第03讲 双曲线及其标准方程（2考点5题型）-【帮课堂】2024-2025学年高二数学同步学与练（北师大版2019选择性必修第一册）

第03讲 双曲线及其标准方程 课程标准 学习目标 1 理解双曲线的定义； 2 掌握双曲线标准方程推导过程； 3 通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美，培养学习数学的兴趣． 1. 理解和掌握双曲线的定义、图像和标准方程及其求法； 2. 类比椭圆的定义、标准方程及其推导，使学生掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，掌握a,b,c的关系及几何意义，培养学生动手能力，分类讨论、类比、数形结合的数学思想与方法； 3. 掌握会应用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程． 知识点一、双曲线的定义 1、定义:平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 集合:. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点二、双曲线的标准方程及图像 标准方程 （） （） 图形 间的关系 题型01 双曲线定义的应用 1.已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 3.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 4.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 5.已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 6．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 题型02 求双曲线的标准方程 1.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 2.过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 4.已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 5．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 6.双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 题型03 根据双曲线标准方程求参数范围 1.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 3.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 4.（多选）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 6.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 题型04 双曲线中的焦点三角形 1.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 3.已知直线过双曲线：的左焦点，与双曲线的左右两支分别交于两点，若，其中，则的取值范围为 . 4.已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 6.已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 7．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 题型05 双曲线中最值问题 1.已知点，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点，则点和点距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 2.过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 3.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 4.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ． 5.设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 3.已知双曲线，、是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ．   4.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 5.已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 6.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 7.已知双曲线E：的左焦点为是双曲线E上的一点． (1)求E的方程； (2)已知过坐标原点且斜率为的直线交E于A，B两点，作直线FA交E于另一点C，作直线FB交E于另一点D，若直线CD过点，求直线的斜率. 8．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 9．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 10．在平面直角坐标系中，已知点、，，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，证明直线的斜率与直线的斜率之和为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 双曲线及其标准方程 课程标准 学习目标 1 理解双曲线的定义； 2 掌握双曲线标准方程推导过程； 3 通过画双曲线的几何图形让学生感知几何图形曲线美、简洁美，培养学习数学的兴趣． 