第二十三章　旋　转 习题课件 2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十三章　旋　转 23.1　图形的旋转 第2课时　旋转性质的综合应用 1. 如图,P是等边三角形ABC的边BC上的一点,连接AP,将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°得到△ACQ,连接PQ.若∠APC=104°,则∠PQC的度数为 (　　) A. 14° B. 16° C. 24° B. 26° B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 2. 如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=1,AB=2,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转90°得到△AB'C',连接CC',则CC'的长为 (　　) A. 4 B. 6 C. D. 2 C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3. 如图,正方形OABC的边长为2,将正方形OABC绕点O按逆时针方向旋转角度α(0°<α<180°)得到正方形OA'B'C',连接BC'.当点A'恰好落在线段BC'上时,线段BC'的长是　　　　.  4. 如图,在△ABC中,AB=10,将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1,则阴影部分的面积为　　　　. + 25 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 5. 如图,在正方形ABCD中,P是对角线AC上的一个动点(不与点A,C重合),连接BP,将BP绕点B按顺时针方向旋转90°得到BQ,连接QP交BC于点E, QP的延长线与边AD交于点F,连接CQ. (1) 求证:AP=CQ; (1) 由题意,得BP=BQ,∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=90°. ∵ 四边形ABCD是正方形,∴ AB=CB,∠ABC=∠ABP +∠CBP=90°.∴ ∠ABP=∠CBQ.在△ABP和△CBQ 中,∴ △ABP≌△CBQ.∴ AP=CQ 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 若正方形的边长为4,且PC=3AP,求线段AP的长. (2) 由(1),知∠ABC=90°,AB=CB.∴ 在Rt△ABC中, AC===4.又∵ PC=3AP,∴ AC=AP+PC=AP+3AP=4AP=4.∴ AP= 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 6. 如图,在边长为2的正方形ABCD中,若将AB绕点A按逆时针方向旋转60°,使点B落在点B'的位置,连接BB',过点D作DE⊥BB',交BB'的延长线于点E,则B'E的长为 (　　) A. -1 B. 2-2 C. D. A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 7. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,AB=8,P是AC上的动点.连接BP,以BP为边作等边三角形BPQ,连接CQ,则线段CQ长的最小值是 (　　) A. 2 B. 4 C. 2 D. +2 A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 解析:如图,取AB的中点E,连接CE,EP,则BE=AE=4.∵ ∠ACB=90°,∠A= 30°,∴ ∠CBE=60°.∵ BE=AE=4,∴ CE=BE=AE=4.∴ △BCE为等边三角形.∴ BC=BE.∵ △BPQ为等边三角形,∴ QB=PB,∠PBQ=∠CBE= 60°.∴ ∠QBC=∠PBE.在△QBC和△PBE中,∴ △QBC≌△PBE.∴ CQ=EP.∴ 当EP⊥AC时,CQ的长最小.在Rt△AEP中, ∵ AE=4,∠A=30°,∴ EP=AE=2.∴ 线段CQ长的最小 值是2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 8. 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转角度α(0°<α<90°),得到△A'B'C,设A'C交边AB于点D,连接AA'.若△AA'D是等腰三角形,则旋转角α的度数为　　 　　.  　　　 9. 如图,在△ABC中,AB=,AC=4,以点C为旋转中心,将线段CB按顺时针方向旋转90°得线段CD,连接AD,则AD长的最小值为　　　　. 20°或40° 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 10. 如图,将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG,点B与点E对应,点E恰好落在边AD上,BH⊥CE于点H. (1) 求证:AB=BH; (1) ∵ 四边形ABCD是矩形,∴ ∠ADC=90°,AD∥BC, AB=CD.∴ ∠DEC=∠BCH.∵ ∠ADC=90°,BH⊥CE, ∴ ∠ADC=∠BHC=90°.由旋转的性质,知CE=CB.在 △EDC和△CHB中,∴ △EDC≌△CHB.