第五章 二元一次方程组 同步训练 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第五章 二元一次方程组 2 求解二元一次方程组 第1课时 代入消元解二元一次方程组 A.基础夯实 1. 已知方程，把它变形为用含的代数式表示，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么的值是（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 3. 用代入消元法解方程组将①代入②可得（ ） A. B. C. D. 4. 把方程改写成用含的式子表示的形式为 . 5. 用代入消元法解下列方程组： （1） （2） （3） （4） （5） （6） B.能力提升 6. 已知，且，用含的代数式表示为 .（化为最简形式） 7. 若与的差仍是一个单项式，则 . 8. 已知关于，的二元一次方程组有正整数解，则 . 9. 若关于，的二元一次方程组的解满足，试求的值. C.拓展思维 10. 已知关于，的方程组 （1） 若，互为相反数，求的值； （2） 若，求方程组的解和的值. 11. 已知关于，的方程组 （1） 请直接写出方程的所有正整数解； （2） 若方程组的解满足，求的值； （3） 无论实数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解. 3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 A.基础夯实 1. 现用186张铁皮做盒子，每张铁皮可做8个盒身或15个盒底，且一个盒身与两个盒底配成一个盒子.设用张铁皮做盒身，张铁皮做盒底，则可得方程组为（ ） A. B. C. D. 2. 50斗谷子能出30斗米，即出米率为.今有米在容量为10斗的桶中，但不知道数量是多少.向桶中加满谷子，再舂成米，共得米7斗，问原来有米多少斗？如果设原来有米斗，向桶中加谷子斗，那么可列方程组为（ ） A. B. C. D. 3. 《孙子算经》中有一道题，原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问木长多少尺.设木长为尺，绳子长为尺，则下列符合题意的方程组是（ ） A. B. C. D. 4. 我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出 八，盈三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”意思是：“几个人一起去购买某物品，每人出8钱，则多出3钱；每人出7钱，则还差4钱.问人数、物品的价格分别是多少？”设该问题中的人数为，物品的价格为钱，则可列二元一次方程组为 升 5. 已知一个笼子里装有鸡和兔子一共52只，现经过清点发现一共有148条腿，求鸡和兔子的数量分别是多少. 6. 一家超市，杏的售价为11元/，桃的售价为10元/，小菲在这家超市买了杏和桃共，共花费52元，求小菲这次买的杏、桃各多少千克. 7. 《九章算术》中有这样一道题：“今有善行者一百步，不善行者六十步.今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”意思是：走路快的人走100步时，走路慢的人只走60步，走路慢的人先走100步，走路快的人要走多少步才能追上？设走路快的人走步才能追上走路慢的人，走路快的人出发后走路慢的人走了步，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. C.拓展思维 8. 一种蜂王精有大、小盒两种包装，小王进行了如下统计：1大盒、1小盒共有9小瓶；1大盒、2小盒共有11小瓶；2大盒、3小盒共有19小瓶.小张通过计算后认为统计有误，你认同小张的看法吗？请用二元一次方程组的相关知识解决问题. 9. 某煤气公司要给用户安装管道煤气，现有600户申请了但还未安装的用户，此外每天还有新的申请.已知煤气公司每个小组每天安装的数量相同，且估计到每天申请安装的户数也相同，煤气公司若安排2个安装小组同时做，则60天可以装完所有新、旧申请；若安排4个安装小组同时做，则10天可以装完所有新、旧申请. （1） 求每天新申请安装的用户数及每个安装小组每天安装的数量； （2） 如果要求在10天内安装完所有新、旧申请，但前6天只能派出2个安装小组安装，那么最后几天至少需要增加多少个安装小组同时安装，才能完成任务？ 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 A.