精品解析：青海省海南州贵德高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

海南州贵德高级中学2023~2024第二学期高一期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章、第七章7.1~7.2、第八章8.1~8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】化简复数可得，即可根据复数的几何意义得出答案. 【详解】根据复数的除法运算求解， 所以，复平面内表示该复数的点为， 所以，复平面内表示复数的点位于第三象限. 故选：C. 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的轴截面是矩形 B. 圆锥的轴截面是等腰三角形 C. 所有空间几何体都是多面体 D. 有些三棱锥的四个面都是直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，由圆柱的性质判断，对于B，由圆锥的性质判断，对于D，举例判断，对于D，举例判断. 【详解】对于A，圆柱的轴截面是矩形，所以A正确， 对于B，圆锥的轴截面是等腰三角形，所以B正确， 对于C，因为旋转体不是多面体，所以C项不正确， 对于D，如图，三棱锥中，当平面时，， 当平面时，， 所以均为直角三角形，所以D正确. 故选：C 3. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦定理即可求. 【详解】由余弦定理得， 化简得，解出或2. 故选：C. 4. 菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（ ） A. 由两个圆台组成 B. 由一个圆锥和一个圆台组成 C. 由两个圆锥组成 D. 由两个棱台组成 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥的概念和组合体的概念判断即可. 【详解】将菱形绕对角线所在的直线旋转一周，可知得到的组合体是两个同底的圆锥. 故选：C 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设夹角为，根据向量数量积的运算律即可求解． 【详解】因为，所以，即， 设夹角为，则，， 又因为，所以， 故选：D． 6. 若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得圆锥的底面半径，根据圆锥的表面积公式求解即可 【详解】由题可知，该圆锥的底面半径为，因此，该圆锥表面积为 故选：A 7. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，然后通过判断它们间的关系进行判断即可. 【详解】因为， 所以，， 所以，，∥， 所以四边形为直角梯形. 故选：. 8. 在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由题可得三角形三条边之比为，然后利用余弦定理，求出最大边所对角的余弦值，即可判断出结果. 【详解】因为三角形三条边上的高之比为， 所以三角形三条边之比为，即， 不妨设， 则最大角的余弦值为， 因此角为钝角，三角形为钝角三角形. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ） A. 是虚数 B. 的虚部为 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】结合复数及共轭复数的概念，复数模的公式，复数的几何意义，即可求解. 【详解】因为，所以， A选项中，由于虚部不为0，所以是虚数，A正确； B选项中，的虚部为1，B错误； C选项中，当复数的虚部不为零时，不能比大小，C错误； D选项中，，，，D正确． 故选：AD． 10. 如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量的减法可判断A选项；利用平面向量的加法可判断B选项；利用平面向量数量积的定义可判断C选项；利用投影向量的定义可判断D选项. 【详解】设正六边形的中心为点，如下图所示： 对于A选项，由正六边形的性质可知，则四边形为平行四边形， 所以，，所以，，A对； 对于B选项，由正六边形的性质可知，、均为等边三角形， 则，故四边形为菱形，所以，， 由正六边形的几何性质可知， 所以， ，B对； 对于C选项，易知为等边三角形， 故，C对； 对于D选项，因为为等腰三角形，且，，故， 设，则为的中点，故， 所以，，则， 所以，在上的投影向量为，D错. 故选：ABC. 11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A,用余弦定理可解；对于B，用面积公式，结合基本不等式可解；对于C，用两次余弦定理，互补角余弦值互为相反数来构造方程可解；对于D，周长问题，边化角，用三角函数解题． 【详解】对于A,由题意可知，利用余弦定理得，，因为，所以，故A正确； 对于B，由上述可知，的面积，且易知，解出，当且仅当时取等号，此时，故B错误； 对于C，在和中，对和利用余弦定理，，化简后有，由B知，的最大值为12，因此最大为3，故C正确； 对于D，利用正弦定理，，则，于是的周长， 由于是锐角三角形，因此即解出， 则则，则，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（i是虚数单位），则z的虚部为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出共轭复数，再得到复数的虚部． 【详解】，∴，∴虚部为3． 故答案为：3 13. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由斜二测画法的知识求解． 【详解】在直观图中，四边形为等腰梯形，，而， 则，由斜二测画法得原四边形是直角梯形，，如图． 所以四边形的面积为． 故答案为： 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 【答案】3 【解析】 【分析】将向量进行转化得，从而得解. 