小升初典型奥数：行程问题（讲义）-2023-2024学年六年级下册数学苏教版

行程问题 【知识精讲+典型例题+高频真题】 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 1．相遇问题 【知识点归纳】 两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题．它的特点是两个运动物体共同走完整个路程．小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题． 相遇问题根据数量关系可分成三种类型：求路程，求相遇时间，求速度． 它们的基本关系式如下： 总路程＝（甲速+乙速）×相遇时间 相遇时间＝总路程÷（甲速+乙速） 另一个速度＝甲乙速度和﹣已知的一个速度． 2．追及问题 【知识点归纳】 1．追及问题的概念： 追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的．由于速度不同，就发生快的追及慢的问题． 2．追及问题公式：根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式： 距离差＝速度差×追及时间 追及时间＝距离差÷速度差 速度差＝距离差÷追及时间 速度差＝快速﹣慢速 3．解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的． 3．流水行船问题 【知识点归纳】 船在江河里航行时，除了本身的前进速度外，还受到流水的推送或顶逆，在这种情况下计算船只的航行速度、时间和所行的路程，叫做流水行船问题． 流水行船问题，是行程问题中的一种，因此行程问题中三个量（速度、时间、路程）的关系在这里将要反复用到．此外，流水行船问题还有以下两个基本公式： 顺水速度＝船速+水速，（1） 逆水速度＝船速﹣水速．（2） 这里，船速是指船本身的速度，也就是在静水中单位时间里所走过的路程．水速，是指水在单位时间里流过的路程．顺水速度和逆水速度分别指顺流航行时和逆流航行时船在单位时间里所行的路程． 根据加减法互为逆运算的关系，由公式（l）可以得到： 水速＝顺水速度﹣船速， 船速＝顺水速度﹣水速． 由公式（2）可以得到： 水速＝船速﹣逆水速度， 船速＝逆水速度+水速． 这就是说，只要知道了船在静水中的速度，船的实际速度和水速这三个量中的任意两个，就可以求出第三个量． 另外，已知船的逆水速度和顺水速度，根据公式（1）和公式（2），相加和相减就可以得到： 船速＝（顺水速度+逆水速度）÷2， 水速＝（顺水速度﹣逆水速度）÷2． 4．环形跑道问题 【知识点归纳】 1．环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）．第几次追上就多跑几圈． 环形跑道：同相向而行的等量关系：乙程﹣甲程＝跑道长，背向而行的等量关系：乙程+甲程＝跑道长． 2．解题方法： （1）审题：看题目有几个人或物参与； 看题目时间：“再过多长时间”就是从此时开始计时，“多长时间后”就是从开始计时；看地点是指是同地还是两地甚至更多． 看方向是同向、背向还是相向；看事件指的是结果是相遇还是追及 相遇问题中一个重要的环节是确定相遇地点，准确找到相遇地点对我们解题有很大帮助，一些是题目中直接给出在哪里相遇，有些则需要我们自己根据两人速度来判断． 追击问题中一个重要环节就是确定追上地点，从而找到路程差．比如“用10秒钟快比慢多跑100米”我们立刻知道快慢的速度差．这个是追击问题经常用到的，通过路程差求速度差 （2）简单题利用公式 （3）复杂题，尤其是多人多次相遇，一定要画路径图，即怎么走的线路画出来．相遇问题就找路程和，追击问题就找路程差． 5．列车过桥问题 【知识点归纳】 （1）火车过桥时间是指从车头上桥起到车尾离桥所用的时间，因此火车的路程是桥长与车身长度之和． （2）火车与人错身时，忽略人本身的长度，两者路程和为火车本身长度；火车与火车错身时，两者路程和则为两车身长度之和． （3）火车与火车上的人错身时，只要认为人具备所在火车的速度，而忽略本身的长度，那么他所看到的错车的相应路程仍只是对面火车的长度． 对于火车过桥、火车和人相遇、火车追及人、以及火车和火车之间的相遇、追及等等这几种类型的题目，在分析题目的时候一定得结合着图来进行． 第二部分 典型例题 例题1．京沪高速公路全长1260千米，甲、乙两辆汽车同时分别从北京和上海出发，相向而行，经过6小时相遇。甲车的速度是110千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 【答案】100千米/时。 【分析】先用高速公路的全长除以6小时，求出两车的速度和，再减去甲车的速度，即可求出乙车的速度是多少。 【解答】解：1260÷6﹣110 ＝210﹣110 ＝100（千米/时） 答：乙车的速度是100千米/时。 【点评】本题考查了相遇问题的数量关系：速度和＝总路程÷相遇时间。 例题2．一艘轮船从甲城开往乙城，以每小时85千米的速度行驶8小时到达。从乙城返航时由于逆风，每小时的速度慢了17千米，返航时几小时才能到达甲城？ 【答案】10小时。 【分析】设返航需要x小时，甲城到乙城的路程不变，根据路程＝速度×时间；甲车到乙城的速度×行驶的时间＝甲城到乙城的路程；甲城到乙城的速度是85千米时间是8小时；乙城到甲城的速度×行驶的时间＝甲城到乙城的路程，从乙城返航时由于逆风，每小时的速度慢了17千米，返航时的速度是（85﹣17），时间是x小时，列方程：（85﹣17）x＝85×8，解方程，即可解答。 【解答】解：设返航时x小时才能到达甲城。 （85﹣17）x＝85×8 68x＝680 68x÷68＝680÷68 x＝10 答：返航时10小时才能到达甲城。 【点评】本题考查方程的实际应用，利用速度、时间、路程三者的关系设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 例题3．客车和货车分别从甲、乙两地同时出发，相向而行，3h相遇，相遇后客车又行驶2h到达乙地，已知货车每时行驶50km，问甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】375千米。 【分析】根据题意可知，货车行驶的3小时的路程即为客车2小时行驶的路程，根据路程＝速度×时间，求出货车行驶的路程，再除以客车行驶的2小时，求出客车的速度，根据用客车的速度乘形式的总时间，即可求出甲、乙两地相距多少千米。 【解答】解：50×3÷2 ＝150÷2 ＝75（千米） 75×（2+3） ＝75×5 ＝375（千米） 答：甲、乙两地相距375千米。 【点评】本题考查行程问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 例题4．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行。甲、乙的速度比是5：3。两人相遇后继续行进，甲到达B地，乙到达A地后都立即沿原路返回。若两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点50千米，则A、B两地相距多少千米？ 【答案】100千米。 【分析】依据题意可知，甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，计算两人分别走了几份，，由此计算第一次相遇点与第二次相遇点差多少份，由此计算一份是多少千米，然后计算全长多少千米。 【解答】解：如图： 甲、乙的速度比是5：3，若把AB分为8份，则第一次相遇时甲乙走了一个全长，其中甲走了5份，乙走了3份，相遇之后两人继续行进，则第二次相遇时两人走了3个全长，甲：3×8÷（5+3）×5 ＝24÷8×5 ＝15（份） 乙：3×8÷（5+3）×3 ＝24÷8×3 ＝9（份） 5﹣1＝4（份），两次相遇点相差4份，距离是50千米。 50×2＝100（千米） 答：A、B两地相距100千米。 【点评】本题考查的是多次相遇问题的应用。 第三部分 高频真题 1．兄妹两人同时出家出发去学校，学校离家1280米，当哥哥走了400米时，妹妹走了300米。哥哥刚到学校就发现忘记带课本了，于是立即掉头原路返回家，返回时的速度是来时的1.25倍，兄妹两人在离家多少米处相遇？ 2．两地相距800km，甲、乙两车同时从两地相对开出，5时后相遇．已知甲、乙两车的速度比是5：3，甲、乙两车每时各行多少千米？ 3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过4小时相遇，相遇后各自继续前行，又经过3.