基础夯实 1. 一个两位数，个位上的数字和十位上的数字之和为11，若原数加45，等于个位上的数字和十位上的数字交换位置后得到的新数，求原数是多少.若设原数十位上的数字为，个位上的数字为，根据题意，列出方程组为（ ） A. B. C. D. 2. 普通火车从绵阳至成都历时大约2小时，成绵城际快车开通后，时间缩短至几十分钟，现假定普通火车与城际快车两列对开的火车于同一时刻发车，其中普通火车由成都至绵阳，城际快车由绵阳至成都，这两车在途中相遇之后，各自用了80分钟和20分钟到达自己的终点绵阳、成都，则城际快车的平均速度是普通火车平均速度的（ ） A. 2倍 B. 2.5倍 C. 3倍 D. 4倍 3. 一条船顺流航行，每小时行；逆流航行，每小时行.设船在静水中的速度为，水流速度为，可列出方程组为 B两地相距，甲从A地步行到B地，乙从B地步行到A地，两人同时同向出发，后相遇，后甲走的路程是乙走路程的2倍，求甲、乙二人的速度. 5. 一个两位数的十位上的数字与个位上的数字的和是7，如果这个两位数加上45，则恰好成为个位上的数字与十位上的数字对调后组成的新两位数，求原两位数. B.能力提升 6. 有大、小两种货车，3辆大车与4辆小车一次可以运货22吨，2辆大车与6辆小车一次可以运货23吨.请根据以上信息，提出一个能用二元一次方程组解决的问题，并写出这个问题的解答过程. 7. 如图，在长方形中，放入6个形状、大小都相同的小长方形，所标尺寸如图所示. （1） 小长方形的长和宽各是多少？ （2） 求阴影部分的面积. C.拓展思维 8. 阅读下列材料： 将一个多位自然数分解为个位与个位之前的数，让个位之前的数减去个位数的两倍，若所得之差能被7整除，则原多位自然数一定能被7整除.也称这个数为“要塞数”.例如：将数1 078分解为8和107，，因为91能被7整除，所以1 078能被7整除，就称1 078为“要塞数”. 完成下列问题： （1） 若一个三位自然数是“要塞数”，且个位上的数字和百位上的数字都是7，则这个三位自然数为 ； （2） 若一个四位自然数是“要塞数”，设的个位上的数字为，十位上的数字为，且个位上的数字与百位上的数字的和为13，十位上的数字与千位上的数字的和也为13，记，求的最大值. 7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 A.基础夯实 1. 已知，，下列四个点中与，在同一条直线上的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，一次函数的图象经过点,，则下列结论正确的是（ ） A. B. 关于的方程的解是 C. D. 关于的方程的解是 3. 直线与直线平行，且与轴交于点，则其函数表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在平面直角坐标系中，线段,分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点的横坐标为25，则在第 秒时1号和2号无人机在同一高度. 5. 声音在空气中传播的速度（简称声速）是空气温度的一次函数，若当空气温度为时，声速为；当空气温度为时，声速为，则声速与温度的函数关系式为 . B.能力提升 6. 一次函数的图象过点，.下列结论不正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 函数图象经过第一、二、四象限 C. 是方程的解 D. 函数图象与轴交于点 7. 如图，已知函数和的图象交于点，则的值为 . 8. 直线分别与轴，轴交于，两点，过点的直线交轴负半轴于点，且 （1） 点的坐标为 ； （2） 求直线的表达式. C.拓展思维 9. [2023·深圳期末]如图，在平面直角坐标系中，，，过点作直线轴，点是直线上的动点，以为边在右上侧作等腰直角，使 . （1） 如图1，当点落在点处时，点的坐标是 ； 小聪认为点的坐标一定跟点有关，于是进行了如下探究： （2） 如图2，小聪同学画草图时，让点落在，，不同的特殊位置时在轴上、与轴平行、当落在轴上时对应点，画出了几个点对应的，，三个不同的位置，发现，，在同一条直线上，请你根据小聪的猜测及题目条件，求出点所在直线的表达式； （3） 在（2）中，虽然求出了点所在直线的表达式，但是小明同学认为几个特殊点确定表达式是一种猜测，当点在上运动时，所有的点都在一条直线上吗？就设了点的坐标为，希望用一般推理的方式求出和满足的关系式，请你帮助小明给出解答. 章末复习 A.基础夯实 1. 