【详解】记，又，所以，所以， 解得. 故答案为：3 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，复数是虚数单位. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解. 【小问1详解】 因为是纯虚数， 所以 解得； 【小问2详解】 在复平面内对应的点为， 由题意可得 解得，即的取值范围是. 16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的体积可求得半径为，代入侧面积公式可得结果； （2）求出三棱柱底面的面积，再由体积公式可得结果. 【小问1详解】 设底面圆的直径为，则其高也为； 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为； 【小问2详解】 因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为1， 因此边长， 所以三棱柱的体积． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 【答案】（1） （2） 【解析】 【详解】试题分析：（1）由正弦定理得 ；（2）由，再由余弦订立的得. 试题解析： （1）由已知 结合正弦定理得 所以 即，亦即 因为，所以. （2）由，，得，即， 又，得 所以，又，∴ 18. 已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平面向量的坐标运算求模长即可； （2）根据平面向量的坐标运算求夹角的余弦值． 【小问1详解】 ∵，， ∴， ， ∴； 【小问2详解】 设与的夹角为，则， ，， ，， ∴， ∴向量与夹角的余弦值为． 19. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在中用余弦定理求出，再由角度之间的关系，在中用正弦定理可求出； （2）将四边形，分成，，的面积为定值，的面积可用余弦定理与三角形面积公式求出最大值. 【小问1详解】 在中，由余弦定理得， 即. 因为，，所以， 又，所以. 在中，由正弦定理得， 所以， 又，所以，所以； 【小问2详解】 设，所以. 在中，由余弦定理得. 所以的面积 ， 所以，此时， 又的面积， 所以四边形的面积的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 海南州贵德高级中学2023~2024第二学期高一期中考试 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚． 4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交． 5．本卷主要考查内容：必修第二册第六章、第七章7.1~7.2、第八章8.1~8.3． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复平面内表示复数的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱的轴截面是矩形 B. 圆锥的轴截面是等腰三角形 C. 所有空间几何体都是多面体 D. 有些三棱锥的四个面都是直角三角形 3. 在中，角所对的边分别为，若，则（ ） A. B. 2 C. 1或2 D. 2或 4. 菱形绕对角线所在直线旋转一周所得到的几何体为（ ） A. 由两个圆台组成 B. 由一个圆锥和一个圆台组成 C. 由两个圆锥组成 D. 由两个棱台组成 5. 已知平面向量满足，且，则的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 若一个圆锥的轴截面是边长为3的正三角形，则这个圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 平面内顺次连接所组成的图形是（ ） A. 平行四边形 B. 直角梯形 C. 等腰梯形 D. 以上都不对 8. 在中，三角形三条边上的高之比为，则为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 等腰三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则下列各选项正确的是（ ） A. 是虚数 B. 的虚部为 C. D. 10. 如图所示，在正六边形中，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 在中，内角所对的边分别为，其中，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 若为边的中点，则的最大值为3 D. 若为锐角三角形，则其周长的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知（i是虚数单位），则z的虚部为______． 13. 若水平放置的四边形按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，四边形为等腰梯形，，则原四边形的面积为_______． 14. 在平行四边形中，是直线上的一点，且，若，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知，复数是虚数单位. （1）若是纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点位于第四象限，求的取值范围. 16. 如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等． （1）求圆柱的侧面积； （2）求三棱柱的体积． 17. 的内角所对的边分别是，已知. (1)求； (2)若的面积为，，，求，. 18. 已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 19. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $