新课预习衔接：数学广角——集合（讲义）-2024-2025学年三年级上册数学人教版

数学广角——集合 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】前言部分 目录导航 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【知识点归纳】 在日常生活中，人们常常需要统计一些数量，在统计的过程中，往往会发现有些数量重复出现，为了使重复出现的部分不致被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，既先不考虑重复的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排除出去，使计算的结果既无遗漏又无重复．这种计数方法称为包含排除法，也叫做容斥原理或重叠问题． 一般方法： 在解答有关包含排除问题时，我们常常利用圆圈图（韦恩图）来帮助分析思考． 原理1：两量重叠问题 A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数 原理2：三量重叠问题 A类、B类与C类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数+C类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数﹣既是B类又是C类的元素个数﹣既是A类又是C类的元素个数+同时是A类、B类、C类的元素个数． 第二部分 典型例题 例题1：四年级一班有50人，喜欢吃苹果的有25人，喜欢吃橘子的有22人，两种水果都喜欢吃的有13人。两种水果都不喜欢吃的有多少人？ 【答案】16人。 【分析】把喜欢苹果的和喜欢橘子的人数加起来：25+22＝47（人），因为13人既喜欢吃苹果又喜欢吃橘子，所以喜欢这两种水果（至少喜欢一种）的是47﹣13＝34（人），那么总人数减去这34人，剩下的就是两种水果都不喜欢的人数；据此求解即可。 【解答】解：50﹣（25+22﹣13） ＝50﹣34 ＝16（人） 答：两种水果都不喜欢的有16人。 【点评】本题主要考查容斥原理，解题的关键是确定喜欢这两种水果的人数。 例题2：在校运动会上，共有30人参加跳远和跳高。参加跳远的有18人，参加跳高的有22人，既参加跳远又参加跳高的有多少人？ 【答案】10人。 【分析】先用18加上22求出两者的和，这其中把两项比赛都参加的人数多计算了一次，然后减去总人数30就是既参加跳远又参加跳高的有多少人。 【解答】解：18+22﹣30 ＝40﹣30 ＝10（人） 答：既参加跳远又参加跳高的有10人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 例题3：李老师给三（2）班出了两道数学题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有26人，第2题做对的有24人，两道题都做对的有8人，三（2）班一共有多少人？ 【答案】42人。 【分析】用第1题做对的加上第2题做对的减去两道题都做对的即是本班人数。 【解答】解：26+24﹣8 ＝50﹣8 ＝42（人） 答：三（2）班一共有42人。 【点评】本题考查了容斥原理的知识。 例题4：学校艺术节比赛，三（1）班报名参加唱歌和跳舞比赛的情况如图，参加唱歌和跳舞比赛的一共有多少人？ 【答案】16人。 【分析】根据容斥原理，把图中把参加唱歌和跳舞比赛的人数相加，再减去两项都参加的人数就是总人数。 【解答】解：12+9﹣5 ＝21﹣5 ＝16（人） 答：参加唱歌和跳舞比赛的一共有16人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 第三部分 高频真题 1．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？ 2．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？ 3．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 4．三年级有68人订阅了《现代少年报》，有79人订阅了《中国少年报》，其中有12人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？ 5．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 6．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？ 7．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？ 8．三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的共有42人，其中参加数学兴趣小组的有23人，参加音乐兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有几人？ 9．五（1）班进行大扫除。清扫教室的有8人，擦玻璃的有15人，整理课桌的有11人，其中有3人既清扫了教室又整理了课桌。五（1）班参加大扫除的一共有多少人？ 10．五（1）班组织“垃圾分类宣讲”活动，要求每个同学必须带饮料或适量水果。活动时发现，38人带了饮料，35人带了水果，15人饮料和水果都带了。五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人？ 11．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？ 12．