8.5 数学与投资（课件）-2023-2024学年高二语文版(2021)中职数学拓展模块二

8.5 数学与投资 第 讲 数学案例 八 数学与投资 5 情景引入 新知探究 典型例题 布置作业 归纳小结 4 3 1 2 数学与投资 情景引入 情景引入 新知探究 货币的单利和复利计算公式分别为 S=P(1+mr) S=P(1+r)n 典型例题 例1 银行年利率为2.25%，一年结息一次，若三年后要得到本利和600元，则应存入多少钱(结果保留小数点后两位)? 解: 设存入的本金为P，将复利公式S=P(1+r)n移项得 把S=600，r=0.022 5和n=3代入，利用计算器计算得 典型例题 因此，应存入561.27元. 新知探究 (1) 终值:现有货币(面值P)在”期后的数值，计算公式为S=P (1+r)n. (2) 现值: n期后持有的货币(面值S)现在的价值，计算公式为 典型例题 例2 一处房产价格为21 万元，据预测，3年后价格将上涨到23万元，某人欲向银行贷款来进行此项投资.设银行贷款利率为5%，按复利计算，此项投资能否盈利( 结果保留小数点后两位)? 解法一: 3年后23万元的现值是 现值小于21万元的投资额，不能盈利. 典型例题 解法二:投资额21万元3年后的终值为 S=P(1+r)n=21×(1 +0.05)3≈24.31 (万元). 终值大于23万元，即3年后归还银行的本利和超过那时房屋的价值，不能盈利. 新知探究 设初始投资为I (元)，下面引入毛收益、净收益和投资回报率这几个概念. (1)毛收益是指投资行为结束时回收的收益，记为V. (2)净收益是指毛收益中扣除本金后的收益，记为f，且f=V-I. (3)投资回报率是指单位投资的净收益，记为R， 且 典型例题 例3 现有两套房产，一套报价100万元，据评估3年后升值为110万元;另一套报价50万元，3年后值56万元.哪项投资更优? 解:记I1，V1，R1和I2，V2，R2分别为两个投资项目的投资额、毛收益和回报率，则投资回报率分别为 典型例题 因为R2>R1，所以第二项投资的回报率高，优于第一项投资. 新知探究 资产组合是指使用不同的证券和其他资产所构成的集合. 资产组合的预期收益是指组合中各种证券的预期收益ri,的加权平均数、其中，每一证券的权重wi等于该证券在整个组合中所占的投资比例. 若组合中包含n种证券，则投资组合的收益率R和预期收益率E分别为 新知探究 新知探究 证券之间相互影响产生的收益的不确定性可用协方差Cov和相关系数ρ来表示资产组合的协方差是测度两种资产收益互补程度的指标，它测量的是两个风险资产收益相互影响的方向与程度，协方差的计算公式为 新知探究 资产组合的风险(方差D)为 新知探究 马克维茨最优投资组合模型 哈里∙马克维茨等人于1952年建立了资产组合模型，其目的是寻找有效边界.通过期望收益和方差来评价组合，投资者是理性的，即害怕风险和期待收益.因此，可将投资组合视为一个优化问题，其模型分为以下两种类型. 新知探究 (1) 给定收益的条件下，风险最小化. 新知探究 (2) 给定风险的条件下，收益最大化. 典型例题 例3 投资组合及风险分析. (1)情境导入: A, B, C三种股票在过去5年(2017~2021年)的年收益见表.假设你在2022年时有一笔资金准备投资这三种股票. 请解决以下两个问题. 问题一:若这笔资金按20%，30%，50%的比例投资，计算该投资组合的收益率和风险. 问题二:如果要求年收益率至少达到20%，那么你应当如何投资来确保风险最低? 典型例题 (2)问题分析:本案例的问题称为投资组合问题.一般来说， 人们投资股票的收益是不确定的，是一个随机变量，因此，除了考虑收益，我们还应当考虑风险.风险可用方差(或标准差)来衡量，方差越大，则认为风险越大，反之风险越小.直接将数据代入对应的公式，即可求解第一个问题，而第二个问题是在收益率至少达到20%的条件下，求风险最低，即方差最小的优化模型. 典型例题 (3)模型建立及求解: 记股票A，B, C每年的收益率分别为r1，r2和r3，则ri (i=1,2, 3)是一个随机变量， 用E和D分别表示随机变量的数学期望和方差，用Cov表示两个随机变量的协方差. 典型例题 问题一:根据表给出的数据，可计算出三种股票的年平均收益率分别为 典型例题 投资组合的风险用方差表示，而方差与协方差有关，因此，先计算这三种股票的协方差，利用Excel表格的“COVAR”命令可计算任意两种股票的协方差，因此，三种股票的协方差矩阵为 典型例题 因此，资产组合的风险(方差D)为 典型例题 问题二:设三种股票的权重分别为x1，x2和x3，建立投资风险最低的模型为 典型例题 其中， 典型例题 这是线性规划问题，可利用LINGO软件求解，用LINGO软件输入上述模型: 典型例题 典型例题 单击求解模型键 ，运行结果报告如下(下面仅列出LINGO求解的目标值和决策变量值): 典型例题 结果显示:当x1=23.13%，x2=66. 96%，x3=9. 91%时，此时的风险是满足收益为20%时的最优解，即风险D≈0.01528. 由这两个问题可以看出，收益与风险往往成正比，风险低，收益也低;风险高，收益才可能高.因此，在投资时，要充分考虑收益与风险. 归纳小结 1.本节课你学习了哪些内容？ 2.本节课学习的用途？ 布置作业 阅读 教材章节10.2 书写 教材P228思考与练习 思考 如何用数学知识进行投资 作 业 Thanks $$