新课预习衔接：数学广角——数与形 (讲义)-2024-2025学年六年级上册数学人教版

数学广角——数与形 【知识精讲+典型例题+高频真题+答案解析】目录导航 资料说明 第一部分：知识精讲：把握知识要点，掌握方法技巧，理解数学本质，提升数学思维。 第二部分：典型例题：选题典型、高频易错、考试母题，具有理解一题，掌握一类的优势。 第三部分：高频真题：精选近两年统考真题，助您学习有方向，做好题，达到事半功倍的效果。 第四部分：答案解析：重点、难点题精细化解析，犹如名师讲解，可以轻松理解。 第一部分 知识精讲 知识清单 方法技巧 【算术中的规律知识点归纳】 在数学算式中探索规律，应认真观察算式的特点，再观察结果的特点，进而，根据规律填出这一类算式的结果． 例如：1×1＝1； 11×11＝121； 111×111＝12321； 1111×1111＝1234321； 通过观察发现：每个算式中，两个因数各个数位上的数字都是1，且个数相同．积里的数字呈对称形式，且前半部分是从1开始，写至某个数字（此数即因数的位数），积的后半部分再顺次写出． ①一个数乘11，101的规律 一个数乘11的规律：可采用“两头一拉，中间相加”的方法计算． 如：123×11＝1353 一个数乘101的规律：可采用“两两一位，隔位一加”的方法计算． 如：58734×101＝5932134 ②一个数乘5，15，25，125的规律 一个数乘5，转化为一个数乘10，然后，再除以2． 如：28×5＝28×10÷2＝280÷2＝140 这种情况可以概括为“添0求半”．根据同级运算可交换位置的性质，也可以先除以2，再乘10． 如：28×5＝28÷2×10＝14×10＝140．即“求半添0”的方法． 一个数乘15，可分解为先用这个数乘10，再加上这个数乘5，乘5的方法同上． 如：264×15＝264×10+264×5＝2640+264×10÷2＝2640+2640÷2＝2640+1320＝3960． 这种情况可以概括为“添0补半” 一个数乘125，因为125×8＝1000，所以，可将一个数乘125转化为先乘1000，再除以8，或先除以8，再乘1000． 如：864×125＝864×1000÷8＝864000÷8＝108000． 【数列中的规律知识点归纳】 按一定的次序排列的一列数，叫做数列． （1）规律蕴涵在相邻两数的差或倍数中． 例如：1，2，3，4，5，6…相邻的差都为1； 1，2，4，8，16，32…相邻的两数为2倍关系． （2）前后几项为一组，以组为单位找关系，便于找到规律． 例如：1，0，0，1，1，0，0，1…从左到右，每四项为一组； 1，2，3，5，8，13，21…规律为，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的和． （3）需将数列本身分解，通过对比，发现规律． 例如，12，15，17，30，22，45，27，60…在这里，第1，3，5…项依次相差5，第2，4，6…项依次相差15． （4）相邻两数的关系中隐含着规律． 例如，18，20，24，30，38，48，60…相邻两数依次差2，4，6，8，10，12… 【“式”的规律知识点归纳】 把一些算式排列在一起，从中发现规律，也是探索规律的重要内容．在探索“式”的规律时，要从组成“式”的要素中去探索． 【数与形结合的规律知识点归纳】 在探索数与形结合的规律时，一方面要考虑图形的对称（上下对称和左右对称），另一方面要考虑数的排列规律，通过数形结合、对应等方法，来解决问题． 【列方程解应用题（两步需要逆思考）知识点归纳】 列方程解应用题的步骤： ①弄清题意，确定未知数，并用x表示． ②找出题中数量之间的相等关系． ③列方程，解方程． ④检查或验算，写出答案． 列方程解应用题的方法： ①综合法：先把应用题中已知的数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，并找出它们之间的等量关系，列出方程．这是从部分到整体的一种思维过程，其思考的方向是从已知到未知． ②分析法：先找出等量关系，再根据建立等量关系的需要，把应用题中已知数（量）和所设的未知数（量）列成有关的代数式，列出方程．这是从整体到部分的一种思维过程，其思考方向是从未知到已知． 【长方体和正方体的表面积知识点归纳】 长方体表面积：六个面积之和． 公式：S＝2ab+2ah+2bh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体表面积：六个正方形面积之和． 公式：S＝6a2．（a表示棱长） 【长方体和正方体的体积知识点归纳】 长方体体积公式：V＝abh．（a表示底面的长，b表示底面的宽，h表示高） 正方体体积公式：V＝a3．（a表示棱长） 第二部分 典型例题 例题1：一张长方形餐桌可以坐6人，两张同样大小的餐桌拼在一起可以坐10人，像这样拼下去，6张这样的餐桌可以坐多少人？（先画示意图，再列式计算） 【答案】；26。 【分析】根据题意可知：一张长方形餐桌可以坐6人；2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人）；3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人）；……；n张餐桌拼一起可坐：6+4（n﹣1）＝（4n+2）人。据此作图并解答即可。 【解答】解：如图： 一张长方形餐桌可以坐6人 2张长方形餐桌拼一起可以坐6+4＝10（人） 3张长方形餐桌拼一起可以坐6+4+4＝14（人） …… n张餐桌拼一起可坐：6+4（n﹣1）＝（4n+2）人 …… 6张桌子可坐人数： 4×6+2 ＝24+2 ＝26（人） 答：6张这样的餐桌可以坐26人。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 例题2：按照如图方式摆图形． （1）照这样，摆第15个图形需要用多少根小棒？ （2）如果摆出的图形用了21根小棒，那么摆到了第几个图形？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）摆1个三角形所需小棒的根数＝3，2个三角形所需小棒的根数＝3+2，3个三角形所需小棒的根数＝3+2×2，…，于是得到n个三角形所需小棒的根数＝3+2×（n﹣1）＝2n+1，然后把n＝15代入计算即可； （2）根据上面得出的规律，可得如果摆出的图形用了21根小棒，即2n+1＝21，据此求出n的值即可解答问题． 【解答】解：（1）1个三角形所需小棒的根数＝3 2个三角形所需小棒的根数＝3+2 3个三角形所需小棒的根数＝3+2×2 … 所以n个三角形所需小棒的根数＝3+2×（n﹣1）＝2n+1 当n＝15时，2n+1＝2×15+1＝31（根） 答：像这样摆下去第15个图摆了31个三角形． （2）总根数＝21时 2n+1＝21 2n＝22 n＝11 答：如果用了21根小棒，他摆了18个三角形． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，通过从一些特殊的图形变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况． 例题3：一张长方形桌子可坐6人，按下列方式将桌子拼在一起． （1）2张桌子拼在一起可坐多少人？3张桌子拼在一起可坐多少人？ （2）一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照如图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ （3）若在（2）中，改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐多少人？ 【答案】（1）8，10；（2）112；（3）100． 【分析】（1）根据图示2张桌子拼一起，可以坐：6+2＝8（人），3张桌子拼一起，可以坐：6+2+2＝10（人）． （2）先根据（1）的规律，计算5张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+2＝14（人），再计算40张桌子可以拼成几个大桌子，然后乘14，计算可坐人数． （3）根据规律计算8张桌子拼一起，可以坐的人数：6+2+2+2+……+2＝6+2×（8﹣1）＝20（人），然后计算40张桌子可以拼成几个大桌子，乘20就是一共可坐的人数． 【解答】解：（1）6+2＝8（人） 6+2+2＝10（人） 答：2张桌子拼在一起可坐8人；3张桌子拼在一起可坐10人． （2）6+2+2+2+2＝14（人） 8×14＝112（人） 答：共可坐112人． （3）6+2+2+2+2+2+2+2 ＝6+2×（8﹣1） ＝6+14 ＝20（人） 40÷8×20 5×20 ＝100（人） 答：改成每8张桌子拼成1张大桌子，则共可坐100人． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 第三部分 高频真题 1．小明和小军玩涂方格游戏，两人轮流涂小方格，每次只许涂相邻的1至5个小方格（两方格有公共边才算相邻），谁先没有方格再涂就算谁输．先涂的小明想：正方形是中心对称图形，只要先涂正中心的那一格，其余的每一格都能找到关于中心对称的另一格可涂，于是他先涂正中心的那一格，其余的每一格都能找到关于中心对称的另一格可涂，于是他先涂出了下面的例图．小明确保获胜，第一次还可以怎么涂，请把不同的涂法画出来（旋转后图案不同的算作不同的涂法，看你能涂出多少种） 2．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个举行侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面 现有19章硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法 （1）用x的代数式分别表示出裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做出多少个盒子？ 3．一张正方形桌子可以围坐4人，同学们吃饭时把正方形桌子拼成一排，每张不留空位．（如图所示） （1）20人吃饭需要多少张桌子拼在一起才能正好坐下？ （2）10张桌子这样拼成一排，可坐多少人？ （3）发现规律． 多摆1个□，就多出2个〇．如果有n个□，那么一共有2+　 　个〇． 4．