∴ CD=BH. ∴ AB=BH 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 连接BG,交CH于点O,若AB=5,BC=13,求BG的长. (2) 易得AB=BH=CG.在矩形FECG中,∠ECG=90°. 在△HBO和△CGO中, ∴ △HBO≌△CGO.∴ OH=OC,OB=OG.在Rt△BCH 中,BH=AB=5,BC=13,由勾股定理,得CH==12.∴ OH=CH=6.在Rt△OHB中,由勾股定理,得OB==,∴ BG=2OB=2 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 11. 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α得到△DEC,点A,B的对应点分别是D,E. (1) 如图①,当点E恰好在边AC上时,求∠ADE的度数; (1) ∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转角度α得到△DEC, 点E恰好在边AC上,∴ CA=CD,∠DCE=∠ACB=30°, ∠DEC=∠ABC=90°.∴ ∠CAD=∠CDA=×(180°-30°) =75°.∴ ∠ADE=90°-75°=15° 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 (2) 如图②,若α=60°,F是边AC的中点,连接BF,BE,DF,BE与AC相交于点G,试判断BF与DE之间的数量关系和位置关系. (2) ∵ 在Rt△ABC中,F是边AC的中点,∴ AF=CF=BF=AC. ∵ ∠ACB=30°,∴ ∠A=60°,AB=AC.∴ CF=BF=AB.∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△DEC,∴ ∠BCE =∠ACD=60°,∠A=∠CDE=60°,BC=EC,AB=DE.∴ △BEC 为等边三角形,∠ACD=∠CDE,CF=DE=BF.∴ BE=CB=EC.在△CDE和△DCF中,∴ △CDE≌△DCF.∴ CE=DF.∴ BE=DF.又∵ BF=DE,∴ 四边形BEDF是平行四边形.∴ BF∥DE 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 $$第二十三章　旋　转 23.2　中心对称 23.2.2　中心对称图形 1. (教材P67练习第2题变式)(2023·济宁)下列图形中,是中心对称图形的为 (　　) 2. 下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的为 (　　) B C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图所示为一个中心对称图形,它的对称中心是　　　　　　 　　　 . 4. 在如图所示的方格纸中,若选择一个标有序号的小正方形涂上阴影,使其与图中阴影部分组成中心对称图形,则该小正方形的序号是　　　　. 5. 如图所示为一个中心对称图形,点A为对称中心.若∠C=90°,∠B=30°, BC=1,则BB'的长为　　　　. 线段CD(或BE)的中点 ② 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图所示为一个中心对称图形,请利用中心对称的知识补全图形的另一部分(点A为对称中心). 如图所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 如图①②,在由边长为1的小等边三角形构成的网格图中,每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影.请在余下的空白小等边三角形中,分别按下面的要求选取一个涂上阴影(请将两个小题依次作答在图①②中,均只需画出符合条件的一种情形): (1) 使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形; (2) 使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形. 答案不唯一,如 (1) 轴对称图形如图①所示　 (2) 中心对称图形如图②所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. (2023·广西)下列图形中,是中心对称图形的为 (　　) 9. (2023·陕西)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的为 (　　) A C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,四边形ABCD是菱形,O是两条对角线的交点,过点O的三条直线将菱形分成阴影部分和空白部分.若菱形的两条对角线的长分别为6和18,则阴影部分的面积为　　　　.  27 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E,F是边AB上 的点,且EF=AB;G,H是边BC上的点,且GH=BC.若S1,S2分 别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的数量关系 是　　　　　　. S1=S2 解析:如图,连接OA,OB,OC.∵ 易得==,==,∴ S1= S△AOB,S2=S△BOC.∵ 点O是▱ABCD的对称中心,∴ S△AOB =S△BOC=S▱ABCD.