1. 理解和掌握双曲线的定义、图像和标准方程及其求法； 2. 类比椭圆的定义、标准方程及其推导，使学生掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，掌握a,b,c的关系及几何意义，培养学生动手能力，分类讨论、类比、数形结合的数学思想与方法； 3. 掌握会应用定义法、待定系数法求双曲线的标准方程． 知识点一、双曲线的定义 1、定义:平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2、集合语言表达式 集合:. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 3、说明 若将定义中差的绝对值中的绝对值符号去掉,则点的轨迹为双曲线的一支,具体是哪一支,取决于与的大小. (1)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支; (2)若,则,点的轨迹是靠近定点的那一支. 知识点二、双曲线的标准方程及图像 标准方程 （） （） 图形 间的关系 题型01 双曲线定义的应用 1.已知点为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点，则（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【详解】由于为双曲线的左支上一点，分别为的左，右焦点， 所以，故， 由于， 所以， 故选：A 2．设是双曲线上一点，分别是双曲线左右两个焦点，若，则等于（    ） A．1 B．17 C．1或17 D．5或13 【答案】B 【详解】双曲线的， 由双曲线的定义可得． 因为，所以，得或17， 若，则在右支上，应有，不成立； 若，则在左支上，应有，成立． 故选：B． 3.已知双曲线：的左，右焦点分别为，，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，则的周长为（    ） A．20 B．22 C．28 D．36 【答案】C 【详解】由题意知，， 所以， 又， 所以， 所以的周长为． 故选：C． 4.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为是双曲线上的一点，且，则 ． 【答案】9 【详解】由题意得：焦距，在双曲线中有， 因为，解得， 由双曲线的定义：， 解得或， 由图可知，可知被舍去， 所以. 故答案为：. 5.已知点P在双曲线C：上，，别是双曲线C的左、右焦点，若的面积为20，则点P到x轴的距离为 且 ． 【答案】 4 【详解】由已知得双曲线的实半轴长为，虚半轴长为， 则右焦点的横坐标为，设点， 则，所以，点P到x轴的距离为4， 由双曲线的对称性，不妨取点P的坐标为，得， 由双曲线的定义，得， 所以． 故答案为： 6．已知，分别是双曲线C：的左、右两个焦点，点M在双曲线的右支上，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意可得，由双曲线的定义得， 而，解得，， 由余弦定理得 ，所以． 故答案为： 题型02 求双曲线的标准方程 1.已知圆：和圆：，动圆同时与圆及圆相外切，则动圆的圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设动圆的半径为r， 则，， 则， 根据双曲线的定义知，动圆的圆心的轨迹为双曲线的左半支． 故选：C． 2.过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由椭圆，得椭圆半焦距，即有，则椭圆的左焦点为， 设以FQ为直径的圆的圆心为C，如图， 由圆O与圆C外切，得，又，， 则， 因此Q的轨迹是以、F为焦点，实轴长的双曲线的右支，即，， 所以双曲线方程：． 故选：C 3．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，过且斜率为的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若，则此双曲线的标准方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为， 由双曲线的定义可知， 可得， 由于过的直线斜率为， 所以在等腰三角形中，，则， 由余弦定理得：， 化简得，可得，即，， 可得，， 所以此双曲线的标准方程可能为：. 故选：C 4.已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 5．过点，且与圆外切的动圆圆心P的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】点，且圆的圆心，半径为2， 由题意，即， 所以点P的轨迹为以A，B为焦点的双曲线的左支，且，， 得，故圆心P的轨迹方程为． 故答案为：. 6.双曲线C：的两个焦点为、，点在双曲线C上，且满足，则双曲线C的标准方程为 ． 【答案】 【详解】解：由题，设，，因为， 所以， 因为， 所以，解得， 因为，解得， 所以，双曲线的标准方程为． 故答案为：． 题型03 根据双曲线标准方程求参数范围 1.已知方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为方程表示焦点在轴上的双曲线， 所以，解得. 故选：A. 2.（多选）对于曲线，下面说法正确的是（    ） A．若，曲线的长轴长为2 B．若曲线是椭圆，则的取值范围是 C．若曲线是焦点在轴上的双曲线，则的取值范围是 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为，则值为3 【答案】CD 【详解】A选项，为椭圆方程，故长轴长为，A错误； B选项，，解得或，B错误； C选项，若曲线是焦点在轴上的双曲线，故，解得，C正确； D选项，若曲线是焦点在轴上的椭圆，离心率为， 故，解得， 又，解得，D正确. 故选：CD 3.