双曲线课件-2025届高三数学一轮复习

第42讲　双曲线 第八章　 解析几何 1 激 活 思 维 【解析】 由题意得2c＝8，可得c＝4，所以a2＝c2－b2＝16－12＝4，解得a＝2.根据双曲线定义可得||MF1|－|MF2||＝2a＝4，即|5－|MF2||＝4，解得|MF2|＝1或|MF2|＝9. 当|MF2|＝1时，|MF1|＋|MF2|＝6＜8，不满足题意，故舍去；当|MF2|＝9时，|MF1|＋|MF2|＝14＞8，满足题意．所以|MF2|＝9. C B 【解析】 【解析】 【解析】 1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的___________________等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫_______________，两焦点间的距离叫做______________. 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0. (1) 当__________时，点P的轨迹是双曲线； (2) 当__________时，点P的轨迹是两条射线； (3) 当__________时，点P不存在． 距离的差的绝对值 聚 焦 知 识 双曲线的焦点 双曲线的焦距 2a＜2c 2a＝2c 2a＞2c 2．双曲线的标准方程和几何性质 坐标轴 (1，＋∞) 2a 2b a2＋b2 (1) 已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆 C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为___________________． 双曲线的定义及标准方程 举 题 说 法 1 【解析】 如图，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B. 根据两圆外切的条件，得|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|，所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，所以点M到两定点C2，C1的距离的差是常数且小于|C1C2|＝6. D 1 【解析】 【解析】 视角1　离心率 双曲线的基本性质 2-1 【解析】 不妨设双曲线焦点在x轴上．①当M，N两点在双曲线的两支上时，如图(1)，显然点N在双曲线右支上．记切点为A，连接OA，则OA⊥MN，|OA|＝a. 图(1) ②当M，N两点都在双曲线的左支上时，如图(2)，显然点N在第四象限． 【答案】AC 图(2) 【解析】 方法一：如图，F1(－c，0)，F2(c，0)，设B(0，n). 2-1 【答案】 视角2　渐近线 【解析】 2-2 y＝±x 视角3　焦点三角形的面积 【解析】 2-3 (1) 求双曲线C的方程； 直线与双曲线 3 【解答】 3 【解答】 随 堂 练习 【解析】 B A 【解析】 因为|PF1|＝3|PF2|，由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2|PF2|＝2a，所以|PF2|＝a，|PF1|＝3a. 【解析】 配套精练 26 【解析】 A组　夯基精练 D 【解析】 【答案】B 因为PF1⊥PF2，O为F1F2的中点，所以|F1O|＝|OP|，∠PF1F2＝∠F1PO，所以∠POF2＝2∠PF1F2， 【解析】 【答案】C 根据双曲线的定义，有|AF2|－|AF1|＝2a①，|BF1|－|BF2|＝2a②，由于△ABF2为等边三角形，因此|AF2|＝|AB|＝|BF2|，①＋②得|BF1|－|AF1|＝4a，则|AB|＝|AF2|＝|BF2|＝4a，|BF1|＝6a. 【解析】 设∠POF2＝α，则∠POF1＝π－α.在△POF2中，|PF2|2＝|OF2|2＋|OP|2－2|OF2|·|OP|cos α，即1＝c2＋b2－2bc cos α①. A 【解析】 【答案】CD 对于C，若(2，0)是双曲线C的一个焦点，则22＝2＋m，解得m＝2，故C正确． 【解析】 【答案】CD 双曲线C的焦点坐标为(±2，0)，其中(2，0)满足y＝ex-2－1，故C正确． 4 【解析】 【解析】 【答案】 【解析】 【答案】 【解答】 【解答】 因为直线l与双曲线交于两支，交点分别为P，Q，所以直线l的斜率必存在，且经过点(0，1)，可设直线l：y＝kx＋1，与双曲线联立得(3－k2)x2－2kx－4＝0. 【解析】 【答案】C 12．若函数f(x)＝ln x－ax与直线x＋y＋1＝0相切，则实数a的值为(　　) A．1 B．2 C．e D．2e B 【解析】 【解答】 (1) 求证：平面PAB⊥平面PBC； 又AB⊥BC，且PB∩AB＝B，AB⊂平面PAB，PB⊂平面PAB，所以BC⊥平面PAB.因为BC⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC. 【解答】 (2) 求二面角P-AC-B的正弦值． 如图，取AB，CD的中点O，E，连接OP，OE.因为PA＝PB，所以PO⊥AB，由(1)知：平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，PO⊂平面PAB，所以PO⊥平面ABC. 