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有60千米，问：A、B两地的距离是多少千米？ 4．猎人甲带着猎狗到120公里外的猎人乙家去做客，当甲出发时，乙正好走出家门迎接甲，甲每小时行25公里，乙每小时行35公里。猎狗每小时行40公里。当猎狗先现与乙相遇后，又返回来迎接甲，与甲相遇后，再转身迎接乙，这样，猎狗在甲与乙之间往返奔跑。甲与乙相遇时，猎狗一共行了多少公里？ 5．小红和小明沿着400米的环形跑道跑步，小红每秒跑4米，小明每秒跑6米。两人站在起跑线上同向而行，如果小红先跑了10秒钟后，小明才开始跑，小明追上小红需要多少秒？ 6．如图是一个长方形儿童乐园，长200米。宽130米。小丁丁、小胖、小巧按各自现在的方向同时出发，沿乐园边的小路行走。小丁丁每分钟走60米，小胖每分钟走50米，小巧每分钟走40米。根据给出的信息解决问题。 ①出发多少时间后，小胖追上小巧？ ②出发多少时间后，小丁丁和小巧相遇？ 7．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 8．一辆客车和一辆轿车先后从南召出发去郑州，客车先行50千米后轿车出发，客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米。轿车几小时后追上客车？ 9．李老师和王老师每天早晨都沿着学校操场的环形跑道跑步，跑道的全长是360米，他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑。李老师平均每秒跑6.5米，王老师平均每秒跑4.5米，经过多长时间李老师第一次追上王老师？ 10．客车和货车从甲乙两地同时出发相向而行，在距中点12千米处相遇，已知货车速度是客车的80%，相遇时客车行了多少千米？ 11．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 12．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 13．一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发，相向而行，经过5小时两车相遇相遇后，快车又继续开出3小时到达乙地。已知，慢车每小时行驶60千米。 （1）快车的速度是多少千米/时？ （2）甲乙两地相距多少千米？ 14．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 15．小军和小强每天坚持跑步，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米。 （1）如果他们在200米的跑道两端同时出发，相向而行，多少秒后相遇？ （2）如果他们在400米的环形跑道上同时同地同向出发，多少秒后小军刚好追上小强？ 16．甲、乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶。与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶。当丙行了30千米时与甲相遇。相遇后甲立即调头，并且将速度提高到原来的2倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了40千米；当乙、丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么A、B两地的距离是多少千米？ 17．晓明和小军两家相距1300m，小军带着一只可爱的小狗和晓明同时从家中出发，相向而行。晓明每分钟行驶60m，小军每分钟行驶70m。小狗以每分钟120m的速度在他们之间来回跑，直到他俩相遇为止。小狗一共跑了多少米？ 18．一列火车以60米/秒的速度通过一条长3千米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道一共用了54秒。这列火车长多少米？ 19．人们不是同时看到闪电和听到雷声。这是由于光传播的时间可以忽略不计，而声音在空气中传播的速度大约是每秒340米。如果见到远处的闪电10秒后听到雷声，所见到的闪电有多远？ 20．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 21．长江自西向东横贯泸州市境内，甲、乙两船分别从泸州境内的东、西两地同时相向而行。甲船每小时行20km，乙船每小时行14km。经过4时后两船相遇，泸州境内的长江航线有多少千米？ 22．一辆客车从甲地到乙地要行驶4小时，一辆货车从乙地到甲地要行驶5小时，两车同时分别从甲地和乙地出发，相向而行，几小时后还剩全程的？ 23．明明和亮亮沿着同一个公园的外围骑共享自行车，明明骑一圈要10分钟，亮亮骑一圈要12分钟。若明明和亮亮在同一起点同时开始骑行，至少几分钟后两人在起点再次相遇？此时明明骑了几圈？亮亮骑了几圈？ 24．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 25．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 26．甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。 （1）桥长是车长的几倍？ （2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？ 27．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 28．小冬的爷爷和奶奶在盛和世纪小区环形跑道上散步，爷爷和奶奶二人同时从环形跑道的同一地点向相反方向出发，已知小冬爷爷每分钟步行75米，奶奶每分钟步行60米，二人在距离环形跑道中点75米处相遇。盛和世纪小区环形跑道一圈多少米？ 29．一列火车长180米，以每分钟0.9千米的速度通过一座大桥，从火车头上桥到最后一节车厢离桥共用了1.8分钟。这座大桥长多少千米？ 30．一个等腰三角形的沙盘，两腰AB＝AC＝10米，BC＝8米，若有两只小虫同时从该沙盘的顶点A出发（如图），分别沿着两腰爬行一圈，一只小虫每分钟行2.5米，另一只小虫每分钟行2米，则多少分钟后两只小虫在沙盘底边相距1米？ 31．星期天，东东从家去少年宫学画画。刚走5分钟，妈妈发现东东忘带油画棒，于是立即去追。东东速度是50米/分，妈妈速度是75米/分，妈妈追上东东要走多少分钟？ 32．甲乙两车同时从AB两地相向而行，5小时相遇。相遇后按原速继续行驶，又经过4小时甲车到达B地，乙车离A地还有80千米，AB两地相距多少千米？ 33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在C点相遇，若在出发时，甲将速度提高，乙将速度每小时提高10千米，二人依然在C点相遇，则乙原来每小时行多少千米？ 34．佳佳和聪聪从相距3300米的两点沿公路相向而行，佳佳的速度是60米/分，聪聪的速度是50米/分，两人在途中相遇后继续前进。从相遇时算起，两人走到对方出发点各需要多少时间？ 35．小明和小文二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从小明身边开过用了10秒，离开小明后8分又遇到小文，从小文身边开过，仅用了9秒，问从小文与火车相遇开始再经过几小时几分几秒小文和小明二人相遇？若小明步行该火车的长度需要多长时间？ 36．甲乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。经过5小时，两车相遇。相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行驶54千米，A、B两地相距多少千米？ 37．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 38．龟兔赛跑，全程1800米。乌龟每分爬15米，兔子每分跑400米。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分？ 39．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？ 40．A、B两地相距900米，甲、乙两人同时从A到B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？ 41．