（多选）已知方程表示的曲线为，则下列四个结论中正确的是（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当或时，曲线是双曲线 C．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 D．若曲线是焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BC 【详解】对A，当曲线是椭圆时，则，解得或，故A错误； 对B，当曲线是双曲线时，，解得或，故B正确； 对C，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则，解得，故C正确； 对D，若曲线是焦点在轴上的椭圆，则解得，故D错误． 故选：BC． 4.（多选）若方程表示的曲线为E，则下列说法正确的是（    ） A．曲线E可能为抛物线 B．当时，曲线E为圆 C．当或时，曲线E为双曲线 D．当时，曲线E为椭圆 【答案】BC 【详解】曲线E的方程为：，显然且， 对于A，因为不论取符合条件的任何实数，曲线E的方程都不符合抛物线方程的特征，因此曲线E不可能为抛物线，A错误； 对于B，当时，曲线E的方程为：，曲线E为圆，B正确； 对于C，当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在y轴上的双曲线， 当时，曲线E的方程为：，曲线E为焦点在x轴上的双曲线， 因此当或时，曲线E为双曲线，C正确； 对于D，因为当时，曲线E为圆，因此当时，曲线E不一定为椭圆，D错误. 故选：BC 6.若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】将双曲线方程化为焦点在轴上的标准方程为 则，解得：. 故答案为： 题型04 双曲线中的焦点三角形 1.已知，为双曲线的左、右焦点，点P在双曲线C上，，则 ． 【答案】 【详解】，，则，，， . 故答案为：. 2.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线经过且与的右支相交于，两点，若，则的周长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【详解】双曲线的实半轴长， 由双曲线的定义，可得 所以， 则三角形的周长为. 故选：B 3.已知直线过双曲线：的左焦点，与双曲线的左右两支分别交于两点，若，其中，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】如图，，， 又， 则有， 不妨假设， 则有， 可得， 在中，由余弦定理可知， ， ，则， 即.    故答案为： 4.已知双曲线的左、右两个顶点分别是、，左、右两个焦点分别是、，P是双曲线上异于、的任意一点，给出下列命题：①；②直线、的斜率之积等于定值；③使得为等腰三角形的点P有且仅有8个；④的面积为，其中是真命题的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】 解析：在中，两边之差大于第三边，即，①错误； 设，则，即， ∵，，则，， ∴，②正确； 不妨设P在第一象限，根据双曲线的定义可知， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 若，结合图像易知，则满足条件的点存在且唯一， 根据双曲线的对称性可知使得，为等腰三角形的点P有且仅有8个，③正确； 不妨设P在第一象限，则，， ， ∴． 又=，所以④错误． 故选：B． 5.（多选）已知双曲线的左，右焦点分别为为双曲线上点，且的内切圆圆心为，则下列说法正确的是（    ） A． B．直线PF1的斜率为 C．的周长为 D．的外接圆半径为 【答案】ACD 【详解】如图1，由条件，点应在双曲线的右支上， 设圆分别与的三边切于点，则由题， 且，， 又 ，A选项正确； 由选项A得，连接、、，则， 所以，B选项错误； 同理，， ， ， 所以由焦三角面积公式得， 又，故得， 的周长为，选项正确； 由， 由正弦定理得，D选项正确. 故选：ACD. 6.已知在双曲线上，其左、右焦点分别为、，三角形的内切圆切轴于点，则的值为 ． 【答案】 【详解】因为在双曲线上，所以，解得， ∴，则、， 如图，设，内切圆与轴的切点是点，、与内切圆的切点分别为、， ∵由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，，， 故，即，故， ∴，即，则，， ∴， 故答案为：． 7．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 【答案】 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 题型05 双曲线中最值问题 1.已知点，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，过点向的角平分线作垂线，垂足为点，则点和点距离的最大值为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】C 【详解】如图所示，延长，交于点T，则因为平分，，所以，， 因为P在双曲线上，所以，所以， 连接，则， 因为， 所以，当三点共线时取等号， 即点和点Q距离的最大值为3， 故选：C 2.过双曲线的右支上的一点P分别向圆和圆作切线，切点分别为M，N，则的最小值为（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】B 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为， ． 故选：B 3.已知点是双曲线的上焦点，是下支上的一点，点是圆上一点，则的最小值是（    ） A．7 B．6 C．5 D． 【答案】B 【详解】由圆可化为，则，半径为1， 因为是的下焦点，则， 由双曲线定义可得， 所以， 当且仅当四点共线时，取得最小值，即的最小值是. 故选：B. 4.已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，点A在双曲线C的右支上，若，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】依题意，，即. 