∴ S1=S2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,方格纸中有三个点A,B,C,要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边(包括顶点)上,且四边形的顶点在方格的顶点上. (1) 在图①中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形; (2) 在图②中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形; (3) 在图③中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形. 答案不唯一,如 (1) 如图①所示　 (2) 如图②所示　 (3) 如图③所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. (教材P70习题23.2第8题变式)知识背景:过中心对称图形的对称中心的任意一条直线都将其分成全等的两个部分. (1) 如图①,直线EF经过▱ABCD对角线的交点O,则S四边形AEFB　 S四边形DEFC (填“>”“<”或“=”);  (2) 如图②,两个正方形按如图②所示的方式摆放, O为小正方形对角线的交点,求作过点O的直线将 整个图形分成面积相等的两部分; (3) 八个大小相同的正方形按如图③所示的方式 摆放,求作直线将整个图形分成面积相等的两部 分(用三种方法分割). = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如图①所示　 (3) 如图②所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十三章　旋　转 23.2　中心对称 23.2.1　中心对称 1. 如图, △ABC与△A'B'C'是中心对称的两个图形,下列说法中,不一定正确的是 (　　) A. S△ABC=S△A'B'C' B. AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C' C. AB∥A'B',BC∥B'C',AC∥A'C' D. S△ABO=S△A'B'C' D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 下列各图中,四边形ABCD是正方形,其中阴影部分两个三角形成中心对称的是 (　　) 3. 下列两个电子数字成中心对称的是 (　　) A A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. 如图,点A与点C关于点O对称,点B与点D也关于点O对称.若BC=3,OD= 4,则AB的长可能是 (　　) A. 3 B. 4 C. 7 D. 11 5. 在▱ABCD中,O是AC的中点,EF⊥AC于点O,交AD所在直线于点E,交BC所在直线于点F,则线段DE关于点O中心对称的线段为　　　　.  6. 如图,将△ABC绕点C(0,-1)旋转180°得到△A'B'C.若点A 的坐标为(-4,-3),则点A'的坐标为　　　　. C BF (4,1) 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图,正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称,已知A,D1,D三点的坐标分别是(0,4),(0,3),(0,2). (1) 求对称中心的坐标; (2) 写出顶点B,C,B1,C1的坐标. (1) 由题意,可得对称中心是D1D的中点.∵ 点D1,D的坐标 分别是(0,3),(0,2),∴ 对称中心的坐标是(0,2.5)　 (2) ∵ 点A,D的坐标分别是(0,4),(0,2),∴ 正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是2.∴ 点B,C的坐标分别是(-2,4),(-2,2).∵ A1D1=2,点D1的坐标为(0,3),∴ 点A1的坐标为(0,1).∴ 点B1的坐标为(2,1),点C1的坐标为(2,3) 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 有下列关于中心对称的说法:① 关于某点成中心对称的两个图形是全等图形;② 两个全等三角形必关于某一点成中心对称;③ 若两个三角形对应顶点的连线都经过同一点,则这两个三角形关于该点成中心对称.其中,正确的有 (　　) A. 0个　 B. 1个　 C. 2个　 D. 3个 B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. (教材P66练习第2题变式)如图,在平面直角坐标系中,若△ABC与△A1B1C1关于点E成中心对称,则对称中心点E的坐标是 (　　) A. (3,-1) B. (0,0) C. (2,-1) D. (-1,3) A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 10. 如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=6,点O是矩形的对称中心.点E,F分别在边AD,BC上,连接OE,OF.若AE=BF=2,则OE+OF的值为 (　　) A. 2 B. 5 C. D. 2 11. 如图,AB=3,AC=1,∠D=90°,△DEC与△ABC关于点C成中心对称,则AE的长是　　　　. D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,点O是▱ABCD的对称中心,E,F分别为边BC,AD上 任意一点,且O,E,F三点在同一条直线上,连接AO,BO,EO, FO.若AB=4,BC=6,∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积 是　　　　. 