第5章 导数及其应用章末总结提升课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第5章 导数及其应用 章末总结提升 网络构建·知识导图 2 3 要点归纳·典例提升 4 要点一 导数的计算及几何意义 1.本部分内容有导数的几何意义,基本初等函数求导法则、运算法则、复合函数求导,主要考查切线方程及切点,与切线平行、垂直问题,处理此类问题一般结合函数的切线转化为点到直线的距离,平行线间的距离问题,然后再研究最值问题. 2.通过求切线方程的有关问题,培养数学运算、数学抽象等核心素养和转化化归数学思想. 【典例1】（1） 设 是函数 的导函数,若 ,则 ___. 2 [解析] 因为 ,所以 ,则 . 5 （2）已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直,则实数 的值为 _ ____ <m></m> . [解析] ,所以 .因为切线与直线 垂直,所以 ,解得 . 6 规律方法 导数的运算是解决一切导数问题的基础,熟练掌握基本初等函数的求导法则,掌握函数的和、差、积、商的导数运算法则是解决问题的关键,复合函数求导的关键是分清层次、逐层求导,求导时不要忘了对内层函数进行求导. 跟踪训练1（1） 已知曲线 在点 处的切线与直线 平行, 则实数 的值为( ) A A. B.1 C.2 D.3 [解析] 由 ,得 ,则曲线在点 处的切线斜率为 .由切线与直线 平行,可得 ,即 ,解得 故选A. 7 （2）已知函数 ,且 ,则 的最小值为_ _____ <m></m> . [解析] 因为 ,所以 , ,所以 ,当且仅当 时取等号,所以 的最小值为 . 8 要点二 函数的单调性与导数 利用导数研究函数的性质,主要以指数函数、对数函数、三次有理函数为载体,研究函数的单调性、极值、最值,并能解决有关的问题.通过求函数的单调性、极值、最值问题,培养逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 【典例2】 已知函数 . （1）当 时,讨论 的单调性； 解 当 时, , .令 ,由于 ,故 是增函数,注意到 ,故当 时, , 单调递减；当 时, , 单调递增. 9 （2）当 时, ,求 的取值范围. 由 ，得 ,其中 . ①当 时,不等式为 ,显然成立,符合题意. ②当 时,分离参数 ，得 . 记 ,则 .令 ,则 . 令 , ,则 ,故 ,故函数 单调递 增, . 10 由 ，得 恒成立,故当 时, , 单调递 增；当 时, , 单调递减， 所以 . 综上, 的取值范围是 , . 规律方法 利用导数判断函数的单调性是解决一切应用问题的基础,一般按照求导、通分、因式分解、分类讨论的思路研究函数的单调性,从而掌握函数图象的变化趋势,达到解决问题的目的. 12 跟踪训练2 已知函数 在 处有极小值 . （1）求 , 的值； 解 因为函数 在 处有极小值 ,所以 ,所以 ,① 且 ,② 联立①②，解得 , . 13 （2）求 在区间 上的值域. 由（1）得， ,所以 , . 由 ，得 ；由 ，得 ，所以函数 在区间 上单调递减,在区间 上单调递增. 又 , , ,所以 在区间 上的值域为 . 14 要点三 与导数有关的综合性问题 1.导数是研究函数性质以及解决实际问题强有力的工具,从近几年高考题看,利用导数研究方程的根、函数的零点、证明不等式这些知识点常考到,一般出现在解答题中.其实质就是利用求导数的方法研究函数的性质及图象,解决该类问题通常是构造一个函数,然后考查这个函数的单调性,结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解. 2.通过利用导数解决实际问题,培养数学建模,解决函数方程问题,提升逻辑推理、直观想象及数学运算等核心素养. 15 【典例3】 已知函数 . （1）求 的最小值； 解 的定义域是 , . 令 ,得 ；令 ,得 ,所以 在区间 , 上单调递减, 在区间 , 上单调递增.故 . （2）若对所有 都有 ,求实数 的取值范围； 当 时, 恒成立,等价于 恒成立,也即等价于 恒成立.令 ,则 . 因为 ,所以当 时, ,所以 在区间 上单调 递增,所以 ,所以 .故实数 的取值范围为 . 