第二十一章 一元二次方程 讲义 2024--2025学年人教版九年级数学上册

一元二次方程 ★【知识点梳理】 一、一元二次方程概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 二、一元二次方程的一般形式 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）， 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项． 注意：（1）ax2+bx+c=0中的a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程． （2）在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，在指明一元二次方程各项系数时不要漏掉前面的性质符号． 三、一元二次方程的解 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解，解决此类问题，通常是将方程的根或解反代回去再进行求解． 四、解一元二次方程 1.直接开方 2.配方法 3.公式法 4.因式分解 5.换元法 五、根的判别式 根的判别式：△=b²-4ac ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 六、韦达定理（根与系数关系） 根与系数的关系：即ax2＋bx+c=0的两根为x1、x2，则，． 七、一元二次方程应用 1．传播问题 2．树分支问题 3．发短信问题 4．打比赛问题 5．送卡片问题 6．握手问题 7．增长率问题 8．面积问题 10．利润问题 ★【题型汇总】 【题型一、一元二次方程的定义】 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。 【例1】下列关于x的方程中，是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【例2】已知关于x的方程为一元二次方程，则a的取值范围是　 　 【例3】方程是关于x的一元二次方程，则 ． 【例4】已知关于x的方程是一元二次方程，则k的值应为（    ） A． B．3 C． D．不能确定 【题型二、一元二次方程的一般形式】 一元二次方程经过整理都可化成一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0）， 其中ax2叫作二次项，a是二次项系数；bx叫作一次项，b是一次项系数；c叫作常数项． 【例1】将一元二次方程化为一般形式，正确的是（    ） A． B． C． D． 【练习1】方程（x+1）（x+2）＝0化为一般形式后，常数项为（　　） A．6 B．﹣8 C．2 D．﹣4 【练习2】将方程化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．2，1，3 B．2，，3 C．2，， D．2，，1 【练习3】已知关于的一元二次方程的常数项是0，则的值为（    ） A．1 B． C．1或 D． 【题型三、一元二次方程的解】 【例1】已知 是一元二次方程的解，则（   ） A． B． C．0 D．4 【例2】已知方程的解是，，那么方程的解是（    ） A． B． C． D． 【例3】若关于x的一元二次方程必有一根为0，则 ；方程的另一根是 ． 【例4】若m是方程的一个实数根，则多项式的值是 ． 【练习1】若a是一元二次方程x²﹣3x+1＝0的一个根，则代数式2a的值为（　　） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．5 【题型四、赋值法求一元二次方程的根】 【例1】若a﹣b+c＝0，则一元二次方程ax²﹣bx+c＝0（a≠0）必有一根是（　　） A．0 B．1 C．﹣1 D．无法确定 【练习1】关于x的一元二次方程ax²﹣bx﹣2020＝0满足a+b＝2020，则方程必有一根为（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．无法确定 【练习2】若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b＝﹣2必有一根为（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【练习3】若方程ax2+bx+c＝0（a≠0），满足3a﹣bc＝0，则方程必有一根为　 　． 【题型五、解一元二次方程】 1、直接开平方法 如果方程化成x2＝P的形式，那么可得。如果方程能化成的形式，那么可得，进而得出方程的根 【例1】若关于x的方程x²﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m≤0 C．m＞0 D．m≥0 【练习1】若方程（x﹣1）²＝m+1有解，则m的取值范围是（　　） A．m≤﹣1 B．m≥﹣1 C．m为任意实数 D．m＞0 【练习2】若（4x﹣3）²＝m+3无实数解，则m的取值范围是　 　． 【练习3】已知关于x的方程（x﹣1）²＝4m﹣1有两个实数根． （1）求m的取值范围； （2）若方程有一个根为2，求方程的另外一个根． 【例2】方程：的解是（        ） A． B． C．， D． 【练习4】解方程：①x2＝9； ②4x2﹣25＝0． ③4x2﹣13＝12 【练习5】解方程：①1﹣8x+16x2＝2﹣8x ②x2﹣1＝1﹣ax2（a≠﹣1）． 【练习6】解方程． 【练习7】解方程： 【练习8】解方程4x2+12x+9＝81 2、配方法 用配方法解一元二次方程：ax2＋bx+c=0（k≠0）的一般步骤是： ①化为一般形式； ②移项，将常数项移到方程的右边； ③化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数； ④配方，即方程两边都加上一次项系数的一半的平方；化原方程为（x+a）2=p的形式；⑤如果p≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果p≤0，则原方程无解． 