第24章 圆——圆中最值专题练习 2024-2025学年人教版数学九年级上册

九年级上期圆中最值专题练习 专题概述 在学完圆这一章节后，题目中会有很多最大值最小值问题，而这些题目的图形中条件中往往没有出现“圆”这一条件，但在解题时却要用到“圆”的相关性质和结论，我们把这种类型的题目称之为“隐圆问题”，这一类题目常以动态问题出现，常常以点与线的运动引发出最值问题，隐圆常见形式有以下几种形式：定点定长、直角对定边、定弦对定角、四点共圆及相切类型的最值问题等。其中题目具体表现为折叠问题、旋转问题、角度不变问题等，这一类问题综合性强，而且条件的隐蔽性强,所以难度也比较大。正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆问题”的题的关键突破口就在于能否看破条件找到动点轨迹看出这个“隐藏的圆”，一旦“圆”形毕露，那么题目也就迎刃而解！ 典例精析 例1、（定点定长）如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△MN，连接C，则C长度的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作交的延长线于，根据为定值，可知当在上时，取得最小值，然后依据角度和三角函数，即可求得的长． 【详解】解：∵是定值， ∴当在上时，取得最小值， 如图，过作交的延长线于， ∵在边长为2的菱形中，，为的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 例2、（定点定长）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，D是AC上一点，且CD＝3，E是BC边上一点，将△DCE沿DE折叠，使点C落在点F处，连接BF，则BF的最小值为 ． 【答案】/ 【详解】解：由折叠知，F点的运动轨迹为：以D为圆心，CD的长度为半径的圆，如图所示， 可知，当点B、D、F共线，且F在B、D之间时，BF取最小值， ∵∠C＝90°，AC＝8，AB＝10， ∴BC=6， 在Rt△BCD中，由勾股定理得：BD=， ∴BF=BD－DF=， 故答案为：． 例3、（定点定长）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E，F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，G为EF的中点，P为BC边上一动点，则PA+PG的最小值为 【答案】4 【简析】简单：G的运动轨迹为圆，求AP+PG典型的“将军饮马”问题，故做A关于BC的对称点A'，则，当A'、P、G三点共线时，最短，又因为为固定点，G在圆上运动，可知当A'、G、D三点共线时，此时A'G最短，为4 例4、（直角对定边）如图，正方形的边长为，点E是边上的一个动点，点F是边上的一个动点，且，过点B作于点G，连接，则长的最小值为 ． 【答案】 【详解】如图，连接，，，设与的交点为点O， ∵正方形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴点O是的中点，连接， ∵正方形， ∴点O是的中点，且， 取的中点H，连接， ∵， ∴， ∵ ∴当三点共线时，取得最小值， ∵正方形的边长为， ∴， ∴， ∴，， ∴长的最小值为 例5、（定角定边）如图，△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝8，P是△ABC内一点，∠BPC＝120°，连接AP，则AP长的最小值为___________． A B C P 【答案】2 提示：作BD⊥AC于D ∵∠BAC＝60°，∴AD＝ AB＝ ，BD＝ DC＝AC－AD＝ ，BC＝＝7 ∵∠BPC＝120°，∴点P在以BC为弦的一段圆弧上运动 A B C O P D E H 设圆心为O，连接OA、OB、OC、OP 则∠OBP＝∠OPB，∠OPC＝∠OCP ∵∠OPB＋∠OPC＝120°，∴∠OBP＋∠OCP＝120° ∴∠BOC＝120°，∴OB＝OC＝OP＝ BC＝ 设圆弧交AC于点E，连接BE、OE 则OB＝OE，∠BEC＝∠BPC＝120°，∴∠AEB＝60° ∴△ABE是等边三角形，∴AB＝AE ∴△AOB≌△AOE，∠OAB＝∠OAE＝30°，∴AO⊥BE 设垂足为H，则BH＝ AB＝ ，AH＝ OH＝＝ ，AO＝AH＋OH＝， ∴AP≥AO－OP＝2，即AP长的最小值为2 例6、（定角定边）如图，△ABC为等边三角形，AB＝3．若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为 【答案】 【分析】由等边三角形的性质得出∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3，求出∠APC＝120°，当O、P、B共线时，PB长度最小，由等边三角形的性质得出AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，求出PD和BD的长，可得PB的长，即可得出答案． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°，AC＝AB＝3， ∵∠PAB＝∠ACP， ∴∠PAC+∠ACP＝60°， ∴∠APC＝120°， ∴点P的运动轨迹是， 设所在圆的圆心为O，当O、P、B共线时，PB长度最小，设OB交AC于D，如图所示： 此时PA＝PC，OB⊥AC， 则AD＝CDAC，∠PAC＝∠ACP＝30°，∠ABD∠ABC＝30°， ∴PD，BD， ∴PB＝BD﹣PD． 例7、（四点共圆）如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ACD＝30°，AD＝2，E是AC的中点，连接DE，则线段DE长度的最小值为 　 　． 解：∵∠BAD＝∠BCD＝90°， ∴A、B、C、D四点共圆，且BD为直径，取BD中点O，则圆心为点O， 连接AO、CO，取AO中点F，连接EF，DF， ∵∠ACD＝30°， ∴∠AOD＝60°， ∵OA＝OD， ∴△OAD为等边三角形， ∴OA＝OD＝OC＝AD＝2， ∴∠AFD＝90°，则DF＝， ∵EF是△AOC的中位线， ∴EF＝OC＝1， 在△DEF中，DF﹣EF≤DE， ∴当D、E、F三点共线时，DE取到最小，最小值为 专题训练 一、单选题 1．