专题2.8 有理数的加减运算（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.8 有理数的加减运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 【要点提示】（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【要点提示】 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加法运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题 （1）； （2）； 【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）若，且，则 ． 【题型2】有理数的加法运算律 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【变式2】（20-21七年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【题型3】有理数的减法运算 【例3】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）若， 则 ． 【题型4】有理数的加减混合运算 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【题型5】有理数加减中的简便运算 【例5】（21-22七年级·全国·假期作业）用较为简便的方法计算下列各题： (1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4； (3)－＋． (4) 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【题型6】有理数加减混合运算的应用 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） （1）小虫最后是否回到出发地O？为什么？ （2）小虫离开O点最远时是多少？ （3）在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【变式1】（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【变式2】（2024·甘肃平凉·一模）一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【例2】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： （1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； （2）当时，_________；当时，_________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． （4）合理的方法计算：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.8 有理数的加减运算（知识梳理与考点分类讲解） 第一部分【知识点归纳】 【知识点一】有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0； （3）一个数同0相加，仍得这个数． 3.运算律： 有理数加法运算律 加法交换律 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变 符号语言 a+b＝b+a 加法结合律 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 重点强调：交换加数的位置时，不要忘记符号． 【知识点二】有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+?＝7，求？，减法是加法的逆运算． 【要点提示】（1）任意两个数都可以进行减法运算；（2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有：． 【要点提示】 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减数变为它的相反数”． 【知识点三】有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】有理数的加法运算 【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）计算下列各题 （1）； （2）； 【答案】(1)130 (2) 【分析】本题主要考查了有理数加法运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据有理数加法法则进行运算即可． 解：（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式1】（23-24七年级上·山东潍坊·期中）将写成省略加号后的形式是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了对式子进行化简，关键是正确理解加法的定义．注意：减去一个数，等于加上这个数的相反． 注意：减去一个数，等于加上这个数的相反数．即可把减法统一成加法．省略加号时，注意符号变化法则：得得得得． 解：原式 故选：A． 【变式2】（23-24七年级上·浙江台州·阶段练习）若，且，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了有理数的乘法，绝对值的性质，求得b的值是解题的关键． 由绝对值的性质先求得b的值，然后代入计算即可． 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：1． 