第五章一元一次方程习题课件 2024-2025学年北师大版数学七年级上册：

1　认识方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 有下列各式：① x ＝0；② 2 x ＞3；③ x2＋ x －2＝0；④ ＋2＝0；⑤ 3 x －2；⑥ x － y ＝0.其中，是方程的有（　B　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 有下列方程：① －2 x －6＝0；② ｜ x ＋2｜＝5；③ （ x －3）（ x － 1）＝0；④ x ＝ x －2.其中， x ＝3是解的有（　C　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. （2024·广州）某新能源车企今年5月交付新车35060辆，且今年5月 交付新车的数量比去年5月交付的新车数量的1.2倍还多1100辆.设该新能 源车企去年5月交付新车 x 辆，根据题意，可列方程为（　D　） A. 1.2 x ＋1100＝35060 B. 1.2 x －1100＝35060 C. 1.2（ x ＋1100）＝35060 D. x －1100＝35060×1.2 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4. 有下列式子： x ＝0， x ＝－1， x ＝－2， x ＝1， x ＝2.其中，是一元 一次方程7 x －10＝ ＋3的解的为 ⁠. 5. 某知识竞赛中共有20道选择题，答对1道得5分，答错或不答1道倒扣2 分，选手A得到了72分.设她答对了 x 道题，则可列方程为 ⁠ ，是 方程. x ＝2　 5 x －2（20 － x ）＝72　 一元一次　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） 求 m 的值； 解：（1） 由题意，得 m －1≠0，｜ m ｜＝1，解得 m ＝－1 （2） 写出这个一元一次方程； 解：（2） 由（1），得－2 x ＋5＝0 （3） 判断 x ＝1， x ＝2.5， x ＝3是否是该方程的解. 解：（3） 当 x ＝1时，－2 x ＋5＝3≠0.当 x ＝2.5时，－2 x ＋5＝0.当 x ＝3时，－2 x ＋5＝－1≠0.所以 x ＝1， x ＝3不是该方程的解， x ＝2.5是 该方程的解 6. 已知方程（m－1）x｜m｜＋5＝0是关于x的一元一次方程. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. 根据下面的条件列出方程： （1） x 与8之和的2倍等于 x 的3倍； 解：2（ x ＋8）＝3 x （2） x 的30％加2的和的一半等于 x 的20％减5. 解： （30％ x ＋2）＝20％ x －5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 根据下面的问题，设未知数，列出方程，并判断它是否是一元一 次方程. （1） 某校七年级200名学生分别到甲、乙两个纪念馆参观，其中到甲 纪念馆参观的学生人数比到乙纪念馆参观的学生人数的2倍少10，求到 乙纪念馆参观的学生人数； 解：（1） 设到乙纪念馆参观的学生人数为 x ，则到甲纪念馆参观的学 生人数为2 x －10.根据题意，得2 x －10＋ x ＝200　是一元一次方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 一个长方形的周长为20厘米，长比宽长2厘米，求这个长方形 的宽. 解：（2） 设这个长方形的宽为 x 厘米，则长为（ x ＋2）厘米.由题意， 得2[ x ＋（ x ＋2）]＝20　是一元一次方程 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. 若关于 x 的一元一次方程2 xa－2＋ m ＝4的解为 x ＝1，则 a ＋ m 的值为 （　C　） A. 9 B. 8 C. 5 D. 4 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. （2022·南充）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔 同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？”设鸡有 x 只， 则可列方程为（　D　） A. 4 x ＋2（94－ x ）＝35 B. 4 x ＋2（35－ x ）＝94 C. 2 x ＋4（94－ x ）＝35 D. 2 x ＋4（35－ x ）＝94 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 如图，把两个质量为60g的小砝码和几个大砝码放在天平上，天平正 好处于平衡状态.根据图示，可列方程为 ⁠. 第11题 3 x ＝2 x ＋60×2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 12. （2023·宝鸡二模）《增删算法统宗》记载：“有个学生资性好， 一部孟子三日了，每日增添一倍多，问君每日读多少？”其大意如下： 有个学生天资聪慧，三天读完一部《孟子》，每天阅读的字数是前一天 的两倍，问：他每天各读多少个字？已知《孟子》共有34685个字，设 他第一天读 x 个字，则可列方程为 ⁠. x ＋2 x ＋4 x ＝34685　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 某班有44名学生，其中会下围棋的有28名，会下中国象棋的有32 名，这两种棋都不会下的人数比都会下的人数的 还少1，求这两种棋都 会下的有多少名学生.设这两种棋都会下的有 x 名学生，根据题意，可列 方程为 ，是 方程. 28＋32－ x ＋ ＝44　 一元一次　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 解：（1） 根据题意，得｜ m ｜＝1，且 m ＋1≠0.所以 m ＝1 （2） 已知（ m －4） x2＋ x3 n－2＝－6是关于 x 的一元一次方程，求 m ， n 的值. 解：（2） 根据题意，得 m －4＝0，3 n －2＝1.所以 m ＝4， n ＝1 14. （1） 已知（ m ＋1） x｜ m｜＋2＝0是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 甲、乙、丙、丁四组为灾区捐款.甲组的捐款数是四组捐款总和的 ，乙组的捐款数是四组捐款总和的 ，丙组的捐款数是四组捐款总和 的 ，丁组捐了162元.求这四组捐款的总和.如果设这四组捐款的总和为 x 元，请列出方程，并检验 x ＝648是否为所列方程的解. 解：根据题意，得 x ＋ x ＋ x ＋162＝ x .当 x ＝648时，左边＝ x ＋ x ＋ x ＋162＝648，右边＝ x ＝648.所以左边＝右边.所以 x ＝648是所列 方程的解 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$2　一元一次方程的解法 第1课时　用等式的基本性质解一元一次方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 下列变形正确的是（　B　） A. 由3 x －1＝3 y ＋1，得 x ＝ y B. 由4π r ＝2π R ，得 r ＝ R C. 由－ x ＝8，得 x ＝－2 D. 由 x2＝ y2，得 x ＝ y B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 由3 x ＝4 x －1，有下列等式：① 4 x －3 x ＝1；② 3 x －4 x ＝1；③ x ＝2 x － ；④ －1＝3 x ＋4 x .