（23-24八年级下·陕西·阶段练习）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，为直径，且，点为中点，点为线段上一动点，点，在上且满足，当垂直于时，若，则的最小值为（    ） A． B． C．1 D． 4．（2024·浙江·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线经过点、，的半径为2（O为坐标原点），点P是直线上的一动点，过点P作的一条切线，Q为切点，则切线长的最小值为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 5．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形为矩形，，．点是线段上一动点，点为线段上一点．，则的最小值为（　　） A．5 B．6 C． D． 6．（23-24九年级上·江苏宿迁·期末）如图，在中，，，，、分别是边上的动点，连接，过点作交于点，垂足为，连接，则的最小值是（    ） A． B． C． D．3 7．（23-24九年级上·山东烟台·期末）的半径为1，直线与相离，点是直线上一动点，过点作的一条切线（其中点是切点），圆心到直线的距离为3，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，E是的直径上一点，，，过点E作弦，P是上一动点，连接，过点A作，垂足为Q，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，在矩形中，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，正方形中，，点为边上一个动点，连接，点为CD上一点，且，在上截取点使，交于点，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在矩形中，，，点为的中点，点在直线上，点在线段上，且，点为边上一动点，则的最小值为 ． 12．（2024·陕西渭南·二模）如图，在平行四边形中，，，，点F、点N分别为、的中点，点E在边上运动，将沿折叠，使得点D落在处，连接，点M为中点，则的最小值是 ． 13．（2024·江苏淮安·二模）如图所示，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为，为轴上一动点，切于点，则最小值是 ． 14．（2024·山东聊城·一模）是的直径，，分别是直径和弦上的两个动点，已知，，则线段的最小值是 ．    15．（2024·新疆乌鲁木齐·一模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形对角线所在直线上的一个动点，连接AE．以为斜边作等腰（点A，E，F按逆时针排序），则长的最小值为 ． 16．（2024·河南信阳·三模）如图，在矩形中，，，P为的中点，连接．在矩形内部找一点E，使得．，则线段的最小值为 ． 17．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在等边中，，点分别在边上，且，连接交于点，连接，则 ，的最小值是 ． 18．（2024·广西桂林·一模）如图，在矩形中，，E为边上的一个动点，连接，E为上的一个动点，连接，当时，线段的最小值是 ． 19．（23-24九年级下·北京·阶段练习）如图，的圆心的坐标是，半径为，在直角坐标系中，为直线上的动点，过作的切线，切点为，则切线长的最小值是 ． 20．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，在矩形中，，，点是的中点，点是上的动点，将矩形沿折叠，使点落在点处，连接，则面积的最小值为 ． 21．（2024·四川凉山·中考真题）如图，的圆心为，半径为，是直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为 22．（23-24九年级下·广东东莞·阶段练习）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ． 23．（2024·上海·模拟预测）如图：在矩形中，， ，动点P在矩形的边上沿运动，当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 24．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，在矩形中，，，P为矩形内一点，，连接，则的最小值为 ． 25．（23-24九年级上·浙江金华·期中）如图，在中，点在弦上，于点，则圆心距的长为 ；若点在圆上动，则的最小值= ． 26．（2024·山东德州·三模）如图，正方形的边长为4，点E是正方形内的动点，点P是边上的动点，且．连接，则的最小值为 ． 27．（2024·四川内江·二模）在矩形中，，，点P、E、F分别是边、、上的动点，且，点M是的中点，点Q是的中点，连接、，则的最小值为 ． 三、解答题 28．（2024·吉林长春·模拟预测）阅读理解： (1)【学习心得】 小赵同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一：“定点+定长”：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，（请你在图1上画圆）则点C、D必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到______°． ②类型二：“定角+定弦”：如图，中，，，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵，∴，∵，∴， ∴______，（定角） ∴点P在以（定弦）为直径的上，请完成后面的过程． (2)【问题解决】 如图3，在矩形中，已知，，点P是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为______． (3)【问题拓展】 如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请直接写出点P的运动路径长． 