【例1】用配方法解方程时，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【练习1】用配方法解方程，变形后的结果正确的是(   ) A． B． C． D． 【练习2】配方法解方程 【练习3】配方法解方程x2+2＝2x 【例2】用配方法解方程2x2＝7x﹣3，方程可变形为（　　） A．（x）2 B．（x）2 C．（x）2 D． 【练习4】配方法解方程． 【练习5】配方法解方程：3x2+1＝2x． 【例3】一元二次方程x2﹣8x+c＝0配方，得（x﹣m）2＝11，则c和m的值分别是（　　） A．c＝5，m＝4 B．c＝10，m＝6 C．c＝﹣5，m＝﹣4 D．c＝3，m＝8 【练习6】已知方程x2﹣6x+q＝0配方后是（x﹣p）2＝7，那么方程x2+6x+q＝0配方后是（　　） A．（x﹣p）2＝5 B．（x+p）2＝5 C．（x﹣p）2＝9 D．（x+p）2＝7 【练习7】如果x2﹣8x+m＝0可以通过配方写成（x﹣n）2＝6的形式，那么x2+8x+m＝0可以配方成（　　） A．（x﹣n+5）2＝1 B．（x+n）2＝1 C．（x﹣n+5）2＝11 D．（x+n）2＝6 【练习8】若一元二次方程x2+bx+5＝0配方后为（x﹣4）2＝k，则k的值为　 　． 3.公式法 用公式法求一元二次方程的一般步骤： （1）把方程化成一般形式ax2＋bx+c=0，确定a、b、c的值（注意符号）； （2）求出判别式的值，判断根的情况； （3）在的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算，求出方程的根． 【例1】如果一元二次方程能用公式法求解，那么必须满足的条件是（　　） A． B． C． D． 【练习1】用公式法解方程x2+6x=5 【练习2】用公式法解方程：． 【练习3】①（公式法）． ②3x2﹣4x+2＝0（公式法） 【例2】若一元二次方程x2+bx+4＝0的两个实数根中较小的一个根是m（m≠0），则b（　　） A．m B．﹣m C．2m D．﹣2m 【练习4】关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根分别为x1，x2，下列判断一定正确的是（　　） A．a＝﹣1 B．c＝1 C．ac＝﹣1 D．1 4.因式分解 因式分解法解一元二次方程的一般步骤如下： （1）移项，使方程的右边化为零； （2）将方程的左边转化为两个一元一次多项式的乘积； （3）令每个因式分别为零； （4）两个因式分别为零的解就都是原方程的解。 如： 【例1】如果二次三项式x2+px+q能分解成（x+3）（x﹣1）的形式，则方程x2+px+q＝0的两个根为（　　） A．x1＝﹣3，x2＝1 B．x1＝﹣3；x2＝﹣1 C．x1＝3；x2＝﹣1 D．x1＝3；x2＝1 【例2】一元二次方程的解为（　　） A． B． C．或 D． 且 【例3】已知某一元二次方程的两根分别为，则这个方程可能为（    ） A． B． C． D． 【练习1】因式分解法 【练习2】因式分解解方程4x2﹣（x﹣1）2＝0 【例4】十字相乘法解方程x2﹣10x+16＝0 【练习3】十字相乘法解方程 5、换元法 【例1】若，则的值为（    ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【练习1】若，则的值是（　　） A． B． C．2 D．4 【题型六、判断一元二次方程根的情况】 【例1】若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　） A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0 【例2】关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【练习1】若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（    ） A． B． C． D．9 【题型七、根与系数的关系】 根与系数的关系：即ax2＋bx+c=0的两根为x1、x2，则，． 【例1】若，是一元二次方程的两个根，则的值是（　　） A．4 B．3 C． D． 【练习1】关于的方程的两根分别为，，则的值为 ． 【练习2】若一元二次方程的两个实数根分别为，，则代数式的值为（    ） A． B．0 C．2 D．10 【练习3】已知，是方程的两根，不解方程，用根与系数的关系求下列各式的值：①；②；③；④ 【练习4】一元一次方程的两根为，则 ． 【练习5】已知实数， 满足等式，，则的值是 ． 【练习6】已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则－mn＋= ． 【题型七、根据实际问题列一元二次方程】 1．传播问题： 有一个人患了新冠肺炎，经过两轮传染后共有169人患了新冠肺炎，每轮传染中平均一个人传染了 个人． 2．树分支问题： 某校“自然之美”研究小组在野外考察时发现一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出x个枝干，每个枝干又长出x个小分支，现在一株植物上有主干、枝干、小分支数量之和为，根据题意，请列出方程为 ． 3．发短信问题： 10月7日到校前，小童收到学校的一条短信通知并转发给若干个同学，每个收到短信的同学又给相同数量的同学转发了这条短信，此时收到这条短信的同学共有人，小童给 个同学发了短信． 4．打比赛问题： ①某校九年级举行班际篮球赛，若采取双循环赛制（即每两个班之间都进行两场比赛），则要赛30场，设九年级共有个班，列方程得 ． ②某学校要组织一次篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都只赛一场），计划安排21场比赛，则参赛队数为 个. 5．送卡片问题： 某摄影兴趣小组互送相片作纪念，全组共送出相片张，该摄影小组共有 人． 6．