第9讲 二次函数数与幂函数讲义-2025届高三数学一轮复习

第9讲 二次函数数与幂函数 一．基础知识整合 1．二次函数的定义与解析式： (1)二次函数的定义：形如： 的函数叫做二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式：①一般式： ． ②顶点式： ．③零点式： ． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 值域 单调性 在 上单调递减；在 上单调递增 在 上单调递增；在 上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝ 对称 3．二次函数在闭区间上的最值：设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]：（1）当－≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）；（2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f（n）；（3）当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f（m）； （4）当－＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 4．幂函数的概念：形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 5．幂函数的性质：(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x  y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x－1 (2)所有幂函数在 上都有定义，并且图象都过点 ，且在第 象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点 ， ，并且在区间(0，＋∞)上是 ，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是 函数，图象 原点． 二，典例精析 题型一：求二次函数的解析式 例1：已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 【变式训练1】已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式. 条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}； 条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 题型二：二次函数的图象与性质 例2：(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为 ． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，则a= ． 【变式训练2】(1)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 (2)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)= 题型三：幂函数的图像与性质 例3：(1)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________． (2)比较下列各题中值的大小． ① ；② ；③ ；④ . 【变式训练3】（1）.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 （2）已知函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足<的a的范围为 ． 三．【方法规律总结】 1．关于二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．(3)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． 2．在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的字母系数过多，会加大运算量，易出错． 3．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； 4．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 5．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 6．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 四．【课后练习作业】 一，单项选择题 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．.y＝x5　　　B．.y＝3｜x｜ C．y＝　D．y＝log3x 2．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　) A.　　　B．± C．±9 D．9 3．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤5 B．a≥－3 C．a≤－3 D．a≥3 3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　) A． f(1)<f(2)<f(4) B．f(2)<f(1)<f(4) C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1) 5．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1　 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜n＜0＜m＜1 D.－1＜m＜0＜n＜　 6．若幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数y＝f（x）＋1－x的最大值为（　　） A．1 B．2　C．. D． 　 7．已知函数f(x)＝则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 8．