第一讲 数与形（讲义）-2024-2025学年六年级上册数学人教版

第一讲 数与形 【知识梳理】 1、 运用数形结合探索规律：在研究问题时将数与形结合起来，把图形性质问题转化为数量关系。即把复杂问题简单化，把抽象问题具体化。 2、 1+3+5+7+9+……=( ) 规律：从1开始连续几个奇数的和，即有几个连续奇数相加，等于 3、+++++ 规律：算式中从第一个数开始，每个数是前一个数的，结果=1-最后一个加数。若一直加下去，结果越来越接近1. 4、根据下图探索： =+2ab+ a b 大正方形面积=（a+b）（a+b）= 或者大正方形面积=部分和=+2ab+ 所以=+2ab+ 【例题精讲与精练】 【例题1】（2022上·浙江台州·六年级统考期末）算式1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋……＋25的结果是（    ）。 A．144 B．168 C．169 D．172 【例题精练】 1、1+3+5+7+9= =1+3+5+（ ） 【例题2】计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（    ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 【例题精练】 1、如下面各图，照这样接着画下去，第7个图形中共有○（    ） A．7个 B．17个 C．28个 D．56个 【例题3】用1米长的木杆搭建围栏，下表显示的是搭建规律。当围栏长度为n米时，用了( )根木杆。 图形 …… 围栏长度/米 1 2 3 4 n 总数量/根 6 10 14 18 【例题精练】 1、用火柴摆小鱼，如图，第一个小鱼用8根，第二个小鱼用14根，第三个小鱼用( )根，第6个小鱼用( )根。 2、观察点阵的规律，第7个点阵图中有( )个点。 3、下面各图是由棱长为1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形表面积的排列规律，第五个图形的表面积是（ ）平方厘米． A．20 B．22 C．24 4、用小棒按照下面的方式摆图形。 像这样，连着摆5个正六边形需要（    ）根小棒。 A．26 B．21 C．31 D．36 【例题4】如下图所示，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，2021这个数字在第( )个三角形的( )顶点处。（选填：“上”“左下”或“右下”） 【例题精练】 1、用胶带把一些长度为20厘米同样大小的圆柱管单层平放捆扎起来，捆扎后的横截面如下图所示。如果每个圆柱管口的直径是4厘米，则捆扎3根圆柱管需胶带( )厘米，捆扎n根圆柱管需胶带( )厘米。（按头处忽略不计） 【例题5】（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（     ）。 【例题精练】 1、 印刷厂的纸是以“令”来卖的，一令是500张，最普通的纸张是A4纸。A系列纸张是以A0尺寸为基础的，而A4纸是其中的一部分，一张A0的纸的规格为1189mm841mm.如图所示，A1纸是A0纸的一半，A2纸是A1的一半，A3纸是A2纸一半…… (1) 需要多少张A4纸才能覆盖住一张A0的纸？ (2) 一张A5纸较长的那条边的长度大约是多少？（结果保留整数） 【例题5】同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①－＝（ ）×（   ）      （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： －＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－]×[1－]×[1－]＝（      ） 【例题精练】 1、 根据所学的面积知识，填一填 （1）阴影部分的面积=大正方的面积-小正方形的面积 =－ =（ ）（ ） （2）根据上面的公式，快速计算下面各题 －= －= －= 数与形之变量 【例题1】（2022上·浙江宁波·六年级统考期末）妈妈到离家1000米处的体育馆锻炼身体，她到体育馆用时10分钟，在体育馆运动了30分钟，最后又用了10分钟走回家，下面图（    ）能正确描述妈妈整个锻炼过程。 A． B． C． D． 【例题精练】 1、（2023上·浙江杭州·六年级统考期末）下图是王皓放学后到书店里买书后回家的示意图。下面的描述与图意不符是（    ）。 