握手问题： 参加宴会的人两两彼此握手，在某次宴会中，出席宴会的人一共握了次手，那么出席这次宴会的人数是 人． 7．增长率问题： ①某县2019年粮食总产量为100万吨，经过两年的努力，该县2021年粮食总产量达到121万吨，则该县这两年粮食总产量的年平均增长率为 ． ②某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是 ． 8．面积问题 如图，要围一个矩形菜园ABCD，其中一边AD是墙，且AD的长不能超过26m，其余的三边AB，BC，CD用篱笆，且这三边的和为40m．有下列结论：①AB的长可以为9m；②AB的长有两个不同的值满足菜园ABCD面积为；③菜园ABCD面积的最大值为．其中，正确结论的序号是 ． 9.如图所示，要在20米宽，32米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路，把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为570平方米，若设小路宽x米则可列方程 ． 10．利润问题： 某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润20元．为扩大销售，超市准备适当降价．据测算，每箱每降价4元，平均每天可多售出20箱．若要使每天销售这种饮料获利1280元，每箱应降价多少元？设每箱降价x元，可列方程 ． 【应用题通关练习】 1．春季是流感的高发时期，某校4月初有一人患了流感，经过两轮传染后，共25人患流感，假设每轮传染中平均每人传染x人，则可列方程（    ） A． B． C． D． 2．某树主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支总数是43．若设主干长出x个支干，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 3．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 4．某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路（如图），剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 5．用长的铁丝围成一个一边靠墙的长方形场地，使该场地的面积为，并且在垂直于墙的一边开一个长的小门（用其它材料），若设垂直于墙的一边长为，那么可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．2023年4月23是第28个世界读书日，读书已经成为很多人的一种生活方式，城市书院是读书的重要场所之一，据统计，某书院对外开放的第一个月进书院600人次，进书院人次逐月增加，到第三个月末累计进书院2850人次，若进书院人次的月平均增长率为，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 7．为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，设平均每次降价的百分率是，则根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 8．中国男子篮球职业联赛（简称：CBA），分常规赛和季后赛两个阶段进行，采用主客场赛制（也就是参赛的每两个队之间都进行两场比赛）．2022-2023CBA常规赛共要赛240场，则参加比赛的队共有（　　） A．80个 B．120个 C．15个 D．16个 9．某花圃用花盆培育某种花苗，经过试验发现，每盆花的盈利与每盆株数构成一定的关系，每盆植入3株时，平均单株盈利10元；以同样的栽培条件，若每盆每增加1株，平均单株盈利就减少1元，要使每盆的盈利为40元，需要每盆增加几株花苗？设每盆增加x株花苗，下面列出的方程中符合题意的是（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，要在米宽，米长的矩形耕地上修筑同样宽的三条小路（两条纵向，一条横向，横向与纵向互相垂直），把耕地分成大小不等的六块花田，要使花田面积为，则道路应修多宽？ 11．如图1，某校准备一面利用墙，其余三面用篱笆围成一个矩形花圃，已知旧墙可利用的最大长度为，篱笆长为． (1)若围成的花圃面积为，求的长． (2)如图2，若计划将花圃中间用一道篱笆隔成两个小矩形，且花圃面积为，请你判断能否围成这样的花圃．如果能，求的长；如果不能，请说明理由． 12． 某服装店在销售中发现：进货价为每件50元，销售价为每件90元的某品牌服装平均每天可售出20件．现服装店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．求销售价在每件90元的基础上，每件降价多少元时，平均每天销售这种服装能盈利1200元，同时又要使顾客得到较多的实惠？ 13．某商品现在的售价是每件60元，每周可卖出300件．市场调查反映：若调整价格，每涨价1元，每周可少卖出10件．已知该商品的进价是每件40元． 设该商品每件涨价x元（0≤x≤30）． (1)根据题意填写表： 售价（元/件） 每件利润（元） 每周销量（件） 每周利润（元） 现在 60 20 300 20×300＝6000 涨价后 60+x 20+x 　 　 　 　 (2) 若计划每周的利润为6160元，该商品每件应涨价多少？ 14．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为18m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长33m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙． （1）要围成养鸡场的面积为150m2，则养鸡场的长和宽各为多少？ （2）围成养鸡场的面积能否达到200m2？请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$