小明和小芳住在同一个小区，这一天两人同时从小区门口出发去学校，小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，小明走到学校门口发现数学书忘带了，于是立刻沿原路返回家中去取，在距学校90米处与小芳相遇。相遇时小明走了多少分钟？ 42．甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A、B两地相距多少千米？ 43．丽丽和爸爸一起去操场散步。丽丽走一圈需要8分钟，爸爸走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ 44．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 45．客车和火车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5小时后相遇，相遇后仍按原来的速度行进。当他们又相距196km时，客车行驶了全程的，火车行驶了全程的80%，求火车行驶完全程要用的时间。 46．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 47．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 48．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 49．青藏铁路是世界上最长的高原铁路，东起青海西宁，西至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，经过12小时相遇。快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？ 50．小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 51．一座桥长350米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 52．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 53．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 54．一列轿车和一列货车同时从甲地和乙地相对开出，4小时后相遇。相遇点距甲乙两地的中点的距离占全程的。已知轿车每小时比货车多行70千米，求甲乙两地之间的距离。 55．望谟到贵阳的路程有240km，A车从望谟出发到贵阳，先行驶了全程的后，B车从贵阳出发，1.5小时后与A车相遇。已知A车和B车的速度比是3：4。当两车相遇时，B车行了多少千米？ 56．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 参考答案与试题解析 1．兄妹两人同时出家出发去学校，学校离家1280米，当哥哥走了400米时，妹妹走了300米。哥哥刚到学校就发现忘记带课本了，于是立即掉头原路返回家，返回时的速度是来时的1.25倍，兄妹两人在离家多少米处相遇？ 【答案】1080米。 【分析】时间相同，速度比＝路程比，据此可知去学校时，兄妹两人的速度比为400：300，也就是4：3，所以时间相同时，兄妹两人原来的路程比是4：3，当哥哥到学校时，哥哥走了1280米，此时用1280÷4即可求出每份的长度，再乘3即可求出妹妹走的路程，也就是距离家的路程，即960米，此时妹妹距离学校（1280﹣960）米，也就是320米，哥哥返回家的速度是原来的1.25倍，返回时兄妹的速度比变为（4×1.25）：3，也就是5：3，根据时间相同，速度比＝路程比，两人的路程比变为5：3，两人此时的距离是320米，用320÷（5+3）即可求出每份是多少，再乘5即可求出相遇时哥哥距离学校的路程，然后用1280米减去哥哥距离学校的路程，即可求出相遇时两人离家的距离。 【解答】解：去学校时，兄妹两人的速度比为 400：300 ＝（400÷100）：（300÷100） ＝4：3 时间相同时，兄妹两人原来的路程比是4：3， 当哥哥到学校时，妹妹距离家： 1280÷4×3 ＝320×3 ＝960（米） 妹妹距离学校：1280﹣960＝320（米） 哥哥返回时，兄妹两人的速度比为 （4×1.25）：3＝5：3 时间相同时，两人的路程比变为5：3。 相遇时哥哥距离学校的路程： 320÷（5+3）×5 ＝320÷8×5 ＝40×5 ＝200（米） 1280﹣200＝1080（米） 答：兄妹两人在离家1080米处相遇。 【点评】本题主要考查了较复杂的行程问题，关键是根据时间相同，速度比等于路程比进行解答。 2．两地相距800km，甲、乙两车同时从两地相对开出，5时后相遇．已知甲、乙两车的速度比是5：3，甲、乙两车每时各行多少千米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先用总路程除以相遇时间求出两车的速度和，因为甲乙两车速度比是5：3，所以两车的速度和一共是5+3＝8份，用速度和除以8求出每一份的速度，再乘上甲乙车所占的份数即可解答． 【解答】解：5+3＝8 800÷5＝160（km/h） 160÷8＝20（km/h） 20×5＝100（km/h） 20×3＝60（km/h） 答：甲车的速度是100千米/小时，乙车的速度是60千米/小时． 【点评】求出两车的速度和，再灵活运用比的意义求出每一份的速度是解答本题的关键． 3．甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出，经过4小时相遇，相遇后各自继续前行，又经过3.5小时，甲车到达B地，这时乙车距A地还有60千米，问：A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】480千米。 【分析】依据题意可知，经过4小时相遇时，甲车行了全程的，则乙车行了全程的（1），行了（4+3.5）小时，由此计算乙车行驶全程的几分之几，然后计算这时乙车距A地占全程的几分之几，用除法列式计算全程多少千米。 【解答】解：经过4小时相遇时，甲车行了全程的，即，则乙车行驶全程的1。 甲车到B地时，乙车行驶全程的4×（4+3.5），60÷（1） ＝60 ＝480（千米） 答：A、B两地的距离是480千米。 【点评】本题考查的是相遇问题的应用。 4．猎人甲带着猎狗到120公里外的猎人乙家去做客，当甲出发时，乙正好走出家门迎接甲，甲每小时行25公里，乙每小时行35公里。猎狗每小时行40公里。当猎狗先现与乙相遇后，又返回来迎接甲，与甲相遇后，再转身迎接乙，这样，猎狗在甲与乙之间往返奔跑。甲与乙相遇时，猎狗一共行了多少公里？ 【答案】80公里。 【分析】依据题意可知，猎狗行驶路程＝相遇时间×猎狗的速度，相遇时间＝两地距离÷两人速度和，结合题中数据计算即可。 【解答】解：120÷（25+35） ＝120÷60 ＝2（小时） 40×2＝80（公里） 答：甲与乙相遇时，猎狗一共行了80公里。 【点评】本题考查的是相遇问题的应用。 5．小红和小明沿着400米的环形跑道跑步，小红每秒跑4米，小明每秒跑6米。两人站在起跑线上同向而行，如果小红先跑了10秒钟后，小明才开始跑，小明追上小红需要多少秒？ 【答案】需要20秒。 【分析】小红先跑10秒钟，则两人之间的距离就是4×10＝40米，先求出两人的速度差，再用两人之间的距离除以两人的速度差即可解答。 【解答】解：4×10÷（6﹣4） ＝40÷2 ＝20（秒） 答：小明追上小红需要20秒。 【点评】此题运用了关系式：路程差÷速度差＝追及时间。 6．如图是一个长方形儿童乐园，长200米。宽130米。小丁丁、小胖、小巧按各自现在的方向同时出发，沿乐园边的小路行走。小丁丁每分钟走60米，小胖每分钟走50米，小巧每分钟走40米。根据给出的信息解决问题。 ①出发多少时间后，小胖追上小巧？ ②出发多少时间后，小丁丁和小巧相遇？ 【答案】①20分钟；②4.6分钟。 【分析】①根据图示可知，小胖和小巧的路程差是200米，即追及路程是200米，根据“追及时间＝路程差÷速度差”即可求解； ②根据“相遇时间＝路程÷速度和”即可求解。 【解答】解：①200÷（50﹣40） ＝200÷10 ＝20（分钟） 答：出发20分钟后，小胖追上小巧。 ②（200+130×2）÷（60+40） ＝460÷100 ＝4.6（分钟） 答：出发4.6分钟后，小丁丁和小巧相遇。 【点评】本题考查了行程问题的应用，熟练掌握路程、速度和时间三者的关系是解题的关键。 7．