已知函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f（a）＋f（b）的值（　　） A．恒大于0　B．恒小于0 C．等于0　D．无法判断 2、 多选题 9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A．b2＞4ac　　　B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 10．幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　　） A．m＝3 B．函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C．函数f（x）是偶函数 D．.函数f（x）的图象关于原点对称 11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最大值为 B．.f（x）在（－1，0）上单调递增 C．.f（x）＞0的解集为（－1，1） D．.f（x）＋2x≥0的解集为[0，3] 三，填空题 12．若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为1或2 13．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________． 14．有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质 ：（1）偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　 . 四，解答题 15．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 16．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且满足　　.（填所选条件的序号） （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）－mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值. 注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分. 17．已知函数f（x）＝（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，）. （1）确定m的值； （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 18．已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式； (2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由． 19．定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）＋＋x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9讲 二次函数数与幂函数 一．基础知识整合 1．二次函数的定义与解析式： (1)二次函数的定义：形如：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．③零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． 2．二次函数的图象和性质 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于x＝－对称 3．二次函数在闭区间上的最值：设二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），闭区间为[m，n]：（1）当－≤m时，最小值为f（m），最大值为f（n）；（2）当m＜－≤时，最小值为f，最大值为f（n）；（3）当＜－≤n时，最小值为f，最大值为f（m）； （4）当－＞n时，最小值为f（n），最大值为f（m）. 4．幂函数的概念：形如y＝xα的函数叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 5．幂函数的性质：(1)五种常见幂函数的性质，列表如下： 定义域 值域 奇偶性 单调性 过定点 y＝x R R 奇 ↗ (1,1) y＝x2 R [0，＋∞) 偶 [0，＋∞)↗ (－∞，0]↙ y＝x3 R R 奇 ↗ y＝ [0，＋∞) [0，＋∞) 非奇 非偶 [0，＋∞)↗ y＝x－1 (－∞，0) ∪(0，＋∞) (－∞，0) ∪(0，＋∞) 奇 (－∞，0)↙ (0，＋∞)↙ (2)所有幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)，且在第四象限无图象． (3)α>0时，幂函数的图象通过点(0,0)，(1,1)，并且在区间(0，＋∞)上是增函数，α<0时，幂函数在(0，＋∞)上是减函数，图象不过原点． 二，典例精析 题型一：求二次函数的解析式 例1：已知二次函数f（x）满足f（2）＝－1，f（－1）＝－1，且f（x）的最大值是8，求二次函数f（x）的解析式. 【解】（法一）（利用二次函数的一般式）　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）. 由题意得解得故所求二次函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7.法二（利用二次函数的顶点式）　设f（x）＝a（x－m）2＋n（a≠0）. ∵f（2）＝f（－1），∴抛物线对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意函数有最大值8，∴n＝8，∴f（x）＝a＋8.∵f（2）＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4， ∴f（x）＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.法三（利用二次函数的零点式）　由已知f（x）＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f（x）＋1＝a（x－2）（x＋1）（a≠0）， 即f（x）＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8.解得a＝－4或a＝0（舍去），故所求函数解析式为f（x）＝－4x2＋4x＋7. 