其中，正确的有（　C　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. （2023·西安蓝田期末）已知 a ， b ， c ， d 均不为0，则能运用等式 的基本性质说明如图所示的事实的为（　B　） A. 若 a － c ＝ b － d ，则 a ＝ b B. 若 a ＋ c ＝ b ＋ c ，则 a ＝ b C. 若 a ＝ b ，则 ＝ D. 若 ac ＝ bc ，则 a ＝ b 第3题 4. 方程－ x ＋2＝10的解为（　A　） A. x ＝－8 B. x ＝12 C. x ＝8 D. x ＝－12 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. （1） 由等式3 x ＝2 x ＋15的两边都 ，得到等式 x ＝15，变形 的依据是 ⁠； （2） 由等式－ x ＝ 的两边都 ⁠ ，得到等式 x ＝ ⁠； （3） 根据等式的基本性质，在方程5 x －2＝4 x ＋6的两边都 ⁠ ，即可求得方程的解为 x ＝ ⁠. 6. 如果等式 ＝1－ b 成立，那么 a ＋2＝ .接着在等式的 两边都减 ，所得结果为 a ＝2 b －4. 减2 x 　 等式的基本性质　 乘－3　 　 －8　 减（4 x －2）　 8　 －2＋2 b 　 2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. （教材P141随堂练习第1题变式）根据等式的基本性质解下列方程： （1） 5 x －8＝12； 解： x ＝4 （2） 4 x －2＝2 x ； 解： x ＝1 （3） 3 x ＋1＝－2； 解： x ＝－1 （4） 3 x ＝2 x ＋7； 解： x ＝7 （5） x ＋6＝1－ x . 解： x ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 下列变形中，错误的是（　C　） A. 2 x ＋6＝0变形为2 x ＝－6 B. ＝2＋ x 变形为 x ＋3＝4＋2 x C. －2（ x －4）＝2变形为 x －4＝1 D. － ＝ 变形为－ x －1＝1 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 9. “ ”“ ”“ ”分别表示三种不同的物体，如图①②，天平保持平 衡.如果要使得图③中的天平也保持平衡，那么在右盘中应该放“ ”的 个数为（　B　） 第9题 A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. （2023·咸阳礼泉期末）已知5 a ＋8 b ＝3 b ＋10，则利用等式的基 本性质，可求得 a ＋ b 的值是 ⁠. 11. 有下列等式变形：① 若 a ＝ b ，则 a ＋ x ＝ b ＋ x ；② 若 ax ＝－ ay ， 则 x ＝－ y ；③ 若4 a ＝3 b ，则4 a －3 b ＝1；④ 若 ＝ ，则4 a ＝3 b ； ⑤ 若 ＝ ，则2 x ＝3 y .其中，一定正确的是 （填序号）. 2　 ①④⑤　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） y ＝－9－ y ； 解： y ＝－9　检验略 （2） 1＝ . 解： y ＝3　检验略 12. 根据等式的基本性质解方程，并检验： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 下面是小明将等式 x －4＝3 x －4进行变形的过程： x －4＋4＝3 x －4 ＋4①， x ＝3 x ②，1＝3③. （1） 小明得出①的依据是 ⁠ ⁠； （2） 小明出错的步骤是 （填序号），错误的原因是 ⁠ ⁠； （3） 写出正确的解法. 解： x －4＝3 x －4， x －4＋4＝3 x －4＋4， x ＝3 x ， x －3 x ＝0，－2 x ＝0， x ＝0 等式的两边都加（或减）同一个代数式， 所得结果仍是等式　 ③　 等式的两 边都除以 x ，而 x 的值可能为0　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 已知3 a －4 x ＝18是关于 x 的方程.在解这个方程时，小王误将－4 x 看 成＋4 x ，得到方程的解为 x ＝3.请你帮助小王求出原方程的解. 解：根据题意，得 x ＝3是3 a ＋4 x ＝18的解.所以3 a ＋12＝18，解得 a ＝ 2.所以原方程是6－4 x ＝18，解得 x ＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 有一户人家，父亲和儿子同一天过生日.若父子俩的年龄加起来是 100岁，则称为“百岁父子”.已知当父亲38岁时，儿子10岁，现在父亲 的年龄是儿子年龄的2倍，则现在父子俩各多少岁？再过几年两人的年 龄加起来是100岁？ 解：设现在儿子的年龄是 x 岁，则现在父亲的年龄是2 x 岁.根据题意， 得2 x － x ＝38－10，解得 x ＝28.所以2 x ＝56.所以（100－28－56）÷2 ＝8（年）.所以现在儿子的年龄是28岁，父亲的年龄是56岁，再过8年 两人的年龄加起来是100岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$2　一元一次方程的解法 第2课时　用移项解一元一次方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 将方程3 x ＋6＝2 x －8移项后，有下列结果：① 3 x ＋2 x ＝6－8；② 3 x －2 x ＝－8＋6；③ 3 x －2 x ＝8－6；④ 3 x －2 x ＝－6－8.其中，正确 的有（　B　） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 2. 下列方程中，变形正确的是（　D　） A. 若4 x －1＝3 x ＋1，则 x ＝0 B. 由5 x ＝ 得 x ＝ C. 由7 x ＝ x ＋8得 x ＝1 D. 若5 x ＋2＝6 x ，则 x ＝2 3. 若 x －4与2－3 x 互为相反数，则 x 的值为（　B　） A. 1 B. －1 C. D. － D B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 4. （2023·永州）若关于 x 的一元一次方程2 x ＋ m ＝5的解为 x ＝1，则 m 的值为（　A　） A. 3 B. －3 C. 7 D. －7 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 5. （1） 已知方程2 x －4＝0，则 x ＝ ⁠； （2） 方程2 x －3＝6的解为 ⁠； （3） 方程12－2 x ＝－5 x 的解为 ⁠. 6. 若－ ab2 x＋3与－ ab4 x＋1是同类项，则 x ＝ ⁠. 2　 x ＝4.5　 x ＝－4　 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 （1） 2－ x ＝4 x －8； 解： x ＝2 （2） 4 x －1＝2 x ＋5； 解： x ＝3 （3） 2－3 x ＝5－2 x ； 解： x ＝－3 （4） x ＋3＝ x －2. 解： x ＝60 7. （教材P142随堂练习第1题变式）解下列方程： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 8. 已知关于 x 的方程（｜ k ｜－3） x2－（ k －3） x ＋2 m ＋1＝0是一元一 次方程. （1） 求 k 的值； 解：（1） 由题意，得｜ k ｜－3＝0， k －3≠0，解得 k ＝－3 （2） 若该方程与方程3 x ＝4－5 x 的解相同，求 m 的值. 解：（2） 解3 x ＝4－5 x ，得 x ＝ .由（1），知原方程为6 x ＋2 m ＋1 ＝0.把 x ＝ 代入，得3＋2 m ＋1＝0，解得 m ＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 9. 若关于 x 的方程2 m －5 x ＝4与 x －4＝0的解相同，则 m 的值为 （　A　） A. 12 B. 24 C. －24 D. －12 10. （2023·汉中期末）若代数式2 x ＋3与3 x 的值相等，则 x 的值为 （　B　） A. －3 B. 3 C. D. － A B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 11. 小李在解关于 x 的方程5 a － x ＝13时，误将－ x 看成＋ x ，得到方程 的解是 x ＝－2，则原方程的解是 ⁠. 12. 甲、乙两组共有96人.若从甲组调3人到乙组，则甲、乙两组的人数 正好相等.设甲组原来的人数为 x ，则可列方程为 ⁠ ，解得 x ＝ ⁠. 13. 已知单项式－2 a2 m＋3 b5与3 a5 bm－2 n 的和仍是单项式，求（ m ＋ n ） 2024的值. 解：根据题意，得2 m ＋3＝5， m －2 n ＝5，解得 m ＝1， n ＝－2.所以 （ m ＋ n ）2024＝（1－2）2024＝（－1）2024＝1 x ＝2　 x －3＝96－ x ＋ 3　 51　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 14. （2022·咸阳礼泉期末）已知关于 x 的一元一次方程 ax －2＝7与方 程2 x －1＝5的解互为相反数，求 a 的值. 解：解2 x －1＝5，得 x ＝3.由题意，得 ax －2＝7的解为 x ＝－3.将 x ＝ －3代入 ax －2＝7，得－3 a －2＝7，解得 a ＝－3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 15. 定义新运算： a ※ b ＝ a2＋2 ab ，例如：3※（－2）＝32＋2×3× （－2）＝－3. （1） 若1※ x ＝3，求 x 的值； 解：（1） 因为1※ x ＝12＋2×1× x ＝1＋2 x ，所以1＋2 x ＝3，解 得 x ＝1 （2） 若（－2）※ x ＝－2＋ x ，求 x 的值. 解：（2） 因为（－2）※ x ＝（－2）2＋2×（－2）× x ＝4－4 x ，所 以4－4 x ＝－2＋ x ，解得 x ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 16. 小丽在解关于 x 的方程2 x ＝ ax －21时，出现了一个失误：在将 ax 移 到方程的左边时，忘记变号.结果她得到方程的解为 x ＝－3，求 a 的值和 原方程的解. 解：根据题意，得小丽移项后所得方程为2 x ＋ ax ＝－21.将 x ＝－ 3代入，得－6－3 a ＝－21，解得 a ＝5.所以原方程为2 x ＝5 x － 21，解得 x ＝7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 17. 小马在解一元一次方程“ x －3＝2 x ＋9”时，不小心将一滴墨水滴 在作业本上了，其中未知数 x 前的系数看不清了，同桌告诉他原方程的 解为 x ＝－2，小马由此就知道了被墨水遮住的系数.被墨水遮住的系数 是多少？ 解：设被墨水遮住的系数是 m ，则方程为 mx －3＝2 x ＋9.将 x ＝－2代 入，得－2 m －3＝－4＋9，解得 m ＝－4.所以被墨水遮住的系数是－4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 返回目录 $$2　一元一次方程的解法 第3课时　用去括号解一元一次方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 把方程 x －（4 x －1）＝2（1－ x ）去括号正确的是（　C　） A. x －4 x －1＝2－2 x B. x －4 x ＋1＝2－ x C. x －4 x ＋1＝2－2 x D. x －4 x －1＝2－ x 2. 一元一次方程3 x －（ x －1）＝1的解是（　C　） A. x ＝2 B. x ＝1 C. x ＝0 D. x ＝－1 C C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 3. 若代数式3 x ＋1比代数式2 x －1的值大1，则 x 的值是（　D　） A. 2 B. －2 C. 1 D. －1 4. 若方程2 x － m ＝1和方程3 x ＝2（ x －2）的解相同，则 m 的值为 ⁠ ⁠. 5. 当 x ＝ 时，代数式5（ x －2）和代数式7 x －（4 x －3）的 值相等. D － 9　 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） （2023·榆林榆阳期末）3（ x －2）＝－5 x ＋2； 解： x ＝1 （2） （2023·榆林子洲期末）2（ x －1）＝5（ x ＋2）－2； 解： x ＝－ （3） （2023·宝鸡期末）1＋2（7－ x ）＝－3（2 x －1）. 解： x ＝－3 6. （教材P143随堂练习第1题变式）解方程： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. （2023·咸阳武功期末）已知关于 x 的一元一次方程4（ x ＋ a ）＋5＝ －2 x 的解与方程－3 x ＝－4－ x 的解互为倒数，求 a 的值. 解：解－3 x ＝－4－ x ，得 x ＝2.由题意，得关于 x 的一元一次方程4（ x ＋ a ）＋5＝－2 x 的解是 .把 x ＝ 代入方程4（ x ＋ a ）＋5＝－2 x ，得 4（ ＋ a ）＋5＝－2× ，即2＋4 a ＋5＝－1，解得 a ＝－2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 小明在对方程3 x －（ x －2 a ）＝4去括号时，忘记将括号中的第二项 变号，求得方程的解为 x ＝－2.方程的正确解为（　C　） A. x ＝2 B. x ＝4 C. x ＝6 D. x ＝8 9. （2023·榆林子洲期末）已知 A ＝2 x ＋1， B ＝5 x －4， A 比 B 小1， 则 x 的值为（　A　） A. 2 B. －2 C. 3 D. －3 C A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 关于 x 的方程2 ax ＝（ a ＋1） x ＋6的解是 x ＝1，现给出另一个关于 x 的方程2 a （ x －1）＝（ a ＋1）（ x －1）＋6，则这个方程的解是 ⁠ ⁠. 11. 王爷爷用280元买了甲、乙两种药材，甲种药材每千克20元，乙种药 材每千克60元，且甲种药材比乙种药材多买了2千克，则甲种药材买 了 千克. 12. （2023·咸阳兴平期末）规定： ＝ ad － bc .若 ＝ ，则 x 的值是 ⁠. x ＝ 2　 5　 －12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 13. 解一元一次方程时，有括号的一般先去括号，但根据方程的特点有 时不先去括号反而简单.请用去括号和不去括号两种方法解方程： （ x －3）＝2－ （ x －3）. 解：方法一：去括号，得 x － ＝2－ x ＋ .移项、合并同类项，得 x ＝5　方法二：移项，得 （ x －3）＋ （ x －3）＝2.合并同类项，得 x －3＝2，解得 x ＝5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. 若两个方程的解相同，则这两个方程称为同解方程.已知方程－3 （－2 x ＋2）＝2－3 x 与关于 x 的方程2（3－ k ）＝－2（－ x －3）为同 解方程，求： （1） k 的值； 解：（1） 解－3（－2 x ＋2）＝2－3 x ，得 x ＝ .