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？ 13．三（1）班参加数学竞赛和作文竞赛学生的名单如下表： 数学竞赛 刘进 吴琼 李晓红 王梅 刘洋 李强 赵圆 刘苗 作文竞赛 王梅 刘芳 李强 刘洋 张军 周小平 吴琼 （1）既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有多少人？ （2）参加数学竞赛和作文竞赛的一共有多少人？ 14．六一汇演时，在舞蹈和合唱两个项目中四一班共有35人参加。其中有7人只参加了舞蹈演出，有8人只参加了合唱演出。参加舞蹈演出的一共有多少人？ 15．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 16．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 17．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 18．在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？ 19．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？ 20．四年级（1）班有42名同学，其中会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有10人。那么两种棋都会下的有多少人？ 21．王老师给三（1）班出了两道思考题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有23人，两道题都做对的有8人。三（1）班一共有多少人？ 22．三（1）班部分学生参加“冬季运动会“，其中参加跳绳项目的有22人，参加踢毽子项目的有23人，两项都参加的有8人。三（1）班参加运动会的共有多少人？ 23．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？ 24．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几． 25．学校成立“双滑社团”，既会轮滑又会滑雪的学生才有资格报名。全校有500名学生，只会轮滑的有180人，只会滑雪的有200人，两项都不会的有50人。多少人有报名资格？ 26．六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有的同学参加了传统文化，有45%的同学参加了劳动教育，有14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？ 27．【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共58人，帮助清洁工进行垃圾分类的有36人，帮助交警进行交通疏导的有29人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？ 28．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 29．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 30．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？ 31．四（1）班有35名同学，会剪纸的有15名，会篆刻的有18名，两种都不会的有5名。两种都会的有多少名同学？ 32．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？ 33．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？ 34．三年级（2）班喜欢踢足球的有20人，喜欢打乒乓球的有15人，这两项运动都喜欢的有6人，三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有多少人？ 35．三年级一班的同学喜欢打球的有35人，喜欢跳绳的有27人，两种运动都喜欢的有12人，都不喜欢的有4人。三年级一班一共有多少个同学？（用图可以表示题中的信息，先把图补充完整，再列式解答。） 36．红星小学四（1）班共有学生42人，会打乒乓球的有26人，会打羽毛球的有18人，两种球都不会打的有12人。两种球都会打的有多少人？ 37．同学们到植物园游玩，参观玫瑰园的有34人，参观菊花园的有27人，两个园都参观的有19人． （1）请根据题意填写图． （2）去植物园的一共有 　 　人． （3）你能提出其他数学问题并解答吗？ 38．四（3）班有45人，会下象棋的有28人，会下围棋的有29人，两种棋都不会的有6人，两种棋都会的有多少人？ 我会借助图来分析： 我的解答：　 　 39．三（3）班有46人，每人都订阅了至少一种杂志，其中25人订阅了《少年哥白尼》，32人订阅了《儿童文学》。既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有多少人？ 40．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？ 41．三（1）班一共有42人，会打篮球的有17人，会踢足球的有21人，两种运动都不会的有10人。两种运动都会的有多少人？ 42．六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？ 43．