中,一个事件发生的频率会很接近于这个事件发生的　　　　,而且,试验的次数越多,频率与概率之间差距很小的可能性越大.  概率 名师点睛 频率与概率的区别与联系 名称 区别 联系 频率 本身是随机的,在试验之前无法确定,随着试验次数的改变而改变,即使做同样次数的重复试验,得到的频率也可能会不同 在多次重复试验中,同一事件发生的频率在某一个常数附近摆动,频率会越来越接近概率,在大量重复试验的前提下,可将频率近似地作为这个事件的概率,在实际问题中,通常事件的概率是未知的,常用频率估计概率 概率 是区间[0,1]中的一个常数,不随试验结果的改变而改变,它是频率的科学抽象 过关自诊 1.[北师大版教材习题]我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 534石(市制容量单位,10斗为1石),验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为(　　)　　　　　　　　　　　　　 A.134石 B.169石 C.338石 D.1 365石 B 解析 由题意,得这批米内夹谷约为1 534× ≈169(石),故选B. 2.一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率,公司收集了20 000部汽车的相关信息,时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日,共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎,则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率的近似值是　　　　　.  0.03 解析 这一年内汽车挡风玻璃破碎的频率为 =0.03,此频率值为概率的近似值. 重难探究·能力素养全提升 探究点一　概率概念的理解 【例1】 下列说法正确的是(　　) A.由生物学知道生男生女的概率约为0.5,一对夫妇先后生两小孩,则一定为一男一女 B.一次摸奖活动中,中奖概率为0.2,则摸5张票,一定有一张中奖 C.10张票中有1张奖票,10人去摸,谁先摸则谁摸到奖票的可能性大 D.10张票中有1张奖票,10人去摸,无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1 D 解析 一对夫妇生两小孩可能是(男,男),(男,女),(女,男),(女,女),所以A不正确;中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2,当摸5张票时,可能都中奖,也可能中一张、两张、三张、四张,或者都不中奖,所以B不正确;10张票中有1张奖票,10人去摸,每人摸到的可能性是相同的,即无论谁先摸,摸到奖票的概率都是0.1,所以C不正确,D正确. 规律方法　对概率的深入理解 (1)概率是随机事件发生可能性大小的度量,是随机事件的本质属性,随机事件发生的概率是大量重复试验中事件发生的频率的近似值. (2)由概率的定义我们可以知道随机事件在一次试验中发生与否是随机的,但随机中含有规律性,而概率就是其规律性在数量上的反映. (3)正确理解概率的意义,要清楚概率与频率的区别与联系.对具体的问题要从全局和整体上去看待,而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件. 变式训练1(多选题)[2023湖北咸宁高二校考阶段练习]下列说法不正确的是(　　) A.甲、乙二人比赛,甲胜的概率为 ,则比赛5场,甲胜3场 B.某医院治疗一种疾病的治愈率为10%,前9个病人没有治愈,则第10个病人一定治愈 C.随机试验的频率与概率相等 D.用某种药物对患有某疾病的500名病人治疗,结果有380人有明显疗效,现有患该病的病人服用此药,则估计其会有明显疗效的可能性约为76% ABC 探究点二　概率与频率的关系及求法 【例2】 下面是某批乒乓球质量检查结果表: 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出 现的频率             (1)在上表中填上优等品出现的频率; (2)结合表中数据估计该批乒乓球优等品的概率. 解 (1) 抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000 优等品数 45 92 194 470 954 1 902 优等品出 现的频率 0.9 0.92 0.97 0.94 0.954 0.951 (2)从表中数据估计这批乒乓球优等品的概率是0.95. 变式探究(1)例2中若抽取乒乓球的数量为1 700只,则优等品的数量大约为多少? (2)例2中若检验得到优等品数量为1 700只,则抽取数量大约为多少? 解 (1)由优等品的概率的估计值为0.95,可知抽取1 700只乒乓球时,优等品数量大约为1 700×0.95=1 615. (2)由优等品概率的估计值为0.95,可知抽取数量大约为1 700÷0.95≈1 789. 规律方法　频率与概率的认识 (1)理论依据:频率在一定程度上可以反映随机事件发生的可能性的大小,在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率. (2)计算频率:频率= . (3)得出概率:从频率估计出概率. 探究点三　频率与概率的综合问题 【例3】 某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图: (1)从总体的400名学生中随机抽取一人, 估计其分数小于70的概率; (2)已知样本中分数小于40的学生有5人, 试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数; (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等,试估计总体中男生和女生人数的比例. 解 (1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率为0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5,所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400× =20. (3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为 60× =30. 