把 x ＝ 代入关于 x 的 方程2（3－ k ）＝－2（－ x －3），得3－ k ＝ ＋3，解得 k ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 关于 x 的方程 x － ＝2－3（ x －1）的解. 解：（2） 把 k ＝－ 代入 x － ＝2－3（ x －1），得 x －（－ 4－2 x ）＝2－3（ x －1），解得 x ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 学校组织植树活动，已知在甲处植树的有6人，在乙处植树的有10 人，在丙处植树的有8人，现调来若干人去支援，使在甲、乙、丙三处 植树的总人数之比为2∶3∶4.设支援后在甲处植树的有2 x 人. （1） 根据信息填表： 甲　处 乙　处 丙　处 支援后的人数 2x 3 x 4 x 支援的人数 2 x －6 3 x －10 4 x －8 解：（1） 填表如上 3 x 4 x 3 x －10 4 x －8 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 已知支援丙处的人数是支援乙处的人数的2倍，求支援甲、乙、 丙三处的人数. 解：（2） 根据题意，得4 x －8＝2（3 x －10），解得 x ＝6.所以2 x －6 ＝6，3 x －10＝8，4 x －8＝16.所以支援甲、乙、丙三处的人数分别为 6，8，16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$2　一元一次方程的解法 第4课时　用去分母解一元一次方程 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 下列去分母正确的是（　D　） A. 由 －1＝ ，得2 x －1＝3－3 x B. 由 － ＝－1，得2 x －2－ x ＝－4 C. 由 －1＝ ，得 2 y －15＝3 y D. 由 ＝ ＋1，得3（ y ＋1）＝2 y ＋6 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 2. 如果关于 x 的一元一次方程 － ＝1的解是 x ＝2，那么 k 的值 是（　B　） A. － B. 1 C. － D. 0 3. 下列 x 的取值中，能使代数式6＋ 与 的值相等的是（　D　） A. B. － C. D. － B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 4 （2） 请选择一个角度对小伟的解题过程进行评价： ⁠ ⁠. 小伟的解题过程 非常详细（合理即可）　 解：去括号，得 x － x ＋ ＝1. 去分母，得8 x －6 x ＋9＝12. 移项，得8 x －6 x ＝12－9. 合并同类项，得2 x ＝3. 系数化为1，得 x ＝ . 第4题 4. 小伟解方程 x － ＝1的过程如图所示. （1） “去分母”这一步变形的依据为 ⁠； 等式的基本性质　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 5. 如果 －1与 互为相反数，那么 x 的值为 　 　. 6. （教材P145随堂练习第1题变式）解方程： 　 （1） （2023·渭南蒲城期末）－ ＝1－ ； 解： x ＝ （2） （3 x ＋1）－1＝ （ x －1）－ （2 x ＋3）； 解： x ＝－ （3） － ＝ －12. 解： x ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 7. （2023·榆林榆阳期末）已知代数式 与代数式 的差是最小的 正整数，求 x 的值. 解：根据题意，得 － ＝1.去分母，得 x －2－2（2 x ＋1）＝4.去 括号，得 x －2－4 x －2＝4.移项，得 x －4 x ＝4＋2＋2.合并同类项，得 －3 x ＝8.系数化为1，得 x ＝－ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 8. 已知方程2－ ＝ －3与方程 ＝3 k 的解相同，则 k 的值为 （　B　） A. B. C. D. 9. 若 比 的值多1，则 a －2的值为（　A　） A. 3 B. －2 C. －1 D. －3 B A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 10. 在有理数范围内定义运算“*”，并且规定a*b＝－ ，则方程 （2*3）（4*x）＝49的解为（　D　） A. x ＝－3 B. x ＝－55 C. x ＝－56 D. x ＝55 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 11. 方程 － ＝1.2的解为 ⁠. 12. 小明在做家庭作业时，发现有一道解方程的题目中有一个数被墨水 污染了： － ＝－ ，“ ”是被污染的内容.翻开答案发现，这 道题的解为 x ＝2，则“ ”表示的数为 ⁠. x ＝6.4　 4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （1） 当 m 为何值时，方程的解为 x ＝4？ 解：（1） 把 x ＝4代入，得2＋ m ＝ ，解得 m ＝－4 （2） 当 m ＝4时，求方程的解. 解：（2） 把 m ＝4代入，得 ＋4＝ ，解得 x ＝28 13. 已知关于 x 的方程 ＋ m ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 14. （2023·西安段考）小明在解方程 ＝ －1时，由于粗心大 意，在去分母时，方程右边的－1没有乘12，由此得到的方程的解是 x ＝ 3，试求出 m 的值，并帮助小明求出原方程的解. 解：由题意，得4（2 x －1）＝3（ x ＋ m ）－1，整理，得5 x ＝3 m ＋3. 把 x ＝3代入5 x ＝3 m ＋3，得15＝3 m ＋3，解得 m ＝4.所以方程为 ＝ －1，解得 x ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 15. 甲组的4名工人3月完成的总工作量比此月人均定额的4倍多20件，乙 组的5名工人3月完成的总工作量比此月人均定额的6倍少20件. 解：设此月人均定额是 x 件，则甲组3月完成的总工作量是（4 x ＋20） 件，人均工作量是 件；乙组3月完成的总工作量是（6 x －20） 件，人均工作量是 件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （2） 如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组多2件，那么此 月人均定额是多少件？ （2） 根据题意，得 －2＝ ，解得 x ＝35.所以此月人均定额 是35件 （1） 根据题意，得 ＝ ，解得 x ＝45.所以此月人均定额 是45件 （1） 如果甲、乙两组工人实际完成的此月人均工作量相等，那么此月 人均定额是多少件？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 （3） 如果甲组工人实际完成的此月人均工作量比乙组少2件，那么此 月人均定额是多少件？ （3） 根据题意，得 ＝ －2，解得 x ＝55.所以此月人均定额 是55件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 返回目录 $$3　一元一次方程的应用 第1课时　解决形积变化问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 若要锻造直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形机器零件10件，则需直 径为4厘米的圆钢柱长（　D　） A. 10厘米 B. 20厘米 C. 30厘米 D. 40厘米 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 2. 