3 解析:如图,连接CO,过点A作AH⊥BC于点H.∵ AB=4,∠ABC=60°, ∠AHB=90°,∴ ∠BAH=30°.∴ BH=AB=2.∴ 易得AH=2.由题意,易得A,O,C三点在同一条直线上,∴ S△ABC=BC·AH=×6×2=6.又∵ 点O是▱ABCD的对称中心,∴ O是AC的中点.∵ O,E,F 三点在同一条直线上,∴ AO=CO,FO=EO,∠AOF=∠COE. ∴ △AOF≌△COE.∴ S△AOF=S△COE.∴ S阴影=S△BOC= S△ABC=3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 如图,在平面直角坐标系中,每个小方格都是边长为1个单位长度的小正方形,△ABC的顶点均在格点上,点P的坐标为(-1,0).按要求作图并回答问题: (1) 把△ABC绕点P旋转180°得到△A'B'C'.　 (2) 把△ABC向右平移7个单位长度得到△A″B″C″. (3) △A'B'C'与△A″B″C″是否成中心对称?若是,请找出 对称中心点P',并直接写出其坐标;若不是,请说明理由. 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (1) 如图,△A'B'C'即为所求作　 (2) 如图,△A″B″C″即为所求作　 (3) 成中心对称　点P'的位置如图所示　点P'的坐标为(2.5,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,在△ABC中,AB=AC,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转180°得到△FEC,连接AE,BF.　 (1) 试猜想AE与BF之间的关系,并说明理由; (1) AE∥BF,AE=BF　理由:∵ △ABC绕点C按顺时针 方向旋转180°得到△FEC,∴ △ABC与△FEC关于点 C成中心对称.∴ AC=FC,BC=EC.∴ 四边形ABFE为平 行四边形.∴ AE∥BF,AE=BF. 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 若△ABC的面积为3cm2,求四边形ABFE的面积; (2) ∵ AC=FC,∴ S△BCF=S△ABC=3cm2.又∵ BC=EC, ∴ S△ACE=S△ABC=3cm2.由旋转,得S△FEC=S△ABC=3cm2, ∴ S四边形ABFE=3×4=12(cm2) 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (3) 当四边形ABFE为矩形时,求∠ACB的度数. (3) ∵ 四边形ABFE为矩形,∴ AF=BE.又∵ AC=FC,BC =EC,∴ AC=BC.∵ AB=AC,∴ AB=AC=BC.∴ △ABC为 等边三角形.∴ ∠ACB=60° 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十三章　旋　转 23.3　课题学习　图案设计 1. (2022·内江)如图,在平面直角坐标系中,点B,C,E在y轴上,点C的坐标为(0,1),AC=2,Rt△ODE是Rt△ABC经过某些变换得到的,则正确的变换是 (　　) A. △ABC绕点C按逆时针方向旋转90°,再向下平移1个单位 长度 B. △ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,再向下平移1个单位 长度 C. △ABC绕点C按逆时针方向旋转90°,再向下平移3个单位长度 D. △ABC绕点C按顺时针方向旋转90°,再向下平移3个单位长度 D 1 2 3 4 5 第1题 2. 如图,在△OAB中,∠1=∠2.将△OAB绕点O按顺时针方向旋转180°,点A的对应点记为C,点B的对应点记为D,连接BC,DA得到四边形ABCD. (1) 补全图形. (1) 如图所示 第2题 1 2 3 4 5 (2) 有下列选项:① 矩形;② 菱形;③ 正方形.其中,四边形ABCD为　　 (填序号).请说明理由. ① (2) 理由:∵ ∠1=∠2,∴ OA=OB.由旋转的性质,知 OA=OC,OB=OD,点A,O,C共线,点B,O,D共线,∴ 四 边形ABCD是平行四边形,AC=2OA,BD=2OB.又∵ OA=OB,∴ AC=BD.∴ 四边形ABCD是矩形. 第2题 1 2 3 4 5 3. 利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图案.如图②所示的图案是由图①的基本图案以点O为旋转中心,按顺时针(或逆时针)方向旋转角度α,依次旋转四次而组成,则α不可能是 (　　) A. 36° B. 72° C. 144° D. 216° A 1 2 3 4 5 4. 如图,在方格纸中,图形②可以看成是图形①经过若干次图形变化(平移、轴对称、旋转)得到的,写出一种由图形①得到图形②的变化过程:     　 .  1 2 3 4 5 答案 不唯一,如图形①绕点D按顺时针方向旋转90°,再向下平移3个单位长度 得到图形② 5. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,2),B(5, 5),C(1,1).　 (1) 画出将△ABC向下平移5个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点A1的坐标; (2) 画出△A1B1C1绕点C1按逆时针方向旋转90°后得到的△A2B2C1,并写出点A2的坐标. 1 2 3 4 5 (1) 如图,△A1B1C1即为所求作, 点A1的坐标为(5,-3)　 (2) 如图,△A2B2C1即为所求作, 点A2的坐标为(0,0) $$第二十三章　旋　转 小专题(五)　巧用旋转的性质解题 类型一　利用旋转的性质求角度 1. 