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，其中14人有兄弟，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？ 44．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 45．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？ 46．一个班有38人，班主任在班会上问：“谁参加美术兴趣小组？请举手！”有30人举手。又问：“谁参加体育兴趣小组？请举手！”有35人举手。最后问：“谁美术、体育小组都没有参加？”没有人举手。求这个班美术、体育小组都参加的人数。 47．周老师出了两道题给这个班45个学生思考，所有学生要么答对一题，要么答对两题。答对第一题的有25人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有多少人？ 48．丽丽会唱26首歌，平平会唱18首歌。她们都会唱的歌有15首，她们一共会唱多少首不同的歌？ 49．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？ 50．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？ 51．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？ 参考答案与试题解析 1．学校举办“我的中国梦”书画作品比赛，共有210幅作品分别获得一、二等奖和优秀奖，其中优秀奖和二等奖的作品共148幅，获得一二等奖的作品共140幅，获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有多少幅？ 【答案】62、78、70幅。 【分析】140+148＝288（幅），是一、二、二、优秀奖数量的和，比一、二、优秀奖总数210幅多的数量就是二等奖的数量，即288﹣210＝78（幅）；那么一等奖就有140﹣78＝62（幅），优秀奖有148﹣78＝70（幅）；据此解答即可。 【解答】解：140+148＝288（幅） 288﹣210＝78（幅） 140﹣78＝62（幅） 148﹣78＝70（幅） 答：获得一等奖、二等奖和优秀奖的作品各有62、78、70幅。 【点评】本题主要考查容斥原理，解答本题的关键先求出二等奖的数量。 2．47名学生组织游泳和跳水训练，其中参加游泳的有12人，参加跳水的有15人，两项都不参加的有26人。求两项训练都参加的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】47名学生组织游泳和跳水训练，两项都不参加的有26人，用47减去26就是参加训练的总人数。然后用12加上15求出参加游泳与参加跳水的人数和，再减去参加训练的总人数就是重复计算的人数，也就是两项训练都参加的人数。 【解答】解：47﹣26＝21（人） 12+15﹣21 ＝27﹣21 ＝6（人） 答：两项训练都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 3．三（1）班37名同学到动物园参观，其中参观金丝猴馆的有25人，参观斑马馆的有17人，既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有多少人？ 【答案】5人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：25+17﹣37 ＝42﹣37 ＝5（人） 答：既参观金丝猴馆又参观斑马馆的有5人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 4．三年级有68人订阅了《现代少年报》，有79人订阅了《中国少年报》，其中有12人两种都订了。订阅了报刊的一共有多少人？ 【答案】135人。 【分析】订阅了《现代少年报》的人数+订阅了《中国少年报》的人数﹣两种都订的人数＝总人数。 【解答】解：68+79﹣12 ＝147﹣12 ＝135（人） 答：订阅了报刊的一共有135人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 5．八一小学六（1）班有26人参加了美术小组，有29人参加了音乐小组，其中有13人两个小组都参加，还有8人什么组都没有参加。这个班共有学生多少人？ 【答案】50人。 【分析】根据“A类人数+B类人数﹣既A又B类人数+既不A又不B类人数＝该班人数”即可求解。 【解答】解：26+29﹣13+8 ＝55﹣13+8 ＝42+8 ＝50（人） 答：这个班共有学生50人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 6．某艺术中心有62名学生，其中会弹钢琴的有11名，会吹长笛的有56名，两样都不会的有4名。两样都会的有多少名？ 【答案】9名。 【分析】用会弹钢琴的人数加会吹长笛的人数加两样都不会的人数，再减总人数即可求解。 【解答】解：11+56+4﹣62 ＝67+4﹣62 ＝71﹣62 ＝9（名） 答：两样都会的有9名。 【点评】本题主要考查了容斥原理的灵活运用。 7．四年级（1）班有52人，参加美术小组的有14人，参加音乐小组的有28人，有8人两个小组都参加了，这个班两个小组都没参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】用14人加上28人求出两者的和，由于8人是重复计算的部分，再减去8人，就是至少参加一项的人数是：28+14﹣8＝34（人），然后用总人数52人减去至少参加一项的人数，就是两个小组都没参加的人数，即52﹣34＝18（人）． 