如图，在周长为10m的长方形窗户上钉一块宽为1m的长方形遮阳布 （图中涂色部分），使透光部分正好是一个正方形，则钉好后透光部分 的面积为（　A　） A. 4m2 B. 9m2 C. 16m2 D. 25m2 第2题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 有一个长方体水箱，其底面是边长为5米的正方形，箱内盛水，水深4 米.现把一个棱长为3米的正方体沉入箱底（没有水溢出），此时水面的 高度为（　C　） A. 5.4米 B. 7米 C. 5.08米 D. 6.67米 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 4. 有一块长、宽、高分别为4cm，3cm，2cm的长方体橡皮泥，要用它来 捏一个底面半径为1.5cm的圆柱，则圆柱的高约为 cm（精确到 0.1cm，π取3.14）. 3.4　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 第5题 解：设容器内的水面将升高 x cm.根据题意，得π×102 x ＝π×22×（12 ＋ x ），解得 x ＝0.5.所以容器内的水面将升高0.5cm 5. 如图，一个盛有水的圆柱形玻璃容器的底面半径为10cm（玻璃厚度忽 略不计），原容器内水的高度为12cm，把一根半径为2cm 的玻璃棒垂直 插入水中后（玻璃棒靠水的底面完全接触玻璃容器的底面，水未溢 出），容器内的水面将升高多少厘米？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. （教材P154习题5.3第4题变式）如图，将一张正方形纸片剪去一张宽 为5cm的长方形纸片后，再从剩下的长方形纸片上剪去一张宽为6cm的 长方形纸片. （1） 如果两次剪下的长方形纸片的面积正好相等，那么这张正方形纸 片的面积为多少？ 解：（1） 设正方形纸片的边长为 x cm.根据题意， 得5 x ＝6（ x －5），解得 x ＝30.30×30＝900 （cm2）.所以这张正方形纸片的面积为900cm2 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 第二次剪下的长方形纸片的面积能是第一次剪下的长方形纸片的 面积的2倍吗？如果能，请求出正方形纸片的面积；如果不能，请说明 理由. 解：（2） 不能　理由：设正方形纸片的边长为 y cm.根据题意，得5 y ×2＝6（ y －5），解得 y ＝－7.5，不符合实际.所以不能. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. 如图，在水平桌面上有甲、乙两个圆柱形容器，容器的底面积分别为 80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的.若将甲容器中的水全 部倒入乙容器中，乙容器中的水位高度比原先甲容器中的水位高度低 8cm，则甲容器的容积为（　C　） A. 1280cm3 B. 2560cm3 C. 3200cm3 D. 4000cm3 C 　　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，水平桌面上有个内部装有水的长方体箱子，箱内有一个与底面 垂直的隔板，且隔板左右两侧的水面高度分别为40cm，50cm.现将隔板 抽出，过程中箱内的水量未改变，且不计箱子及隔板厚度，根据图中的 数据，可知隔板抽出后，当水面静止时，箱内的水面高度为（　B　） A. 43cm B. 44cm C. 45cm D. 46cm 第8题 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 如图，用一块长为7.5cm、宽为3cm的长方形纸板，一块长为6cm、宽 为1.5cm的长方形纸板，一块小正方形纸板和另两块长方形纸板，恰好 拼成一个大正方形，则小正方形纸板的边长为 cm，拼成的大正 方形的面积为 cm2. 4.5　 81　 第9题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. 一个长方形养鸡场的长边靠墙，墙长14m，其他三边用竹篱笆围成. 现有长为35m的竹篱笆，小陈打算用它围成一个长比宽长5m的养鸡场； 小李打算用它围成一个长比宽长2m的养鸡场.谁的设计符合实际？请说 明理由. 解：小李的设计符合实际　理由：设小陈设计的养鸡场的长为 x m，则 宽为（ x －5）m.根据题意，得 x ＋2（ x －5）＝35，解得 x ＝15.因为15 ＞14，所以小陈的设计不符合实际.设小李设计的养鸡场的长为 y m，则 宽为（ y －2）m.根据题意，得 y ＋2（ y －2）＝35，解得 y ＝13.因为13 ＜14，所以小李的设计符合实际. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 有两个蓄水池分别蓄水8立方米和12立方米.如果两个蓄水池的容量足 够大，那么往其中一个蓄水池再注水多少立方米，才能使其中一个蓄水 池的蓄水量是另一个蓄水池蓄水量的 ？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 解：因为 ＝ ＜ ，所以不可能向蓄水12立方米的蓄水池中再注水.向 原来蓄水8立方米的蓄水池再注水，分两种情况讨论：若原来蓄水8立方 米的蓄水池现在的蓄水量是原来蓄水12立方米的蓄水池的蓄水量的 ， 设注水量为 x 立方米.根据题意，可列方程为8＋ x ＝12× ，解得 x ＝1. 若原来蓄水12立方米的蓄水池的蓄水量是原来蓄水8立方米的蓄水池现 在的蓄水量的 ，设注水量为 y 立方米.根据题意，可列方程为（8＋ y ） × ＝12，解得 y ＝8.所以往原来蓄水8立方米的蓄水池再注水1立方米 或8立方米，才能使其中一个蓄水池的蓄水量是另一个蓄水池蓄水量的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$3　一元一次方程的应用 第2课时　运用表格解决实际问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. （2023·南充）《孙子算经》记载：今有木，不知长短.引绳度之， 余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺.木长几何？其大意如下：现有一 根长木，不知道其长短.用一根绳子去度量长木，绳子还剩余4.5尺；将 绳子对折再度量长木，长木还剩余1尺.问：长木长多少？设长木长为 x 尺，则可列方程为（1尺＝10寸）（　A　） A A. （ x ＋4.5）＝ x －1 B. （ x ＋4.5）＝ x ＋1 C. （ x －4.5）＝ x ＋1 D. （ x －4.5）＝ x －1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 2. 老牛和小马一起驮包裹，小马说：“真不公平，你这么大的个，却只 比我多驮2个包裹.”老牛反驳：“哼，我从你背上拿来1个包裹，我的 包裹个数就是你的2倍了！”小马终于无话可说了.根据老牛和小马的对 话，可求得老牛驮的包裹个数为（　D　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 栖树一群鸦，鸦树不知数，四只栖一树，五只没处去，五只栖一树， 闲了一棵树，请你仔细数，鸦树各几何？这首诗中谈到的鸦为 ⁠ 只，树为 棵. D 45　 10　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 午餐种类 自助餐 盒　饭 价格/（元/份） 15 10 已知12月盈盈在学校共吃了22次午餐，每次吃1份，刚好把妈妈给的300 元午餐费全部用完，则盈盈这个月的午餐吃自助餐 次. 16　 4. 