甲、乙两个学生从学校到少年活动中心去，甲每分钟走60m，乙每分钟走50m。乙走了4分钟后甲才开始走。甲要走多少分钟才能追上乙？ 【答案】20分钟。 【分析】追及时间＝距离差÷速度差，由题意可知，距离差等于乙4分钟走的路程，可根据路程＝速度÷时间，求出距离差，然后再除以甲、乙两人的速度差即可。 【解答】解：50×4÷（60﹣50） ＝200÷10 ＝20（分钟） 答：甲要走20分钟才能追上乙。 【点评】此题既需要根据关系式而且还要更加深刻的理解题意，求出距离差是关键。 8．一辆客车和一辆轿车先后从南召出发去郑州，客车先行50千米后轿车出发，客车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行100千米。轿车几小时后追上客车？ 【答案】2.5小时。 【分析】根据追及时间＝路程差÷速度差，即可求得。 【解答】解：50÷（100﹣80） ＝50÷20 ＝2.5（小时） 答：轿车2.5小时后追上客车。 【点评】本题考查行程问题中的追及问题，需熟记公式“追及时间＝路程差÷速度差”。 9．李老师和王老师每天早晨都沿着学校操场的环形跑道跑步，跑道的全长是360米，他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑。李老师平均每秒跑6.5米，王老师平均每秒跑4.5米，经过多长时间李老师第一次追上王老师？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上王老师时，李老师比王老师多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师第一次追上王老师。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 10．客车和货车从甲乙两地同时出发相向而行，在距中点12千米处相遇，已知货车速度是客车的80%，相遇时客车行了多少千米？ 【答案】120千米。 【分析】依据题意可知，已知货车速度是客车的80%，则货车速度比客车速度慢，相遇时客车比货车行了（12×2）千米，货车速度比客车速度慢（1﹣80%），用相遇时客车比货车多行的路程除以货车速度比客车速度慢的百分率，由此列式计算即可。 【解答】解：12×2÷（1﹣80%） ＝12×2÷0.2 ＝120（千米） 答：相遇时客车行了120千米。 【点评】本题考查的是相遇问题的应用。 11．A、B两地相距950米，甲、乙两人同时从A地出发，往返A、B两地跑步90分钟，甲跑步的速度是每分钟40米，乙跑步的速度是每分钟150米，在这段时间内他们面对面相遇了数次，请问在第几次相遇时他们离B点的距离最近？ 【答案】第7次。 【分析】甲、乙走完A、B间的两个单程才第一次相遇，需时间950×2÷（40+150）＝10（分钟），90分钟内，所以总共相遇90÷10＝9（次），甲每10分钟走40×10＝400（米），并且与乙相遇一次，因为950×3﹣400×7＝50（米），差最小；也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小，在第7次相遇时他们离B点距离最近。 【解答】解：950×2÷（40+150） ＝1900÷190 ＝10（分钟） 90÷10＝9（次） 40×10＝400（米） 因为950×3﹣400×7＝50米，差最小； 也就是当甲、乙两人第7次相遇时甲离B地50米为最小。 答：在第7次相遇时他们离B点的距离最近。 【点评】此题重点考查学生分析问题以及推理能力。本题解答的关键是要求出两人多少时间相遇一次。 12．甲、乙在椭圆形跑道上训练，同时从同一地点出发反向而跑，每人跑完第一圈回到出发点立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，甲跑第二圈时速度比第一圈提高了，乙跑第二圈时速度比第一圈提高了，已知甲、乙二人第二次相遇点距第一次相遇点190米，问这条椭圆形跑道长多少米？ 【答案】400米。 【分析】乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是，计算出甲乙的速度比是3：2；相遇问题，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，也就是距离甲出发点占全程的1处。现在甲提速，那么速度变成了，现在他们的速度比为2：1，所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，也就是在距离甲出发点1处；现在乙提速，变成了，所以他们的速度比是5：3，现在他们相遇在距离甲出发点3÷（5+3）处，所以距离第一次相遇是190米，再根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算即可解答本题。 【解答】解：乙的速度是甲的速度的，设甲的速度为1，那么乙的速度是。 甲的速度：乙的速度＝1：3：2 根据相同时间内的路程比等于速度比可知，第一次相遇在据甲出发点占全程的3÷（2+3）处，当甲跑完一圈的时候，乙只能跑圈，即距离甲出发点占全程的1处。 当甲跑完第1圈后，提速，那么甲的速度变成了1 此时甲的速度：乙的速度：2：1 所以当乙跑完剩下的时，甲可以跑，即在距离甲出发点1处； 现在乙提速，变成了（1） 此时甲的速度：乙的速度：5：3，现在他们相遇在距离甲出发点处。 即距离第一次相遇处 190400（米） 答：这条椭圆形跑道长400米。 【点评】此题关键是根据条件理顺题里数量之间的关系，确定要求什么，必须先求什么，再求什么，分别用什么方法计算，一步步的把问题解决。 13．一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两地出发，相向而行，经过5小时两车相遇相遇后，快车又继续开出3小时到达乙地。已知，慢车每小时行驶60千米。 （1）快车的速度是多少千米/时？ （2）甲乙两地相距多少千米？ 【答案】100千米/小时；800千米。 【分析】（1）根据题意，用慢车的速度乘相遇的时间求出慢车相遇时行驶的路程，然后用相遇时慢车行驶的路程除以快车行驶的时间，就是快车的速度； （2）根据速度×时间＝路程，解答即可。 【解答】解：（1）60×5÷3 ＝300÷3 ＝100（千米/小时） 答：快车的速度是100千米/时。 （2）100×（5+3） ＝100×8 ＝800（千米） 答：甲乙两地相距800千米。 【点评】本题考查了行程问题，结合速度×时间＝路程的关系式，分析解答即可。 14．如图，公园步道长3000米，小明和小军从步道上一点出发，同时向相反方向跑步。小明每分钟跑155米，小军每分钟跑145米。多长时间后两人第一次相遇？ 【答案】10分钟。 【分析】两人第一次相遇，共行了3000米，然后除以速度和即可。 【解答】解：3000÷（155+145） ＝3000÷300 ＝10（分钟） 答：10分钟后两人第一次相遇。 【点评】解答本题关键是明确：路程÷速度和＝相遇时间。 15．小军和小强每天坚持跑步，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米。 （1）如果他们在200米的跑道两端同时出发，相向而行，多少秒后相遇？ （2）如果他们在400米的环形跑道上同时同地同向出发，多少秒后小军刚好追上小强？ 【答案】（1）20秒；（2）200秒。 【分析】（1）跑道两端同时出发，相向而行，相遇时两人的路程和就是跑道的长度，小军每秒跑6米，小强每秒跑4米，先求出两人的速度和，再依据相遇时间＝路程÷速度和即可解答； （2）同时同地同向出发，小军刚好追上小强时，小军比小强多跑1圈，两人速度差为每秒2米，路程差为400米，根据关系式：路程差÷速度差＝追及时间，解决问题。 【解答】解：（1）200÷（6+4） ＝200÷10 ＝20（秒） 答：20秒后相遇。 （2）400÷（6﹣4） ＝400÷2 ＝200（秒） 答：200秒后小军刚好追上小强。 【点评】解决本题关键是明确相遇问题和追及问题的数量关系：相遇时间＝路程÷速度和，追及时间＝路程差÷速度差。 16．甲、乙两车同时从A地出发，向B地匀速行驶。与此同时，丙车从B地出发向A地匀速行驶。当丙行了30千米时与甲相遇。相遇后甲立即调头，并且将速度提高到原来的2倍；当甲、乙两车相遇时，丙行驶了40千米；当乙、丙两车相遇时，甲恰好回到A地，那么A、B两地的距离是多少千米？ 【答案】54。 【分析】由题意可知，甲到达某地又立即2倍速度返回，假设走了3份时间，所以由第3次相遇，乙一份时间路程是a，那么全程就是2a+a+15+30，即3a+45，所以甲第一次走的路程是：15+3a．