已知1个正方形需要4根棒，2个正方形需要7根棒，3个正方形需要10根棒，问：15个正方形需要多少根棒？ 5．如图，第二个图形是由第一个图形连接三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连接三边中点而得到的，以此类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数．如果第n个图形中的三角形个数为8057，n是多少？ 6．用一根长96cm的绳子在地上摆正方形．当这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是多少厘米？顶点有几个？ 7．探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　 　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　 　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 8．用小棒摆图形（如图）． （1）摆了x个正方形和x个长方形，一共用了多少根小棒？ （2）当x＝12时，一共用了多少根小棒？ 9．一张桌子摆4把椅子，2张桌子并起来摆6把椅……照这种方式摆下去，8张桌子可以摆多少把椅子？如果一共有34人，需要并起来摆多少张桌子才能坐下？ 10．如图，同学们搬一套桌椅，1个同学可搬2把椅子，2个同学可抬1张桌子。 （1）搬一套桌椅要几人？ （2）一次搬3套桌椅需要多少人？ （3）25人同时搬，一次可以搬多少套桌椅？ 11．佳佳摆小棒（如图），照这样摆下去，第5个图形有多少根小棒？第8个呢？ 12．如图所示，用同样的小棒摆三角形。 ①像这样摆下去，摆n个三角形，需要 　 　根小棒。 ②当n＝100时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。 13．先观察前三题计算结果，再直接写出最后两题的得数。 0.1+0.11＝0.21 0.1+0.11+0.111＝0.321 0.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝　 　 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝　 　 14．康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 15．某地举行庆丰收长桌宴，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，参加宴会的共有402人，需要并多少张桌子？ 16．用绿、白两种颜色的小方块瓷砖400块贴成一正方向墙面，这个墙面最外层铺的是白色瓷砖．由外到内的第二层是绿色瓷砖，第三层是白色瓷砖，第四层又是绿色…，那么，这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？ 17．按如图方式摆放餐桌和椅子． （1）n张桌子可以坐多少人？ （2）如果有40人，需要几张这样的桌子？ 18．用小棒摆三角形如图： 摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。 （1）照这样，摆5个三角形要用 　 　根小棒，摆6个三角形要用 　 　根小棒。 （2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 　 　根小棒。摆n个三角形要用 　 　根小棒.（用含有n的算式表示） 19．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：1+2＝3； 第2行：4+5+6＝7+8； 第3行：9+10+11+12＝13+14+15； 第4行：16+17+18+19+20＝21+22+23+24； 第n行：…… （1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是 　 　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　 　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 20．一串数：，，，，，，，，，，…… （1）第800个数是多少？ （2）是第几个数？ （3）前552个数的和是多少？ （4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由． 21．用小棒摆六边形，如图所示。 六边形的个数 图形 小棒的根数 1 6 2 6+5 3 6+5+5 …… …… …… （1）你能发现什么规律？按这个规律摆n个六边形，需要 　 　根小棒。 （2）按这个规律摆150个六边形，需要 　 　根小棒。 22．按如图的方式摆桌子和椅子，一张桌子可坐4人，两张桌子可坐6人……照这样摆下去。 （1）10张桌子可坐多少人？ （2）n张桌子可坐多少人？ （3）坐80人需要多少张桌子？ 23．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42﹣22＝（4+2）×（4﹣2）＝12 72﹣32＝（7+3）×（7﹣3）＝40 92﹣42＝（9+4）×（9﹣4）＝65 （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152﹣52＝（ 　 　+　 　）×（ 　 　﹣　 　）＝（ 　 　） （2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2﹣b2”来计算，明明说也可以用“（a+b）×（a﹣b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ 24．一张长方形桌子可以坐6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐60人？ 25．如图是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的。 （1）观察图形，填写下表。 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 　 　 18 图形的周长 　 　 　 　 　 　 （2）推测第n个图形中，正方形的个数为 　 　，周长为 　 　。 26．（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，… ①像这样摆下去，摆m个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母m的式子表示） ②当m＝10时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？ 27．如图1，在长方形ABCD中，点E从点A开始，以每秒3厘米的速度沿长方形的边AB、BC、CD匀速移动。随着点E的移动，三角形ADE的面积会不断发生变化。它的面积变化情况如图2所示。 （1）点E从点A开始移动，　 　秒后到达点B。 （2）图2中3秒到8秒表示点E在长方形的边 　 　上移动。 （3）长方形ABCD的面积是多少？ 28．盐渎公园要铺设一条人行道，人行道长160米，宽1.6米，现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）． （1）请算算铺设这条人行道一共需多少块地砖？ （2）铺设这条人行道共需要多少块红色地砖？ 29．（1）把3幅画像下面这样钉在墙上，一共要用多少个图钉？ （2）如果一共有5幅画，还是按照（1）的方法钉在墙上，一共要用多少个图钉？ 30．杨辉三角，是中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现的一种几何排列．你能计算图中的杨辉三角中一共有多少个数字吗？ 31．如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 32．用小棒按下面的方式拼图形． （1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用　 　根小棒． 五边形 个数 拼成的形状 小棒根数 1 5 2 9 3 13 4 17 （2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？ 33． 像这样继续摆下去，第5个图形有多少根小棒？（要求列式计算并回答） 34．1张桌子坐8人，2张桌子并起来坐12人，3张桌子并起来坐16人… （1）照这样，15张桌子并起来可以坐多少人？ （2）如果一共有40人，需要并多少张桌子才能坐下？ 35．任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组合，求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？ 36．学校有一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加8米或宽增加5米，面积都比原来增加40平方米。原来试验田的面积是多少平方米？ 37．明明用围棋子摆出了下面三个图案。 如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？ 38．如图，数学实验室的窗户设计如图所示，如果每个符号代表一个数字，它们是837，571，206，439．求2018的图如何画？ 39．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？ 40．有一本漫画书共27页，插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……照这样计算，这本书共有多少页插图？ 41．一个表面涂满了颜料的长方体小盒子平放在桌面上（如图1），它的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。现在将它沿着最长的棱翻转第一次（如图2位置），接又沿着最长的棱翻转第二次（如图3），然后又沿着最长的棱翻转第三次……，这样翻转后拿走小盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹。 （1）如图2所示，翻转第一次后（不计算图1小盒子原来在桌面上的印迹）形成的印迹面积是 　 　平方厘米。 （2）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第4次翻转结束，留下的印迹总面积是 　 　平方厘米。 （3）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第2023次翻转结束，留下的印迹总面积是 　 　平方厘米。 42．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变成一个孙悟空，每次变化的时间是2秒钟（一个孙悟空一次只能拔一根毫毛）。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？请你用喜欢的方式将你的想法展示出来。（画图、列表、列式等方式均可） 43．如图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？ 44．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第n个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 45．快乐提升： 如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？ 46．根据已知条件填表． 小兰像下面这样摆正方形，摆1个用4根小棒，摆2个用8根小棒… 摆1个 摆2个 摆3个 … 摆10个 摆　 　个 4根 8根 　 　根 … 　 　根 100根 47．某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内人数依次减少4．如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，参加排练的有多少人？ 48．仔细观察如图与算式的规律，并填空。 （1）（n+1）2﹣n2＝　 　 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝　 　 49．小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，任一盒子中不止两颗珠子，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？ 50．自学下面这段材料，然后回答问题。 我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多， 例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。 请观察下面的几个例子： 因为：4，4，所以。 因为：5，5，所以。 根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的 　 　相同，并且 　 　，那么这两个分数的和等于它们的积。 例如：　 　+　 　＝　 　×　 　。 参考答案与试题解析 1．小明和小军玩涂方格游戏，两人轮流涂小方格，每次只许涂相邻的1至5个小方格（两方格有公共边才算相邻），谁先没有方格再涂就算谁输．先涂的小明想：正方形是中心对称图形，只要先涂正中心的那一格，其余的每一格都能找到关于中心对称的另一格可涂，于是他先涂正中心的那一格，其余的每一格都能找到关于中心对称的另一格可涂，于是他先涂出了下面的例图．小明确保获胜，第一次还可以怎么涂，请把不同的涂法画出来（旋转后图案不同的算作不同的涂法，看你能涂出多少种） 【答案】见试题解答内容 【分析】整个图形是中心对称图形，先涂的仍旧涂出一个以正方形中心为对称点的中心对称图形，接下来，无论小军怎么涂，小明都可以在对称的位置上涂，确保获胜． 【解答】解：小明仍旧涂出一个以正方形中心为对称点的中心对称图形即可，如图： 【点评】本题主要考查了学生灵活解决生活中实际问题的能力，本题以正方形中心为对称点是解题关键． 2．用正方形硬纸板做三棱柱盒子，每个盒子由3个举行侧面和2个正三角形底面组成，硬纸板以如图两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用） A方法：剪6个侧面；B方法：剪4个侧面和5个底面 现有19章硬纸板，裁剪时x张用A方法，其余用B方法 （1）用x的代数式分别表示出裁剪出的侧面和底面的个数； （2）若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，问能做出多少个盒子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由裁剪时x张用A方法，其余用（19﹣x）张就用B方法，据此即可分别表示出裁剪出的侧面和底面的个数； （2）由侧面个数与底面个数比是3：2建立方程求出x的值，求出侧面的总数即可解答问题． 【解答】解：（1）因为裁剪时x张用A方法，所以剪裁时（19﹣x）张用B方法； 那么侧面的个数是：6x+4（19﹣x）＝6x+76﹣4x＝2x+76（个） 底面个数是：5（19﹣x）＝95﹣5x（个） （2）由题意可得：（2x+76）：（95﹣5x）＝3：@ 解得x＝7 所以盒子的个数是：30（个） 答：能做30个盒子． 【点评】本题考查了列一元一次方程解决实际问题的应用，解答时根据侧面个数与底面个数的比建立方程是解决本题的关键． 3．一张正方形桌子可以围坐4人，同学们吃饭时把正方形桌子拼成一排，每张不留空位．（如图所示） （1）20人吃饭需要多少张桌子拼在一起才能正好坐下？ （2）10张桌子这样拼成一排，可坐多少人？ （3）发现规律． 多摆1个□，就多出2个〇．如果有n个□，那么一共有2+　 　个〇． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示发现：1张桌子可坐人数：4人；2张桌子可坐人数：4+2＝6（人）；3张桌子可坐人数：4+2+2＝8（人）；……n张桌子可坐人数：4+2（n﹣1）＝（2n+2）人．据此解答． （1）根据规律计算20人需要桌子数：2n+2＝20，解得n＝9． （2）当n＝10时，可坐人数：2×10+2＝22（人）． （3）根据上面的规律可知：有n个□，那么一共有2+2n个〇． 【解答】解：（1）1张桌子可坐人数：4人 2张桌子可坐人数：4+2＝6（人） 3张桌子可坐人数：4+2+2＝8（人） …… n张桌子可坐人数： 4+2（n﹣1）＝（2n+2）人 当能坐20人时，桌子张数： 2n+2＝20 2n＝18 n＝9 答：20人吃饭需要9张桌子拼在一起才能正好坐下． （2）2×10+2 ＝20+2 ＝22（人） 答：10张桌子这样拼成一排，可坐22人． （3）发现规律： 多摆1个□，就多出2个〇．如果有n个□，那么一共有2+2n个〇． 故答案为：2n． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现这组图形的规律，并运用规律做题． 4．已知1个正方形需要4根棒，2个正方形需要7根棒，3个正方形需要10根棒，问：15个正方形需要多少根棒？ 【答案】46根。 【分析】能够根据图形发现规律：多一个正方形，则多用3根棒。据此解答。 【解答】解：观察图形发现：第一个图形需要4根棒，多一个正方形，多用3根棒，则第n个图形中，需要棒的根数：4+3（n﹣1）＝（3n+1） 当n＝15时 3×15+1 ＝45+1 ＝46（根） 答：15个正方形需要46根棒。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 5．如图，第二个图形是由第一个图形连接三边中点而得到的，第三个图形是由第二个图形中间的一个三角形连接三边中点而得到的，以此类推……分别写出第二个图形、第三个图形和第四个图形中的三角形个数．如果第n个图形中的三角形个数为8057，n是多少？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示，发现其规律为：第一个图形中三角形个数：1个；第二个图形中三角形个数：1×4+1＝5（个）；第三个图形中三角形个数：2×4+1＝9（个）；第四个图形中三角形个数：3×4+1＝13（个）；第n个图形中三角形个数：（n﹣1）×4+1＝（4n﹣3）（个），计算n的值即可． 【解答】解：第一个图形中三角形个数：1个； 第二个图形中三角形个数：1×4+1＝5（个）； 第三个图形中三角形个数：2×4+1＝9（个）； 第四个图形中三角形个数：3×4+1＝13（个）； 第n个图形中三角形个数： （n﹣1）×4+1＝（4n﹣3）（个） 4n﹣3＝8057，n＝2015． 答：n是第2015个图形． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题． 6．用一根长96cm的绳子在地上摆正方形．当这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是多少厘米？顶点有几个？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示，发现这组图形的规律：第一个图形：正方形个数：1个，顶点个数：4个，边长：96÷4＝24（厘米）；第二个图形：正方形个数：2个，顶点个数：4+3＝7（个），边长：96÷（4×2）＝12（厘米）；第三个图形，正方形个数：3个，顶点个数：4+3+3＝10（个），边长：96÷（4×3）＝8（厘米）；……第n个图形正方形个数：n个，顶点个数：4+3（n﹣1）＝（3n+1）个，边长：（96÷4n）厘米．据此解答． 【解答】解：第一个图形：正方形个数：1个，顶点个数：4个，边长：96÷4＝24（厘米） 第二个图形：正方形个数：2个，顶点个数：4+3＝7（个），边长：96÷（4×2）＝12（厘米） 第三个图形，正方形个数：3个，顶点个数：4+3+3＝10（个），边长：96÷（4×3）＝8（厘米） …… 第n个图形正方形个数：n个，顶点个数：4+3（n﹣1）＝（3n+1）个，边长：（96÷4n）厘米 由规律可知： 第48个图形的正方形个数为48个， 顶点个数为： 3×48+1 ＝144+1 ＝145（个） 边长： 96÷（4×48） ＝96÷192 ＝0.5（厘米） 答：这根绳子摆出48个正方形时，正方形的边长是0.5厘米，顶点有145个． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图形，发现其规律，并运用规律做题． 7．探索与发现。 圆柱形物体的上下底面为圆形，生活中常像下面这样用绳子捆扎圆柱形物体。如图中每个圆柱的底面直径都是8厘米，捆所用的绳子长度与圆柱的个数及其底面周长、直径有什么关系？（接头处忽略不计）明明用下面这样的方式进行研究： 序号 图① 图② 图③ …… 图形 …… 圆柱的个数 1 3 6 …… 绳子的长度/厘米 8π 8π+8×3 8π+8×6 …… （1）若按此规律继续摆，图④中有 　 　个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是 　 　。 （2）根据发现的规律推理，图⑨中有多少个圆柱？表示图⑨中绳子长度是多少厘米？（π取3.14） 【答案】（1）10，8π+8×9； （2）45，217.12厘米。 【分析】（1）图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 （2）根据（1）的规律，计算当n＝9时圆柱的个数及绳子的长度即可。 【解答】解：图①圆柱的个数是1个；绳长为8π厘米； 图②圆柱的个数是3个，3＝1+2；绳长为（8π+8×3）厘米，8π+8×3＝8π+8×（2﹣1）×3； 图③圆柱的个数是6个，6＝1+2+3；绳长为（8π+8×6）厘米，8π+8×6＝8π+8×（3﹣1）×3； 图④圆柱的个数是10个，10＝1+2+3+4；绳长为（8π+8×9）厘米，8π+8×9＝8π+8×（4﹣1）×3； …… 图n圆柱的个数是（1+2+3+……+n）个，绳长为[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。 即图n中圆柱的个数是：1+2+3+……+n，捆一圈所用绳子的长度由两部分组成，曲线部分刚好是一个底面圆的周长，即8π厘米，直线部分是每条边上的（n﹣1）条直径的长度，共3条边，即[8×（n﹣1）×3]厘米，所以捆一圈所用绳子的长度是[8π+8×（n﹣1）×3]厘米。所以： （1）图④中有10个圆柱，表示图④中绳子长度的算式是8π+8×9。 （2）图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是： 8×3.14+8×24 ＝25.12+192 ＝217.12（厘米） 答：图⑨中有45个圆柱，表示图⑨中绳子长度是217.24厘米。 故答案为：10，8π+8×9。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 8．用小棒摆图形（如图）． （1）摆了x个正方形和x个长方形，一共用了多少根小棒？ （2）当x＝12时，一共用了多少根小棒？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据图示可知：摆1个正方形和1个长方形需要小棒根数：4+6＝10（根），所以摆x个正方形和x个长方形，需要小棒：10×x＝10x（根）． （2）把x＝12代入（1）中的公式即可求解． 【解答】解：（1）4x+6x＝10x（根） 答：摆了x个正方形和x个长方形，一共用了10x根小棒． （2）当x＝12时 10x＝12×10＝120 答：当x＝12时，一共用了120根小棒． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现规律，并运用规律做题． 9．一张桌子摆4把椅子，2张桌子并起来摆6把椅……照这种方式摆下去，8张桌子可以摆多少把椅子？如果一共有34人，需要并起来摆多少张桌子才能坐下？ 【答案】18；16。 【分析】一张桌子坐4人，两张桌子坐6人，三张坐8人… 第一张坐4人，以后每增加1张桌子就增加2人； 所以n张桌子坐4+（n﹣1）×2＝（2n+2）人； 然后分别求出当n＝8，当能坐34人时n的值即可。 【解答】解：根据分析可得， 2×8+2 ＝16+2 ＝18（把） （34﹣2）÷2 ＝32÷2 ＝16（张） 答：8张桌子可以摆18把椅子，如果一共有34人，需要并起来摆16张桌子才能坐下。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 10．如图，同学们搬一套桌椅，1个同学可搬2把椅子，2个同学可抬1张桌子。 （1）搬一套桌椅要几人？ （2）一次搬3套桌椅需要多少人？ （3）25人同时搬，一次可以搬多少套桌椅？ 【答案】（1）3人；（2）9人；（3）8套。 【分析】（1）利用搬一张桌子的人数和一把椅子的人数相加即可； （2）利用一套桌椅的人数乘套数即可； （3）利用总人数除以每套桌椅需要的人数即可。 【解答】解：（1）2+1＝3（人） 答：搬一套桌椅要3人。 （2）3×3＝9（人） 答：搬3套桌椅需要9人。 （3）25÷（2+1） ＝25÷3 ＝8（套）……1（人） 答：25人同时搬，一次可以搬8套桌椅。 【点评】本题考查了乘除法的应用。 11．佳佳摆小棒（如图），照这样摆下去，第5个图形有多少根小棒？第8个呢？ 【答案】20；32。 【分析】根据图示可知，摆一个独立的图形长方体需要4根小棒，第几个图形就摆几个长方形，据此利用乘法计算小棒的根数即可。 【解答】解：5×4＝20（根） 8×4＝32（根） 答：第5个图形有20根小棒；第8个图形有32根小棒。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 12．如图所示，用同样的小棒摆三角形。 ①像这样摆下去，摆n个三角形，需要 　 　根小棒。 ②当n＝100时，用第1题的式子计算摆100个三角形需要的小棒数。 【答案】①2n+1；②201根。 【分析】①由图可以看出摆一个三角形用3根小棒，摆两个三角形用5根小棒，摆三个三角形用7根小棒，摆四个三角形用9根小棒……，所以摆n个三角形用（2n+1）根小棒。 ②把n＝100代入2n+1，即可求出摆100个三角形需要的小棒数。 【解答】解：①一个三角用2×1+1＝3（根） 二个三角形用2×2+1＝5（根） 三个三角形用2×3+1＝7（根） 四个三角形用2×4+1＝9（根） …… n个三角形用（2n+1）根 答：摆n个三角形需（2n+1）根小棒 ②当n＝100时 2n+1 ＝2×100+1 ＝200+1 ＝201（根） 答：摆100个三角形需要201根小棒。 故答案为：2n+1。 【点评】此题主要是初步渗透不完全归纳思想和代数思想，培养符号化意识，提高抽象和概括能力，关键是找规律，找到规律，代入数值计算比较简单。 13．先观察前三题计算结果，再直接写出最后两题的得数。 0.1+0.11＝0.21 0.1+0.11+0.111＝0.321 0.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝　 　 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝　 　 【答案】0.7654321；0.987654321。 【分析】通过观察：0.1+0.11＝0.21 0.1+0.11+0.111＝0.321 0.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321 得出规律：得数看最后一个加数，如果最后一个加数的小数点后的有n（n≤9）个1， 得数的小数点后的数就从n依次从大到小排列到1，据此解答即可。 【解答】解：0.1+0.11＝0.21 0.1+0.11+0.111＝0.321 0.1+0.11+0.111+0.1111＝0.4321 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.1111111＝0.7654321 0.1+0.11+0.111+0.1111+…+0.111111111＝0.987654321 故答案为：0.7654321；0.987654321。 【点评】解决本题的关键是找出规律：得数看最后一个加数，如果最后一个加数的小数点后的有n（n≤9）个1，得数的小数点后的数就从n依次从大到小排列到1。 14．康平小学四年级（3）班有35名同学在操场上体育课。在做广播操时，学生之间需保持1米的安全距离。 （1）在操场上列队时，10名同学排成一排需要多少米？ （2）操场上面积为25平方米的正方形区域内，能否容纳该班35名同学？（提示：可以画图） （3）为保证做广播体操时学生的手臂不相互接触，体育老师要求同学之间的距离是2米。保持第（2）题中的队形不变，此时该班同学所占正方形区域的面积是多少平方米？ （4）请你设计一个合理的列队方案（面图或者语言描述），要求35名同学所占区域面积小于23平方米。（保持1米距离） 【答案】（1）9米；（2）能； （3）100平方米；（4）长方形队列的长为11米，宽为2米； 【分析】（1）根据两端都植树可知，间隔数＝人数﹣1，用间隔数乘间隔距离即可求解； （2）根据正方形的面积以及面积＝边长×边长即可求出正方形区域的边长，根据两端都植树可知，一排可以站的人数为边长+1，可以站的排数也是边长+1，据此即可判断是否能容纳； （3）根据（2）可知，一排站6人，共计5个间隔，每个间隔2米，用间隔数乘间隔距离即是正方形区域的边长，再根据正方形面积＝边长×边长即可解答； （4）设计为长为11米，宽为2米的长方形也可以容纳36人，此时面积为11×2＝22（平方米）＜23平方米，满足题意。 【解答】解：（1）（10﹣1）×1＝9（米） 答：10名同学排成一排需要9米。 （2）因为5×5＝25 所以正方形的边长为5米 5+1＝6（名） 6×6＝36（名） 36＞35，即能容纳。 如下图所示：每个黑点代表1人，则正方形区域最多可以站36人。 答：操场上面积为25平方米的正方形区域内，能容纳该班35名同学。 （3）（6﹣1）×2＝10（米） 10×10＝100（平方米） 答：此时该班同学所占正方形区域的面积是100平方米。 （4）当长方形队列的长为11米，宽为2米时，最多可容纳的人数为（11+1）×（2+1）＝36（人） 36＞35，满足题意。 此时队形的面积为11×2＝22（平方米） 22＜23，满足题意。 如下图所示：每个黑点代表1人，则长方形区域最多可以站36人。 【点评】本题考查了植树问题的应用，以及长方形和正方形面积的计算等。 15．