11.2三角形与三角形有关的角 讲义2024-2025学年人教版数学八年级上册

三角形（二）与三角形有关的角 ★【知识点梳理】 一、三角形内角和定理 三角形内角和定理：三角形的内角和为180°。 三角形内角和的几种证明方法： ①添加平行线法： ②帕斯卡(法国数学家)折纸法： ③更具动手可行性的剪角法：(不严密)把三角形的三个内角剪下来能拼成一个平角． 三角形外角和的证明法： 三角形按最大角的大小来分类： 三角形的角与不等式： ⒈若为锐角三角形，则，，； ⒉若为直角三角形，， ． ⒊若为钝角三角形，， ． 二、直角三角形的性质与判定 性质：直角三角形的两个锐角互余. 判定1：有一个角是直角的三角形式直角三角形 判定2：有两个角互余的三角形是直角三角形 三、三角形的外角及三角形内角和定理的推论 1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 2．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． ★【题型汇总】 【题型一、三角形的内角和定理】 【例1】一个缺角的三角形残片如图所示，量得，则这个三角形残缺前的的度数为（    ） A． B． C． D． 【练习1】△ABC中，∠A：∠B：∠C＝2：3：4，则∠A的度数为（　　） A．35° B．40° C．70° D．110° 【练习2】如图，C岛在A岛的北偏东50°方向上，在B岛的北偏西60°方向上，A岛在B岛北偏西80°方向上，则从C岛看A、B两岛的视角∠ACB为（　　） A．80° B．95° C．110° D．140° 【练习3】如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，且∠B＝50°，∠C＝60°，则∠ADE的度数为（　　） A．80° B．30° C．35° D．50° 【练习4】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝230°，则∠A等于（　　） A．35° B．50° C．65° D．70° 【练习5】如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝69°，求∠DAC的度数． 【练习6】如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（　　） A．45° B．60° C．50° D．55° 【练习7】如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠C＝30°，AD和AE分别是△ABC的高和角平分线，求∠DAE的度数． 【练习8】如图，AD，AE，AF分别是△ABC的中线，角平分线，高，且∠B＝30°，∠C＝40°，求∠EAF的度数． 【题型二、直角三角形内角有关运算】 【例1】已知在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝35°，则∠A等于（　　） A．35° B．45° C．55° D．65° 【练习1】如图，已知AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，∠A＝56°，则∠DCB的度数是（　　） A．30° B．45° C．56° D．60° 【练习2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝60°，过点A作EF∥BC，则∠FAC的度数是（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【练习3】如图，直线a∥b，△ABC是直角三角形，∠C＝90°，顶点A在直线b上，边AB交直线a于点D，边BC交直线a于点E，若∠1＝20°，则∠2的度数为（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【练习4】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠BAD，过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE恰好是∠ADB的平分线，则∠B的度数为（　　） A．45° B．60° C．30° D．75° 【练习5】将一副三角板如图放置，使点A落在DE上，三角板ABC的顶点C与三角板CDE的直角顶点C重合，若BC∥DE，AB与CE交于点F，则∠AFC的度数为（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【练习6】如图，是边上的高，平分交于点，若，，求和的度数． 【题型三、三角形外角性质】 【例1】图中，是的外角的是(    ) A. B. C. D. 【例2】如图，的度数为_______    【练习1】如图，直线，，，则度数是（ ）    A． B． C． D． 【练习2】如图，把一副常用三角板如图所示拼在一起，延长ED交AC于F，那么图中∠AFE的度数是（　　）度． A．60 B．90 C．100 D．105 【题型四、三角形中的模型】 一、双角平分线 1、双内角平分线 【例1】 如右图所示，是的角平分线，是的角平分线，、交于，试探索与之间的关系： ． 【练习1】如图所示，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∠BPC＝134°，求∠A的度数． 2、 双外角平分线 【例1】如右图所示，是的外角平分线，也是的外角平分线，、交于点，试探索与之间的关系： ． 【练习1】如图，∠CAB的外角的平分线与∠ABC的外角的平分线交于D点，若∠D＝α，则∠C的度数是（　　） A．180°﹣2α B． C． D．180°﹣α 【练习2】已知：如图，△ABC的两个外角的平分线交于点P，如果∠A＝40°，则∠BPC 　　． 3、一内一外角平分线 【例1】如图，∠ACE是△ABC的外角，BD平分∠ABC，CD平分∠ACE，且BD、CD交于点D．若∠A＝70°，则∠D的度数为 　　． 二、8字型 【例1】如图，AB和CD交于交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ． 三、飞镖模型 【例1】 如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C． 【练习1】如图所示，已知，，，求度数． 4、 A字型 【例1】如下图，中，，剪去后，得到四边形，则 ． 5、 风筝型 【例1】如图所示，将沿着翻折，若，则 ． 【例2】如图在三角形纸片中，，，将纸片的一角折叠，使点落在内，若，则为多少度？ 学科网（北京）股份有限公司 $$