【变式训练1】已知函数f（x）＝x2＋bx＋c，且g（x）＝f（x）＋2x为偶函数，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，求f（x）的解析式. 条件①：函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5； 条件②：函数f（x）≤0的解集为{1}； 条件③：方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解】函数f（x）＝x2＋bx＋c，则g（x）＝f（x）＋2x＝x2＋（b＋2）x＋c， 因为g（x）为偶函数，所以g（－x）＝g（x）， 即x2－（b＋2）x＋c＝x2＋（b＋2）x＋c，可得b＝－2， 所以f（x）＝x2－2x＋c，图象开口向上，对称轴为直线x＝1. 若选条件①，因为函数f（x）在区间[－2，2]上的最大值为5，所以f（－2）＝4＋4＋c＝5，解得c＝－3. 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3. 若选条件②，由函数f（x）≤0的解集为{1}， 可得f（1）＝0，即1－2＋c＝0，解得c＝1， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x＋1. 若选条件③，方程f（x）＝0有两根x1，x2，且＋＝10. 由根与系数的关系可得x1＋x2＝2，x1x2＝c， 又（x1＋x2）2＝＋＋2x1x2， 所以4＝10＋2c，解得c＝－3. 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－2x－3. 题型二：二次函数的图象与性质 例2：(1)已知a是实数，函数f(x)＝2ax2＋2x－3在x∈[－1,1]上恒小于零，则实数a的取值范围为 ． (2)已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0，1]时有最大值2，则a= ． 【解析】(1)2ax2＋2x－3＜0在[－1,1]上恒成立．当x＝0时，适合；当x≠0时，a＜2－，因为∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，当x＝1时，右边取最小值，所以a＜.综上，实数a的取值范围是.(2)f(x)＝－(x－a)2＋a2－a＋1，当a≥1时，ymax＝a；当0＜a＜1时，ymax＝a2－a＋1；当a≤0时，ymax＝1－a.根据已知条件得，或或，解得a＝2或a＝－1. 【变式训练2】(1)已知函数f(x)＝x2＋2ax＋3，x∈[－4,6]，若y＝f(x)在区间[－4,6]上是单调函数，则实数a的取值范围为 (2)设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，若函数的最小值为g(a)，则g(a)= 【解析】(1)由于函数f(x)的图象开口向上，对称轴是x＝－a，所以要使f(x)在[－4,6]上是单调函数，应有－a≤－4或－a≥6，即a≤－6或a≥4. (2)∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，∵x＝1不一定在区间[－2，a]内，∴应进行讨论．当－2<a≤1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；当a>1时，函数在[－2，1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.综上，g(a)＝ 题型三：幂函数的图像与性质 例3：(1)已知幂函数f(x)＝x，若f(a＋1)＜f(10－2a)，则a的取值范围是________． (2)比较下列各题中值的大小． ① ；② ；③ ；④ . 【解析】(1)∵f(x)＝x＝(x＞0)，易知x∈(0，＋∞)时为减函数，又f(a＋1)＜f(10－2a)， ∴解得∴3＜a＜5.(2)①函数y＝3x是增函数，∴30.8>30.7.②函数y＝x3是增函数，∴0.213<0.233③∵，∴④＝1；0<＝1；<0，∴ 【变式训练3】（1）.已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)·xn－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为 （2）已知函数f(x)＝(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则满足<的a的范围为 ． 【解析】（1）由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3.当n＝1时，f(x)＝x－2＝在(0，＋∞)上是减函数；当n＝－3时，f(x)＝x18在(0，＋∞)上是增函数．故n＝1（2）∵函数f(x)在(0，＋∞)上递减，∴m2－2m－3<0，解得－1<m<3.∵m∈N*，∴m＝1,2.又函数的图象关于y轴对称，∴m2－2m－3是偶数，而22－2×2－3＝－3为奇数，12－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.而y＝在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，∴<等价于a＋1>3－2a>0，或0>a＋1>3－2a，或a＋1<0<3－2a，解得a<－1或<a<.故a的范围为{a|a<－1或<a<}． 三．【方法规律总结】 1．关于二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．(3)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(x＋2a)＝f(x)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)． 2．在求二次函数解析式时，要灵活地选择二次函数解析式的表达形式：(1)已知三个点的坐标，应选择一般式；(2)已知顶点坐标或对称轴或最值，应选择顶点式；(3)已知函数图象与x轴的交点坐标，应选择零点式． 注意：求二次函数的解析式时，如果选用的形式不当、引入的字母系数过多，会加大运算量，易出错． 3．二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考察对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论； 4．二次函数的单调性问题则主要依据二次函数图象的对称轴进行分类讨论求解． 5．幂函数y＝xα(α∈R)，其中α为常数，其本质特征是以幂的底x为自变量，指数α为常数，这是判断一个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准． 6．在(0,1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴．幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点． 四．【课后练习作业】 一，单项选择题 1．下列函数中既是奇函数又是增函数的是（　　） A．.y＝x5　　　B．.y＝3｜x｜ C．y＝　D．y＝log3x 【答案】A【解析】对于A选项，y＝x5为R上的奇函数，且为R上的增函数，A选项符合题意；对于B选项，y＝3｜x｜为偶函数，B选项不符合题意；对于C选项，y＝的定义域为[0，＋∞），为非奇非偶函数，C选项不符合题意；对于D选项，y＝log3x的定义域为（0，＋∞），为非奇非偶函数，D选项不符合题意.故选A. 2．已知幂函数f(x)＝xα的图象过点(4，2)，若f(m)＝3，则实数m的值为(　　) A.　　　B．± C．±9 D．9 【答案】D【解析】由函数f(x)＝xα过点(4，2)，可得4α＝22α＝2，所以α＝，所以f(x)＝x＝，故f(m)＝＝3⇒m＝9. 3．若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　) A．a≤5 B．a≥－3 C．a≤－3 D．a≥3 【答案】C【解析】由二次函数的性质，可知4≤－(a－1)，解得a≤－3 3．如果函数f(x)＝x2＋bx＋c对任意实数t都有f(2＋t)＝f(2－t)，那么(　　) A． f(1)<f(2)<f(4) B．f(2)<f(1)<f(4) C．f(2)<f(4)<f(1) D．f(4)<f(2)<f(1) [【答案】B【解析】.∵f(2＋t)＝f(2－t)，∴f(x)关于x＝2对称，又开口向上．∴f(x)在[2，＋∞)上单调递增，且f(1)＝f(3)．∴f(2)<f(3)<f(4)，即f(2)<f(1)<f(4)，故选B. 5．若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为（　　） A.－1＜m＜0＜n＜1　 B.－1＜n＜0＜m＜ C.－1＜n＜0＜m＜1 D.－1＜m＜0＜n＜　 【答案】C【解析】幂函数y＝xα，当α＞0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递增，且0＜α＜1时，图象上凸，∴0＜m＜1.当α＜0时，y＝xα在（0，＋∞）上单调递减.不妨令x＝2，由图象得2－1＜2n，则－1＜n＜0.综上可知，－1＜n＜0＜m＜1. 6．若幂函数f（x）的图象过点（2， ），则函数y＝f（x）＋1－x的最大值为（　　） A．1 B．2　C．. D． 　 【答案】D【解析】设f（x）＝xα，∵f（x）的图象过点（2，），∴f（2）＝2α＝，则α＝，∴f（x）＝，∴y＝＋1－x＝－（－）2＋，∴所求最大值为.故选D 7．已知函数f(x)＝则“－2≤a≤0”是“f(x)在R上单调递增”的(　　) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】当a＝－1时，f(x)＝作出图象可知，函数f(x)在R上不是单调递增函数，所以充分性不满足；反之，若函数f(x)在R上是单调递增函数，则当a＝0时满足，当a≠0时，－≤1，a＜0且－≥1，解得－≤a＜0，即－≤a≤0.所以能够推出－2≤a≤0，故“－2≤a≤0”是“函数f(x)在R上单调递增”的必要不充分条件． 8．已知函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，若a，b∈R，且a＋b＞0，则f（a）＋f（b）的值（　　） A．恒大于0　B．恒小于0 C．等于0　D．无法判断 【答案】A【解析】∵函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，∴m2－m－5＝1，解得m＝－2或m＝3.∵对任意x1，x2∈（0，＋∞），且x1≠x2，满足＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴m2－6＞0，∴m＝3，∴f（x）＝x3.若a，b∈R，且a＋b＞0，则a＞－b，∴f（a）＞f（－b）＝－f（b），∴f（a）＋f（b）＞0.故选A. 2、 多选题 9．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）图象的一部分，图象过点A（－3，0），对称轴为x＝－1.给出下面四个结论中正确的为（　　） A．b2＞4ac　　　B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 【答案】AD【解析】因为图象与x 轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确. 10．幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）在（0，＋∞）上单调递增，则以下说法正确的是（　　） A．m＝3 B．函数f（x）在（－∞，0）上单调递增 C．函数f（x）是偶函数 D．.函数f（x）的图象关于原点对称 【答案】ABD【解析】因为幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）·在（0，＋∞）上单调递增，所以解得m＝3，所以f（x）＝x3，所以f（－x）＝（－x）3＝－x3＝－f（x），故f（x）＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增. 11．已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x≥0时，f（x）＝x－x2，则下列说法正确的是（　　） A．f（x）的最大值为 B．.f（x）在（－1，0）上单调递增 C．.f（x）＞0的解集为（－1，1） D．.f（x）＋2x≥0的解集为[0，3] 【答案】AD【解析】由题意，当x≥0时，f（x）＝x－x2＝－（x－）2＋；当x＜0时，f（x）＝－x2－x＝－（x＋）2＋，f（x）的最大值为，A正确；f（x）在（－，0）上单调递减，B错误；f（x）＞0的解集为（－1，0）∪（0，1），C错误；当x≥0时，f（x）＋2x＝3x－x2≥0的解集为[0，3]，当x＜0时，f（x）＋2x＝x－x2≥0无解，故D正确. 