【解答】解：52﹣（28+14﹣8） ＝52﹣34 ＝18（人） 答：这个班两个小组都没参加的有18人． 【点评】容斥原理的计算公式：A+B﹣既A又B＝至少参加一项的人数． 8．三（1）班参加数学兴趣小组和音乐兴趣小组的共有42人，其中参加数学兴趣小组的有23人，参加音乐兴趣小组的有26人，同时参加两个兴趣小组的有几人？ 【答案】7人。 【分析】先用26加上23求出这两个兴趣小组的人数和，然后再减去实际的总人数42，就是同时参加两个兴趣小组的有几人。 【解答】解：23+26﹣42 ＝49﹣42 ＝7（人） 答：同时参加两个兴趣小组的有7人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 9．五（1）班进行大扫除。清扫教室的有8人，擦玻璃的有15人，整理课桌的有11人，其中有3人既清扫了教室又整理了课桌。五（1）班参加大扫除的一共有多少人？ 【答案】有31人。 【分析】先把前面清扫教室的8人、擦玻璃的15人、整理课桌的11人相加起来，其中既清扫了教室又整理了课桌的有3人，这部分人算了两次，所以要减去3人。 【解答】解：8+15+11﹣3 ＝23+11﹣3 ＝34﹣3 ＝31（人） 答：五（1）班参加大扫除的一共有31人。 【点评】掌握容斥原理是解题关键。 10．五（1）班组织“垃圾分类宣讲”活动，要求每个同学必须带饮料或适量水果。活动时发现，38人带了饮料，35人带了水果，15人饮料和水果都带了。五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人？ 【答案】58人。 【分析】由题意可知，总人数＝带了饮料的人数+带了水果的人数﹣饮料和水果都带的人数，即可求出五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有多少人。 【解答】解：38+35﹣15 ＝73﹣15 ＝58（人） 答：五（1）班参加“垃圾分类宣讲活动”的一共有58人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 11．四年级有108名学生去春游，带水果的有77人，带矿泉水的有78人，每人至少带一样，既带水果又带矿泉水的有多少人？ 【答案】47人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝（A+B）﹣总人数解答即可。 【解答】解：77+78﹣108 ＝155﹣108 ＝47（人） 答：既带水果又带矿泉水的有47人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 12．甲、乙、丙3个小朋友参加礼仪知识竞赛，甲答对了20题，乙答对了25题，丙答对了32题。甲答对的20题丙都答对了，乙答对的题中有15题丙也答对了。甲、丙一共答对了多少道题？乙、丙一共答对了多少道题？ 【答案】32道；42道。 【分析】（1）求甲和丙一共答对了多少道题，用20加32，再减去重复计算的20道题即可； （2）求乙和丙一共答对了多少道题，用25加32，再减去重复计算的15道题即可。 【解答】解：20+32﹣20 ＝52﹣20 ＝32（道） 25+32﹣15 ＝57﹣15 ＝42（道） 答：甲、丙一共答对了32道题，乙、丙一共答对了42道题。 【点评】两量重叠问题：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 13．三（1）班参加数学竞赛和作文竞赛学生的名单如下表： 数学竞赛 刘进 吴琼 李晓红 王梅 刘洋 李强 赵圆 刘苗 作文竞赛 王梅 刘芳 李强 刘洋 张军 周小平 吴琼 （1）既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有多少人？ （2）参加数学竞赛和作文竞赛的一共有多少人？ 【答案】（1）4人；（2）11人。 【分析】参加数学竞赛的有8人，参加作文竞赛的有7人，两种都参加的有：吴琼、王梅、刘洋、李强，共有4人；然后根据容斥原理解答即可。 【解答】解：（1）两种都参加的有：吴琼、王梅、刘洋、李强，共有4人； 答：既参加数学竞赛又参加作文竞赛的有4人。 （2）8+7﹣4 ＝15﹣4 ＝11（人） 答：参加数学竞赛和作文竞赛的一共有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 14．六一汇演时，在舞蹈和合唱两个项目中四一班共有35人参加。其中有7人只参加了舞蹈演出，有8人只参加了合唱演出。参加舞蹈演出的一共有多少人？ 【答案】27人。 【分析】根据题意，用参加两项演出的人数减去只参加合唱演出的人数，计算参加舞蹈演出人数即可。 【解答】解：35﹣8＝27（人） 答：参加舞蹈演出27人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 15．三年级2班有54人，所有的同学都参加了兴趣小组，参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人，两个兴趣小组都参加的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据“参加舞蹈小组的有27人，参加声乐小组的有34人．”可得两者的总人数：34+27＝61人，这其中把两种兴趣小组都参加的人数多计算了一次，所以根据容斥原理可得两种兴趣小组都参加的人数是：61﹣54＝7（人），据此解答即可． 【解答】解：34+27﹣54 ＝61﹣54 ＝7（人） 答：两种兴趣小组都参加的有7人． 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）． 16．三年级有45人，参加学校滑冰比赛的有30人，参加雪雕比赛的有24人，既参加滑冰比赛又参加雪雕比赛的有12人，两项比赛都没参加的有多少人？ 