【题型2】有理数的加法运算律 【例2】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数的加法，掌握运算法则，利用加法的交换律与结合律进行计算是解题关键． （1）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． （2）去括号利用，再利用加法的交换律与结合律进行计算即可． 解：（1） ； （2） ． 【变式1】（24-25七年级上·全国·随堂练习）是应用了（　　） A．加法交换律 B．加法结合律 C．分配律 D．加法的交换律与结合律 【答案】D 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算律是解答本题的关键． 解：是应用了加法的交换律与结合律， 故选：D． 【变式2】（20-21七年级下·上海杨浦·期中）计算： ． 【答案】0 解：原式 故答案为：0． 【点拨】本题考查了有理数的加法运算，熟练掌握有理数加法交换律和结合律是解答本题的关键． 【题型3】有理数的减法运算 【例3】（23-24七年级上·山东临沂·阶段练习）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查有理数的加减法运算，掌握运算法则是解题关键． （1）同号两数相加，符号不变，并把绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； （3）减去一个数，等于加上这个数的相反数； （4）减去一个数，等于加上这个数的相反数． 解：（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ＝ ＝； （4）解： ． 【变式1】（23-24七年级上·江苏宿迁·阶段练习）有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下面式子中错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数与数轴，解题的关键是掌握数轴知识和有理数的加减法运算法则，绝对值的定义． 利用数轴知识，有理数的加法、减法，绝对值的定义判断． 解：∵由数轴可知，， ∴A，B选项正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴C选项错误，符合题意； ∵， ∴， ∴D选项正确，不符合题意． 故选：C． 【变式2】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）若， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质，有理数的加减混合运算，由平方和绝对值的非负性得，即可求解；理解非负性是解题的关键． 解：由题意得 ， 解得， ． 故答案：． 【题型4】有理数的加减混合运算 【例4】（24-25七年级上·全国·随堂练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有理数加减运算，掌握有理数加减运算法则是解决问题的关键． （1）把原式写成去掉括号的形式，分别计算正数和负数的和，即可得到答案； （2）应用加法的交换，结合律，即可计算． 解：（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（2024·河北石家庄·二模）式子有下面两种读法； 读法一：负，负，正与负的和； 读法二：负减加减． 则关于这两种读法，下列说法正确的是（    ） A．只有读法一正确 B．只有读法二正确 C．两种读法都不正确 D．两种读法都正确 【答案】D 【分析】本题考查有理数加减混合运算，解题的关键是明确有理数的加减混合运算的读法．据此解答即可． 解：对于式子， 可读作：负，负，正与负的和；也可读作：负减加减， ∴两种读法都正确． 故选：D． 【变式2】（23-24六年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在数轴上有一个动点从原点出发，以每秒1个单位长度的速度在数轴上运动．若点的运动规律是先向右运动1个单位长度，再向左运动2个单位长度，再向右运动3个单位长度，再向左运动4个单位长度，以此类推，第30秒时，点在数轴上所对应的数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是有理数的加减运算应用，理解题意，先列式，再计算即可． 解：∵， 由题意得：第30秒对应的数为： ， 故答案为：2． 【题型5】有理数加减中的简便运算 【例5】（21-22七年级·全国·假期作业）用较为简便的方法计算下列各题： (1)－＋－； (2)－8 721＋53－1 279＋4； (3)－＋． (4) 【答案】(1) (2)-9942 (3) (4) 【分析】（1）（2）（3）原式结合后，相加即可得到结果； （4）原式利用减法法则变形，结合后计算即可得到结果． 解：（1）－＋－ ； （2）－8 721＋53－1 279＋4 ＝(－8 721－1 279)＋ ＝－10 000＋58 ＝－9 942； （3）－＋ ； （4） = 【点拨】本题考查有理数的混合运算，解题的关键是明确有理数混合运算的计算方法． 【变式1】（23-24七年级上·河南驻马店·阶段练习）在计算时，下面四种方法运算过程正确且比较简便的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有理数的加减混合运算，运用加法交换律和结合律，将同分母的结合即可简便计算． 解：． 故选：D． 【点拨】本题考查有理数的加减法混合运算，涉及加法交换律和加法结合律的运用，注意到题目的特征是解决问题的关键． 【变式2】（23-24七年级上·重庆·阶段练习）用简便方法计算： ． 【答案】 【分析】原式变形后，计算即可得到结果． 解：原式 ， 故答案为：． 