三，填空题 12．若幂函数y＝的图象不经过原点，则实数m的值为1或2 【解析】由解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合． 13．对于任意实数x，函数f(x)＝(5－a)x2－6x＋a＋5恒为正值，则a的取值范围是________． 【解析】由题意可得解得－4＜a＜4. 14．有四个幂函数：①f（x）＝x－1；②f（x）＝x－2；③f（x）＝x3；④f（x）＝.某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的三个性质 ：（1）偶函数；（2）值域是{y｜y∈R，且y≠0}；（3）在（－∞，0）上单调递增.如果他给出的三个性质中，有两个正确，一个错误，则他研究的函数是　f（x）＝x－2　. 【解析】f（x）＝x－1只满足性质（2），f（x）＝x3只满足性质（3），f（x）＝只满足性质（3）.f（x）＝x－2是偶函数，在（－∞，0）上单调递增，但是其值域是{y｜y＞0}. 四，解答题 15．已知函数f（x）＝x2＋（2a－1）x－3. （1）当a＝2，x∈[－2，3]时，求函数f（x）的值域； （2）若函数f（x）在[－1，3]上的最大值为1，求实数a的值. 【解】（1）当a＝2时，f（x）＝x2＋3x－3，x∈[－2，3]，函数图象的对称轴为直线x＝－∈[－2，3]，∴f（x）min＝f（－）＝－－3＝－，f（x）max＝f（3）＝15，∴f（x）的值域为［－，15］.（2）函数图象的对称轴为直线x＝－.①当－≤1，即a≥－时，f（x）max＝f（3）＝6a＋3，∴6a＋3＝1，即a＝－，满足题意；②当－＞1，即a＜－时，f（x）max＝f（－1）＝－2a－1，∴－2a－1＝1，即a＝－1，满足题意. 综上可知，a＝－或a＝－1. 16．现有三个条件：①对任意的x∈R都有f（x＋1）－f（x）＝2x－2；②不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}；③函数y＝f（x）的图象过点（3，2）.请你在上述三个条件中任选两个补充到下面的问题中，并求解. 已知二次函数f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），且满足　　.（填所选条件的序号） （1）求函数f（x）的解析式； （2）设g（x）＝f（x）－mx，若函数g（x）在区间[1，2]上的最小值为3，求实数m的值. 注：如果选择多组条件分别解答，则按第一个解答计分. 【解】（1）条件①：因为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），所以f（x＋1）－f（x）＝a（x＋1）2＋b（x＋1）＋c－（ax2＋bx＋c）＝2ax＋a＋b＝2x－2，即2（a－1）x＋a＋b＋2＝0对任意的x∈R恒成立，所以解得条件②：因为不等式f（x）＜0的解集为{x｜1＜x＜2}，所以解得且a＞0.条件③：函数y＝f（x）的图象过点（3，2），所以9a＋3b＋c＝2，若选择条件①②：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2；若选择条件①③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2； 若选择条件②③：则a＝1，b＝－3，c＝2，此时f（x）＝x2－3x＋2. （2）由（1）知g（x）＝x2－（m＋3）x＋2，其对称轴为直线x＝， 当≤1，即m≤－1时，g（x）min＝g（1）＝3－（m＋3）＝－m＝3，解得m＝－3， 当≥2，即m≥1时，g（x）min＝g（2）＝6－（2m＋6）＝－2m＝3，解得m＝－（舍去），当1＜＜2，即－1＜m＜1时，g（x）min＝g（）＝－＋2＝3，无解. 综上所述，所求实数m的值为－3. 17．已知函数f（x）＝（m∈N*），且该函数的图象经过点（2，）. （1）确定m的值； （2）求满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围. 【解】（1）因为该函数的图象过点（2，），所以＝＝，所以m2＋m＝2，所以m＝1或m＝－2，又m∈N*，故m＝1.（2）由（1）知f（x）＝，故f（x）为[0，＋∞）上的增函数，又由f（2－a）＞f（a－1）， 得解得1≤a＜.所以满足条件f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围为[1,.) 18．已知函数f(x)＝(k∈Z)满足f(2)<f(3)．(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式； (2)对于(1)中得到的函数f(x)，试判断是否存在q>0，使函数g(x)＝1－qf(x)＋(2q－1)x在区间[－1,2]上的值域为[－4，]？若存在，求出q；若不存在，请说明理由． 【解】(1)∵f(2)<f(3)，∴f(x)在第一象限是增函数．故－k2＋k＋2>0，解得－1<k<2.又∵k∈Z，∴k＝0或k＝1.当k＝0或k＝1时，－k2＋k＋2＝2，∴f(x)＝x2.(2)假设存在q>0满足题设，由(1)知g(x)＝－qx2＋(2q－1)x＋1，x∈[－1,2]．∵g(2)＝－1，∴两个最值点只能在端点(－1，g(－1))和顶点(，)处取得．而－g(－1)＝－(2－3q)＝≥0， ∴g(x)max＝＝，g(x)min＝g(－1)＝2－3q＝－4.解得q＝2.∴存在q＝2满足题意． 19．定义：满足f（x）＝x的实数x称为函数f（x）的不动点，已知二次函数f（x）＝ax2＋bx，且f（x＋1）为偶函数，若函数f（x）有且仅有一个不动点. （1）求f（x）的解析式； （2）若函数g（x）＝f（x）＋＋x2，求函数g（x）在x∈[1，2]上的最小值. 【解】（1）∵f（x＋1）为偶函数，∴函数f（x）的图象关于x＝1对称，∴－＝1.∵函数f（x）有且仅有一个不动点，则ax2＋bx＝x只有一个根，∴Δ＝（b－1）2＝0，解得b＝1，又－＝1，∴a＝－，∴f（x）的解析式为f（x）＝－x2＋x.（2）g（x）＝－x2＋x＋＋x2＝x＋，x∈[1，2]，g'（x）＝1－＝，当k≤1时，g'（x）≥0，g（x）在[1，2]上单调递增，g（x）min＝g（1）＝1＋k；当1＜k＜4时，g（x）在[1，）上单调递减，在（，2]上单调递增，g（x）min＝g（）＝2；当k≥4时，g'（x）≤0，g（x）在[1，2]上单调递减，g（x）min＝g（2）＝2＋.综上所述，当k≤1时，最小值为1＋k；当1＜k＜4时，最小值为2；当k≥4时，最小值为2＋. 学科网（北京）股份有限公司 $$