在第二次相遇时，丙又走了40﹣30＝10千米，走了丙走的是30的，甲的速度提高到2倍，走到是甲走的，即（15+3a）10+2a，乙走到第一次走的路程的，即2aa，所以有：10+2a，所以a＝3，所以全程为：15+3×3+30＝54（千米）。 【解答】解：假设甲走了3份时间，乙一份时间路程是a，所以由第3次相遇，全程就是2a+a+15+30＝3a+45，所以甲第一次走的路程是：15+3a，在第二次相遇时丙又走了40﹣30＝10千米，丙走的是30的，甲的速度提高到2倍，走到是甲走即（15+3a）10+2a， 乙走到第一次走的，即2aa 所以有：15+3a＝2aa+10+2a， 所以a＝3， 所以全程为：15+3×3+30＝15+9+30＝54（千米） 答：A、B两地的距离是54千米。 故答案为：54。 【点评】本题考查了相遇问题，解题的关键是推出三次相遇的路程。 17．晓明和小军两家相距1300m，小军带着一只可爱的小狗和晓明同时从家中出发，相向而行。晓明每分钟行驶60m，小军每分钟行驶70m。小狗以每分钟120m的速度在他们之间来回跑，直到他俩相遇为止。小狗一共跑了多少米？ 【答案】1200米。 【分析】根据“路程÷速度和＝相遇时间”求出晓明和小军的相遇时间，即小狗一共跑的时间，然后再根据“速度×时间＝路程”解答即可。 【解答】解：1300÷（60+70） ＝1300÷130 ＝10（分钟） 120×10＝1200（米） 答：小狗一共跑了1200米。 【点评】解答本题关键是明确小狗一共跑的时间，相当于晓明和小军的相遇时间。 18．一列火车以60米/秒的速度通过一条长3千米的隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道一共用了54秒。这列火车长多少米？ 【答案】240米。 【分析】首先根据“路程＝速度×时间”计算出火车以60米/秒的速度行驶54秒走过的路程；然后再用走过的路程减去隧道的长度就是火车的长度，据此解答。 【解答】解：3千米＝3000米 60×54﹣3000 ＝3240﹣3000 ＝240（米） 答：火车长240米。 【点评】本题属于列车过桥问题，解题的关键是明确路程、速度以及时间的关系。 19．人们不是同时看到闪电和听到雷声。这是由于光传播的时间可以忽略不计，而声音在空气中传播的速度大约是每秒340米。如果见到远处的闪电10秒后听到雷声，所见到的闪电有多远？ 【答案】3400米。 【分析】分析题意，可知闪电离你的距离等于声音10秒传播的距离；在行程问题中，路程＝速度×时间，据此列式解答即可。 【解答】解：340×10＝3400（米） 答：如果见到远处的闪电10秒后听到雷声，所见到的闪电有3400米。 【点评】本题主要考查了简单的行程问题，用到路程＝速度×时间。 20．货车和轿车从相距270千米的南京、盐城两地同时相对开出，货车平均每小时行80千米，轿车平均每小时行120千米，几小时后两车第一次相遇？相遇后继续行驶，两辆车到达各自目的地后立即返回，第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇？ 【答案】1.35小时，2.7小时。 【分析】第一次相遇时，两车合走了一个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，即可求得几小时后两车第一次相遇；两车第二次相遇时，两车合走了3个全程，根据相遇时间＝路程÷速度之和，求出从出发后，经过多少时间第二次相遇，用第二次相遇时间减去第一次相遇时间，即可求出第一次相遇后又过了几小时两车再次相遇。 【解答】解：270÷（80+120） ＝270÷200 ＝1.35（小时） 270×3÷（80+120） ＝810÷200 ＝4.05（小时） 4.05﹣1.35＝2.7（小时） 答：1.35小时后两车第一次相遇，第一次相遇后又过了2.7小时两车再次相遇。 【点评】本题考查相遇时间＝路程÷速度之和，本题的难点是明白两车第二次相遇时，两车合走了3个全程。 21．长江自西向东横贯泸州市境内，甲、乙两船分别从泸州境内的东、西两地同时相向而行。甲船每小时行20km，乙船每小时行14km。经过4时后两船相遇，泸州境内的长江航线有多少千米？ 【答案】136千米。 【分析】根据甲、乙两船的速度求和，求出甲、乙两船每小时共行多少千米；再根据速度和×相遇时间＝路程，用甲、乙的速度之和乘以相遇用的时间，求出两地之间的路程是多少千米即可。 【解答】解：（20+14）×4 ＝34×4 ＝136（千米） 答：泸州境内的长江航线有136千米。 【点评】本题主要考查关系式：速度和×相遇时间＝路程。 22．一辆客车从甲地到乙地要行驶4小时，一辆货车从乙地到甲地要行驶5小时，两车同时分别从甲地和乙地出发，相向而行，几小时后还剩全程的？ 【答案】2小时。 【分析】一辆客车从甲地到乙地要行驶4小时，可知客车的行驶速度是，一辆货车从乙地到甲地要行驶5小时，可知货车的行驶速度是，两车同时分别从甲地和乙地出发，相向而行，几小时后还剩全程的，可知两车共行了全程的1，根据路程和÷速度和＝相遇时间，由此列式计算即可。 【解答】解：（1）÷（） ＝2（小时） 答：2小时后还剩全程的。 【点评】此题考查相遇问题。根据路程和÷速度和＝相遇时间进行计算即可。 23．明明和亮亮沿着同一个公园的外围骑共享自行车，明明骑一圈要10分钟，亮亮骑一圈要12分钟。若明明和亮亮在同一起点同时开始骑行，至少几分钟后两人在起点再次相遇？此时明明骑了几圈？亮亮骑了几圈？ 【答案】60分钟；6圈；5圈。 【分析】明明和亮亮再次相遇经过的时间是10和12的最小公倍数，再次相遇经过的时间除以10分钟就是明明骑的圈数，再次相遇经过的时间除以12就是亮亮骑的圈数。依此解答。 【解答】解：10＝2×5 12＝2×2×3 所以10和12的最小公倍数是2×2×3×5＝60， 也就是60分钟后两人再次相遇。 60÷10＝6（圈） 60÷12＝5（圈） 答：至少60分钟后两人再次相遇，此时明明骑了6圈，亮亮骑了5圈。 【点评】本题主要考查最小公倍数的应用。 24．小华和爷爷晚饭后一起围着小区内的广场散步。小华走一圈需要10分钟，爷爷走一圈需要15分钟。 （1）如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ （2）如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小明超出爷爷一整圈？ 【答案】（1）6分；（2）30分。 【分析】（1）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”，分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程÷速度和＝相遇时间”，解答即可。 （2）把路程看作单位“1”，根据“路程÷时间＝速度”分别求出小华的速度和爷爷的速度，然后根据“路程差÷速度差＝追击时间”，解答即可。 【解答】解：（1）1÷（） ＝1 ＝6（分） 答：如果两人同时同地出发，相背而行，6分钟后首次相遇。 （2）1÷（） ＝1 ＝30（分） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，30分钟后小明超出爷爷一整圈。 【点评】本题考查了环形跑道的相遇和追及问题，熟练运用：路程、速度、时间三者的关系是解题的关键。 25．火车通过大桥（或山洞）是以车头上桥（或山洞）开始，到车尾离桥（或山洞）结束。一列火车长225米，每秒行驶35米，全车要通过一条长650米的大桥，需要多少秒？ 【答案】25秒。 【分析】火车要经过的路程是（225+650）米，利用时间＝路程÷速度，计算需要的时间。 【解答】解：（225+650）÷35 ＝875÷35 ＝25（秒） 答：需要25秒。 【点评】本题考查的是列车过桥问题的应用。 26．甲、乙两人骑车分别从桥头和桥尾同时出发相向而行。与此同时，一列火车车头正好到达桥头，准备上桥，60秒后，火车车尾恰好超过甲，且火车车头恰好与乙相遇；又过了60秒，火车车尾恰好离开桥尾，此时甲、乙恰好相遇。 （1）桥长是车长的几倍？ （2）从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用多少时间？ 【答案】（1）2倍；（2）40秒。 【分析】（1）根据题意，120秒时两人相遇，所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。 （2）120秒时，火车恰好走了一个车长和桥长，即3个车长；从火车车尾到火车车头到达桥尾，火车恰好走了一个桥长减去车长即1个车长的距离；所以共用了（120÷3）秒。据此解答。 【解答】解：（1）60+60＝120（秒） 所以60秒时两人相距相当于半个桥长。因此桥长恰好是车长的2倍。 答：桥长是车长的2倍。 （2）由分析可知：120÷3＝40（秒） 答：从火车车尾上桥到火车车头到达桥尾共用40秒。 【点评】本题主要考查了列车过桥问题，解题的关键是认真分析题中的两个60秒走的路程。 27．李老师和张老师每天早晨都在学校操场的环形跑道上跑步，跑道的全长是360米。如果李老师平均每秒跑6.5米，张老师平均每秒跑4.5米，而且他们从跑道的同一地点同时出发，都按逆时针方向跑，经过多长时间李老师正好比张老师多跑一圈？ 【答案】180秒。 【分析】他们同时从同一地点出发，都按逆时针方向跑，当李老师第一次追上张老师时，那么李老师比张老师正好多行360米，然后除以速度差即可。 【解答】解：360÷（6.5﹣4.5） ＝360÷2 ＝180（秒） 答：经过180秒李老师正好比张老师多跑一圈。 【点评】本题关系式是：追及距离÷速度差＝追及时间。 28．小冬的爷爷和奶奶在盛和世纪小区环形跑道上散步，爷爷和奶奶二人同时从环形跑道的同一地点向相反方向出发，已知小冬爷爷每分钟步行75米，奶奶每分钟步行60米，二人在距离环形跑道中点75米处相遇。盛和世纪小区环形跑道一圈多少米？ 【答案】1350米。 【分析】根据题意，爷爷每分钟比奶奶多走（75﹣60）米，相遇时爷爷比奶奶多走了2个75米，用75乘2即可求出爷爷比奶奶多走的路程，用爷爷比奶奶多走的路程除以爷爷每分钟比奶奶多走的路程即可求出相遇时间，用爷爷和奶奶的速度和乘相遇时间即可求出环形跑道一圈的长度。 【解答】解：75×2÷（75﹣60） ＝150÷15 ＝10（分钟） （75+60）×10 ＝135×10 ＝1350（米） 答：盛和世纪小区环形跑道一圈1350米。 【点评】本题考查的是相遇问题。 29．一列火车长180米，以每分钟0.9千米的速度通过一座大桥，从火车头上桥到最后一节车厢离桥共用了1.8分钟。这座大桥长多少千米？ 【答案】1.44千米。 【分析】先求出火车1.8分钟共行驶的路程，因为车头开上桥到车尾离开桥头所行驶的路程＝桥长+火车车身的长度，所以再减去火车的长度，就是这座桥的长度。 【解答】解：0.9千米＝900米 1.8×900﹣180 ＝1620﹣180 ＝1440（米） 1440米＝1.44千米 答：这座桥长1.44千米。 【点评】解答此题的关键要搞清关系式：车头上桥到车尾离桥所行驶的路程＝桥长+火车长度。 30．一个等腰三角形的沙盘，两腰AB＝AC＝10米，BC＝8米，若有两只小虫同时从该沙盘的顶点A出发（如图），分别沿着两腰爬行一圈，一只小虫每分钟行2.5米，另一只小虫每分钟行2米，则多少分钟后两只小虫在沙盘底边相距1米？ 【答案】6分钟或6分钟。 【分析】由题意可知，两只虫子在沙盘的底边相距1米的时间必须满足两只小虫子都在底边上，所以该时间必然在慢的小虫子到达底边且快的小虫子离开底边之间，计算出这两个时间。两只小虫在沙盘底边相距1米有两种可能，（1）相遇前两只虫子相距1米，两只虫子的路程和为：10+10+8﹣1＝27（米），再除以两只虫子的速度和即可；（2）相遇之后两只虫子又相距1米，两只虫子的路程和为：10+10+8+1＝29（米），再除以两只虫子的速度和即可。 【解答】解：10÷2＝5（分钟） （10+8）÷2.5 ＝18÷2.5 ＝7.2（分钟） （1）相遇前： （10+10+8﹣1）÷（2.5+2） ＝（20+7）÷4.5 ＝27÷4.5 ＝6（分钟） （2）相遇后： （10+10+8+1）÷（2.5+2） ＝（20+9）÷4.5 ＝29÷4.5 ＝6 5＜6＜7.2 5＜67.2 答：6分钟或6分钟两只小虫在沙盘底边相距1米。 【点评】解答本题的关键是分相遇前和相遇后两种情况讨论。 31．星期天，东东从家去少年宫学画画。刚走5分钟，妈妈发现东东忘带油画棒，于是立即去追。东东速度是50米/分，妈妈速度是75米/分，妈妈追上东东要走多少分钟？ 【答案】10分钟。 【分析】根据“路程＝速度×时间”求出追击路程，根据“追及时间＝追及路程÷速度差”即可求解。 【解答】解：50×5÷（75﹣50） ＝250÷25 ＝10（分钟） 答：妈妈追上东东要走10分钟。 【点评】本题考查了简单的追及问题。 32．甲乙两车同时从AB两地相向而行，5小时相遇。相遇后按原速继续行驶，又经过4小时甲车到达B地，乙车离A地还有80千米，AB两地相距多少千米？ 【答案】400千米。 【分析】把AB两地的路程看作单位“1”，则甲车每小时行了全程的1÷（5+4），乙车每小时行了全程的4÷5，乙车用5+4＝9（时）行了全程的9，则80千米的对应分率是全程的1。求全程用除法解答即可。 【解答】解：甲车每小时行全程的： 1÷（5+4） ＝1÷9 乙车每小时行全程的： 4÷5 AB两地相距： 80÷[1（5+4）] ＝80÷[19] ＝80 ＝400（千米） 答：AB两地相距400千米。 【点评】本题考查了相遇问题，解题时要读懂题意，关键是能求出80千米所占全程的分率。 33．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，在C点相遇，若在出发时，甲将速度提高，乙将速度每小时提高10千米，二人依然在C点相遇，则乙原来每小时行多少千米？ 【答案】40千米。 【分析】首先分析两人两次在同一地点相遇，那么需要两人的速度比是不变的，当甲提高时，乙也同样需要提高，而乙提高的是每小时10千米，据此解答即可。 【解答】解：1040（千米） 答：乙原来每小时行40千米。 【点评】本题考查对相遇问题的理解和运用，关键问题是找到两者的速度比是不变的，问题解决。 34．佳佳和聪聪从相距3300米的两点沿公路相向而行，佳佳的速度是60米/分，聪聪的速度是50米/分，两人在途中相遇后继续前进。从相遇时算起，两人走到对方出发点各需要多少时间？ 【答案】从相遇时算起佳佳走到对方的出发点需要25分，聪聪走到对方的出发点需要36分。 【分析】根据两人所走路程的速度之和及相距的路程可以求出两人相遇时所用时间，求出两人相遇时所用时间后，用佳佳的速度乘两人相遇的时间即求出佳佳走的路程，用此路程除以聪聪的速度，即可求出聪聪走到佳佳出发点所用时间，同理可求出佳佳走到聪聪出发点所用时间，据此解答。 【解答】解：根据题意，两人相遇时用了：3300÷（60+50）＝30（分） 从相遇时算起佳佳走到对方的出发点需要：50×30÷60＝25（分） 从相遇时算起聪聪走到对方的出发点需要60×30÷50＝36（分） 答：从相遇时算起佳佳走到对方的出发点需要25分，聪聪走到对方的出发点需要36分。 【点评】此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间＝路程，路程÷时间＝速度，路程÷速度＝时间，要熟练掌握。 35．小明和小文二人沿铁路相向而行，速度相同，一列火车从小明身边开过用了10秒，离开小明后8分又遇到小文，从小文身边开过，仅用了9秒，问从小文与火车相遇开始再经过几小时几分几秒小文和小明二人相遇？若小明步行该火车的长度需要多长时间？ 【答案】从小文与火车相遇开始再经过1小时13分30秒小文和小明二人相遇，若小明步行该火车的长度需要3分钟。 【分析】这列火车从小明身边开过用了10秒，这是火车追小明；从小文身边开过，仅用了9秒，这是火车与小文相遇到离开的时间。那么就可以设假设两人的速度都是1米/秒，火车的长度是x米，火车的速度是y米/秒，题中存在的数量关系是：火车从小明身边开过用的时间×（火车的速度﹣小明的速度）＝火车从小文身边开过用的时间×（火车的速度+小文的速度）＝火车的长度，据此可以解得x和y； 当火车头接触小文时，两人之间的距离＝当火车头接触小文时小明已经前进的距离+火车前进的距离；两人相遇还需要的时间＝当火车头接触小文时两人之间的距离÷两人的速度和； 若小明步行该火车的长度需要的时间＝车长÷小明的速度。 【解答】解：假设两人的速度都是1米/秒，火车的长度是x米，火车的速度是y米/秒。 10×（y﹣1）＝9×（y+1） 10y﹣10＝9y+9 y＝19 x＝10×（19﹣1） ＝10×18 ＝180（米） 当火车头接触小文时，小明已经前进的距离： （10+8×60）×1 ＝490×1 ＝490（米） 同时，火车前进的距离： （10+8×60）×19 ＝490×19 ＝9310（米） 这时两人之间的距离：9310﹣490＝8820（米） 两人相遇还需要的时间：8820÷（1+1）＝4410（秒）＝1小时13分钟30秒 小明步行该火车的长度需要的时间：180÷1＝180（秒）＝3（分钟） 答：从小文与火车相遇开始再经过1小时13分30秒小文和小明二人相遇，若小明步行该火车的长度需要3分钟。 