29．（2024·陕西商洛·二模） (1)【问题提出】 如图①，，若，则的度数为______； (2)【问题探索】 如图②，在中，，，，点为边上一动点，连接，以为直径的交于点，求线段的最小值． (3)【问题解决】 如图③，在平面直角坐标系中，已知两点，，轴上有一动点，连接，，，当最大时，求点的坐标． 30．（2024·北京朝阳·一模）如图，在矩形中，，，点A在直线l上，与直线l相交所得的锐角为．点F在直线l上，，⊥直线l，垂足为点F且，以为直径，在的左侧作半圆O，点M是半圆O上任一点． 发现：的最小值为 ，的最大值为 ，与直线l的位置关系是 ． 思考：矩形保持不动，半圆O沿直线l向左平移，当点E落在边上时，重叠部分面积为多少？ 参考答案： 1．A 【详解】解：∵，四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴在以的中点为圆心，为半径的圆弧上运动， 如图所示，连接交弧于点，此时取最小值， ∵，， ∴， ∴， ∴，即的最小值为， 故选． 2．B 【详解】解：如图，连接， ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 3．B 【详解】解：如图所示，设交于点，连接， ∵垂直于 ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴当时，最小，即最小， ∴是等腰直角三角形， 设， 则， ∵， 在中， 即 解得：（负值舍去） 故选：B． 4．A 【详解】解：连接． ∵是O的切线， ∴， 根据勾股定理知， ∵当时，线段最短， 又∵、， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5．D 【详解】解：如图，取的中点，连接，． 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，4为半径的上， ， ， 的最小值为． 故选：D． 6．A 【详解】解：∵， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， 过B作，作于H， ∵， 在中，， ∴， ∴， ∴当G、F、H共线时，最小， ∴过O作于M， 在中，， ∴， ∴， 作于K，得， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴最小值为， ∴最小值为． 故选：A． 7．B 【详解】如图，连接， 是的切线， ， ， ∵圆心到直线的距离为3，即的最小值为3， ∴的最小值． 故选：B． 8．A 【详解】解：如图，连接、， ∵， ∴， ∴点Q在以为直径的圆上，以为直径作，如图， 连接并延长交于点，当Q与重合时，最小，最小值为， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 即的最小值为， 故选：A． 9．B 【详解】解：如图，延长交的延长线于M，连接，设的中点为N，过点N作，以N为圆心，为直径作圆，连接， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴点G在以为直径的圆上运动，当点B，G，N三点共线时，取得最小值，最小值为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故选：B 10．C 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 在，中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 当点在线段上运动时，交点的运动轨迹是以线段为直径的半圆上，设线段的中点为，即点Z在的半圆上运动，当线段与线段交于点时，即点三点共线时，的值最小， ∵四边形是正方形， ∴，且， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 故选：． 11．/ 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点在以为直径的上，作点关于的对称点，连接，与交于点，与交于点，当点分别位于点时，根据两点之间线段最短，可知的最小值，即为线段的长度， ∵，，点为的中点， ∴，的半径， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为为， 故答案为：． 12．/ 【详解】连接，， ∵点N为的中点，点M为中点， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵平行四边形中，，点F为的中点， ∴， 由折叠知，， ∴点在以点F为圆心，的长为半径的半圆弧上运动， 当点运动到线段上时， 取得最小值，最小值为， 过点F作于点H，如图所示， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故答案为：． 13． 【详解】解：如图，连接，， 根据切线的性质定理，得． 要使最小，只需最小， 则根据垂线段最短，当轴于时，取最小值， 此时点的坐标是，， 在中，， ∴， 则最小值是． 故答案为：． 14．2 【详解】解：连接，延长到，使，连接，，，   是圆的直径， ， 垂直平分， ，， ， ， 当最小时，的和最小，当时，最小， 此时，， ， 的最小值是2， ， 的最小值是2． 故答案为：2． 15．2 【详解】解：连接交于点Q，连接并延长交于点P， ∵四边形是边长为4的正方形，且点Q是正方形的中心， ∴， ∴， ∴是以为斜边的等腰直角三角形， ∴， ∴， 取的中点O，以点O为圆心，以长为半径作圆，连接， ∵， ∴A、E、F、Q四点都在上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为2， 故答案为：2． 16．