如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=70°,将△ABC绕点A按顺时针方向旋转70°,点B,C旋转后的对应点分别是B',C',连接BB',则∠B'BC'的度数是 (　　) A. 35° B. 40° C. 50° D. 55° 　　　 　　　 　　　 D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 如图,在正方形ABCD中,E为CD上一点,连接BE,∠EBC=15°,将△EBC绕点C按顺时针方向旋转90°得到△FDC,连接EF,则∠EFD的度数为 (　　) A. 15° B. 20° C. 25° D. 30° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 如图,P为等边三角形ABC内一点,且PA=3,PB=4,PC=5,则∠APB=　　 . 4. 如图,在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,P为三角形内一点,且PC =,PB=1,PA=,则∠BPC=　　　　. 150° 135° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型二　利用旋转的性质求线段的长度 5. 如图,△ABC是等边三角形,点P在△ABC内,PA=2,将△PAB绕点A按逆时针方向旋转得到△QAC,则PQ的长为 (　　) A. 2 B. C. D. 1 A 第5题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,CD是△ABC的边AB上的中线,将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°后,点A的对应点E恰好落在边AC上.若AD=,BC=,则AC的长为 (　　) A. B. 3 C. 2 D. 4 7. 如图,P是正方形ABCD内一点,PA=1,PB=2,∠APB=135°,则PC=　　 . B 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=2,BC=3,将△ABC绕点C按逆时针方向旋转60°,得到△EDC,连接AD,则AD的长是　　　　. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 如图,点E在正方形ABCD的边CD上.将△ADE绕点A按顺时 针方向旋转90°到△ABF的位置.连接EF,过点A作EF的垂线, 垂足为H,与BC交于点G.如果BG=3,CG=2,那么CE的长为　 . 解析:如图,连接EG.由题意,可知△ADE≌△ABF,∴ AE=AF,DE=BF.又∵ AG⊥EF,∴ H为EF的中点.∴ AG垂直平分EF.∴ EG=FG.易知正方形ABCD的边长为3+2=5.设CE=x,则DE=BF=5-x.∴ FG=BF+BG=8-x.∴ EG =8-x.∵ ∠C=90°,∴ 在Rt△CEG中,CE2+CG2=EG2,即x2+22 =(8-x)2,解得x=.∴ CE的长为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型三　利用旋转的性质求最值 10. 如图,在正方形ABCD中,AB=4,E为AB上一点,点F在BC上,且BF=1.连接EF,将EF绕着点F按顺时针方向旋转90°得到GF,连接DG,则DG长的最小值为 (　　) A. 2 B. 2 C. 3 D. C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=60°,BC=2,将 △ABC绕点C按顺时针方向旋转得△EDC,连接AE,取AE的 中点F,连接BF,则BF长的最大值为　　　　. + 解析:取AC的中点M,连接BM,MF.在Rt△ABC中,∵ ∠ACB=90°,∠ABC =60°,BC=2,∴ 易得∠BAC=30°,AB=4.∴ AC==2.∴ CM =.∴ BM==.∵ F是AE的中点,∴ MF是△ACE的中位线.∴ 易得MF=CE=AC=.∵ BF≤BM+MF=+,∴ 当B,M,F三点共线时,BF长有最大值,为+. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 类型四　利用旋转的性质进行推理或探究数量关系 12. 在正方形ABCD中,F为正方形ABCD内的点,△BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA重合. (1) 如图①,若正方形ABCD的边长为2,BE=1,FC=,求证:AE∥BF; 第12题 (1) ∵ △BFC绕点B按逆时针方向旋转90°后与△BEA 重合,∴ BE=BF=1,∠EBF=∠ABC=90°,∠AEB=∠CFB. ∵ BF2+FC2=12+()2=4,BC2=22=4,∴ BF2+FC2=BC2.∴ ∠CFB=90°=∠AEB.∴ ∠AEB+∠EBF=180°.∴ AE∥BF 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如图②,若F为正方形ABCD对角线AC上的点(不与点A,C重合),试探究AE,AF,BF之间的数量关系,并加以证明. 第12题 (2) AE2+AF2=2BF2　∵ △BFC绕点B按逆时针方向旋转 90°后与△BEA重合,∴ BE=BF,∠EAB=∠FCB,∠EBF= 90°.∴ 2BF2=EF2.