【点评】认真审题，明确题意，考虑这道题可以列方程求解比较简便，列方程的关键是找到等量关系。 36．甲乙两车从A、B两地同时出发，相向而行。经过5小时，两车相遇。相遇后甲车继续行驶3小时到达B地，乙车每小时行驶54千米，A、B两地相距多少千米？ 【答案】720千米。 【分析】乙车5小时行的路程，甲车需要3小时，据此计算甲车的速度，再利用相遇问题公式：路程和＝速度和×时间，计算两地的距离即可。 【解答】解：54×5÷3 ＝270÷3 ＝90（千米/小时） （54+90）×5 ＝144×5 ＝720（千米） 答：A、B两地相距720千米。 【点评】本题主要考查相遇问题，关键计算甲车的速度。 37．小红和小丽在800米的环形跑道上跑步。小红跑一圈要4分钟，小丽跑一圈要5分钟，如果两人同时同地出发，同方向而行，多少分钟后小红超出小丽一整圈？ 【答案】20分钟。 【分析】如果两人同时同地出发，同方向而行，小红超出小丽一整圈，看作单位“1”，然后用1除以两人的速度差就是追及时间。 【解答】解：1÷（1÷4﹣1÷5） ＝1 ＝20（分钟） 答：如果两人同时同地出发，同方向而行，20分钟后小红超出小丽一整圈。 【点评】环形跑道问题，从同一地点出发，如果是相向而行，则每相遇一次合走一圈（每隔第一次相遇时间就相遇一次）；第几次相遇就合走几圈；如果是同向而行，则每多跑一圈就追上一次（每隔第一次追及时间就追上一次）；第几次追上就多跑几圈。 38．龟兔赛跑，全程1800米。乌龟每分爬15米，兔子每分跑400米。发令枪响后，兔子一会儿就把乌龟远远地甩在后面，骄傲的兔子自以为跑得快，在途中美美地睡了一觉，结果乌龟到达终点时，兔子离终点还有200米。兔子在途中睡了多少分？ 【答案】116分钟。 【分析】根据路程÷速度＝时间，计算出乌龟跑完全程需要多长时间，再计算出兔子跑到距离终点200米处需要多长时间，再与乌龟跑完全程需要的时间求差，即可算出兔子在途中睡了多久。 【解答】解：1800÷15＝120（分钟） 1800﹣200＝1600（米） 1600÷400＝4（分钟） 120﹣4＝116（分钟） 答：兔子在途中睡了116分钟。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 39．龟兔赛跑，同时出发，全程7000米，龟每分钟爬30米，兔每分钟跑330米，兔跑了10分钟就停下来睡了215分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先计算兔子跑完全程用的时间，再计算乌龟跑完全程用的时间，可以求出谁先到达终点，再根据时间差和速度，可以求出先到的比后到的快多少米． 【解答】解：乌龟爬完全程用的时间：7000÷30＝233（分钟）； 兔子跑完全程用的时间：7000÷330+215＝21215＝236（分钟）； 龟比兔早到的时间：2362332（分钟）； 龟到终点时，兔子与终点的距离：330×2950（米） 答：龟先到达终点，先到的比后到的快950米． 【点评】这时一道同方向行驶的问题，计算出两者需要的时间，再进行比较，题目就简单明了了． 40．A、B两地相距900米，甲、乙两人同时从A到B，甲每分钟行70米，乙每分钟行50米，当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，两人从出发到相遇共经过多少分钟？ 【答案】15分钟。 【分析】当甲到达B后立即返回与乙在途中相遇，此时甲乙合走的路程是A、B距离的2倍，路程和是1800米，速度和是120米/分钟，相除得到时间。由此解答即可。 【解答】解：900×2÷（70+50） ＝1800÷120 ＝15（分钟） 答：两人从出发到相遇共经过15分钟。 【点评】本题相当于是整体考虑，直接利用路程和、速度和、时间的关系求解。 41．小明和小芳住在同一个小区，这一天两人同时从小区门口出发去学校，小明每分钟走70米，小芳每分钟走60米，小明走到学校门口发现数学书忘带了，于是立刻沿原路返回家中去取，在距学校90米处与小芳相遇。相遇时小明走了多少分钟？ 【答案】见试题解答内容 【分析】两人相遇时小明比小芳多走了（90×2）米，小明比小芳每分钟多走（70﹣60）米，根据时间＝路程÷速度，可求出两人相遇时用的时间；据此求解即可。 【解答】解：90×2÷（70﹣60） ＝180÷10 ＝18（分钟） 答：相遇时小明走了18分钟。 【点评】本题主要考查了相遇问题，解答本题的关键是明确两人相遇时小明比小芳多走的米数。 42．甲乙两车分别从A、B两地出发，相向而行．出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米．问：A、B两地相距多少千米？ 【答案】450千米。 【分析】（1）相遇后，甲乙的速度的比是：[5×（1﹣20%）]：[4×（1+20%）]＝5：6 （2）相遇后，甲距离B地还有全程的：4÷（4+5），所以当甲到达B地时，乙离A地还有：1，即10千米占AB全程的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法计算得出AB全程。 【解答】解：（1）相遇后，甲乙的速度的比是：[5×（1﹣20%）]：[4×（1+20%）]＝5：6 答：相遇后，甲、乙两车的速度比是5：6。 （2）1 10450（千米） 答：A、B两地相距450千米。 【点评】此题难度较大，应认真审题，找清题中的数量间的关系，根据题意进行分析，推导，找出突破口，进而得出结论。 43．丽丽和爸爸一起去操场散步。丽丽走一圈需要8分钟，爸爸走一圈需要6分钟。如果两人同时同地出发，相背而行，多少分钟后首次相遇？ 【答案】分钟。 【分析】把操场一圈的长度看作单位“1”，根据速度＝路程÷时间，分别求出丽丽和爸爸的速度，如果两人同时同地出发，相背而行，那么首次相遇时两人正好走了操场的一圈，根据相遇时间＝总路程÷速度和，列式计算即可。 【解答】解：1÷8 1÷6 1÷（） ＝1÷（） （分钟） 答：分钟后首次相遇。 【点评】本题是相遇问题，根据相遇时间＝总路程÷速度和来求解，根据数量关系求出速度和即可解决问题。 44．一辆轿车和一辆货车都从甲城开往乙城，轿车平均每时行90km，货车平均每时行60km。货车开出2时后，轿车才出发。轿车开出几时后才能追上货车？ 【答案】4时。 【分析】依据题意可知，货车2小时行驶的路程+货车行驶速度×两车共同行驶时间＝轿车速度×两车共同行驶时间，由此计算两车共同行驶时间，两车共同行驶时间就是轿车追上货车的时间。 【解答】解：60×2÷（90﹣60） ＝120÷30 ＝4（时） 答：轿车开出4时后才能追上货车。 【点评】本题考查的是追及问题的应用。 45．客车和火车分别从甲、乙两地同时出发相向而行，5小时后相遇，相遇后仍按原来的速度行进。当他们又相距196km时，客车行驶了全程的，火车行驶了全程的80%，求火车行驶完全程要用的时间。 【答案】8.75小时。 【分析】两车第一次相遇，用了5小时，第二次行了全程的（80%﹣1），即行了全程的40%，需用时5×40%，即为2小时，由此可知火车用了5+2＝7（小时），故火车行驶完全程需要（7÷80%）小时，据此解答。 【解答】解：80%﹣1 ＝140%﹣1 ＝40% 5×40%＝2（小时） 7÷80%＝8.75（小时） 答：火车行驶完全程要用8.75小时。 【点评】此题主要考查路程、速度、时间三者的关系式：路程＝速度×时间，速度＝路程÷时间，时间＝路程÷速度，灵活变形列式解决问题。 46．兄妹二人在周长30米的圆形水池边玩，从同一地点同时背向绕水池而行，兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，他们第十次相遇时，妹妹还需走多少米才能回到出发点？ 【答案】6米。 【分析】兄每秒走1.3米，妹每秒走1.2米，则两人速度和是每秒1.3+1.2＝2.5（米），两人每共行一周就相遇一次，则相遇第10次需要时间30×10÷（1.3+1.2）＝120（秒），第十次相遇，妹妹已经走了120×1.2＝144 （米）；144÷30＝4（圈）……24（米），然后用30减去24即可解决问题。 【解答】解：第十次相遇时妹妹已经走的路程： 30×10÷（1.3+1.2）×1.2 ＝300÷2.5×1.2 ＝144（米） 144÷30＝4（圈）……24（米） 30﹣24＝6 （米） 答：妹妹还需走6米才能回到出发点。 