/ 【详解】解：如图，以的中点O为圆心，为半径画圆， 在矩形中，，， ∵， ∴所画圆是的外接圆， ∵弦左侧圆弧上任意一点E与构成的与共弦， ∴， 连接与圆的交点即为的最短距离， 作于点H，则， ∴H是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵P为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 17． /120度 【详解】解：如图， ，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点的运动轨迹是为圆心，为半径的弧上运动， 在弧上任取一点，连接、，则， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， 连接交于，当点与重合时，的值最小， 最小值． 故答案为：，． 18．4 【详解】解：∵矩形， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴在以为直径的上运动，如图，连接， 由题意知，当三点共线时，最小，为， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：4． 19． 【详解】解：连接，，如图所示： 是的切线， ， 在中，，，则由勾股定理可得， 当取得最小值时，有最小值， 为直线上的动点，圆心的坐标是，设点的坐标是 ， 当时，最小， 此时， 故答案为：． 20． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上的一段弧， 如图，作，，垂足分别为、， 四边形是矩形，， ，， ，， 四边形是矩形， ， ∵， 当最小时， 的面积最小， ， ， 当点在上时，最小，最小为， 面积的最小值为， 故答案为： 21． 【详解】解：记直线与x，y轴分别交于点A，K，连接， 当，，当，即， 解得：， 即； 而， ∴， ∴均是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴当最小时即最小， ∴当时，取得最小值， 即点P与点K重合，此时最小值为， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴最小值为． 22．2 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    23．/ 【详解】解：∵在矩形中，， ∴，， 如图所示，当点在上时，    ∵ ∴在为圆心，为半径的弧上运动， 当三点共线时，最短， 此时， 当点在上时，如图所示，    同理得点轨迹为同前面圆上，但是在前面弧继续逆时针一段，此时 当在上时，如图所示，此时点在延长线上，且，则， 此时    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 24．8 【详解】解：如图，以为直径作，连接在矩形内部交于点P，则此时有最小值， 矩形中，，， ， ， ， 即的最小值为8． 故答案为：8． 25． 4 【详解】解：连接，延长交于点，则PC最短， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 26．/ 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴点E在以为直径的半圆上移动， 如图，设的中点为O， 作正方形关于直线对称的正方形， 则点D的对应点是F， 连接交于，交半圆O于E'，连接，则， 根据对称性有：， 则有， ∴的最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， 故的长度最小值为． 故答案为：． 27． 【详解】解：作点Q关于的对称点N，连接，交于点P，则， ∴， 即当点M、P、N三点共线时，的值最小，最小值为， ∵，，点M是的中点， ∴， ∴点M是在以点C为圆心，以为半径的圆弧上运动， ∴圆外一点N到圆上一点M距离的最小值为， 在矩形中，，，点Q是的中点， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为， 故答案为：． 28．(1)① ②，后面过程见解析(2)4(3) 【详解】（1）解：①∵， ∴点B，点C，点D在以点A为圆心，为半径的圆上， 如图1，∴，故答案为：； ②∵，∴， ∵，∴，∴， ∴点P在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点P，此时最小， ∵点O是的中点， ∴， 在中，，，， ∴，∴． ∴最小值为2，故答案为：； （2）解：如图3，连接， ∵点B，点M关于直线对称，∴， ∴点M在以点A为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点M在线段上时，有最小值， ∵，，∴， ∴的最小值为，故答案为：4； （3）解：如图4，连接交于点O， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴ ∴点P的运动路径是以为直径的圆弧， ∴点P的运动路径长为． 29．(1)； (2)线段的最小值为； (3)点的坐标为． 【详解】（1）连接，不妨设，如图所示 ， ， 故答案为：； （2）如图，连接， 是的直径， ， ， 即点在以为直径的圆上， 以为直径作，交于点，当、、三点共线时，最小， 中，，，， ， ， ， 故线段的最小值为； （3）如图，当最大时，过、两点的与轴相切， 设直线的解析式为，把，代入， 得， 解得， 直线的解析式为， 延长交轴于点，当时，， ， 线段的中点坐标为，圆心在的垂直平分线上，直线交轴于点，交轴于点， 过点作， ， ， ， 点的坐标为， 直线的解析式为， 设，过点作， ， 在中，， 解得，（舍去）， 点的坐标为． 30．发现：；；平行（或）；思考： 【详解】发现：解：如图1，连接，作于， 由题意知，，， 当三点共线时，最小， 由勾股定理得，， ∴的最小值为； 当重合时，最大， 由勾股定理得，， ∴的最大值为； ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：平行（或）； 故答案为：；；平行（或）； 思考：解：如图2，连接，作于， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴重叠部分面积为． 学科网（北京）股份有限公司 $$