所以,解得， 所以，， 因为点A在双曲线C的右支上， 所以，即， 所以. 当且仅当点在线段上时等号成立. 故答案为：. 5.设双曲线C：的左焦点和右焦点分别是，，点P是C右支上的一点，则的最小值为 ． 【答案】8 【详解】，， ， 而函数在上单调递增， 所以当且仅当时，. 故答案为：8. 6.已知双曲线的左、右焦点分别为，焦距为4，上一点满足，且的面积为． (1)求的方程； (2)过的渐近线上一点作直线与相交于点，，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）在中， 因为，所以． 所以的面积， 解得． 在中，由余弦定理，得 ， 所以． 因为在双曲线上，所以，得． 所以的方程为． （2） 法1：设，则， 当直线轴时，设直线与交于点， 所以，即， 所以． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为， ，利用对称性不妨设在直线上． 联立，得． 联立并消去，得， 所以． 则， 同理，得． 所以 （当且仅当时，取等号，满足）， 综上，的最小值为1． 法2：设，则， 当垂直轴时，设的方程为：， 则． 因为两式相减，得，所以． 当的斜率存在时，设的方程为：， 由消去并化简， 得． 所以 则，同理． 所以 ． 综上所述，当轴时，的最小值为1． 1.若方程表示双曲线，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】方程表示双曲线,则，解得或， 故选：D 2.过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，所以焦点在y轴上，且． 设双曲线的方程为，所以解得，， 所以双曲线的方程为． 故选：D． 3.已知双曲线，、是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为 ． 【答案】 【详解】双曲线的实半轴长，半焦距，有， 在中，由余弦定理得， 即有， 因此，解得， 所以的面积为. 故答案为：    4.已知动点满足，则动点M的轨迹方程是 ． 【答案】 【详解】设，，由题意知动点M满足， 故动点M的轨迹是射线． 故答案为： 5.已知P为圆C：上任意一点，．若线段的垂直平分线交直线于点Q，则点Q的轨迹方程为 ． 【答案】 【详解】解：由点是线段垂直平分线上的点， ， 又， 满足双曲线定义且，， ， 轨迹方程：． 故答案为：． 6.在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，以为圆心作一个半径为4的圆，点是圆上一动点，线段的重直平分线与直线相交于点． (1)求的轨迹的方程； (2)已知，点是轨迹在第一象限内的一点，为的中点，若直线的斜率为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知，点在线段的垂直平分线上，所以， 又点是圆上一动点，所以． ①当时，； ②当时，， 所以的轨迹满足， 根据双曲线定义可知，点的轨迹是以为左､右焦点，实轴长为的双曲线， 可得，所以的轨迹的方程为． （2）设，所以， 因为直线的斜率为，所以，即， 与联立解得（舍去）或3． 所以点的坐标为． 7.已知双曲线E：的左焦点为是双曲线E上的一点． (1)求E的方程； (2)已知过坐标原点且斜率为的直线交E于A，B两点，作直线FA交E于另一点C，作直线FB交E于另一点D，若直线CD过点，求直线的斜率. 【答案】(1)；(2). 【详解】（1） 易知，， 由， 所以双曲线E的标准方程. （2） 令A为，则B为， 设直线FA为，则，即， 设直线FB为，则，即， 由， 设，得，即， ，， 而， 同理可得，， ∵ 直线CD经过点，则C，D，N三点共线， 即，则有， ∴， 化简得：， 即，故. 8．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12． (1)求双曲线C的标准方程； (2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是定值1 【详解】（1）双曲线可化为 ，即 双曲线C的标准方程为． （2）设直线l的方程为，，， 联立双曲线C与直线l：消去x可得：， ，则恒成立， 又直线与双曲线交于右支两点，故，，即， 进而可得，即AB中点M为， 线段AB的中垂线为， 则，即． ． 即为定值1． 9．设圆与两圆中的一个内切，另一个外切. (1)求圆心的轨迹的方程； (2)已知直线与轨迹交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求实数的值. 【答案】(1)； (2)7. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为1， 圆的圆心为，半径为1， 设圆的半径为， 若圆与圆内切，与圆外切，则，得； 若圆与圆内切，与圆外切，则，得， 因此，则圆心的轨迹是以为焦点的双曲线， 且实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以圆心的轨迹的方程为. （2）由消去得：， 显然，设，线段的中点， 于是，即， 由在圆上，得，解得，又， 所以实数的值为7.    10．在平面直角坐标系中，已知点、，，点的轨迹为. (1)求的方程； (2)设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，证明直线的斜率与直线的斜率之和为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）因为， 所以，轨迹是以点、为左、右焦点的双曲线的右支， 设轨迹的方程为，则，可得，， 所以，轨迹的方程为. （2）如图所示，设， 若过点的直线的斜率不存在，此时该直线与曲线无公共点， 设直线的方程为，则且，    联立，消去，得. 则 ， 则． 故． 则． 设的方程为，同理． 因为，所以， 化简得， 所以，即． 因为，所以． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$