所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40=3∶2. 所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2. 规律方法　统计知识中频率与概率的组合是近几年高考的热点,频率分布直方图、茎叶图等知识与概率知识结合在一起,成为命题的一种趋势,可用频率知识计算各小组频数.用古典概型的知识计算概率. 变式训练2对某校高一学生参加社区服务次数进行统计,随机抽取M名学生作为样本,得到这M名学生参加社区服务的次数.根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图. 分组 频数 频率 [10,15) 10 0.25 [15,20) 25 n [20,25) m p [25,30] 2 0.05 合计 M 1 (1)求出表中M,p及图中a的值; (2)若该校高一学生有360人,试估计该校高一学生参加社区服务的次数在区间[15,20)内的人数; (3)在所取样本中,从参加社区服务的次数不少于20的学生中任选2人,请列举出所有样本点,并求至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率. (2)因为该校高一学生有360人,分组[15,20)内的频率是 =0.625, 所以估计该校高一学生参加社区服务的次数在[15,20)内的人数为360×0.625=225. (3)由(1)知,所取样本中,参加社区服务的次数不少于20的学生共有3+2=5(人),设在区间[20,25)内的人为a1,a2,a3,在区间[25,30]内的人为b1,b2. 则任选2人,所有的样本点为(a1,a2),(a1,a3),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,b1),(a2,b2),(a3,b1),(a3,b2),(b1,b2),共10种情况,而两人都在[20,25)内共有(a1,a2),(a1,a3),(a2,a3),共包含3个样本点, 至多1人参加社区服务次数在区间[20,25)内的概率为 成果验收·课堂达标检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 A 级 必备知识基础练 1.[探究点一·2023重庆高一单元测试]某商场举行购物抽奖活动,规定购物消费每满100元就送一次抽奖机会,中奖的概率为10%.那么以下理解正确的是(　　) A.某人抽奖100次,一定能中奖10次 B.某人消费1 000元,至少能中奖1次 C.某人抽奖1次,一定不能中奖 D.某人抽奖10次,可能1次也没中奖 D 解析 中奖的概率为10%,与抽的次数无关,不能保证一定中奖,也不能保证一定不中奖,只是有10%中奖的可能性,故D选项正确. 故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2.[探究点二]某人将一枚硬币连抛20次,正面朝上的情况出现了12次.若用A表示事件“正面朝上”,则A的(　　) A 所以A选项正确,B,C,D选项错误. 故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3.[探究点二·2023湖南高一课时练习]某水产试验厂实行某种鱼的人工孵化,10 000个鱼卵能孵出8 513尾鱼苗,根据概率的统计定义,这种鱼卵的孵化概率(　　) A.约为0.851 3 B.必为0.851 3 C.再孵一次仍为0.851 3 D.不确定 A 解析 利用频率估计概率,这种鱼卵的孵化频率为 =0.851 3. 它近似为孵化的概率.故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 4.[探究点一](多选题)下列说法中错误的是(　　) A.设有一批产品,其次品率为0.05,则从中任取200件,必有10件是次品 B.做100次抛硬币的试验,结果51次出现正面朝上,因此,出现正面朝上的概率是 C.随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 D.抛掷骰子100次,得点数是1的结果有18次,则出现1点的频率是 ABC 解析 A错,次品率是指出现次品的可能性,从中任取200件,可能有10件次品,也可能没有.B,C混淆了频率与概率的区别.D正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5.[探究点二]为了估计今年来昆明的红嘴鸥数量,云南大学科研人员随机对500只红嘴鸥做上记号后放回,一段时间后随机查看了500只红嘴鸥,发现有2只标有记号,今年来昆明的红嘴鸥总数最可能为　　　　　.  125 000 解析 设今年来昆明的红嘴鸥总数为n, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6.[探究点三]商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双,商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况,以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本,分为5组,已知第3组的频率为0.25,第1,2,4组的频数分别为6,7,9,若第5组表示的是尺码为40—42的皮鞋,则售出的这300双皮鞋中尺码为40—42的皮鞋约为　　　　　双.  60 解析 因为第1,2,4组的频数分别为6,7,9, 所以第1,2,4组的频率分别为 又因为第3组的频率为0.25,所以第5组的频率为1-0.25-0.15-0.175-0.225=0.2, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7.[探究点二]某汽车品牌为了了解客户对于其旗下的五种型号汽车的满意情况,随机抽取了一些客户进行回访,调查结果如下表: 汽车型号 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 回访客户/人 250 100 200 700 350 满意率 0.5 0.3 0.6 0.3 0.2 其中,满意率是指某种型号汽车的回访客户中,满意人数与总人数的比值. (1)从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,求这个客户不满意的概率; (2)从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率. 