A．从放学后到家期间一共是21分钟 B．从学校到书店的平均速度是50米/分 C．从书店到家的距离是500米 D．从学校到书店的距离是300米 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第一讲 数与形 【知识梳理】 1、 运用数形结合探索规律：在研究问题时将数与形结合起来，把图形性质问题转化为数量关系。即把复杂问题简单化，把抽象问题具体化。 2、 1+3+5+7+9+……=( ) 规律：从1开始连续几个奇数的和，即有几个连续奇数相加，等于 3、+++++ 规律：算式中从第一个数开始，每个数是前一个数的，结果=1-最后一个加数。若一直加下去，结果越来越接近1. 4、根据下图探索： =+2ab+ a b 大正方形面积=（a+b）（a+b）= 或者大正方形面积=部分和=+2ab+ 所以=+2ab+ 【例题精讲与精练】 【例题1】（2022上·浙江台州·六年级统考期末）算式1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋……＋25的结果是（    ）。 A．144 B．168 C．169 D．172 答案：C 【分析】1、3、5、7、9、11、13……25中每相邻两个数的差是2，且共有13个数（个数是奇数），则它们的平均数等于它们中位数，中位数是第7个数即13，用它们的平均数乘它们的个数，就是它们的和。 【详解】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋……＋25 ＝13×13 ＝169 故答案为：C 【点睛】等差数列且个数是奇数时，它们的平均数等于它们的中位数，它们的和可以用这个中位数乘它们的个数。 【例题精练】 1、1+3+5+7+9= =1+3+5+（ ） 答案：5 7 【例题2】计算1＋3＋5＋7＋9＋11＋…＋17＋19＝（    ）。 下面是三位同学的解法： □小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 □小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 □小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （1）你觉得哪些同学的解法正确，在□里画√。 （2）用你喜欢的方法计算下题，请用递等式写出过程。 3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 【答案】（1）小刚；小红；小丽； （2）120 【分析】（1）三个同学的说法都有理有据，我认为大家的解法都正确； （2）假设有两组这样的数相加，那么一共有10组24，据此先求出两组3＋5＋7＋9＋…＋19＋21的和，再将其除以2，求出一组的和。 【详解】（1） 小刚：1和19相加，3和17相加……一共有5组这样的加法，因此可以列式20×5计算。 小红：根据我们学过的“数与形”的方法，这是一列从1到19的奇数列相加，可以用“10的平方”计算。 小丽：假设这列数是1＋2＋3＋4＋5＋…＋19＋20，可以列式（1＋20）×20÷2－10×（10＋1）计算。 （2）3＋5＋7＋9＋…＋19＋21 ＝（3＋21）×10÷2 ＝120 【点睛】本题考查了奇数列的连加，有一定计算能力是解题的关键。 【例题精练】 1、如下面各图，照这样接着画下去，第7个图形中共有○（    ） A．7个 B．17个 C．28个 D．56个 答案：C 【例题3】用1米长的木杆搭建围栏，下表显示的是搭建规律。当围栏长度为n米时，用了( )根木杆。 图形 …… 围栏长度/米 1 2 3 4 n 总数量/根 6 10 14 18 答案：4n＋2 【分析】围栏长度为1米时，用了6根木杆，即4×1＋2； 围栏长度为2米时，用了10根木杆，即4×2＋2； 围栏长度为3米时，用了14根木杆，即4×3＋2； 围栏长度为4米时，用了18根木杆，即4×4＋2； 当围栏长度为n米时，用的木杆根数为：4n＋2。 【详解】由分析可知，当围栏长度为n米时，用了（4n＋2）根木杆。 【点睛】本题主要考查数与形结合的规律，发现围栏长度每多1米就多用4根木杆是解本题的关键。 【例题精练】 1、用火柴摆小鱼，如图，第一个小鱼用8根，第二个小鱼用14根，第三个小鱼用( )根，第6个小鱼用( )根。 答案： 20 38 【分析】观察可知，火柴棒根数＝6n＋2，据此代入数据计算即可。 