某地举行庆丰收长桌宴，一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来坐14人……照这样并下去，参加宴会的共有402人，需要并多少张桌子？ 【答案】100张。 【分析】根据题意发现：一张桌子坐6人，每多1张桌子就多坐4人，则拼n张桌子，能坐（4n+2）个人；据此逆推即可。 【解答】解：（402﹣2）÷4 ＝400÷4 ＝100（张） 答：需要并100张桌子。 【点评】本题考查了图形的变化类题目，认真观察、分析和归纳总结是解决此题的关键。 16．用绿、白两种颜色的小方块瓷砖400块贴成一正方向墙面，这个墙面最外层铺的是白色瓷砖．由外到内的第二层是绿色瓷砖，第三层是白色瓷砖，第四层又是绿色…，那么，这个墙面上绿色瓷砖共有多少块？ 【答案】见试题解答内容 【分析】因为正方形墙共用100块小方砖网贴成，设每块小方砖为1个面积单位，则正方形墙的面积为100个面积单位，边长为20个长度单位，每块小方砖的边长为1个长度单位．由题意可知，由外到内，最外层（白方砖）的边长为20个长度单位，第二层（绿方砖）边长为18个长度单位，第三层（白方砖）边长为16个长度单位，第四层（绿方砖）边长为14个长度单位……由此可知，由外到里，绿色方砖的边长分别为18、14、10、6、2．由此即可计算出绿方砖的块数． 【解答】解：由外到内绿方砖是第二层、第四层、第站层……（偶数层） 第二层边长为18个长度单位，方砖块数为：18×2+（18﹣2）×2＝36+32＝68（块） 第四屋边长为14个长度单位，方砖块数为14×2+（14﹣2）×2＝28+24＝52（块） 第六层边长为10个长度单位，方砖块数为10×2+（10﹣2）×2＝20+16＝36（块） 第八层边长为6个长度单位，方砖块数为6×2+（6﹣2）×2＝12+8＝20（块） 第十层（也是最内层）边长是2个长度单位，方砖块数为2×2+（2﹣2）×2＝4+0＝4（块） 68+52+36+20+4＝180（块） 答：这个墙面上绿色瓷砖共有180块． 【点评】此题可通过画图找出每层绿色方砖与层数之间的关系，求出每层绿色方砖的块数，进而求出一共用绿色方砖的块数． 17．按如图方式摆放餐桌和椅子． （1）n张桌子可以坐多少人？ （2）如果有40人，需要几张这样的桌子？ 【答案】（1）4+2n；（2）18． 【分析】分别求出一张餐桌、两张餐桌、三张餐桌可以摆放的椅子数，根据结果即可求出答案． 【解答】解：（1）观察图形可知： 一张餐桌可摆放4+2×1＝6把椅子，可以坐6人； 两张餐桌可摆放4+2×2＝8把椅子，可以坐8人； 三张餐桌可摆放4+2×3＝10把椅子，可以坐10人； 所以n张餐桌可摆放4+2n把椅子，可以坐（4+2n）人； 答：n张桌子可以坐（4+2n）人． （2）解：设需要x张这样的桌子． 2x+4＝40 2x+4﹣4＝40﹣4 2x＝36 2x÷2＝36÷2 x＝18 答：需要18张这样的桌子． 【点评】本题考查了数与形结合的规律，关键是能根据求出的结果或观察图形得出规律． 18．用小棒摆三角形如图： 摆1个三角形要用3根小棒，摆2个三角形要用5根小棒，摆3个三角形要用7根小棒，摆4个三角形要用9根小棒。 （1）照这样，摆5个三角形要用 　 　根小棒，摆6个三角形要用 　 　根小棒。 （2）照这样摆下去，摆20个三角形要用 　 　根小棒。摆n个三角形要用 　 　根小棒.（用含有n的算式表示） 【答案】11，13；41，2n+1。 【分析】摆1个三角形要3根小棒，即2×1+1； 摆2个三角形要5根小棒，即2×2+1； …… 摆n个三角形需要的小棒数为：2n+1。 【解答】解：（1）2×5+1 ＝10+1 ＝11（根） 2×6+1 ＝12+1 ＝13（根） （2）2×20+1 ＝40+1 ＝41（根） 摆n个三角形要用（2n+1）根小棒。 故答案为：11，13；41，2n+1。 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1个三角形就多2根小棒是解本题的关键。 19．先阅读理解，再解决问题。 有这样一组非常有趣的等式，从上往下写成若干行。请你注意观察这些数的规律。 第1行：1+2＝3； 第2行：4+5+6＝7+8； 第3行：9+10+11+12＝13+14+15； 第4行：16+17+18+19+20＝21+22+23+24； 第n行：…… （1）观察每行的第1个数，我发现：第n行的第1个数正好是 　 　。 （2）照上面写下去，第5行的等式是：　 　。 （3）请你列式计算出第6行等式左边的所有数的和。 【答案】（1）行数的平方； （2）25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）273。 【分析】（1）根据题意，找出每行的第1个数与行数之间的关系可知，第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）根据第n行的第1个数正好是行数的平方可知，第5行的第1个数是25。看算式找规律可知，等式的左边加数的个数是n+1而且是数字依次加1，等式的右边加数的个数是n，数字依次加1。等式右边开始的数字是等式左边最后一个数字加1。 （3）根据等式的规律可知，第6行等式左边的数是36+37+38+39+40+41+42，据此解答。 【解答】解：（1）第n行的第1个数正好是行数的平方； （2）第5行的等式是：25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35； （3）6×6＝36 36+37+38+39+40+41+42 ＝36×7+（1+2+3+4+5+6） ＝252+7×6÷2 ＝252+21 ＝273 故答案为：行数的平方；25+26+27+28+29+30＝31+32+33+34+35。 【点评】此题考查了算式的规律。要求学生熟练掌握并灵活运用。 20．一串数：，，，，，，，，，，…… （1）第800个数是多少？ （2）是第几个数？ （3）前552个数的和是多少？ （4）前n个数的和能否等于106，如果能，试求出n的值，如果不能，试说明理由． 【答案】（1）；（2）第261个数或第285个数；（3）287.5；（4）存在前n个数的和等于106，此时n的值是201。 【分析】观察数列，，，，，，，，，，……，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为n的分数有2n﹣1个；分子都是从1开始到与分母的数字相同连续的自然数，再倒数回到1，由此规律解决问题： （1）首先要计算第800个数之前最大的平方是：当n＝28时，n2＝784，第784个数是分母为28的最后一个数，所以可以找到第800个数； （2）先找出分母是16的最后一个数，是第162个数，162＝256，再向右数5个即可，因为同一个分母的数除中间为1的数是出现一次外，其余都是出现2次，所以倒数第5个数也是，得出结论； （3）同（1）同理，先计算第552个数之前最大的平方数：当n＝23时，n2＝529，先计算分母为1至23的所有分数之和：1+2+3+……+23的值，再确定第529到552之间数的和，最后相加即可； （4）因为分母为n的分数有2n﹣1个，且这2n﹣1个分数相加和为n；所以分母为n时，前n2个数的和为，确定当n为最大时，最接近106时的n＝14，即前196个数的和为105，与106还相差1，分母为15的分数能否达到几个分数和为1，来判断。 【解答】解：观察数列，，，，，，，，，，……，可发现：分母为1的分数有1个，分母为2的数有3个，分母为3的数有5个，所以可得出：分母为n的分数有2n﹣1个；且这2n﹣1个分数相加和为n.；第12个是分母为1的最后一个，第22个是分母为2的最后一个……，第n2个是分母为n的最后一个； （1）因为1+3+5+…+2n﹣1＝n2， 所以令n2≤800， 解得：n≤28， 当n＝28时，n2＝784， 所以第784个数是分母为28的最后一个数， 所以800个数的分母为29，分子为800﹣784＝16，所以第800个数为； （2）因为162+5＝256+5＝261， 172﹣4＝289﹣4＝285， 所以是第261个数或第285个数； （3）令n2≤552， 解得：n≤23， 当n＝23时，n2＝529， 即前529个数的和为：1+2+3+……+23＝24×11+12＝276， 第530至第552个数之间一共有： 552﹣530+1＝23个数， 第530至第552个数的和为： 11.5， 所以前552个数的和是：276+11.5＝287.5； （4）分母为n时，前n2个数的和为，当n＝14时，前142＝196个数的和为： 105， 第197个数开始为分母是15的数： 1， 105+1＝106， 所以存在前n个数的和等于106，此时n＝196+5＝201。 故答案为：（1）；（2）第261个数或第285个数；（3）287.5；（4）存在前n个数的和等于106，此时n的值是201。 【点评】解决本题的关键是找出规律，解决问题。 21．用小棒摆六边形，如图所示。 六边形的个数 图形 小棒的根数 1 6 2 6+5 3 6+5+5 …… …… …… （1）你能发现什么规律？按这个规律摆n个六边形，需要 　 　根小棒。 （2）按这个规律摆150个六边形，需要 　 　根小棒。 【答案】（5n+1）；751。 【分析】（1）由图可得：摆1个六边形需要6根小棒，摆2个需要11根小棒，摆3个需要16根小棒，由此可得：每多摆一个六边形，就会增加5根小棒，由此根据规律解答即可； （2）根据（1）中的规律，代入求出答案即可。 【解答】解：（1）摆1个六边形需要6根小棒， 摆2个六边需要11根小棒，可以写作：6+5＝6+5×1＝11（根）； 摆3个六边需要16根小棒，可以写成：6+5+5＝6+5×2＝16（根）； 摆4个六边需要小棒，可以写成：6+5+5+5＝6+5×3＝21（根）； ...... 摆n个六边需要小棒，可以写成：6+5+5+......+5＝6+5×（n﹣1）； 6+5×（n﹣1） ＝6+5n﹣5 ＝5n+1 所以我发现每多摆一个六边形，就会增加5根小棒。 答：我发现每多摆一个六边形，就会增加5根小棒。摆n个六边形，需要（5n+1）根小棒。 （2）当n＝150时，代入得： 5n+1 ＝5×150+1 ＝750+1 ＝751（根） 答：按这个规律摆150个六边形，需要751根小棒。 故答案为：（5n+1）；751。 【点评】此题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 22．