【答案】3人。 【分析】先根据公式“总人数＝（A+B）﹣既A又B”，用30加上24再减去12求出参加比赛的人数，然后再用45减去参加比赛的人数即可。 【解答】解：45﹣（30+24﹣12） ＝45﹣42 ＝3（人） 答：两项比赛都没参加的有3人。 【点评】本题考查了容斥原理，关键是求出至少参加一种的人数，知识点是容斥原理一：总人数＝（A+B）﹣既A又B。 17．某班在四年级、五年级和六年级时分别评选10名三好学生，又知四、五年级连续被评为三好学生的有4人，五、六年级连续被评为三好学生的有3人，四、六年级被评为三好学生的有5人，四、五、六年级都没被评过三好学生的有20人，问这个班最多有多少名同学，最少有多少名同学？ 【答案】41，38。 【分析】用评过三好学生的人数加上没评过三好学生的人数就等于本班的学生数。评过的学生分为只在四年级、五年级、六年级评过的，四、五年级连续的、五、六年级连续的，四、六年级连续的，四、五、六连续的这7种情况。当，四、五、六连续的是0时最多，是3时最少。 【解答】解：如图： 1+4+5+2+3+3+3+20 ＝21+20 ＝41（人） 1+4+5+2+3+3+20 ＝18+20 ＝38（人） 答：这个班最多有41名同学，最少有38名同学。 【点评】明确数量之间的包含关系是解决本题的关键。 18．在55名运动员中，参加短跑比赛的有36人，参加跳绳比赛的有38人。这两项比赛都参加的有多少人？ 【答案】19人。 【分析】参加短跑比赛的人数+参加跳绳比赛的人数﹣总人数＝这两项比赛都参加的人数，据此计算即可。 【解答】解：36+38﹣55 ＝74﹣55 ＝19（人） 答：这两项比赛都参加的有19人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 19．同学们到动物园去参观老虎馆和熊猫馆．参观老虎馆的有70人，参观熊猫馆的有65人，两个馆都参观的有45人．去动物园的一共有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意，利用容斥问题原理，有关系式：参观老虎馆的人数+参观熊猫馆的人数﹣两个馆都参加人数＝去参观的总人数．把数代入计算即可． 【解答】解：70+65﹣45 ＝135﹣45 ＝90（人） 答：去动物园的一共有90人． 【点评】此题考查了利用容斥问题原理解决实际问题的灵活应用．知识点是：既A又B＝（A+B）﹣总人数． 20．四年级（1）班有42名同学，其中会下象棋的有21人，会下围棋的有17人，两种棋都不会下的有10人。那么两种棋都会下的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先求出会下象棋的人数与围棋的人数和，再加上两样都不会下的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种棋都会下的人数，所以再减去总人数42，就是两种棋都会下的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种棋都会下的有6人。 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：既是A类又是B类的元素个数＝属于A类元素个数+属于B类元素个数+非A非B元素个数﹣元素总个数。 21．王老师给三（1）班出了两道思考题，批改后发现，全班每人至少做对一题，第1题做对的有28人，第2题做对的有23人，两道题都做对的有8人。三（1）班一共有多少人？ 【答案】43人。 【分析】先用23加28求出做对第2道题和做对第1道题的人数和，再减去两道题都做对的人数8（重复计算的人数），也就是三（1）班的总人数。 【解答】解：23+28﹣8 ＝51﹣8 ＝43（人） 答：三（1）班一共有43人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 22．三（1）班部分学生参加“冬季运动会“，其中参加跳绳项目的有22人，参加踢毽子项目的有23人，两项都参加的有8人。三（1）班参加运动会的共有多少人？ 【答案】37人。 【分析】由题意，用22+23求出至少参加一项比赛的同学的总人数，再减去两项都参加的人数就是参加运动会的总人数；据此解答。 【解答】解：22+23﹣8 ＝45﹣8 ＝37（人） 答：三（1）班参加运动会的共有37人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：总数量＝A+B﹣既A又B。 23．五年级一班共有36名学生，在六一表演中有12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，那么既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有多少人？ 【答案】15人。 【分析】12人参加了舞蹈表演，有16人参加了合唱，既要表演舞蹈又要参加合唱的有7人，根据容斥原理，既参加舞蹈队和参加合唱队的总人数是（12+16﹣7）人，用班级人数再减这个总人数即可求解。 【解答】解：36﹣（12+16﹣7） ＝36﹣21 ＝15（人） 答：既不参加舞蹈表演、又不参加合唱的有15人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用。 24．六（1）班同学坚持参加体育锻炼．体育委员对班级爱好打乒乓球、羽毛球的情况做了统计：85%的人爱好打乒乓球，75%的人爱好打羽毛球，还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球．请求出这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的百分之几． 