下列方程组中是二元一次方程组的是（ ） A. B. C. D. 2. 方程组的解是（ ） A. B. C. D. 3. 已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 小强解方程组时，求得方程组的解为由于不慎，将一些墨水滴到了作业本上，刚好遮住了●处和◆处的数，那么◆处表示的数应该是 . 5. 小华和小明两人玩“打弹珠”游戏，小华对小明说：“把你珠子的一半给我，我就比你多6颗珠子.”小明却说：“只要把你珠子的给我，我就比你多6颗珠子.”那么小明的弹珠有 颗. 6. 解下列方程组： （1） （2） （3） （4） B.能力提升 7. 甲、乙、丙三种商品，若购买甲2件、乙4件、丙3件，则共需220元钱；若购买甲3件、乙1件、丙2件，则共需235元钱，那么购买甲、乙、丙三种商品各一件，共需（ ） A. 85元 B. 89元 C. 90元 D. 91元 8. 已知点是第一象限内的点，直线交轴于点，交轴于点，连接. （1） 求直线的表达式； （2） 求的面积. C.拓展思维 9. [2023·深圳模拟]草莓基地对收获的草莓分拣成A，B两个等级销售，每千克草莓的价格A级比B级的2倍少4元，级草莓比级草莓多卖4元. （1） 问草莓基地销售A，B两个等级草莓每千克各是多少元； （2） 某超市从该草莓基地购进草莓，A级草莓不少于，且总费用不超过3 800元，超市对购进的草莓进行包装销售（如下表），全部包装销售完，当包装A级草莓多少包时，所获总利润最大？最大总利润为多少元？ 草莓等级 每包中草莓质量 售价（元/包） 每个包装盒的成本（元） A级 1 80 2 B级 2 120 2 10. 某市组织学术研讨会，需租用客车接送参会人员往返宾馆和观摩地点，客车租赁公司现有45座和60座两种型号的客车可供租用. （1） 已知60座的客车每辆每天的租金比45座的贵100元，会务组第一天在这家公司租了2辆60座和5辆45座的客车，一天的租金为1 600元，求45座和60座的客车每辆每天的租金各是多少元； （2） 由于第二天参会人员发生了变化，因此会务组需要重新确定租车方案，现制定出以下两种方案： 方案1：若只租用45座的客车，则会有一辆客车空出30个座位； 方案2：若只租用60座的客车，则正好坐满且比只租用45座的客车少租两辆. ① 请分别计算方案1，2的租车总费用； ② 是否还有其他方案？若有，请写出费用不高于上述的一种方案. 第五章 二元一次方程组 2 求解二元一次方程组 第1课时 代入消元解二元一次方程组 A.基础夯实 1．A 2．C 3．A 4． 5．（1） 解：把①代入②，得，解得， 把 代入①，得 原方程组的解为 （2） 把①代入②，得，解得. 把 代入①，得. 原方程组的解为 （3） 将①代入②，得， 整理得，解得. 将 代入①，得. 原方程组的解为 （4） 由①得， 把③代入②，得，解得． 把 代入③，得． 原方程组的解为 （5） 由①得， 把③代入②，得, 解得. 把 代入③，得. 原方程组的解为 （6） 由①得， 把③代入②，得,解得. 将 代入③，得. 原方程组的解为 B.能力提升 6． 【解析】由题意可得，. 故答案为． 7． 【解析】根据题意得 解得． 故答案为3． 8．或20 【解析】 将②代入①,得，解得. 是正整数，或11，或20，故答案为10或20. 9．解：解得 代入， 得，则,解得． C.拓展思维 10．（1） 解：，互为相反数，， 原方程组可化为 化简得 解得 故 的值为1． （2） 根据，可得，代入原方程组可得 解得 将 代入，得,解得. 故原方程组的解为 的值为． 11．（1） 解：，. 又，为正整数，， 即 只能取2或4. 方程 的所有正整数解为 （2） 由题意得 解得 把 代入， 解得. （3） 方程 总有一个固定的解，即方程 总有一个固定的解，，. 3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 A.基础夯实 1．A 2．A 3．B 4． B.能力提升 5．解：设鸡有 只，兔子有 只.根据题意得 解得 答：鸡有30只，兔子有22只． 6．解：设小菲这次买的杏、桃分别为 千克、千克. 根据题意，得 解得 答：小菲这次买杏2千克，买桃3千克． 7．A 【解析】设走路快的人走 步才能追上走路慢的人，走路快的人出发后走路慢的人走了 步. 根据题意，得 故选A． C.拓展思维 8．解：设1大盒有 小瓶，1小盒有 小瓶，依题意得，解得 当 时，，与2大盒、3小盒共有19小瓶不符， 即方程组 的解不满足， 小王的统计存在错误． 9．