按如图的方式摆桌子和椅子，一张桌子可坐4人，两张桌子可坐6人……照这样摆下去。 （1）10张桌子可坐多少人？ （2）n张桌子可坐多少人？ （3）坐80人需要多少张桌子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】一张桌子可以坐4人，后面每增加一张桌子，增加2个人，即1张桌坐4人；2张桌子坐4+2×（2﹣1）＝6（人）；3张桌子坐4+2×（3﹣1）＝8（人）；……（1）10张桌子可坐4+2×（10﹣1）＝22（人）；（2）n张桌子可坐4+2×（n﹣1）＝2n+2（人）；（3）设坐80人需要x张桌子，求解x即可。 【解答】解：（1）4+2×（10﹣1）＝22（人）； （2）4+2×（n﹣1）＝2n+2（人）； （3）设需要x张桌子 2x+2＝80 2x＝78 x＝39 答：（1）10张桌子可坐22人；（2）n张桌子可坐2n+2人；（3）坐80人需要39张桌子。 【点评】考查数与形的找规律问题的实际应用，解方程的应用。按照将形化为数字，拆解研究规律即可。 23．聪聪和明明在研究两个平方数的差时发现了规律： 42﹣22＝（4+2）×（4﹣2）＝12 72﹣32＝（7+3）×（7﹣3）＝40 92﹣42＝（9+4）×（9﹣4）＝65 （1）请你根据聪聪和明明发现的规律把下面的算式填写完整。 152﹣52＝（ 　 　+　 　）×（ 　 　﹣　 　）＝（ 　 　） （2）求如图中阴影部分的面积。聪聪说可以用“a2﹣b2”来计算，明明说也可以用“（a+b）×（a﹣b）”来计算。你知道明明是怎么想的吗？ 【答案】（1）15，5，15，200。 （2）明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧。 【分析】（1）根据给出的两个平方数的差的算式，发现规律：两个数的平方差，等于这两个数的和乘这两个数的差。据此解答。 （2）因为正方形的面积＝边长×边长，两个正方形的边长分别为a、b，阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，所以聪聪得出用“a2﹣b2”计算；而明明把阴影部分的图形进行了剪拼，重新组合成一个长为（a+b）、宽为（a﹣b）的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，所以明明得出阴影面积也可以用“（a+b）×（a﹣b）“来计算。 【解答】解：（1）152﹣52＝（15+5）×（15﹣5）＝200 （2）阴影部分的面积＝大正方形的面积﹣小正方形的面积，即阴影部分的面积＝a2﹣b2。 明明的作法：明明把左图沿虚线剪开，把剪掉的小长方形拼到剩下的大长方形的右侧，重新拼接后的图形如下： 所以阴影部分的面积为：（a+b）×（a﹣b）。 故答案为：15，5，15，200。 【点评】找出算式的规律、数与形的规律以及运用规律解决实际问题是解题的关键。 24．一张长方形桌子可以坐6个人，按照下图的方式摆放桌椅。 （1）像这样摆下去，x张桌子可以坐多少人？ （2）当x＝15时，一共可以坐多少人？ （3）像这样，摆多少张桌子可以坐60人？ 【答案】（1）（2x+4）人。 （2）34人。 （3）28张。 【分析】摆1张长方形桌子可以坐6个人，6＝2×3， 摆2张长方形桌子可以坐8个人，8＝2×4， 摆3张长方形桌子可以坐10个人，10＝2×5， …… 摆x张长方形桌子可以坐的人数：2（x+2）＝2x+4。 【解答】解：（1）x张桌子可以坐（2x+4）人。 （2）当x＝15时， 2×15+4 ＝30+4 ＝34（人） 答：当x＝15时，一共可以坐34人。 （3）2x+4＝60 2x＝56 x＝28 答：摆28张桌子可以坐60人。 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，发现每多1张桌子就多坐2人是解本题的关键。 25．如图是由边长为1的正方形按照某种规律排列而成的。 （1）观察图形，填写下表。 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 　 　 18 图形的周长 　 　 　 　 　 　 （2）推测第n个图形中，正方形的个数为 　 　，周长为 　 　。 【答案】13，18，28，38；（5n+3），（10n+8）。 【分析】（1）根据所给图示发现，第一个图形正方形的个数为：5+3＝8（个），周长为：10+8＝18；第二个图形正方形的个数为：5×2+3＝13（个），周长为：10×2+8＝28；第三个图形正方形的个数为：5×3+3＝18（个），周长为：10×3+8＝38；据此完成填表。 （2）根据（1）中的数据总结规律，完成填空即可。 【解答】解：（1）第一个图形正方形的个数为：5+3＝8（个），周长为：10+8＝18； 第二个图形正方形的个数为：5×2+3＝13（个），周长为：10×2+8＝28； 第三个图形正方形的个数为：5×3+3＝18（个），周长为：10×3+8＝38； 填表如下： 图形 ① ② ③ 正方形的个数 8 13 18 图形的周长 18 28 38 （2）推测第n个图形中，正方形的个数为（5n+3），周长为（10n+8）。 故答案为：13，18，28，38；（5n+3），（10n+8）。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 26．（如图所示）用小棒按下图摆六边形：摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，… ①像这样摆下去，摆m个六边形一共需要多少根小棒？（请用含有字母m的式子表示） ②当m＝10时，用第①题的式子计算摆10个六边形一共需要多少根小棒？ 【答案】①（5m+1）根； ②51根。 【分析】①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒，摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒，摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒，……，摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根。 ②把m＝10时，代入①中的公式，计算即可。 【解答】解：①摆1个六边形需要5+1＝6根小棒 摆2个六边形需要2×5+1＝11根小棒 摆3个六边形需要3×5+1＝16根小棒 …… 摆m个六边形需要小棒：（5m+1）根 答：摆m个六边形一共需要（5m+1）根小棒。 ②当m＝10时， 5×10+1 ＝50+1 ＝51（根） 答：摆10个六边形一共需要51根小棒。 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 27．如图1，在长方形ABCD中，点E从点A开始，以每秒3厘米的速度沿长方形的边AB、BC、CD匀速移动。随着点E的移动，三角形ADE的面积会不断发生变化。它的面积变化情况如图2所示。 （1）点E从点A开始移动，　 　秒后到达点B。 （2）图2中3秒到8秒表示点E在长方形的边 　 　上移动。 （3）长方形ABCD的面积是多少？ 【答案】3；BC；135平方厘米。 【分析】（1）通过观察统计图可知，点E从点A开始，3秒钟后到达点B。 （2）统计图中3秒到8秒表示点E在长方形边BC上移动。 （3）根据长方形的面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）点E从点A开始，3秒钟后到达点B。 （2）统计图中3秒到8秒表示点E在长方形边BC上移动。 8﹣3＝5（秒） （3×5）×（3×3） ＝15×9 ＝135（平方厘米） 答：长方形ABCD的面积是135平方厘米。 故答案为：3；BC。 【点评】此题考查的目的是理解掌握折线统计图的特点及作用，并且能够根据统计图提供的信息，解决有关的实际问题。 28．盐渎公园要铺设一条人行道，人行道长160米，宽1.6米，现在用边长都是0.4米的红、黄两种正方形地砖铺设（如图是铺设的局部图示）． （1）请算算铺设这条人行道一共需多少块地砖？ （2）铺设这条人行道共需要多少块红色地砖？ 【答案】（1）1600； （2）400。 【分析】（1）1.6米宽是4个每个地砖的宽，可以求出每个地砖边长，根据长方形面积公式：S＝ab，求出整个人行道的面积，然后除以每块地砖的面积，即可求出一共多少地砖； （2）观察图形可以发现，每个4×4的地砖为一组，每一组中有4块地砖，先求出人行道有几组，再乘4即可。 【解答】解：（1）每块地砖的边长为： 1.6÷4＝0.4（米） 需要地砖的块数： 160×1.6÷0.42 ＝160×1.6÷0.16 ＝160×10 ＝1600（块） 答：铺设这条人行道一共需1600块地砖。 （2）将图形按4×4分组，共有： 160÷16＝100（组） 红色地砖有： 100×4＝400（块） 答：铺设这条人行道共需要400块红色地砖。 【点评】本题主要考查了数与形结合的规律，找到图形中重复的部分，是本题解题的关键。 29．（1）把3幅画像下面这样钉在墙上，一共要用多少个图钉？ （2）如果一共有5幅画，还是按照（1）的方法钉在墙上，一共要用多少个图钉？ 【答案】8，12。 【分析】（1）钉第一幅图用4个，钉第二幅图用2个，钉第三幅图用2个，把它们的个数相加即可； （2）由（1）知，钉第一幅图用4个，钉剩下的4幅图都是用2个，由此可解。 【解答】解：（1）4+2×2 ＝4+4 ＝8（个） 答：一共要用8个图钉。 （2）4+2×4 ＝4+8 ＝12（个） 答：一共要用12个图钉。 【点评】本题考查了数与形结合的规律，结合图找出规律是解答此类题的关键。 30．杨辉三角，是中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现的一种几何排列．你能计算图中的杨辉三角中一共有多少个数字吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】经过观察发现，这些数字组成的三角形是等腰三角形，两腰上的数都是1，第1行有1个数字，第2行有2个数字，第，3行有3个数字，…，一共10行，有1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55（个）数字，据此解答即可． 