【答案】见试题解答内容 【分析】还有10%的人既不爱好打乒乓球也不爱好打羽毛球，则至少喜欢一样的占总人数1﹣10%，然后根据两量重叠问题：既是A类又是B类的元素个数＝A类元素的个数+B类元素个数﹣A类与B类元素个数的总和；代入数据解答即可． 【解答】解：85%+75%﹣（1﹣10%） ＝160%﹣90% ＝70% 答：这个班爱好打乒乓球和羽毛球两项活动的人数占总人数的70%． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 25．学校成立“双滑社团”，既会轮滑又会滑雪的学生才有资格报名。全校有500名学生，只会轮滑的有180人，只会滑雪的有200人，两项都不会的有50人。多少人有报名资格？ 【答案】70人。 【分析】用总人数减去只会轮滑的人数、减去只会滑雪的人数，再减去两项都不会的人数即可。 【解答】解：500﹣180﹣200﹣50 ＝120﹣50 ＝70（人） 答：70人有报名资格。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 26．六年级参加学校组织的研学旅行。学校分时段提供了以传统文化和劳动教育为主题的两次研学旅行，六年级每个同学至少参加了一次。已知有的同学参加了传统文化，有45%的同学参加了劳动教育，有14个同学两次都参加了。六年级共有多少名同学？ 【答案】120名 【分析】把总人数看作单位“1”，那么两次都参加的占总人数的（45%﹣1），它对应的具体数量是14人，然后用除法解答即可。 【解答】解：14÷（45%﹣1） ＝14 ＝120（名） 答：六年级共有120名同学。 【点评】解答本题关键是求出两次都参加的占总人数的的几分之几。 27．【文明中的教学】三（2）班学生为我市争创“文明城市”参加义务劳动。已知全班共58人，帮助清洁工进行垃圾分类的有36人，帮助交警进行交通疏导的有29人，每人至少参加一种劳动。两种劳动都参加的有多少人？ 【答案】7人。 【分析】先用36加29求出帮助清洁工进行垃圾分类的和帮助交警进行交通疏导的人数和，再减去总人数58就是重复计算的人数，也就是两种劳动都参加的人数。 【解答】解：36+29﹣58 ＝65﹣58 ＝7（人） 答：两种劳动都参加的有7人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 28．三年级（1）班有52人，喜欢喝牛奶的有27人，喜欢喝豆浆的有36人。既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】先用27加上36求出喜欢喝牛奶与喜欢喝豆浆的人数和，再减去三年级（1）班的总人数52就是重复计算的人数，也就是既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的人数。 【解答】解：27+36﹣52 ＝63﹣52 ＝11（人） 答：既喜欢喝牛奶又喜欢喝豆浆的有11人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 29．五年四班有48个同学，每个同学至少订阅一种课外读物，其中的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，两种读物都订阅的有多少人？ 【答案】28人。 【分析】有的同学订了《作文》，的同学订了《数学小灵通》，则两种读物都订的人占全部人数的（1），所以两种读物都订的有48×（1），据此解答即可． 【解答】解：48×（1） ＝48 ＝28（人） 答：两种读物都订的同学有28人。 【点评】根据订两种读物的人数分别占全部人数的分率，求出两种读物都订的人数占全部人数的分率是完成本题的关键。 30．四（1）班参加文艺小组的有16人，参加科技小组的有25人，两项都参加的有8人，这个班参加课外小组的学生一共有多少人？ 【答案】33人。 【分析】根据题意可知，参加文艺小组的人数+参加科技小组的人数﹣两项都参加的人数＝参加课外小组的总人数，依此列式并计算即可。 【解答】解：16+25﹣8 ＝41﹣8 ＝33（人） 答：这个班参加课外小组的学生一共有33人。 【点评】当两部分有重复时，从和中减去重复的部分，就是原来的总数。 31．四（1）班有35名同学，会剪纸的有15名，会篆刻的有18名，两种都不会的有5名。两种都会的有多少名同学？ 【答案】3名。 【分析】根据容斥原理公式“既A又B＝A+B﹣（总人数﹣既不是A又不是B）”解答即可。 【解答】解：18+15﹣（35﹣5） ＝33﹣30 ＝3（名） 答：两种都会的有3名同学。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 32．三（1）班同学每人都至少订一种杂志，有32人订了《数学王国》，有26人订了《作文天地》，其中有12人两种杂志都订了，三（1）班一共有多少人？ 【答案】46人。 【分析】订了《数学王国》的人数+订了《作文天地》的人数﹣两种杂志都订的人数＝总人数。 【解答】解：（32+26）﹣12 ＝58﹣12 ＝46（人） 答：三（1）班一共有46人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 33．三一班全班学生参加兴趣小组，参加数学兴趣小组的有25人，参加语文兴趣小组的有30人，两个小组都参加的有18人．全班有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】已知参加数学和语文兴趣小组的一共有30+25＝55人，把既参加语文兴趣小组又参加数学兴趣小组的18人重复加了一次，减去重复的18人得出答案即可． 【解答】解：30+25﹣18 ＝55﹣18 ＝37（人） 答：全班有37人． 