16 （3）若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,求实数 的取值范围. 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,则 和 的图象在区间 上有两个不同的交点. 由（1）知， 在区间 , 上单调递减,在区间 , 上单调递增, .又当 时, ；当 时, ,故 当 时,满足 和 的图象在区间 上有两个不同的交点,即 若关于 的方程 恰有两个不相等的实数根,则 ,即 , . 17 规律方法 综合性问题一般伴随着分类讨论、数形结合、构造函数等思想方法,关键是分类讨论时,是否做到了不重不漏；数形结合时，是否掌握了函数图象的变化趋势；构造函数时，是否合理. 18 跟踪训练3 已知函数 . （1）讨论 的单调性； 解 函数 的定义域为 , . 当 时, 在 上恒成立,所以 在 上单调递增； 当 时,由 ,得 , 所以当 时, , 单调递减;当 时, , 单调递增. 综上,当 时, 在 上单调递增；当 时, 在区间 上单调递 增,在区间 上单调递减. 19 （2）若 在区间 上有两个零点,求 的取值范围. 由（1）知，当 时, 在区间 上单调递增,至多有一个零点,不符合题意； 当 ,即 时, 在区间 上单调递增,不符合题意； 当 ,即 时, 在 上单调递减,在区间 上单调递增, 且 , ,要使 在区间 上有两个零点, 只需 即 解得 ; 当 ,即 时, 在区间 上单调递减,不符合题意. 综上, 的取值范围为 . 20 要点四 导数在实际问题中的应用 1.将实际问题抽象为数学问题,然后将数学知识应用到生产、生活实践中去,形成应用数学的意识,是提升数学建模核心素养的重要方法. 2.解应用题的基本步骤 （1）审题:读懂题意,分清条件与结论,理顺数量关系; （2）建模:将已知条件转化为数学语言,应用数学知识建立相应的函数模型; （3）解模:求解函数模型,得到数学结论; （4）还原:将数学方面的结论还原到实际问题中去,解释实际意义. 21 【典例4】 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔 热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元，该 建筑物每年的能源消耗费用 （单位:万元）与隔热层厚度 （单位: ）满足关系: ,若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设 为隔热层 建造费用与20年的能源消耗费用之和. （1）求 的值及 的表达式； 解 由题设可知,隔热层厚度为 时,每年能源消耗费用为 .再由 , 得 ,所以 . 又建造费用为 ，所以隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和 . 22 （2）当隔热层修建多厚时,总费用 最小,并求最小值. . 令 ,解得 , （舍去）. 当 时, ；当 时, ,故 在 处取得极小 值,也是最小值，最小值为 . 故当隔热层修建 厚时,总费用 最小,最小值为70万元. 规律方法 解决此类问题要注意数据的实际含义及自变量的取值范围,尤其要明确函数的最值与区间息息相关. 23 跟踪训练4 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池（不计厚度）.设该蓄水池的底面半径为 米,高为 米,体积为 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为100元/平方米,底面的建造成本为160元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 元（ 为圆周率）. 24 （1）将 表示成 的函数 ,并求该函数的定义域； 解 因为蓄水池侧面的建造成本为 （元）,底面的建造成本为 元,所以蓄水池的总建造成本为 元. 又 , 所以 , 所以 . 因为 ,又由 ，得 , 所以函数 的定义域为 . 25 （2）讨论函数 的单调性,并确定 和 为何值时，该蓄水池的体积最大. 由（1）知， , 所以 . 令 ,得 , （舍去）. 当 时, ,故 在区间 上单调递增；当 时, ,故 在区间 上单调递减. 由此可知, 在 处取得极大值，也是最大值,此时 ,即当 , 时,该 蓄水池的体积最大. 26 $$