【详解】6×3＋2 ＝18＋2 ＝20（根） 6×6＋2 ＝36＋2 ＝38（根） 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 2、观察点阵的规律，第7个点阵图中有( )个点。 答案：25 3、下面各图是由棱长为1厘米的正方体拼成的，根据前三个图形表面积的排列规律，第五个图形的表面积是（ ）平方厘米． A．20 B．22 C．24 答案：B 4、用小棒按照下面的方式摆图形。 像这样，连着摆5个正六边形需要（    ）根小棒。 A．26 B．21 C．31 D．36 答案：A 【分析】观察上图可知，摆1个正六边形要5×1＋1＝6（根），摆2个正六边形要5×2＋1＝11（根），摆3个正六边形要5×3＋1＝16（根），……，摆n个正六边形要5×n＋1＝（5n＋1）根，据此即可解答。 【详解】5×5＋1 ＝25＋1 ＝26（根） 故答案为：A 【点睛】找出小棒的根数与正六边形的个数之间的关系是解答本题的关键。 【例题4】如下图所示，观察下列正三角形的三个顶点所标的数字规律，2021这个数字在第( )个三角形的( )顶点处。（选填：“上”“左下”或“右下”） 答案： 674 左下 【分析】观察三角形可知：三角形上面一个顶点的数除以3余1，左下的数除以3余2，右下的数除以3没有余数，把2021代入计算，如果除不尽的话，商加1代表第几个三角形，余数代表这个数字的具体位置，据此可得解。 【详解】2021÷3＝673……2 673＋1＝674 所以2021这个数字在第674个三角形的左下顶点处。 【点睛】此题的解题关键是观察图形中数的变化规律，利用3的倍数关系，找到数字的具体位置。 【例题精练】 1、用胶带把一些长度为20厘米同样大小的圆柱管单层平放捆扎起来，捆扎后的横截面如下图所示。如果每个圆柱管口的直径是4厘米，则捆扎3根圆柱管需胶带( )厘米，捆扎n根圆柱管需胶带( )厘米。（按头处忽略不计） 答案： 20.56 4n＋8.56 【分析】观察可知，胶带长度＝（圆柱管数量－1）×直径＋一个圆的周长，据此分析。 【详解】（3－1）×4＋3.14×4 ＝2×4＋12.56 ＝8＋12.56 ＝20.56（厘米） （n－1）×4＋3.14×4 ＝4n－4＋12.56 ＝4n＋8.56（厘米） 【点睛】数和图形的规律是相对应的，图形的排列有什么变化规律，数的排列就有相应的变化规律。 【例题5】（1）如果下图表示1，请在正方形中用阴影表示。     （2）通过下图，你发现可以怎样非常简便计算的和？写出你的计算方法和结果。 （3）如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于（     ）。 【答案】（1）见详解 （2）见详解； （3）1 【分析】（1）正方形表示“1”，先把正方形平均分成2份，一份是，剩下的也是；然后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；再把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是；最后把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是，据此在图中用阴影表示。 （2）计算，通过画图发现最后剩下的是，与算式中最后一个分数相同，那么用整个正方形“1”减去，即是阴影部分，也就是的和，这样计算更简便。 （3）如果在图中继续如上的操作，把剩下的图形平均分成2份，一份是，剩下的也是…，会发现…的和越来越接近于整个正方形，即1。 【详解】（1）如图： （2）用1减去图形没有涂色部分的分数（与算式中最后一个分数相同），计算更简便。 计算过程如下： （3）如图： 如果在图中继续你的操作，会发现…的和越来越接近于1。 【点睛】通过画图，发现这组算式的规律，利用规律解答。 【例题精练】 1、 印刷厂的纸是以“令”来卖的，一令是500张，最普通的纸张是A4纸。A系列纸张是以A0尺寸为基础的，而A4纸是其中的一部分，一张A0的纸的规格为1189mm841mm.如图所示，A1纸是A0纸的一半，A2纸是A1的一半，A3纸是A2纸一半…… (1) 需要多少张A4纸才能覆盖住一张A0的纸？ (2) 一张A5纸较长的那条边的长度大约是多少？（结果保留整数） 答案：（1）= （2）8414210（mm） 【例题5】同学们，“观察—猜想—验证—应用”是我们常用的数学探究方法。在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，怎样求剩余部分的面积呢？