【点评】本题依据了容斥原理公式之一：A类B类元素个数总和＝属于A类元素个数+属于B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数． 34．三年级（2）班喜欢踢足球的有20人，喜欢打乒乓球的有15人，这两项运动都喜欢的有6人，三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有多少人？ 【答案】29人。 【分析】先用20加上15求出两者的和，再减去重复计算的6人即可。 【解答】解：20+15﹣6 ＝35﹣6 ＝29（人） 答：三年级（2）班喜欢这两项运动的一共有29人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，容斥原理的计算公式：A类与B类元素个数的总和＝A类元素的个数+B类元素个数﹣既是A类又是B类的元素个数。 35．三年级一班的同学喜欢打球的有35人，喜欢跳绳的有27人，两种运动都喜欢的有12人，都不喜欢的有4人。三年级一班一共有多少个同学？（用图可以表示题中的信息，先把图补充完整，再列式解答。） 【答案】；54个。 【分析】两种运动都喜欢的有12人，先用35减去12求出只喜欢打球的人数；同理，用27减去12求出只喜欢跳绳的人数；都不喜欢的有4人，然后把四部分的人数填入图中，再求出四部分的人数和即可。 【解答】解：35﹣12＝23（人） 27﹣12＝15（人） 23+12+15+4＝54（个） 答：三年级一班一共有54个同学。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 36．红星小学四（1）班共有学生42人，会打乒乓球的有26人，会打羽毛球的有18人，两种球都不会打的有12人。两种球都会打的有多少人？ 【答案】14人。 【分析】根据容斥原理公式：既A又B＝A+B﹣（总人数﹣非A非B）解答即可。 【解答】解：26+18﹣（42﹣12） ＝44﹣30 ＝14（人） 答：两种球都会打的有14人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 37．同学们到植物园游玩，参观玫瑰园的有34人，参观菊花园的有27人，两个园都参观的有19人． （1）请根据题意填写图． （2）去植物园的一共有 　 　人． （3）你能提出其他数学问题并解答吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）两个园都参观的有19人，那么只参观玫瑰园的有：34﹣19＝15（人），只参观菊花园的有：27﹣19＝8（人），据此填图即可． （2）把图中三部分的人数相加即可． （3）提问：只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多多少人？然后把这两部分的人数作差即可． 【解答】解：（1）34﹣19＝15（人） 27﹣19＝8（人） （2）15+19+8 ＝34+8 ＝42（人） 答：去植物园的一共有42人． （3）只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多多少人？ 15﹣8＝7（人） 答：只参观玫瑰园的比只参观菊花园的多7人． 故答案为：42． 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题． 38．四（3）班有45人，会下象棋的有28人，会下围棋的有29人，两种棋都不会的有6人，两种棋都会的有多少人？ 我会借助图来分析： 我的解答：　 　 【答案】两种棋都会的有18人。 【分析】根据容斥原理，会下象棋的人数+会下围棋的人数﹣两种棋都会的人数+两种棋都不会的人数＝总人数。计算并填韦恩图即可。 【解答】解：45﹣6＝39（人） 28+29﹣39＝18（人） 答：两种棋都会的有18人。 故答案为：两种棋都会的有18人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 39．三（3）班有46人，每人都订阅了至少一种杂志，其中25人订阅了《少年哥白尼》，32人订阅了《儿童文学》。既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有多少人？ 【答案】11人。 【分析】由题意，用25+32求出至少订阅了一种杂志的总人数，再减去总人数就是既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的人数；据此解答。 【解答】解：25+32﹣46 ＝57﹣46 ＝11（人） 答：既订阅了《少年哥白尼》又订阅了《儿童文学》的有11人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量。 40．五年级课后兴趣班有36人，其中喜欢踢足球的有19人，喜欢打篮球的有21人，既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的有4人，那么既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有几人？ 【答案】8人。 【分析】既喜欢踢足球又喜欢打篮球的人数＝喜欢踢足球的人数+喜欢打篮球的人数﹣总人数+既不喜欢踢足球又不喜欢打篮球的人数。据此计算即可。 【解答】解：19+21﹣36+4 ＝40﹣36+4 ＝8（人） 答：既喜欢踢足球又喜欢打篮球的有8人。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 41．三（1）班一共有42人，会打篮球的有17人，会踢足球的有21人，两种运动都不会的有10人。