【解答】解：根据分析可知： 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10＝55（个） 答：图中的杨辉三角中一共有55个数字． 【点评】本题考查了数与形结合的变化规律，主要培养学生的观察能力和总结能力． 31．如图所示，将1﹣12顺次排成圈。任意选择1﹣12中的一个数a，然后，从a的下一个数起顺时针（箭头所指方向）数a个数。例如a＝3，就从4开始顺时针数3个数到6；a＝11，就从12开始顺时针数11个数到10。 （1）请你尝试一下，看看你能发现哪些规律？并写出必要的尝试过程。 （2）是否存在这样一个数a，可以数到7？ 【答案】（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置； （2）不存在。 【分析】（1）当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置，由此解答本题； （2）依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，由此解答本题。 【解答】解：（1）当a＝5，就从6开始顺时针数5个数到10；当a＝10，就从11开始顺时针数10个数到8，我发现：当1≤a≤6时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应到达2a的位置；当7≤a≤12时，从a的位置顺时针走a个数的位置，应该到达（2a﹣12）的位置。 （2）不存在这样的数，依据（1）分析可知，无论a是什么数，结果总是走到偶数的位置，数不到7。 【点评】解决本题的关键是找出题中的规律，利用规律去解答。 32．用小棒按下面的方式拼图形． （1）如果按下面的规律拼成5个这样的五边形，一共要用　 　根小棒． 五边形 个数 拼成的形状 小棒根数 1 5 2 9 3 13 4 17 （2）接着拼下去，一共用了57根小棒，你知道一共拼成了多少个五边形吗？ 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由图示可知，拼1个五边形，需要小棒根数：5根；拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根）；拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根）；……有摆n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根）．根据规律计算即可． （2）由（1）的规律可知，当4n+1＝57时，n＝14． 【解答】（1）拼1个五边形，需要小棒根数：5根 拼2个五边形，需要小棒根数：5+4＝9（根） 拼3个五边形，需要小棒根数：5+4+4＝13（根） …… 有拼n个五边形，需要小棒根数：5+4×（n﹣1）＝（4n+1）（根） 当n＝5时，所需小棒根数： 4×5+1 ＝20+1 ＝21（根） 答：拼成5个这样的五边形，一共要用 21根小棒． （2）解：设一共拼成了x个五边形． 4x+1＝57 4x＝56 x＝14 答：一共拼成了14个五边形． 故答案为：21． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据所给图示发现图示排列的规律，并运用规律做题． 33． 像这样继续摆下去，第5个图形有多少根小棒？（要求列式计算并回答） 【答案】15根。 【分析】通过分析可知：第一个三角形有3根小木棒，第2个三角形有6根小木棒，第3个三角形有9根小木棒，可得第n个三角形有3n根小木棒，据此解答即可。 【解答】解：第一个三角形有3根小木棒，第2个三角形有6根小木棒，第3个三角形有9根小木棒， 可得第n个三角形有3n根小木棒； 3n＝3×5＝15 答：第5个图形有15根小木棒。 故答案为：15根。 【点评】根据题干中特殊的例子，推理得出这组图形的一般规律，是解决此类问题的关键。 34．1张桌子坐8人，2张桌子并起来坐12人，3张桌子并起来坐16人… （1）照这样，15张桌子并起来可以坐多少人？ （2）如果一共有40人，需要并多少张桌子才能坐下？ 【答案】（1）64；（2）9． 【分析】根据图示，1张桌子可坐：8，2张桌子并起来可坐：8+4＝12（人）；3张桌子并起来可坐：8+4+4＝16（人）；……；n张桌子并起来可坐：8+4（n﹣1）＝（4n+4）人． （1）15张桌子并起来，可坐人数：4×15+4＝64（人）． （2）4n+4＝40，则n＝9． 【解答】解：1张桌子可坐：8人 2张桌子并起来可坐：8+4＝12（人） 3张桌子并起来可坐：8+4+4＝16（人） …… n张桌子并起来可坐：8+4（n﹣1）＝（4n+4）人 （1）15张桌子并起来，可坐人数： 4×15+4 ＝60+4 ＝64（人） 答：15张桌子并起来可以坐64人． （2）4n+4＝40 4n＝36 n＝9 答：一共有40人，需要并9张桌子才能坐下． 【点评】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力． 35．任意写一个四位数（各个数位上的数字互不相同），将这个四位数的四个数字重新组合，求出其中最大的数与最小的数的差，再将得到的差像上面那样重新组合，重复这个过程，你发现了什么？ 【答案】我发现后面的算式会循环出现7641﹣1467＝6174。 【分析】按要求任意写一个四位数，将这个四位数的四个数字重新组合，组成一个最大的数和一个最小的数，用大数减去小数，重复进行，找出规律。 【解答】解：根据题意举例解答。如1234。 4321﹣1234＝3087 8730﹣3078＝5652 6552﹣2556＝3996 9963﹣3699＝6264 6642﹣2466＝4176 7641﹣1467＝6174 7641﹣1467＝6174 我发现后面的算式会循环出现7641﹣1467＝6174。 【点评】本题主要考查数列中的规律，找到规律是解题的规律。 36．学校有一块长方形试验田。如果这块试验田的长增加8米或宽增加5米，面积都比原来增加40平方米。原来试验田的面积是多少平方米？ 【答案】原来试验田的面积是40平方米。 【分析】由题意可知：当宽增加5米时，长不变，增加的面积已知，于是可以求出原来的长；当宽不变，长增加8米时，增加的面积已知，于是可以求出原来的宽，从而可以利用长方形的面积公式：S＝ab求出原来的面积。 【解答】解：原来的长：40÷5＝8（米） 原来的宽：40÷8＝5（米） 原来的面积：8×5＝40（平方米） 答：原来试验田的面积是40平方米。 【点评】此题主要考查长方形的面积的计算方法的灵活应用，关键是先求出原来的长和宽，进而求出原来的面积。 37．明明用围棋子摆出了下面三个图案。 如果像这样摆下去，第6个图案一共要用多少枚围棋子？ 【答案】25枚。 【分析】根据图案得出规律，每个图案中间是一枚黑色围棋子，第1个图案外围每边各有1枚，共有1×4+1＝5（枚）；第2个图案，外围每边各有2枚，共有2×4+1＝9（枚），第3个图案外围每边各有3枚，共有3×4+1＝13（枚），以此类推即可。 【解答】解：根据分析可知，第1个图案共有1×4+1＝5（枚）； 第2个图案共有2×4+1＝9（枚）； 第3个图案共有3×4+1＝13（枚）； ……； 第n个图案共有n×4+1＝（4n+1）（枚）； 所以第6个图案共有6×4+1＝25（枚）。 故答案为：25枚。 【点评】本题是图形与数字类的变化规律的综合问题，首先要探寻规律，认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；本题不仅要从图形中看规律，还要从数字变化看规律，两方面结合得出结论。 38．如图，数学实验室的窗户设计如图所示，如果每个符号代表一个数字，它们是837，571，206，439．求2018的图如何画？ 【答案】见试题解答内容 【分析】观察图案和数据可知：837，439第2位都是3，观察图形可知，只有第2行和第4行是这两个数，第2行和第4行的末尾数字图形是7或者9，而571是其中一个数，第1行和第3行只有第一行的第2个图形是前面的那个7或9，所以第1行的数字是571，第2行是439，第3行是206，第4行是837，据此即可得出代表1995的符号． 【解答】解：由图案和提供的数据可知：837，439第2位都是3，所以只有第2行和第4行是这两个数，第2行和第4行的末尾数字图形是7或者9，而571是其中一个数，第1行和第3行只有第一行的第2个图形是前面的那个7或9，所以第1行的数字是571，第2行是439，第3行是206，第4行是837； 即0，1，2，3，4，5，6，7，8，9分别用符号： 2018是： 【点评】本题考查了用符号（窗户形状）代表阿拉伯数码，解题的关键是由相同的数字得出对应的图案，找到突破口． 39．工人叔叔要堆放木材，如果最上面一层放1根，第二层放2根，第三层放3根，按这样的规律，这堆木材一共有20层，一共有多少根木材？ 【答案】210根 【分析】因为每一层都比上一层多1根，这堆木材形似梯形，上底为1，下底为20，高为20，利用梯形面积＝（上底+下底）×高÷2可求出这堆木材的根数。 【解答】解：（1+20）×20÷2 ＝21×20÷2 ＝420÷2 ＝210（根） 答：一共有210根木材。 【点评】此题重点考查利用梯形面积公式求等差数列的和。 40．有一本漫画书共27页，插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……照这样计算，这本书共有多少页插图？ 【答案】这本书共有15页插图。 【分析】因为插图和文字按页排列为文、文、图、图、图、文、文、图、图、图、文……所以，可知显示出周期循环的特点，按照文、文、图、图、图5页一个循环。27中有5个循环，剩下的第26，27页分别是文、文。据此答题即可。 【解答】解：经分析得： 27÷5＝5……2 5×3＝15（页） 答：这本书共有15页插图。 【点评】本题考查简单周期问题。结合发现的规律，利用带余除法解决问题即可。 41．一个表面涂满了颜料的长方体小盒子平放在桌面上（如图1），它的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。现在将它沿着最长的棱翻转第一次（如图2位置），接又沿着最长的棱翻转第二次（如图3），然后又沿着最长的棱翻转第三次……，这样翻转后拿走小盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹。 （1）如图2所示，翻转第一次后（不计算图1小盒子原来在桌面上的印迹）形成的印迹面积是 　 　平方厘米。 （2）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第4次翻转结束，留下的印迹总面积是 　 　平方厘米。 （3）如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第2023次翻转结束，留下的印迹总面积是 　 　平方厘米。 【答案】10，100，30340。 【分析】由题干中的长方体可知，上下两个面大小相等，左右两个侧面相等，前后两个面相等。第一层1次翻转后右侧面向下，第2次翻转后上面向下，第3次翻转后左侧面向下，第4次翻转后下面向下……据此分析解答。 【解答】解：（1）5×2＝10（平方厘米） 如图2所示，翻转第一次后（不计算图1小盒子原来在桌面上的印迹）形成的印迹面积是10平方厘米。 （2）4÷2＝2（个） （4×5+2×5）×2 ＝30×2 ＝60（平方厘米） 答：如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第4次翻转结束，留下的印迹总面积是60平方厘米。 （3）2023÷4＝505（个）……3（次） 60×505+4×5+5×2×2 ＝30300+20+20 ＝30340（平方厘米） 答：如果从第一次翻转形成印迹开始算起，到第2023次翻转结束，留下的印迹总面积是30340平方厘米。 故答案为：10，100，30340。 【点评】解决本题的关键是理解每次翻转后那个面向下，结合长方形的面积公式，分析解答即可。 42．孙悟空在去西天取经的路上又遇到了妖精，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变成一个孙悟空，每次变化的时间是2秒钟（一个孙悟空一次只能拔一根毫毛）。如果要变化出15个孙悟空，最短需要多少时间？请你用喜欢的方式将你的想法展示出来。（画图、列表、列式等方式均可） 【答案】 8秒。 【分析】根据题意，它每次拔一根毫毛就能变成一个孙悟空，变出的孙悟空也能每次拔一根毫毛变成一个孙悟空；据此画出示意图如下： 【解答】解：根据题意，画示意图如下： 1+2+4+8＝15（个） 4×2＝8（秒） 答：如果要变化出15个孙悟空，最短需要8秒钟。 【点评】求出变化的次数，是解答此题的关键。 43．如图，1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么10个这样的杯子叠起来的高度是多少厘米？ 【答案】37.5厘米。 【分析】1个杯子的高度是15cm，把5个完全一样的杯子叠起来的高度是25cm，那么上面每个杯子露出（25﹣15）÷4＝2.5（厘米），然后求出上面9个杯子露出的高度，再加上15厘米即可。 【解答】解：（25﹣15）÷4 ＝10÷4 ＝2.5（厘米） 2.5×（10﹣1）+15 ＝22.5+15 ＝37.5（厘米） 答：10个这样的杯子叠起来的高度是37.5厘米。 【点评】本题考查数和形中的找规律问题，找到共同特征解决问题即可。 44．观察如图，回答问题。 （1）根据前4个图形的规律拼摆，第6个图形需要几根小棒？ （2）摆第n个图形需要几根小棒？把探索过程用你喜欢的方式表示出来。 【答案】（1）13，（2）2n+1。 【分析】第一个图形需3根小棒，第二个图形需3+2根小棒，第三个图形需3+2×2根小棒；第四个图形需3+2×3根小棒……（1）摆第6个图形即可求。（2）摆n个图形即可求。 【解答】解：（1）3+2×5 ＝3+10 ＝13（根） 答：第6个图形需要6根小棒。 （2）3+2×（n﹣1） ＝3+2n﹣2 ＝2n+1 答：摆第n个图形需要2n+1根小棒。 【点评】仔细观察，比较总结规律是解决本题的关键。 45．快乐提升： 如图，摆一个三角形用3根小棒，增加2根，可以摆出一个平行四边形，继续增加2根，摆出一个梯形，照这样摆下去，21根小棒能摆出一个什么样的图形？51根呢？ 【答案】见试题解答内容 【分析】根据图示可知：摆1个三角形需要小棒：3根；摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根）；摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根）；……摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根．根据规律计算21、51根小棒可以摆几个三角形，进而判断其形状． 【解答】解：摆1个三角形需要小棒：3根 摆2个三角形需要小棒：3+2＝5（根） 摆3个三角形需要小棒：3+2+2＝7（根） …… 摆n个三角形需要小棒：3+2（n﹣1）＝（2n﹣1）根 由图形可以知道：奇数个（1除外）三角形可以摆成梯形，偶数个三角形可以摆成平行四边形． 21根小棒摆三角形的个数： 2n﹣1＝21 2n＝22 n＝11 11为奇数 51根小棒摆成三角形的个数： 2m﹣1＝51 2m＝52 m＝26 26为偶数 答：21根小棒可以摆成梯形；51根小棒可以摆成平行四边形． 【点评】本题主要考查数与形结合的规律，关键根据图示发现其规律，并运用规律做题． 46．根据已知条件填表． 小兰像下面这样摆正方形，摆1个用4根小棒，摆2个用8根小棒… 摆1个 摆2个 摆3个 … 摆10个 摆　 　个 4根 8根 　 　根 … 　 　根 100根 【答案】见试题解答内容 【分析】摆1个正方形需要4根；摆2个正方形需要4×2＝8根；摆3个正方形需要4×3＝12根…，摆n个正方形需要4×n＝4n根．据此解答即可． 【解答】解：4×3＝12（根） 4×10＝40（根） 4×25＝100（根） 摆1个 摆2个 摆3个 … 摆10个 摆 25个 4根 8根 12根 … 40根 100根 故答案为：25，12，40． 【点评】此题是考查数形结合探索规律的问题，根据前几个图形的分析，归纳出规律，是解决此题的关键． 47．某校排练体操，一圈套一圈地围成若干圈，从外向内人数依次减少4．如果围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人，参加排练的有多少人？ 【答案】见试题解答内容 【分析】无论是围成8圈 还是围成4圈，总人数是不变的．我们把围成8圈的每层从外到内依次叫做8、7、6、5、4、3、2、1层．围成4圈的从外到内，每层分别叫做D、C、B、A层．“围成8圈的最外圈人数比围成4圈的最外圈人数少20人”即8层比D层少20人，因为每层人数依次减少4人，相对应的7层比C层少20人，6层比B层少20人，5层比A层少20人，可以看出8圈的最外边4层一共就比4圈的少了80人，这80人跑哪了？其实就是8圈的最内4层4、3、2、1层的总人数．由此解答． 【解答】解：先求围成8圈时最内4层的人数： 1层+2层+3层+4层＝80（人） 再求外4层的人数： 那么5层+6层+7层+8层＝80+16×4＝144（人） 求总人数： 80+144＝224（人） 答：参加排练的有224人． 【点评】方阵问题相关的知识点是：四周的人数＝（每边的人数﹣1）×4，每边的人数＝四周的人数÷4+1，中实方阵的总人数＝每边的人数×每边的人数，空心方阵的总人数＝（最外层每边的人数﹣空心方阵的层数）×空心方阵的层数×4． 48．仔细观察如图与算式的规律，并填空。 （1）（n+1）2﹣n2＝　 　 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝　 　 【答案】2n+1；45。 【分析】根据仔细观察如图与算式的规律，可知（n+1）2﹣n2＝2n+1；利用发现的规律，102﹣92+82﹣72+62﹣52＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52），然后结合规律解答即可。 【解答】解：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算： 102﹣92+82﹣72+62﹣52 ＝（102﹣92）+（82﹣72）+（62﹣52） ＝10+9+8+7+6+5 ＝45 答：（1）（n+1）2﹣n2＝2n+1。 （2）利用发现的规律计算：102﹣92+82﹣72+62﹣52＝45。 故答案为：2n+1；45。 【点评】本题考查了算式的规律，首先仔细观察如图与算式，找出规律，然后结合题意分析解答即可。 49．小华把一些珠子放在桌子上的15个盒子中，已知盒子中的珠子数按盒子从左往右的顺序成一个等差数列，任一盒子中不止两颗珠子，并且从左数第8个盒子中有24颗珠子．请问：这15个盒子中一共有多少颗珠子？ 【答案】见试题解答内容 【分析】15个盒子中的珠子从左到右是一个项数为15的等差数列，其中第8个盒子中的珠子数为中间项，根据等差数列的意义，与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项……因此，这15项之和就是等于中间项乘中间项数． 【解答】解：24×15＝360（颗） 答：这15个盒子中一共有360颗珠子． 【点评】解答此题的关键是明白：与中间项相邻的左、右两项之和等于中间项，与中间项相隔1项的左、右两项之和也等于中间项…… 50．自学下面这段材料，然后回答问题。 我们知道，在整数中“两个数的和等于这两个数的积”的情形并不多， 例如：2+2＝2×2。但是在分数中，这种现象却很普遍。 请观察下面的几个例子： 因为：4，4，所以。 因为：5，5，所以。 根据以上结果，我们发现了这样的一个规律：两个分数，如果它们的 　 　相同，并且 　 　，那么这两个分数的和等于它们的积。 例如：　 　+　 　＝　 　×　 　。 【答案】分子；两个分母的和等于分子；；；；。 【分析】（1）根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个分数的和等于它们的积。 （2）根据找出的规律，写出符合规律的算式即可。 【解答】解：（1）根据以上结果，我们发现了这样一个规律，两个分数，如果分子相同，并且两个分母的和等于分子，那么这两个分数的和等于它们的积。 （2）根据规律写出算式为：。 故答案为：分子；两个分母的和等于分子；；；；。 【点评】解决本题的关键是根据所给例子，我们发现了这样一个规律，两个分数，分子相同，并且两个分数的分母的和等于分子，两个数的和等于它们的积，再利用规律写算式即可。 学科网（北京）股份有限公司 $$