妙妙想出了两种不同的方法（如图）。 这两种方法都是求的阴影部分的面积， 因此52－32＝（5－3）×（5＋3）。 仔细观察这个等式，想一想：是不是 任意两个数都具有这样的特征呢？ （1）请举2个例子验证： ①－＝（ ）×（   ）      （2）如果用a和b表示两个数（且a＞b），这样的规律可以表示为： －＝（      ）×（      ） （3）根据以上结论计算：[1－]×[1－]×[1－]＝（      ） 【答案】（1）①（10－6）×（10＋6） ②－＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （2）（a－b）×（a＋b） （3） 【分析】已知在边长为5厘米的正方形纸片上剪去一个边长为3厘米的小正方形，求剩余部分的面积（阴影部分的面积）； 方法1：阴影部分的面积＝大正方形的面积－小正方形的面积，根据正方形的面积＝边长×边长，则阴影部分的面积列式为－； 方法2：把阴影部分转化成一个长（5＋3）厘米，宽（5－3）厘米的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，则阴影部分的面积列式为（5－3）×（5＋3）； 由此得出－＝（5－3）×（5＋3）； 发现规律：两个数的平方差等于这两个数的差与这两个数的和的乘积，据此规律解答。 【详解】（1）①－＝100－36＝64 （10－6）×（10＋6）＝4×16＝64 所以，－＝（10－6）×（10＋6） ②－＝0.64－0.25＝0.39 （0.8－0.5）×（0.8＋0.5）＝0.3×1.3＝0.39 所以，0.82－0.52＝（0.8－0.5）×（0.8＋0.5） （答案不唯一） （2）－＝（a－b）×（a＋b） （3）[1－]×[1－]×[1－] ＝（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋）×（1－）×（1＋） ＝××××× ＝ 【点睛】通过数与形的结合，从已知的图形或数据中找到规律，并按规律解题。 【例题精练】 1、 根据所学的面积知识，填一填 （1）阴影部分的面积=大正方的面积-小正方形的面积 =－ =（ ）（ ） （2）根据上面的公式，快速计算下面各题 －= －= －= 答案： （1）a b (a+b) (2)133 4400 3000 数与形之变量 【例题1】（2022上·浙江宁波·六年级统考期末）妈妈到离家1000米处的体育馆锻炼身体，她到体育馆用时10分钟，在体育馆运动了30分钟，最后又用了10分钟走回家，下面图（    ）能正确描述妈妈整个锻炼过程。 A． B． C． D． 答案：A 【分析】根据题意，在10分钟时妈妈离家已经有1000米，并且在接下来的30分钟和家的距离不变，所以在离家10分钟到40分钟的时间范围内和家的距离都是1000米。最后，10分钟走回家，在离家50分钟时，离家距离0米。对比各个选项，找出符合妈妈离家距离变化的折线统计图。 【详解】根据题意，图A能正确描述妈妈整个锻炼过程。 故答案为：A 【点睛】本题考查了折线统计图，会看图并提取信息是解题的关键。 【例题精练】 1、（2023上·浙江杭州·六年级统考期末）下图是王皓放学后到书店里买书后回家的示意图。下面的描述与图意不符是（    ）。 A．从放学后到家期间一共是21分钟 B．从学校到书店的平均速度是50米/分 C．从书店到家的距离是500米 D．从学校到书店的距离是300米 答案：C 【分析】A．从图中可知，横轴1小格表示3分钟，计算出从放学后到家一共用的时间即可； B．从图中可知，从学校到书店的路程是300米，用时6分，根据“速度＝路程÷时间”，求出他从学校到书店的平均速度； C．折线的第三段表示从书店到家，从纵轴上找出这段折线的起点和终点的距离，相减即可； D．折线的第一段表示从学校到书店，从纵轴上找出这段距离。 【详解】A．从图中可知，横轴1小格表示3分钟； 16时18分＋3分＝16时21分 16时21分－16时＝21分 从放学后到家期间一共是21分钟，原题说法正确； B．300÷6＝50（米/分） 从学校到书店的平均速度是50米/分，原题说法正确； C．500－300＝200（米） 从书店到家的距离是200米，原题说法错误； D．从图中可知，从学校到书店的距离是300米，原题说法正确。 故答案为：C 【点睛】理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 2 学科网（北京）股份有限公司 $$