《1.3一元二次方程的根与系数的关系》自主学习同步练习题2024-2025学年苏科版数学九年级上册

2024-2025学年苏科版九年级数学上册《1.3一元二次方程的根与系数的关系》 自主学习同步练习题（附答案） 一、单选题 1．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，则下列正确的等式是（   ） A． B． C． D． 2．关于的方程的两根为1和，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 3．若关于的一元二次方程有一个根是，则方程的另一个根是（    ） A． B． C． D． 4．若m，n是一元二次方程的两个根，则的值是（    ） A．0 B．4 C．6 D．12 5．若非零实数，（）满足，，则的值是（    ） A． B． C． D． 6．已知a、b、c是的三条边的长，那么方程的根的情况是（ ） A．没有实数根 B．有两个不相等的负实数根 C．有两个相等的负实根 D．只有一个实数根 7．设，是方程的两根，则的值是（    ） A． B．1 C．5 D． 8．若是方程的两个根，则的值为（    ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 二、填空题 9．设、是关于x的方程的两个根，则 . 10．若是关于的一元二次方程的一根，则的值为 ，另外一根等于 ． 11．已知方程的两个根分别为，则的值为 ． 12．若和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ． 13．已知 ，是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则m的值为 ． 14．已知矩形的周长为，面积为，且和的长恰好是方程的两根，则 ． 15．已知、是方程的两根，则的值为 ． 16．已知关于x的一元二次方程有两个实数根和． ①实数m的取值范围是 ； ②当时，实数m的值为 ． 三、解答题 17．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，求的值． 18．已知、是方程的两个实数根，求下列各代数式的值． (1)； (2)； 19．定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰方程”．已知是关于x的凤凰方程，m是此方程的一个根，求m的值． 20．已知关于x的方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)若满足，求k的值． 21．已知的一条边的长为5，另两边的长是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求证：无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； (2)为何值时，是以为斜边的直角三角形？ (3)为何值时，是等腰三角形？ 22．已知关于x的一元二次方程． (1)求证∶不论m取何实数，此方程总有两个实数根． (2)若平行四边形的两边的长是关于该方程的两个实数根． ①当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； ②若的长为3，那么平行四边形的周长是多少？ 23．阅读材料后解答问题∶ 材料1：已知一元二次方程的两个实数根分别为m， n，求的值． 解： ∵一元二次方程的两个实数根分别为m， n，    ∴，， 则． 材料2：已知实数a、b满足，，且，求的值． 解：依题意得：a与b为方程的两根， ∴，，∴ 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题∶ (1)材料理解：一元二次方程的两个根为和，则 ， ． (2)类比应用：已知一元二次方程的两根分别为m、n，求的值． (3)思维拓展：已知实数s、t满足，，且，求的值． 参考答案： 1．解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴． 故选：B． 2．解：由题意，，， ∴，，故B正确． 故选：B． 3．解：设另一个根为，依题意得，， ∴ 故选：A． 4．解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 5．解：∵非零实数，()满足，， ∴是方程的解， ∴，， ∴， 故选：． 6．解：在方程中， 可得：， ∵a、b、c是的三条边的长， ∴．，即， ∴， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， 又∵两根的和是，两根的积是， ∴方程有两个不等的负实根． 故选：B． 7．解； ，是方程的两根， ，，，， ，． ， 故选C． 8．解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∵是方程的两个根， ∴， ∴， 故选：D． 9．解：根据题意可得，， ， 故答案为：． 10．解：将代入原方程，得：， 解得：，． 方程为一元二次方程， ， 原方程为， 方程的另一个根为． 故答案为：； 11．解：方程的两个根分别为和， ，， 则， 故答案为：． 12．解：∵和是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴即，， ∴， 故答案为：． 13．解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：4． 14．解：和的长恰好是方程的两根， ，， 矩形的周长为，面积为， ，， ，， ， 故答案为：． 15．解：∵、是方程的两根， ∴， ∴． 故答案为． 16．解：①关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ， 解得； 故答案为：． ②关于x的二元一次方程有两个实数根和， ， ，， 或， 当时，，解得， ， 不合题意舍去； 当时，， ， ， 解得， 故答案为：． 17．解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：； ∵、是方程的实数根， ∴，， ∴， 解得：，， 又∵， ∴． 18．（1）解：∵、是方程的两个实数根， ∴，． （2）解： 19．解：根据“凤凰方程”的定义知是一元二次方程的根； ①当时，是关于x的凤凰方程； ②当时， ∵m是方程的一个根， ∴， 解得． 综上所述，m的值是2或． 20．（1）解：由题意得，， 解得，， ∴k的取值范围为． （2）解：∵， ∴，． ∵， ∴，即，整理得． 解得或（舍去）． ∴， ∴k的值为6． 21．（1）证明：由题意得， ， ∴无论为何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：∵的长是关于的一元二次方程的两个实数根， ∴， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴； （3）解：由（1）可知方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴为腰， ∴是方程的一个根， ∴， ∴， 解得或． 22．（1）证明：∵ ， ∴无论m取何值，方程总有两个实数根； （2）解：①∵平行四边形是菱形， ∴， ∴，即，解得， 方程化为，解得， ∴菱形的边长为2． ②设， ∵且AB，AD的长是方程的两个实数根． ∴，， ∴消去，得，即， ∴平行四边形的周长为 23．（1）解：一元二次方程的两个根为，， ， 故答案为：3；． （2）解：一元二次方程的两根分别为m，n， ， ． （3）解：实数s，t满足，且， s，t是一元二次方程的两个实数根， ． ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $$