28.1锐角三角函数 教学设计-2023-2024学年人教版 数学九年级下册

锐角三角函数（教学设计） 教学基本信息 单元/主题名称 锐角三角函数 学科 数学 学段 初中 年级 九年级 主要内容 “锐角三角函数”是初中数学图形与几何领域的重要内容，本章是在学生已学 完一次函数、反比例函数和二次函数基础上进行的，它反映的不再是数值与数值的 对应关系，而是角度与数值的对应关系。通过锐角三角函数的学习，学生不仅可以 了解直角三角形的边与角之间的关系，体会变化与对应的函数思想，同时也为高中 学习三角函数和解斜三角形做好准备。本节课是锐角三角函数的起始课，将以一个 实际问题的解决过程为线索展开 教学目标与教学重难点 教学目标： (1)会用数学语言描述坡的陡与缓，能够通过简化、假设、建立锐角三角函数模型；理解锐角三 角函数的意义。 (2)经历探索直角三角形中边角关系解决问题、生成锐角三角函数定义的过程，提高学生提出问 题、分析问题和解决问题的能力。 (3)在解决问题、生成锐角三角函数定义的过程中，发展学生建模能力素养。 教学重点：探索直角三角形中的边角关系，理解锐角三角 数的意义。 教学难点：锐角三角函数概念的形成 学习过程 环节一：将实际情境问题转化为数学问题并解决 【实际情境问题】攀登白石山 2014年9月中旬，白石山玻璃栈道对外开放。白石山玻璃栈道，全长95米、宽2米、海拔1900米。当时是国内最长、最宽、海拔最高的悬空玻璃栈道。游客可以从处于大约同一海拔高度的东、西两个门沿着近乎笔直的山路到达玻璃栈道的两侧入口。 小志和小成一起去白石山爬山，体验玻璃栈道。小志从东门进，小成从西门进，约好在半山腰的玻璃栈道中央会合，两人用微信计步记录上山时的步数。他们一直沿着山路攀登，当小志和小成分别到达玻璃栈道东入口和西入口时，微信运动的数据分别显示，小志走了6600步，小成走了5500步。 【问题1】从小志和小成微信运动显示的步数，你有什么发现？如果你去体验的话，你会选择哪条山路？写出你的理由。 【问题2】当小志和小成出发后，好朋友小乐联系他们，表示也要去白石山玻璃栈道。当小志、小成在玻璃栈道会和时，联系小乐，询问他的位置，小乐说他手机显示所在地的海拔高度为1300米，计步器显示的上山步数为3800步。根据以上信息你能判断小乐是从哪个门上山的吗？写出你的判断过程。 学生读题，独立思考该情境可以用到哪些数学知识，将实际问题转化为数学问题，并在笔记本上写出数学问题的已知和求证。 【问题1】先用问题串的形式帮助学生梳理实际问题，引导学生尝试将实际情境转化为数学问题，并适时进行相关假设，说明假设的合理性。最后，学生要用数学语言表述出如何解决问题。 【问题2】将小乐爬山的问题抽象为直角三角形的直角边与斜边的问题，与【问题1】中的直角三角形进行对比，着力分析直角三角形的两条边与山路及水平面所夹锐角的位置关系，进一步明确直角三角形的一个锐角所对的直角边与斜边，为“斜边与直角边对应成比例的两个直角三角形相似”做好铺垫。通过判断４条线段成比例，得到两个直角三角形的斜边与直角边对应成比例，判定两个直角三角形是否相似，进而解决“沿着哪条山路”上山的问题。 设计意图 从学生熟悉的个人情境出发，提出问题，运用所学的知识解决问题，激发学生学习兴趣。该问题背景较为简单，比较容易排除冗余信息，进而探究登山过程中的计步器反映的数学问题。 