解 (1)由表中数据知,Ⅲ型号汽车的回访客户的满意率为0.6,则从Ⅲ型号汽车的回访客户中随机选取1人,这个客户不满意的概率为1-0.6=0.4. (2)由题意知,回访客户的总人数是250+100+200+700+350=1 600, 回访客户中满意的客户人数是250×0.5+100×0.3+200×0.6+700×0.3+350×0.2=125+30+120+210+70=555, 所以回访客户中客户的满意率为 即从所有客户中随机选取1人,估计这个客户满意的概率约为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B 级 关键能力提升练 8.(多选题)[2023河北邯郸高一]某学校组织了一次劳动技能大赛,共有100名学生参赛,经过评判,这100名参赛者的得分都在[40,90]内,得分60分以下为不及格,其得分的频率分布直方图如图所示.按得分分成[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]这五组,则下列结论正确的是(　　) A.a=0.005 B.此次比赛得分不及格的共有40人 C.以频率为概率,从这100名参赛者中随机 选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5 D.这100名参赛者得分的中位数为65 ABC 解析 因为(a+0.01+0.02+0.03+0.035)×10=1,所以a=0.005,故A正确; 由题图可知,不及格的人数为100×(0.005+0.035)×10=40,故B正确; 因为得分在[60,80)的频率为(0.03+0.02)×10=0.5,所以从这100名参赛者中随机选取1人,其得分在[60,80)的概率为0.5,故C正确; 这100名参赛者得分的中位数为60+ ≠65,故D错误. 故选ABC. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 9.如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同) 若干个,从中任取一球,取了10次有7次是白球,估计袋中数量较多的是 　　　　　球.  白 解析 取出白球的频率是0.7,估计其概率是0.7,那么取出黄球的概率约是0.3,取出白球的概率大于取出黄球的概率,所以估计袋中数量较多的是白球. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10.某电子商务公司随机抽取1 000名网络购物者进行调查.这1 000名购物者某年网上购物金额(单位:万元)均在区间[0.3,0.9]内,样本分组为[0.3,0.4),[0.4,0.5),[0.5,0.6),[0.6,0.7),[0.7,0.8),[0.8,0.9],购物金额的频率分布直方图如下: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 电子商务公司决定给购物者发放优惠券,其金额(单位:元)与购物金额关系如下: 购物金额分组 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 发放金额/元 50 100 150 200 (1)求这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数; (2)以这1 000名购物者购物金额落在相应区间的频率作为概率,求一个购物者获得优惠券金额不少于150元的概率. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)1 000名购物者某年网上消费金额位于区间[0.3,0.5)的频率为(1.5+2.5)×0.1=0.4,有400人;位于区间[0.5,0.6)的频率为3.0×0.1=0.3,有300人;位于区间[0.6,0.8)的频率为(2.0+0.8)×0.1=0.28,有280人;位于区间[0.8,0.9]的频率为0.2×0.1=0.02,有20人,购物者的购物金额x与获得优惠券金额y的频率分布如下表: 购物金额x/万元 [0.3,0.5) [0.5,0.6) [0.6,0.8) [0.8,0.9] 优惠券金额y/元 50 100 150 200 频率 0.4 0.3 0.28 0.02 这1 000名购物者获得优惠券金额的平均数为 ×(50×400+100×300+150×280+200×20)=96. (2)由题意知,网上消费金额位于[0.6,0.8)和[0.8,0.9]购物者获得优惠券金额不少于150元,所以购物者获得优惠券金额不少于150元的概率为0.28+0.02=0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C 级 学科素养拔高练 11.某超市随机选取1 000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下所示的统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解 (1)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有200位顾客同时购买了乙和丙,所以估计顾客同时购买乙和丙的概率为 =0.2. (2)从统计表中可以看出,在这1 000位顾客中,有100位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了2种 商品, 所以估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为 =0.3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 　 解 (1)由分组[10,15)内的频数是10,频率是0.25,知=0.25,所以M=40. 因为频数之和为40,所以10+25+m+2=40,m=3,p==0.075. 因为a是对应分组[15,20)的频率与组距的商,所以a==0.125. 1-. A.频率为 B.概率为 C.频率为 D.概率接近 解析 依题意可知,事件A的频率为,概率为. 则,解得n=125 000. =0.15,=0.175,=0.225. , . (3)估计顾客同时购买甲和乙的概率为=0.2, 估计顾客同时购买甲和丙的概率为=0.6, 估计顾客同时购买甲和丁的概率为=0.1. 所以如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大. $$