学校食堂提供的两种午餐情况如下表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 5. （2023·陕西）小红在一家文具店买了一种大笔记本4本和一种小笔 记本6本，共用了62元.已知她买的这种大笔记本每本的价格比这种小笔 记本每本的价格多3元，求该文具店中这种大笔记本每本的价格. 解：设该文具店中这种大笔记本每本的价格是 x 元，则小笔记本每本的 价格是（ x －3）元.由题意，得4 x ＋6（ x －3）＝62，解得 x ＝8.所以该 文具店中这种大笔记本每本的价格为8元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 6. 小华家制作了美味的水饺和蒸饺，由爸爸负责擀皮，小华负责包蒸 饺，妈妈负责包水饺.已知爸爸擀的水饺皮和蒸饺皮一共有88张，妈妈 所包的水饺数量比小华所包的蒸饺数量的2倍还多10个，则水饺和蒸饺 各包了多少个？ 解：设蒸饺包了 x 个，则水饺包了（2 x ＋10）个.根据题意，得 x ＋2 x ＋10＝88，解得 x ＝26.所以2 x ＋10＝62.所以蒸饺包了26个，水饺包了 62个 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 7. 某快递分派站现有包裹若干件需快递员派送，若该快递分派站的每个 快递员派送10件，则还剩6件；若该快递分派站的每个快递员派送12 件，则还差6件.该快递分派站现有包裹（　B　） A. 60件 B. 66件 C. 68件 D. 72件 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 8. （2023·宝鸡期末）列方程解应用题：鸡兔同笼是我国古代三大算术 题目之一，最早记载于《孙子算经》中，原文如下：今有雉兔同笼，上 有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？其大意如下：有若干只鸡 和兔子在同一个笼子里，从上面数共有35个头，从下面数共有94只脚， 鸡和兔子各有多少只？ 解：设鸡有 x 只，则兔子有（35－ x ）只.根据题意，得2 x ＋4（35－ x ）＝94，解得 x ＝23.所以35－ x ＝12.所以鸡有23只，兔子有12只 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 9. （2023·榆林子洲期末）某建筑工地计划租用甲、乙两车清理建筑垃 圾，已知甲车单独运完需要15天，乙车单独运完需要30天.甲车先运了3 天，然后甲、乙两车合作运完剩下的垃圾. （1） 甲、乙两车合作还需要多少天运完垃圾？ 解：（1） 设甲、乙两车合作还需要 x 天运完垃圾.由题意，得 ＋ ＝1，解得 x ＝8.所以甲、乙两车合作还需要8天运完垃圾 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 已知甲车每天的租金比乙车多100元，运完垃圾后建筑工地需支 付甲、乙两车租金共3950元，则乙车每天的租金为多少元？ 解：（2） 设乙车每天的租金为 y 元，则甲车每天的租金为 （ y ＋100） 元.由题意，得（8＋3）×（ y ＋100）＋8 y ＝3950，解得 y ＝150.所以乙 车每天的租金为150元 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 10. 为进一步加强学生“学党史、知党情、跟党走”的信心，培养学生 的民族精神和爱国主义情怀，某校组织开展红色电影教育活动，电影票 的价格如下表： 购票张数 1至40 41至80 80以上 价　格 每张20元 每张18元 免2张门票， 其余每张17元 该校七年级两个班共有83名学生去看电影，其中七年级（1）班的学生 人数超过30，但不足40. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （1） 若两个班都以班为单位单独购票，一共付了1572元，求七年级 （2）班学生的人数； 解：（1） 设七年级（1）班有 x 名学生，则七年级（2）班有（83－ x ）名学生.根据题意，得20 x ＋18（83－ x ）＝1572，解得 x ＝39.所以 83－ x ＝83－39＝44.所以七年级（2）班有44名学生 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 （2） 方案1：以班为单位单独购票，所需费用为20×（39－7）＋ 18×44＝1432（元）.方案2：两个班联合购买正好张数的票.因为83－7 ＝76（名），76＜80，所以所需费用为18×76＝1368（元）.方案3：两 个班联合购买81张票，所需费用为17×（81－2）＝1343（元）.因为 1432＞1368＞1343，所以最省钱的方案为两个班联合购买81张票 （2） 在（1）的条件下，七年级（1）班有7名学生因有比赛任务不 能参加这次活动，请为两个班设计购买电影票的方案，并指出最省 钱的方案. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 返回目录 $$3　一元一次方程的应用 第3课时　运用线段图解决实际问题 第五章　一元一次方程 01 基础过关 02 能力进阶 03 思维拓展 目 录 1. 小张和小李登山，小张登山的速度为10m/min，且先出发30min；小李 登山的速度为15m/min，两人同时登上山顶，则这座山的高度为 （　B　） A. 800m B. 900m C. 1000m D. 1100m 2. 小华从家骑自行车去学校，每小时骑15km，可早到10min；每小时骑 12km，就会迟到5min.小华家到学校的路程是（　D　） A. 35km B. 20km C. 18km D. 15km B D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 3. 已知学校距离敬老院1000m.小明和小刚两人从学校出发去敬老院送水 果，小明带着水果先走了200m，然后小刚才出发.若小明的速度为 80m/min，小刚的速度为120m/min，则小刚用 min可以追上小明. 4. 《算学启蒙》中有这样一道题：良马日行二百四十里，驽马日行一百 五十里.驽马先行一十二日，问良马几何追及之？其大意如下：快马每 天走240里，慢马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢 马？请解决这道题. 解：设快马 x 天可以追上慢马.由题意，得240 x －150 x ＝150×12，解得 x ＝20.所以快马20天可以追上慢马 5　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 5. 某班学生列队从学校到一个农场去参加劳动，以4km/h的速度行进.走 完1km时，一个学生奉命回学校取一件东西，他以5km/h的速度跑回学 校，取了东西后又立即以同样的速度跑步追赶队伍，结果在距农场 1.5km的地方追上队伍，求学校到农场的距离（取东西的时间忽略不 计）. 解：设学校到农场的距离为 x km.由题意，得 ＝ ，解得 x ＝10.5.所以学校到农场的距离为10.5km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 6. （2023·宝鸡金台期末）甲、乙两人同时从相距25km的A地去B地， 甲骑车乙步行，甲的速度是乙速度的3倍，甲到达B地停留40min，然后 从B地返回A地，在途中遇见乙，这时距他们出发的时间恰好3h.求甲、 乙两人的速度. 解：设乙的速度为 x km/h，则甲的速度为3 x km/h.由题意，得3 x ＋3 x ＝25×2，解得 x ＝5.所以3 x ＝15.