调动学生已有经验，将小乐上山的海拔高度与步数转化为直角三角形直角边与斜边的问题，从而引入第三个直角三角形，与【问题1】中的两个直角三角形比较；进一步把直角边与斜边理解为直角三角形中一个锐角的对边与斜边的问题，突出相似关系中的对应，通过计算直角边与斜边的比，来判断两个直角三角形是否相似，进而判断小乐是沿着哪条山路上山的。 环节二：反思问题，提炼数学概念 【问题3】(1) 观察直角三角形中的角及边的关系，你有什么发现？(2) 回顾解决问题的过程，我们发现，坡角越大，坡越陡；对边和斜边的比值越大，坡越陡。坡角与对边和斜边的比值之间有什么联系吗？ 学生独立思考，设计研究对边与斜边的比与锐角关系的方案，尝试从不同角度说明对边与斜边的比与角的关系，在笔记本上写下发现的结论。师生讨论补充。 【问题4】如何表述提炼的数学概念？ 学生在笔记本上写出锐角三角函数数学概念，教师指导并板书锐角三角函数的定义及表示方法。教师解释“sin”的由来，总结其读法及书写的注意事项，达到文图式的对应互化，初步理解锐角三角函数的本质。 设计意图 回顾解决问题的过程，明确直角三角形除了角的关系(两个锐角互余)和边的关系(三边满足勾股定理)以外，边与角(边的比与角)之间也具有某种关系，并尝试用函数知识刻画这个变化关系。 环节三：应用概念，深化理解 【问题5】sin B怎么定义？针对锐角三角函数，你还能提出哪些问题？ 学生自主探究sinB的意义，在笔记本上写出sinB的表达式。学生不仅理解了在直角三角形中，对边与斜边的比值一定，还会发现其他的结论。 对照锐角的正弦的定义，使学生加深对sinB意义的理解，明确sin B是∠B的对边与斜边的比，巩固对概念的理解，即在直角三角形中，边的比值随着角的变化而变化，用锐角三角函数来刻画直角三角形的边角变化关系，进一步体会数学是理解现实世界的工具。明确邻边与斜边的比，叫做这个锐角的余弦，对边与邻边的比，叫做这个锐角的正切函数。正弦、余弦、正切统称为锐角三角函数 设计意图 通过对sin B的分析，明确在直角△ ABC 中 ∠C=90°，∠A、∠B、 ∠C的对边分别为a,b,c，明确对应关系，使学生意识到可以用函数刻画直角三角形的边与角之间的关系，用数学解释现实生活。 环节四：归纳小结，反思提升 学生总结、教师补充提升，总结的要点如下所述。 (1) 知识方面：本节课学习了如何从数学的角度描述一个坡的“陡与缓”；认识了直角三角形的边的关系、角的关系以及边角关系。 (2) 将实际问题转化为数学问题的过程：经历研究和解决问题的全过程，体会数学的工具作用。 设计意图 体会锐角三角函数是解决现实世界中测量、建筑、工程等问题的重要工具。在图形中研究各个元素之间的关系，并将这种关系用数量的形式表示出来，在这个过程中感悟数形结合的思想方法。 环节五：布置作业，拓展结论 本节课研究了直角三角形中一个锐角的三角函数，互余的两个锐角的三角函数具有哪些关系？请把你发现的这些关系写出来。 设计意图 巩固对知识的理解，引发学生对直角三角形的全方位的深度思考，发散思维。 教学反思 本课从学生熟悉的爬山情境入手，通过抽象、表征、设置不同层次的问题，引导学生从直观到抽象，由抽象到理论再到精确定义，不断建构锐角三角函数的定义，实现知识的系统化。整个学习过程充分发挥了数形结合的思想，在直角三角形中寻找定义，使用定义。本课结合直角三角形找到相应的边与边的比值，体现出由形到数的转化；给出具体的边与边的比值，再回到具体的直角三角形中，体现出由数到形的转化。本课自觉运用数学思想方法解决问题，用数学的眼光看问题，用数学的语言描述问题，用数学的方法解决问题，在不断解决问题的过程中提升学生的数学素养。 学科网（北京）股份有限公司 $$