谢谢观赏 y＝±x 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：__________；对称中心：原点 顶点 A1(－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 标准方程 －＝1(a＞0，b＞0) －＝1(a＞0，b＞0) 性质 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈_____________，其中c＝ 实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝______，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝______；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长 a，b，c的关系 c2＝__________ (c＞a＞0，c＞b＞0) 3．几个常用结论 (1) 过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为. (2) 如图，P为双曲线上的点，F1，F2为双曲线的两个焦点，且∠F1PF2＝θ，则△F1PF2的面积为. (2) 已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的下焦点到渐近线的距离为3，离心率为2，则该双曲线的标准方程为(　　) A．－x2＝1 B．y2－＝1 C．－＝1 D．－＝1 (1) (多选)已知双曲线C的两个焦点分别为F1，F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C交于M，N两点，且cos ∠F1NF2＝，则C的离心率为(提示：作F2B⊥MN)(　　) A． B． C． D． 同理可得|F2B|＝2|OA|＝2a，|F1B|＝2|AF1|＝2b.由cos ∠F1NF2＝，得sin ∠F1NF2＝，tan ∠F1NF2＝，所以|F2N|＝＝，|BN|＝＝，故|F1N|＝|BN|－|F1B|＝－2b. 如图，已知F为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点，平行于x轴的直线l分别交C的渐近线和右支于点A，B，且∠OAF＝90°，∠OBF＝∠OFB，则C的渐近线方程为________． 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上． 已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点分别为F1(－2，0)，F2(2，0)，点P(5，)在双曲线C上． 由双曲线方程知右顶点为(2，0)，渐近线为y＝±x.显然点P(2，1)在y＝x上，如图，过点P的直线x＝2以及与y＝－x平行且过点P的直线与双曲线都只有一个交点．故共有2条直线满足要求． 一、 单项选择题 1．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，其中一条渐近线与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1交于A，B两点，则|AB|＝ (　　) A． B． C． D． 又tan ∠PF1F2＝，tan ∠POF2＝，所以＝＝，所以e＝＝＝＝. 4．设双曲线x2－＝1(b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线上的点P满足|OP|＝b，且|PF1|＝3|PF2|，则b＝(　　) A． B． C． D． 双曲线x2－＝1(b＞0)，则a＝1，因为|PF1|＝3|PF2|且|PF1|－|PF2|＝2a＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1. 6．已知双曲线C过点(3，)且渐近线方程为x±y＝0，则下列结论正确的是(　　) A．C的方程为x2－＝1 B．C的离心率为 C．曲线y＝ex-2－1经过C的一个焦点 D．C的焦点到渐近线的距离为1 如图，因为F2(c，0)，不妨设渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以|PF2|＝＝＝b，所以b＝2.设∠POF2＝θ，则tan θ＝＝ ＝，所以|OP|＝a. 四、 解答题 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，且一个焦点到渐近线的距离为. (1) 求双曲线C的方程； 设M(x，y)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则有解得－＜k＜. 10．已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝x，且一个焦点到渐近线的距离为. (2) 过点(0，1)的直线l与双曲线C交于两支，交点分别为P，Q，＝＋求 点M的轨迹方程. 故则故x0＋ln x0－x0＋1＝0，即ln x0＝0，解得x0＝1，故a＝＋1＝2. 设平面PAC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则有即取x1＝1，得m＝(1，－，－1). $$