所以甲的速度为15km/h，乙 的速度为5km/h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 7. （2023·榆林榆阳期末）一条船往返于甲、乙两港之间，由甲港至乙 港是顺水航行，由乙港至甲港是逆水航行.已知这条船在静水中的速度 为8km/h，平时逆水航行与顺水航行所用的时间比为2∶1.某天恰逢暴 雨，水流速度是原来的2倍，这条船往返共用了9h，则甲、乙两港之间 的距离为（　D　） A. km B. 15km C. km D. 20km D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 8. 如图，正方形轨道 ABCD 上有甲与乙两个点，开始时甲在 A 处，乙在 C 处，它们沿着正方形轨道按顺时针方向同时出发，甲的速度为1cm/s， 乙的速度为5cm/ s .已知正方形轨道 ABCD 的边长为2cm，则乙第2024次 追上甲时的位置是（　A　） A. 在 AD 上 B. 在 AB 上 C. 在 CD 上 D. 在 BC 上 第8题 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 9. 如图， O 为模拟钟面的圆心，点 M ， O ， N 在同一条直线上，指针 OA ， OB 分别从 OM ， ON 同时出发，绕点 O 按顺时针方向转动， OA 的 转动速度为12°/s， OB 的转动速度为4°/s，当一根指针与起始位置重 合时，停止转动.设转动的时间为 t s，当 t ＝ 时，∠ AOB ＝ 60°. 第9题 15或30　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 10. （2023·渭南蒲城期末）甲、乙两队相约沿相同的路线徒步，徒步 的路程为24km，甲队的步行速度为4km/h，乙队的步行速度为6km/h， 甲队出发1h后，乙队才出发. （1） 乙队多长时间可以追上甲队？ 解：（1） 设乙队 x h可以追上甲队.根据题意，得6 x －4 x ＝4×1，解得 x ＝2.所以乙队2h可以追上甲队 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 从甲队出发开始到乙队完成徒步路程止，当两队之间的路程为 2km时，甲队出发多长时间？ 解：（2） 设甲队出发 y h.① 乙未出发前，根据题意，得4 y ＝2，解得 y ＝ .② 甲、乙两队均出发且未相遇，根据题意，得4 y －6（ y －1）＝ 2，解得 y ＝2.③ 甲、乙两队均出发且相遇后，根据题意，得6（ y －1） －4 y ＝2，解得 y ＝4.综上所述，甲队出发 h或2h或4h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 11. 已知A，B两市之间开通了“复兴号”与“和谐号”列车.某日“和谐 号”列车以200km/h的速度从A市驶向B市，1h后“复兴号”列车以 300km/h的速度从A市驶向B市. （1） “复兴号”列车出发多长时间，两列车的车头相距50km？ 解：（1） 设“复兴号”列车出发 x h后，两列车的车头相距50km.① 两 列车相遇前，根据题意，得300 x ＋50＝200（ x ＋1），解得 x ＝1.5；② 两列车相遇后，根据题意，得300 x －50＝200（ x ＋1），解得 x ＝2.5. 综上所述，“复兴号”列车出发1.5h或2.5h后，两列车的车头相距50km 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 （2） 若“复兴号”与“和谐号”列车的车长都为200m，从“复兴号” 列车的车头追上“和谐号”列车的车尾开始计时，直到“复兴号”列车 刚好完全超过“和谐号”列车为止，共持续了多长时间？ 解：（2） 设共持续了 y h.200m＝0.2km.根据题意，得300 y －200 y ＝ 0.2×2，解得 y ＝ .所以共持续了 h 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 返回目录 $$小专题（九）　巧用一元一次方程的相关概念求相关字母的值 第五章　一元一次方程 类型一　利用一元一次方程的定义求相关字母的值 1. （2022·西安期末）已知方程（3 m －4） x2－（5－3 m ） x －4 m ＝－ 2 m 是关于 x 的一元一次方程. （1） 求 m 的值及方程的解； 解：（1） 由题意，得3 m －4＝0，解得 m ＝ .把 m ＝ 代入原方程，得 － x － ＝－ ，解得 x ＝－ （2） 若 n 满足 ＋ ＝ n －4，求 n 的值. 解：（2） 把 m ＝ 代入 ＋ ＝ n －4，得 ＋ ＝ n －4，解得 n ＝ 1 2 3 4 5 类型二　利用两个方程同解确定相关字母的值 2. 已知方程 ＝ x ＋7与关于 x 的方程3 a －8＝2（ x ＋ a ）－ a 的解相同. （1） 求 a 的值； 解：（1） 解方程 ＝ x ＋7，得 x ＝－8.把 x ＝－8代入3 a －8＝2 （ x ＋ a ）－ a ，得3 a －8＝2（－8＋ a ）－ a ，解得 a ＝－4 1 2 3 4 5 （2） 若 a ， b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相 等， c 是倒数等于本身的数，求（ a ＋ b － c ）2024的值. 解：（2） 根据题意，得 b ＝4， c ＝±1.所以（ a ＋ b － c ）2024＝（－4 ＋4±1）2024＝1 1 2 3 4 5 类型三　利用方程解之间的关系求相关字母的值 3. 若方程2（3 x ＋1）＝1＋2 x 的解与关于 x 的方程 ＝2（ x ＋3）的 解互为倒数，求 k 的值. 解：解方程2（3 x ＋1）＝1＋2 x ，得 x ＝－ .因为－ 的倒数是－4，所 以将 x ＝－4代入方程 ＝2（ x ＋3），得 ＝－2，解得 k ＝6 1 2 3 4 5 类型四　利用方程的错解求相关字母的值 4. （2023·西安期末）小芳在解关于 x 的一元一次方程 －1＝ 时，误将 x － a 抄成 x ＋ a ，求得方程的解为 x ＝2，请帮小芳求出原方程 正确的解. 解：由题意，得方程 －1＝ 的解为 x ＝2.所以 －1＝ ，解 得 a ＝2.所以原方程为 －1＝ ，解得 x ＝14 1 2 3 4 5 类型五　利用与方程的解有关的新定义求相关字母的值 5. 若两个一元一次方程的解互为相反数，则称这两个方程为“兄弟方 程”.例如：方程2 x ＝4和方程3 x ＋6＝0为“兄弟方程”. （1） 若关于 x 的方程5 x ＋ m ＝0和方程2 x －4＝ x ＋1为“兄弟方程”， 求 m 的值； 解：（1） 解方程2 x －4＝ x ＋1，得 x ＝5.根据题意，将 x ＝－5代入方 程5 x ＋ m ＝0，得 m ＝25 1 2 3 4 5 （2） 若两个“兄弟方程”的两个解的差为8，其中一个解为 x ＝ n ，求 n 的值； 解：（2） 根据题意，得另一个解为 x ＝－ n ，则 n －（－ n ）＝8或－ n － n ＝8，解得 n ＝4或 n ＝－4 1 2 3 4 5 （3） 若关于 x 的方程2 x ＋3 m －2＝0和3 x －5 m ＋4＝0为“兄弟方 程”，求这两个方程的解. 解：（3） 解方程2 x ＋3 m －2＝0，得 x ＝ .解方程3 x －5 m ＋4＝ 0，得 x ＝ .根据题意，得 ＋ ＝0，解得 m ＝2.所以 ＝－2， ＝2.所以方程2 x ＋3 m －2＝0的解是 x ＝－2，方程3 x －5 m ＋4＝0的解是 x ＝2 1 2 3 4 5 $$小专题（八）　一元一次方程的解法 第五章　一元一次方程 类型一　解含多重括号的一元一次方程 1. 解方程： （1） 2 ＝ x ； 解： x ＝－ （2） ＝ （ x －1）； 解： x ＝ （3） ＝5 x . 解： x ＝－ 1 2 3 4 类型二　解含小数的一元一次方程 2. 解方程： （1） － ＝ x ； 解： x ＝10 （2） － ＝0.6； 解： x ＝ （3） － ＝ . 