【点评】此题属于多次相遇问题，关键在于先求出第十次相遇时妹妹已经走的路程。 47．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲的速度是每分钟60米，乙的速度是每分钟100米，不久以后两人在途中C地相遇，但是两人都没有停步，分别走到B地和A地后又扭头往回走，结果在距离C地1千米处两人第二次相遇，那么A、B两地相距多少千米？ 【答案】2千米。 【分析】我们知道“甲、乙第一次相遇他们的总路程为一个全过程（A、B之间的距离），以后每次相遇他们的总路程均为2个全程”；再结合第一次相遇乙走了BC的距离，第二次相遇乙走了2个AC的距离+1千米，这两次的路程关系为2倍关系，据此即可求出第一次相遇时乙比甲多走了多少米，进而求得第一次相遇的用时，再应用速度和×相遇时间＝相遇路程。 【解答】解：1千米＝1000米 2个AC的距离+1000＝2个BC的距离 BC的距离﹣AC的距离＝500，即第一次相遇乙比甲多走了500米。 第一次相遇用时： 500÷（100﹣60） ＝500÷40 ＝12.5（分钟） （100+60）×12.5 ＝160×12.5 ＝2000（米） 2000米＝2千米 答：AB两地相距2千米。 【点评】解此题的关键是“根据两次相遇时，甲或乙的行程关系，得到第一次相遇时乙比甲多走了多少米”，之后即可轻松作答。 48．学校有一个400m环形跑道，它是由两个直跑道和两个半圆形跑道组成，直跑道分别长100m，半圆形跑道的直径是31.85m，每条跑道的宽度是1.25m。运动会400米比赛中，小明和小军分别在第二、三跑道，起跑时小军应该提前小明多少m？（π取3.14） 【答案】7.85。 【分析】不管在哪条跑道，直跑道的长度相等，就不考虑。由题意可知，同一道两个半圆形跑道组成一个圆，这个圆的直径每相邻两道相差2个1.25米，三道的圆周长比二道的圆周长多的长度就得小军提前的距离。 【解答】解：31.85+1.25×4 ＝31.85+5 ＝36.85（米） 31.85+1.25×2 ＝31.85+2.5 ＝34.35（米） 36.85×π﹣34.35×π ＝（36.85﹣34.35）×π ＝2.5×3.14 ＝7.85（米） 答：起跑时小军应该提前小明7.85m。 【点评】明确环形跑道的组成及圆周长的意义是解决本题的关键。 49．青藏铁路是世界上最长的高原铁路，东起青海西宁，西至西藏拉萨，全长1956千米。两列火车分别从拉萨和西宁同时出发，经过12小时相遇。快车平均每小时行驶90千米，慢车平均每小时行驶多少千米？ 【答案】73千米。 【分析】设慢车每小时行x千米，那么12小时就行驶了12x千米，快车12小时行驶了（90×12）千米，两车的路程和就是全长1956千米，由此列出方程求解。 【解答】解：设慢车每小时行x千米，由题意得： 12x+90×12＝1956 12x+1080＝1956 12x＝876 x＝73 答：慢车平均每小时行驶73千米。 【点评】本题根据相遇问题中的等量关系：两车的路程和＝全程；再结合速度、路程、时间三者的关系列出方程。 50．小红骑车从甲地去乙地，小明步行从乙地去甲地，两人同时出发。当两人相遇时，小明走了全程的。相遇后两人继续前行，当小红到达乙地后，小明离甲地还有12千米。甲乙两地相距多少千米？ 【答案】18千米。 【分析】两人相遇时小明走了，则小红走了，当小红到达乙地时，小明又走了全程的，所以小明一共走了全程的（），已知小明离甲地还有12千米，再用除法计算即可。 【解答】解： ＝18（千米） 答：甲乙两地相距18千米。 【点评】此题解答的关键是求出当小红到达乙地时，小明共走了全程的几分之几，进一步解决问题。 51．一座桥长350米，一列火车以每秒20米的速度经过这座桥，从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，这列火车长多少米？ 【答案】130米。 【分析】从车头开上桥到车尾离开桥共用24秒，则火车等于跑了桥的全长加车的长度，所以用24秒所行驶的路程减去350米就是这列火车的长度。 【解答】解：20×24﹣350 ＝480﹣350 ＝130（米） 答：这列火车长130米。 【点评】解答此题的关键是明确：列车过桥走过的路程＝桥长+车身长，再根据基本的数量关系解决问题。 52．在花展期间，莲花湖西侧举办了一系列花展主题露营活动，包括趣味亲子游戏、创意打卡体验地、簕杜鹃花作品展、花艺相框制作等营地。晓芳和小珊相约在其中一处圆形亲子游戏营地玩游戏，晓芳绕圆形营地周围走一圈需要8分钟，小珊绕圆形营地周围走一圈需要6分钟，照这样的速度，如果晓芳和小珊沿相同方向同时从同一地点出发绕亲子游戏营地转圈，至少多少分钟后她们可以在该起点第一次相遇？ 【答案】24分钟。 【分析】求出6和8的最小公倍数，即可求出她们可以在该起点第一次相遇的时间。 【解答】解：6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数24，所以24分钟相遇她们可以在该起点第一次相遇。 答：至少24分钟后她们可以在该起点第一次相遇。 【点评】解答本题的关键是求出6和8的最小公倍数。 53．甲、乙两艘船分别从A、B两港口同时出发，往返于两港口之间。甲船的速度是42千米/时，乙船的速度是36千米/时，经过4小时两船第二次相遇。A、B两港口相距多少千米？ 【答案】104千米。 【分析】经过4小时两船第二次相遇，即4小时行驶的路程和相当于A、B两港口距离的3倍，然后根据“速度和×相遇时间＝总路程”解答即可。 【解答】解：（42+36）×4÷3 ＝78×4÷3 ＝104（千米） 答：A、B两港口相距104千米。 【点评】解答本题关键是明确：第二次相遇，行驶的路程和相当于3个A、B两港口之间的距离。 54．一列轿车和一列货车同时从甲地和乙地相对开出，4小时后相遇。相遇点距甲乙两地的中点的距离占全程的。已知轿车每小时比货车多行70千米，求甲乙两地之间的距离。 【答案】1260千米。 【分析】相遇点距甲乙两地的中点的距离占全程的，可知轿车比货车多行了2个，用轿车每小时比货车多行的路程乘4小时，求出4小时轿车比货车多行的路程，再除以2个，即可求出甲乙两地之间的距离。 【解答】解：70×4÷（2） ＝280 ＝1260（千米） 答：甲乙两地之间的距离是1260千米。 【点评】本题考查相遇问题的计算及应用。理解题意，找出数量关系，列式计算即可。 55．望谟到贵阳的路程有240km，A车从望谟出发到贵阳，先行驶了全程的后，B车从贵阳出发，1.5小时后与A车相遇。已知A车和B车的速度比是3：4。当两车相遇时，B车行了多少千米？ 【答案】120千米。 【分析】由题意可知：A车先出发，行驶了全程的后，B车才开始出发，可知剩下的路程加上A车先出发行驶的路程等于全程，根据速度和×相遇时间＝总路程（此时的总路程为240﹣30＝210千米），即可求出两车速度和，又因为A车和B车的速度比是3：4，即可求出A车的速度和B车的速度，由此即可求出当两车相遇时，B车行了多少千米。 【解答】解：先行驶了：24030（km） 两车速度和：240﹣30＝210（km） 210÷1.5＝140（km/h） A车和B车的速度比是3：4， 所以A车的速度为：14060（km/h） B车的速度为：14080（km/h） B车行了：80×1.5＝120（km） 答：当两车相遇时，B车行了120千米。 【点评】此题主要考查相遇问题中的基本数量关系：速度和×相遇时间＝总路程或甲车所行的路程+乙车所行的路程＝两地之间的距离；再由关系式列方程解决问题。 56．小张和小王各以一定速度，在周长为500米的环形跑道上跑步。小王的速度是200米/分钟。 （1）小张和小王同时从同一地点出发，反向跑步，1分钟后两人第一次相遇，小张的速度是多少米/分钟？ （2）小张和小王同时从同一地点出发，同一方向跑步，小张跑多少圈后才能第一次追上小王？ 【答案】（1）300米/分钟； （2）3圈。 【分析】（1）两人相遇，也就是合起来跑了一个周长的行程，用路程÷相遇时间＝速度和，速度和减去小王的速度，即可求出小张的速度； （2）在环形的跑道上，小张要追上小王，就是小张比小王多跑一圈（一个周长），用路程÷速度差＝追及时间，再进一步即可解答。 【解答】解：（1）500÷1﹣200 ＝500﹣200 ＝300（米/分钟） 答：小张的速度是300米/分钟。 （2）500÷（300﹣200） ＝500÷100 ＝5（分钟） 300×5÷500 ＝1500÷500 ＝3（圈） 答：小张跑3圈后才能第一次追上小王。 【点评】本题关键在于理清在不同的运动过程中，两人的路程和、路程差、速度和、速度差对应的量是多少，然后进行求解。 学科网（北京）股份有限公司 $$