【点拨】此题考查了有理数的加法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【题型6】有理数加减混合运算的应用 【例6】（2024七年级上·全国·专题练习）小虫从点O出发在一条直线上来回爬行，向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的各段路程依次为：．（单位：） （1）小虫最后是否回到出发地O？为什么？ （2）小虫离开O点最远时是多少？ （3）在爬行过程中，如果每爬行奖励1粒芝麻，则小虫一共可以得到多少粒芝麻？ 【答案】(1)小虫最后回到了出发地O，理由见解析 (2)向右 (3)54粒 【分析】本题考查了利用有理数的加减混合运算解决实际问题，绝对值的概念，熟练计算是解题的关键．题目中给出的各数由两部分组成：一是性质符号，表示的爬行的方向，二是绝对值部分，表示爬行的路程大小．所以若直接将它们相加得到的和也包括两层含义：方向和路程大小；若只把它们的绝对值相加，则最后结果只表示路程的大小． （1）将所有的路程相加即可得到答案； （2）分别计算前两次路程和、前三次路程和、……、前七次路程和，比较各和的绝对值，绝对值最大的便是所求； （3）将各路程的绝对值相加即可得到答案． 解：（1）解：， ， ， ， 根据题意，0表示最后小虫又回到了出发点O； 答：小虫最后回到了出发地O． （2）解：； ； ； ； ； ． 因为绝对值最大的是，所以小虫离开O点最远时是向右； （3）解：， 所以小虫爬行的总路程是， 由（粒）． 答：小虫一共可以得到54粒芝麻． 【变式1】（23-24七年级下·福建莆田·期末）将，，，0，1，2，3，4，5，6这10个数填到图中的10个格子里，每个格子中只填一个数，使得所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于，则的最大值是（　　） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【分析】本题考查了整数运算的综合运用，解题的关键是明确三个田字格的所有数字之和中，有两个数被重复计算了．先求出所有数字之和，得出，且n为整数，则，进而推出当时，n有最大值，即可解答． 解：， ∵所有田字形的4个格子中所填数字之和都等于， ∴，且n为整数， 整理得：， ∴当最大时，n有最大值， ∵n为整数， ∴当时，n有最大值， 此时， 故选：A． 【变式2】（2024·甘肃平凉·一模）一辆公交车上原有13人，经过3个站点时乘客上、下车情况如下（上车人数记为正，下车人数记为负，单位：人）；，；，；，．此时公交车上有 人． 【答案】10 【分析】本题考查正、负数的实际应用，有理数加减混合运算的实际应用，求出13人与所有上车下车人数的和，即可求解． 解： （人）， 故答案为：10． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·内蒙古赤峰·中考真题）如图，数轴上点A，M，B分别表示数，若，则下列运算结果一定是正数的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴、正数和负数、绝对值等知识点，得到，且是解题的关键． 数轴上点A，M，B分别表示数，则、，由可得原点在A、M之间，由它们的位置可得，，且，再根据整式的加减乘法运算的计算法则逐项判断即可． 解：数轴上点A，M，B分别表示数, ∴、， ∵， ∴原点在A，M之间，由它们的位置可得，且， ∴，，， 故运算结果一定是正数的是． 故选：A． 【例2】（2024·陕西·中考真题）小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，将0，，，1，2这五个数分别填在五个小正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可以是 ．（写出一个符合题意的数即可） 【答案】0 【分析】本题考查有理数的运算，根据横向三个数之和与纵向三个数之和相等，进行填写即可得出结果． 解：由题意，填写如下： ，满足题意； 故答案为：0． 2、拓展延伸 【例1】（24-25七年级上·全国·假期作业）计算． (1) (2) 【答案】(1) (2)1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可． （2）合理分组：每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可． 解：（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝； （2） 每两个数为一组，结果是3； 则 即一共有337组； 原式． 【例2】（23-24七年级上·天津静海·阶段练习）观察下列各式的特征：；；；，根据规律，解决相关问题： （1）根据上面的规律，将下列各式写成去掉绝对值符号的形式（不能写出计算结果）： ①_________；②_________； （2）当时，_________；当时，_________． （3）有理数在数轴上的位置如图，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． （4）合理的方法计算：． 【答案】(1)①；② (2)； (3)C (4) 【分析】绝对值的性质：正数的绝对值等于它本身；负数的绝对值等于它的相反数；0的绝对值是0，然后根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． （1）先比较有理数的大小，然后结合绝对值的性质即可化简； （2）根据绝对值的性质即可求解； （3）由数轴可知，，然后根据绝对值的性质即可求解； （4）根据绝对值的性质和有理数运算，化简绝对值并进行加减运算，即可获得答案． 解：（1）解：根据题目中的规律，可得 ①∵，∴； ②∵，∴． 故答案为：①；②； （2）当时，；当时，． 故答案为：；； （3）由数轴可知，， ∴． 故选：C； （4） ． 【点拨】本题主要考查了绝对值的性质、有理数运算等知识，解题的关键是根据有理数的运算法则判断式子的符号，再根据绝对值的性质正确化简． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$