解： x ＝ 1 2 3 4 类型三　解含绝对值的一元一次方程 3. 解方程：3 －5＝ ＋1. 解：去分母，得6 －10＝ －2＋2.移项，得6 － ＝10－2＋2. 合并同类项，得5 ＝10.所以 ＝2，解得 x ＝2或 x ＝－2 1 2 3 4 类型四　用换元法解一元一次方程 4. 已知方程6（4 x －3）＋2（3－4 x ）＝3（4 x －3）＋5. （1） 设4 x －3＝ y ，则原方程可变形为关于 y 的方程 ⁠ ，通过先求 y 的值，从而可得 x ＝ ⁠； （2） 利用（1）中的方法解方程：3（ x －1）－ （ x －1）＝2（ x － 1）－ （ x ＋1）. 解：设 x －1＝ y ，则 x ＋1＝ y ＋2.所以原方程可变形为关于 y 的方程3 y － y ＝2 y － （ y ＋2），解得 y ＝－ .所以 x －1＝－ ，解得 x ＝ 6 y －2 y ＝3 y ＋ 5　 2　 1 2 3 4 $$小专题（十）　一元一次方程的应用 第五章　一元一次方程 类型一　形积问题 1. 现给如图所示的圆柱形水桶装满水，其中 r ＝10cm， h ＝30cm.小明将 桶中的水倒入长、宽、高分别为50cm，20cm，20cm的长方体容器内， 则长方体容器内水的高度为多少（结果保留π，容器的厚度不计）？ 第1题 解：设长方体容器内水的高度为 x cm.根据题意，得π×102×30 ＝50×20× x ，解得 x ＝3π.所以长方体容器内水的高度为3πcm 1 2 3 4 5 6 7 8 类型二　销售问题 2. （2023·宝鸡期末）某商场元旦店庆，以每台3000元的进价购进了一 款智能洗地机，为了促销，商场决定在标价基础上打七五折销售，每台 智能洗地机仍可获利20％，则该款智能洗地机的标价为 元. 4800　 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 进价/（元/件） 20 25 售价/（元/件） 27 35 （1） 该超市购进甲、乙两种商品各多少件？ 解：（1） 设购进甲种商品 x 件，则购进乙种商品（2 x －4）件.根据题 意，得20 x ＋（2 x －4）×25＝2000，解得 x ＝30.所以2 x －4＝56.所以 该超市购进甲种商品30件，乙种商品56件 3. 某社区超市用2000元购进甲、乙两种商品，其中乙种商品的件数比甲 种商品件数的2倍少4，甲、乙两种商品的进价和售价如下表（获利＝售 价－进价）： 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 求该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后可获得的利润. 解：（2） 该超市将购进的甲、乙两种商品全部卖完后可获得的利润为 （27－20）×30＋（35－25）×56＝770（元） 1 2 3 4 5 6 7 8 类型三　行程问题 4. （2023·榆林子洲期末）小明和小强骑自行车分别从同一条直线上的 A ， B 两地同时出发，同向而行.小明的骑行速度是200m/min，小强的骑 行速度是170m/min，经过5min两人之间的距离恰好等于 A ， B 两地之间 距离的 ，则 A ， B 两地相距 ⁠m. 120或200　 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 经过多长时间摩托车追上自行车？1 解：（1） 设经过 x s摩托车追上自行车.根据题意，得20 x ＝5 x ＋ 1200，解得 x ＝80.所以经过80s摩托车追上自行车 （2） 在两人行驶的途中，经过多长时间两人在行进路线上相距150m？ 解：（2） 设经过 y s两人在行进路线上相距150m.① 若摩托车还差150m 追上自行车，则20 y －1200＝5 y －150，解得 y ＝70.② 若摩托车超过自 行车150m，则20 y ＝150＋5 y ＋1200，解得 y ＝90.综上所述，经过70s或 90s两人在行进路线上相距150m 5. 有公路 AC ，点 B 在 AC 上， AB 的长为1200m， BC 的长为1600m，一 人骑摩托车从点 A 以20m/s的速度沿公路 AB ， BC 向点 C 行驶，同时， 另一人骑自行车从点 B 以5m/s的速度沿公路 BC 向点 C 行驶. 1 2 3 4 5 6 7 8 类型四　古代数学问题 6. 以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多半尺. 问井深几何？这道题目的大意如下：古人用绳子测量水井的深度.如果 将绳子折成三等份测量，那么绳子比井深多五尺；如果将绳子折成四等 份测量，那么绳子比井深多半尺.求此水井的深度. 解：设此水井的深度为 x 尺.由题意，得3（ x ＋5）＝4 ，解得 x ＝13.所以此水井的深度为13尺 1 2 3 4 5 6 7 8 类型五　表格信息问题 7. 某通信公司提供的通信服务的套餐情况如下表： 套　餐 A B 每月基本服务费/元 20 30 每月免费通话时间/分钟 100 150 每月超过免费通话时间 加收通话费/（元/分钟） 0.4 0.5 李叔叔选用了A套餐. 1 2 3 4 5 6 7 8 （1） 李叔叔5月的通话时间为120分钟，则李叔叔应付话费多少元？ 解：（1） 李叔叔5月应付话费20＋（120－100）×0.4＝28（元） （2） 李叔叔6月的通话时间超过了150分钟，他选用B套餐可以省4元， 求李叔叔6月的通话时间. 解：（2） 设李叔叔6月的通话时间为 x （ x ＞150）分钟.根据题意，得 20＋0.4（ x －100）＝30＋0.5（ x －150）＋4，解得 x ＝210.所以李叔叔 6月的通话时间为210分钟 1 2 3 4 5 6 7 8 （3） 李叔叔10月改用了B套餐，他发现，若与9月付相同的话费，则10 月的通话时间比9月多15分钟.李叔叔9月付了多少元话费？ 解：（3） 设李叔叔9月的通话时间为 y 分钟.150－15＝135（分钟）.① 当100＜ y ≤135时，20＋0.4（ y －100）＝30，解得 y ＝125.因为150－ 125＝25（分钟），15≠25，所以不符合题意.② 当 y ＞135时，20＋0.4 （ y －100）＝30＋0.5（ y ＋15－150），解得 y ＝175.所以20＋0.4（ y － 100）＝50.所以李叔叔9月付了50元话费 1 2 3 4 5 6 7 8 类型六　方案决策问题 8. 某商场计划拨款9万元从厂家购进50台电视，已知该厂家生产三种不 同型号的电视，出厂价分别是甲种电视每台1500元，乙种电视每台2100 元，丙种电视每台2500元.若该商场同时购进其中两种不同型号的电视 共50台，恰好用去9万元. 解：（1） ① 设购进甲种电视 x 台，乙种电视（50－ x ）台.根据题意， 得1500 x ＋2100（50－ x ）＝90000，解得 x ＝25.所以50－ x ＝25.② 设 购进乙种电视 y 台，丙种电视（50－ y ）台.根据题意，得2100 y ＋2500 （50－ y ）＝90000，解得 y ＝87.5（不合题意，舍去）.③ 设购进甲种 电视 z 台，丙种电视（50－ z ）台.根据题意，得1500 z ＋2500（50－ z ） ＝90000，解得 z ＝35.所以50－ z ＝15.综上所述，有两种进货方案：① 购进甲、乙两种电视各25台；② 购进甲种电视35台和丙种电视15台 （1） 请你设计进货方案； 1 2 3 4 5 6 7 8 （2） 商场销售1台甲种电视可获利150元，销售1台乙种电视可获利200 元，销售1台丙种电视可获利250元，为使销售获利最多，该商场该选择 哪种进货方案？ 解：（2） 购进甲、乙两种电视各25台可获利25×150＋25×200＝8750 （元）；购进甲种电视35台和丙种电视15台可获利35×150＋15×250＝ 9000（元）.因为9000＞8750，所以选择购进甲种电视35台和丙种电视 15台 1 2 3 4 5 6 7 8 $$