数列求和课件-2024-2025学年高二上学期数学苏教版（2019）选择性必修第一册

苏教版 数学 选择性必修第一册 第4章 数列 培优课⓮ 数列求和 要点深化·核心知识提炼 2 数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前 项和问题或已知公式的数列 求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解，一般常见的求和 方法有： （1）倒序相加法：例如，等差数列前 项和公式的推导. （2）错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和. （3）分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列. （4）裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和. 3 题型分析·能力素养提升 4 【题型一】倒序相加法求和 例1 已知定义在 上的函数 的图象的对称中心为 ，数列 的前 项 和为 ,且满足 , ,则 _______. 4 038 [解析] 由条件得 , 即 , 于是有 . 又 , , 两式相加 , 故 . 5 规律方法 如果一个数列的前 项中,距首、末两项“等距离”的两项之和都相等,那么可使用倒序相加法求数列的前 项和. 6 跟踪训练1 在推导等差数列前 项和的过程中,我们使用了倒序相加的方法,类比可以求 得 _ __. <m></m> [解析] 令 ,则 ,两式相加可得 ,故 ,即 . 7 【题型二】错位相减法求和 例2 已知 是各项均为正数的等比数列,且 , . （1）求数列 的通项公式； 解 设 的公比为 . 由题意，知 , . 又 ,解得 , ,所以 . 8 （2） 为各项非零的等差数列,其前 项和为 ,已知 ,求数列 的前 项和 . 由题意，知 . 又 , ,所以 令 ,则 ,因此 ,则 ,两式相减得 , 所以 . 9 规律方法 （1）一般地,如果数列 是等差数列, 是等比数列,求数列 的前 项和时,可采用错位相减法. （2）用错位相减法求和时,应注意: ①要善于识别题目类型,特别是等比数列公比为负数的情形; ②在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”,以便于下一步准确地写出“ ”的表达式. 10 跟踪训练2 已知数列 的前 项和为 ,数列 是公差为1的等差数列,且 . （1）求数列 的通项公式； 解 因为数列 是公差为1的等差数列,所以 ,可得 ,所以 ,且 ，解得 ，所以 . 当 时, （ 时也成立），所以 . 11 （2）设 ,求数列 的前 项和 . , 所以 , ,所以 , 可得 . 12 【题型三】分组求和法求和 例3 已知在等比数列 中， ，且 ， ， 成等差数列. （1）求数列 的通项公式； 解 设等比数列 的公比为 ，因为 ， ， 成等差数列，所以 ，所以 ，所以数列 的通项公 式为 . 13 （2）若数列 满足 ，求数列 的前 项和 . 由（1）可得 ，所以 . 规律方法 若数列 的通项公式为 ,且 , 为等差数列或等比数列,可采用分 组求和法求数列 的前 项和. 14 跟踪训练3 已知数列 满足 ,则 的前100项和为___. 1 [解析] 因为 ,所以 , , , , , , ,可知数列 是以3为周期的周期数列,且 ,所以 . 15 【题型四】裂项相消法求和 例4 已知等差数列 满足 , , 的前 项和为 . （1）求 及 ； 解 设等差数列 的公差为 ,由 ,得 , 则 解得 所以 , 所以 . 16 （2）求数列 的前 项和 . 由（1）知 , 所以 , 因此 . 17 规律方法 （1）把数列的每一项拆成两项之差,求和时有些部分可以相互抵消,从而达到求和 的目的. 常见的拆项公式： ① ； ② ； ③ . （2）裂项原则:一般是前边裂几项,后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止. （3）消项规律:消项后前边剩几项,后边就剩几项,前边剩第几项,后边就剩倒数第几项. 18 跟踪训练4 已知 为等差数列 的前 项和, , . （1）求 ； 解 设等差数列 的公差为 ,由 , ,可得 , ,解得 , ,所以 , 所以 . （2）记数列 的前 项和为 ,求证: . 证明 ,所以 ，即 . 19 $$