（1） 解：设每天新申请安装的用户数为，每个安装小组每天安装 户． 根据题意，得 解得 答：每天新申请安装的用户数为40，每个安装小组每天安装25户. （2） 设最后几天需要 个安装小组同时安装. ，解得，（个）. 答:最后几天至少需要增加5个安装小组同时安装，才能完成任务. 5 应用二元一次方程组——里程碑上的数 A.基础夯实 1．C 2．A 3． 4．解：设甲的速度为，乙的速度为， 由题意得，解得 答：甲的速度为，乙的速度为． 5．解：设原两位数的十位上的数字为，个位上的数字为. 由题意，得 解得 所以原两位数是16. B.能力提升 6．解：问题：1辆大车与1辆小车一次可以运货多少吨?（本题的答案不唯一） 设1辆大车一次运货 吨，1辆小车一次运货 吨． 根据题意,得 解得 则（吨）. 答：1辆大车与1辆小车一次可以运货6.5吨． 7．（1） 解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意，得 解得 答：小长方形的长为，宽为. （2） 由（1）得小长方形的长为，宽为， 长方形 的宽为， 则阴影部分的面积 大长方形的面积 个小长方形的面积 . 答：阴影部分的面积为． C.拓展思维 8．（1） 707或777 解：设三位数的十位上的数字是. 个位上的数字和百位上的数字都是7， 这个三位数是. 这个三位数是“要塞数”，能被7整除，或， 这个三位数是707或777. （2） 由已知这个四位数的千位上的数字是，百位上的数字是，且，. 四位数是“要塞数”， 能被7整除， ，；，；，；，；，； 的最大值是4． 7 用二元一次方程组确定一次函数表达式 A.基础夯实 1．B 2．B 3．B 4． 5． B.能力提升 6．D 【解析】 一次函数 的图象过点，， 将点，的坐标代入得 解得 一次函数的表达式为. ，， 函数图象经过第一、二、四象限，随 的增大而减小，故A、B正确； 当 时，成立，故C正确； 一次函数的表达式为，令，则， 函数图象与 轴交于点，故D错误.故选D． 7． 【解析】，， 函数 的图象过点，，，， 故答案为． 8．（1） 【解析】 直线 与 轴交于点， ， 解得，即函数表达式为，当 时，， 点 的坐标是，故答案为. （2） 解：，，，解得，即. 设直线 的表达式为，图象经过点，， 解得 故直线 的表达式为 C.拓展思维 9．（1） 【解析】作 于点，如图1所示. ，，，， ， ，， ，，， 点 的坐标是， 故答案为. （2） 解：当点 在直线 上时，如图2所示， ， 点 的坐标是; 由（1）知点 的坐标是，设点 所在直线的表达式为， 则 解得 点 所在直线的表达式为. （3） 如图3，作 于点，于点. ， 四边形 是矩形. ， ， ， ， . 在 和 中， ，，. 点 的坐标为，，，，，，整理得． 章末复习 A.基础夯实 1．B 2．D 3．A 4． 5． 6．（1） 解：，得，解得. 将 代入②，得，解得，则原方程组的解为 （2） 把①代入②，得，解得. 把 代入①，得，则原方程组的解为 （3） ，得， ，得， 解方程组 得 将 代入①，得，解得， 原方程组的解为 （4） 由 得，即.④ 将④代入①得，解得,将 和 代入②，得，即,解得,. 故原方程组的解为 B.能力提升 7．D 【解析】设甲的价格为 元/件、乙的价格为 元/件、丙的价格为 元/件.根据题意，得 两方程相加，得，即.故选D. 8．（1） 解：设直线 的表达式为， 把点，的坐标分别代入，得 解得 直线 的表达式为. （2） 令，则，解得， ，. C.拓展思维 9．（1） 解：设A，B两个等级草莓每千克分别是 元，元， 根据题意，得 解得 答：A，B两个等级草莓每千克分别是28元，16元． （2） 设购进A级草莓 包，则购进B级草莓 包，总利润为 元，根据题意，得 解得． . ，随 的增大而增大， 当 时，. 答：当包装A级草莓50包时，所获总利润最大，是8 950元． 10．（1） 解：设45座的客车每辆每天的租金为 元，则60座的客车每辆每天的租金为 元.由题意，得，解得，（元）． 答：45座的客车每辆每天的租金为200元，60座的客车每辆每天的租金为300元． （2） ① 设参会人员有 人，由题意，得，解得． 方案1的租车总费用为（元）， 方案2的租车总费用为（元）， 方案1，2的租车总费用均为1 200元． ② 设租用45座的客车 辆，60座的客车 辆，由题意，得，解得， 租车总费用为， 当 时，，总费用为1 100元. ， 还有其他方案，当租用45座的客车4辆，60座的客车1辆时，租车总费用为1 100元． 第 页 学科网（北京）股份有限公司 $$