两种运动都会的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先求出会打篮球的人数与会踢足球的人数和，再加上两样都不会的人数，这样就比全班的总人数多算了一次两种运动都会的人数，所以再减去总人数42，就是两种运动都会的人数。 【解答】解：21+17+10﹣42 ＝48﹣42 ＝6（人） 答：两种运动都会的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 42．六一儿童节文艺会演中，四年级（1）班有36人参加演出，其中跳舞表演的有14人，合唱表演的有28人。两项演出都参加的有多少人？ 【答案】6人。 【分析】先用14加28求出跳舞表演的和合唱表演的人数和，再减去四（1）班的总人数36就是重复计算的人数，也就是这两项演出都参加的人数。 【解答】解：14+28﹣36 ＝42﹣36 ＝6（人） 答：两项演出都参加的有6人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可以借助图形解决问题。 43．随着国家人口政策的调整，不少同学有了兄弟姐妹。某实验学校一（3）班有32名同学，其中14人有兄弟，13人有姐妹，8人是独生子女。该班中有兄弟又有姐妹的有几人？ 【答案】3人。 【分析】有兄弟人数加有姐妹人数，再加独生子女人数，然后减去一（3）班人数，即等于既有兄弟又有姐妹的人数。 【解答】解：14+13+8﹣32 ＝35﹣32 ＝3（人） 答：该班中有兄弟又有姐妹的有3人。 【点评】熟练掌握集合问题解题方法是解答本题的关键。 44．逸夫小学组织学生参加周末公益活动。有66人参加周六的活动，90人参加周日的活动，其中有35人这两天的活动都参加。至少参加一天活动的有多少人？ 【答案】121人。 【分析】根据容斥原理公式：总人数＝（A+B）﹣既A又B解答即可。 【解答】解：66+90﹣35 ＝156﹣35 ＝121（人） 答：至少参加一天活动的有121人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 45．同学们到动物园游玩，参观金丝猴馆的有50人，参观大象馆的有38人，两个馆都参观的有20人。去动物园的一共有多少人？ 【答案】68人。 【分析】先用50加38求出参观金丝猴馆和参观大象馆的共有的人数，然后去掉重复计算的人数即两个馆都参观的人数，就是去动物园的一共的人数；据此解答即可。 【解答】解：50+38﹣20 ＝88﹣20 ＝68（人） 答：去动物园的一共有68人。 【点评】本题是典型的容斥问题，解答规律是：既A又B＝A+B﹣总数量（两种情况）。 46．一个班有38人，班主任在班会上问：“谁参加美术兴趣小组？请举手！”有30人举手。又问：“谁参加体育兴趣小组？请举手！”有35人举手。最后问：“谁美术、体育小组都没有参加？”没有人举手。求这个班美术、体育小组都参加的人数。 【答案】27人。 【分析】通过题意可知，全班同学都至少参加了美术和体育兴趣小组中的一个，根据“A类人数+B类人数﹣全班人数＝既A又B类人数”即可求解。 【解答】解：30+35﹣38＝27（人） 答：这个班美术、体育小组都参加的人数是27人。 【点评】本题考查了容斥原理的应用。 47．周老师出了两道题给这个班45个学生思考，所有学生要么答对一题，要么答对两题。答对第一题的有25人，答对第二题的有30人，两道题都答对的有多少人？ 【答案】10人。 【分析】答对第一题的25人加上答对第二题的30人，这里两道题都答对的重复计算了一次，所以再减去班级的45人，即可求出两道题都答对的人数。 【解答】解：25+30﹣45 ＝55﹣45 ＝10（人） 答：两道题都答对的有10人。 【点评】掌握容斥原理是解题的关键。 48．丽丽会唱26首歌，平平会唱18首歌。她们都会唱的歌有15首，她们一共会唱多少首不同的歌？ 【答案】29首。 【分析】丽丽会唱的数量+平平会唱的数量﹣她们都会唱的数量＝她们一共会唱的总数量。 【解答】解：26+18﹣15 ＝44﹣15 ＝29（首） 答：她们一共会唱29首不同的歌。 【点评】此题主要考查了容斥原理的应用，要熟练掌握。 49．我们班参入调查了饭后吃水果情况：30人喜欢吃苹果，27人喜欢吃梨，10人两种都喜欢，问我们班有多少人？ 【答案】47人。 【分析】先用30加上27求出两者的人数和，然后减去重叠的人数10即可。 【解答】解：30+27﹣10 ＝57﹣10 ＝47（人） 答：我们班有47人。 【点评】此题考查利用容斥原理解决实际问题的灵活应用，可借助图形解决问题。 50．四（1）班有40名学生，喜欢诵读古诗词的有28名，喜欢读数学故事的有25名，且每人至少喜欢其中的一种．既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】先求出喜欢诵读古诗词和喜欢读数学故事的人数和，再用人数和减去全班的人数就是两样都喜欢的人数． 【解答】解：28+25﹣40 ＝53﹣40 ＝13（人） 答：既喜欢诵读古诗词又喜欢读数学故事的有13人． 【点评】本题题考查了容斥原理；知识点是：既A又B的人数＝（A+B）﹣总人数． 51．便利店的水果架上有苹果、香蕉和梨三种水果，苹果和香蕉共39千克，其中有33千克不是苹果，有42千克不是香蕉。水果架上有多少千克香蕉？ 【答案】15千克。 【分析】由题意得香蕉的重量+梨的重量＝33千克，苹果的重量+梨的重量＝42千克，用（42﹣33）求出苹果比香蕉重9千克。已知苹果的重量+香蕉的重量＝39千克，据此计算出香蕉的重量即可。 【解答】解：42﹣33＝9（千克） （39﹣9）÷2 ＝30÷2 ＝15（千克） 答：水果架上有15千克香蕉。 【点评】此题的关键是明确三种水果的重量关系，然后再进一步解答。 学科网（北京）股份有限公司 $$