∵ AC是正方形ABCD的对角线,∴ ∠BCA=∠BAC=45°.∴ ∠EAF=∠EAB+∠BAC=∠FCB +∠BAC=45°+45°=90°.∴ AE2+AF2=EF2.∴ AE2+AF2 =2BF2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α. (1) 如图①,若α=60°,D为边BC上一点,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转角度α至AE位置,连接DE,CE. ① △ADE的形状为　　　 　;  ② BD与CE的数量关系为　　　　,∠BCE=　　　　.  第13题 等边三角形 BD=CE 120° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 如图②,若α=90°,D为边BC的延长线上一点,连接AD,将线段AD绕点A按逆时针方向旋转角度α至AE位置,连接DE,CE. ① 判断BD和CE的数量关系,并说明理由; ① BD=CE　理由:由题意,知∠BAC=α=90°=∠DAE, ∴ ∠BAD=∠CAE.由旋转的性质,知AD=AE.在△BAD 和△CAE中,∴ △BAD≌△CAE. ∴ BD=CE.　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ② 求∠BCE的度数. ② ∵ ∠BAC=90°,AB=AC,∴ ∠B=∠ACB= =45°.∵ △BAD≌△CAE,∴ ∠ACE =∠B=45°.∴ ∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°. ∴ ∠BCE=90° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 若α=90°,BC=3,将(2)中“D为边BC的延长线上一点”改为“D为直线BC上一点”,其余条件不变,当CD=1时,直接写出DE的长. (3) 或 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十三章　旋　转 23.2　中心对称 23.2.3　关于原点对称的点的坐标 1. (教材P69练习第2题变式)(2023·凉山)点P(2,-3)关于原点对称的点P'的坐标是 (　　) A. (2,3) B. (-2,-3) C. (-3,2) D. (-2,3) 2. (教材P70习题23.2第4题变式)(2022·雅安)在平面直角坐标系中,点(a+ 2,2)关于原点的对称点为(4,-b),则ab的值为 (　　) A. -4 B. 4 C. 12 D. -12 3. 已知点P(a2+1,-2)与点Q关于原点对称,则点Q一定在 (　　) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 D D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 B 4. (2023·泸州)在平面直角坐标系中,若点P(2,-1)与点Q(-2,m)关于原点对称,则m的值是　　　　.  5. 在平面直角坐标系中,▱ABCD的对称中心是坐标原点,顶点A,B的坐标分别是(-2,-1),(1,-1),将▱ABCD沿x轴向右平移2个单位长度,则顶点C的对应点C1的坐标是　　　　.  6. 如图,把△ABC经过一定变换得到△A'B'C'.如果P(a,b)是△ABC的边AB上一点,那么它的对应点P'的坐标为　　　　　　.  1 (4,1) (-a-2,-b) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 在平面直角坐标系中,已知A(-1,5),B(4,2),C(-1,0)三点. (1) 点A关于原点O的对称点A'的坐标为　　　　,点B关于x轴的对称点B'的坐标为　　　　,点C关于y轴的对称点C'的坐标为　　　　;  (2) 求(1)中△A'B'C'的面积. (1,-5) (4,-2) (1,0) (2) S△A'B'C'=×|-5|×(4-1)=7.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若点A的坐标是(a,b),且a,b满足+b2+4b+4=0,求点A关于原点O的对称点A'的坐标. ∵ +b2+4b+4=0,∴ +(b+2)2=0.∴ 解得∴ 点A的坐标为(3,-2).∴ 点A'的坐标为(-3,2) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知点P(a-3,2-a)关于原点对称的点在第四象限,则a的取值范围在数轴上表示正确的是 (　　) C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点A在第一象限,点B,C的坐标分别为(2,1),(6,1),∠BAC=90°,AB=AC,直线AB交y轴于点P.若△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称,则点A'的坐标为　　　　. (-4,-5) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 在边长为1个单位长度的正方形网格中建立如图所示的平面直角坐标系,△ABC的顶点都在格点上,请解答下列问题: (1) 作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标; (2) 作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2,并写出点C2 的坐标; (3) 已知△ABC关于直线l对称的△A3B3C3的顶点A3的坐 标为(-4,-2),请直接写出直线l对应的函数解析式. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (1) 如图,△A1B1C1即为所求作　点C1的坐标为(-1,2) (2) 如图,△A2B2C2即为所求作　点C2的坐标为(-3,-2)　 (3) 直线l对应的函数解析式为y=-x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△A1B1C1关于点E成中心对称. (1) 画出对称中心点E,并写出点E,A,C的坐标; (2) P(a,b)是△ABC的边AC上一点,△ABC经过平移后点P的对应点为P1(a +6,b+2),请画出平移后的△A2B2C2,并写出点A2,C2的坐标; (3) 判断△A2B2C2和△A1B1C1的位置关系(直接写出结果). 第12题 (1) 如图,点E,A,C的坐标分别为(-3,-1),(-3, 2),(-2,0)　 (2) 如图,点A2,C2的坐标分别为(3,4),(4,2)　 (3) △A2B2C2和△A1B1C1关于原点O成中心对称 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在平面直角坐标系中,点A,B,C的坐标分别为(1,0),(0,1),(-1,0).一个电动玩具从坐标原点O出发,第一次跳跃到点P1,使得点P1与点O关于点A成中心对称;第二次跳跃到点P2,使得点P2与点P1关于点B成中心对称;第三次跳跃到点P3,使得点P3与点P2关于点C成中心对称;第四次跳跃到点P4,使得点P4与点P3关于点A成中心对称;第五次跳跃到点P5,使得点P5与点P4关于点B成中心对称……照此规律重复下去,试求点P7,P2024的坐标. 根据题意,得P1(2,0),P2(-2,2),P3(0,-2),P4(2,2),P5(-2,0),P6(0,0). ∴ 每6个点循环一次.∴ 点P7的坐标为(2,0).∵ 2024÷6= 337……2,∴ 点P2024的坐标与点P2的坐标一致,即点P2024的 坐标为(-2,2) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$第二十三章　旋　转 23.1　图形的旋转 第3课时　旋转作图 1. 如图,四边形ABCD为正方形,O为对角线AC,BD的交点,将△COD绕点O旋转得到△DOA,这种旋转方式可能是 (　　) A. 顺时针旋转45° B. 顺时针旋转90° C. 逆时针旋转45° D. 逆时针旋转90° D 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2. 如图,若正方形DCEF旋转后能与正方形ABCD重合,则图形所在平面内可作为旋转中心的点共有 (　　) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. (教材P63习题23.1第11题变式)(2023·海南)如图,在平面直角坐标系中,点A在y轴上,点B的坐标为(6,0),将△ABO绕着点B按顺时针方向旋转60°,得到△DBC,则点C的坐标是 (　　) A. (3,3) B. (3,3) C. (6,3) D. (3,6) C B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 4. (1) 将点A(4,0)绕着原点O按顺时针方向旋转30°,其对应点A'的坐标是 　　　　;  (2) 将点A(4,0)绕着原点O按逆时针方向旋转60°,其对应点A″的坐标是 　　　　;  (3) 如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴的正半轴上,OB=,CB⊥OB, ∠COB=30°,把△CBO绕点O按逆时针方向旋转150°后得到△C1B1O,则点C的对应点C1的坐标为　　　　. (2,-2) (2,2) (-2,0) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 5. (1) 如图①,画出线段AB绕点O按逆时针方向旋转90°后的图形. (2) 如图②,在方格纸中,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.请按要求完成下面的操作:先将格点三角形ABC向右平移4个单位长度得到△A1B1C1,再将△A1B1C1绕点C1旋转180°得到△A2B2C2(小方格的边长为1个单位长度). (1) 如图①所示　 (2) 如图②所示 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 6. (教材P62习题23.1第4题变式)如图,在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中,△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上. (1) 将△ABC向右平移5个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1; (2) 将(1)中的△A1B1C1绕点C1按逆时针方向旋转90°得到△A2B2C1,画出△A2B2C1. (1) 如图,△A1B1C1即为所求作　 (2) 如图,△A2B2C1即为所求作 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 7. 如图,在平面直角坐标系中,线段OA与x轴正方向的夹角为45°,且OA= 2.若将线段OA绕点O按逆时针方向旋转105°得到线段OA',则此时点A'的坐标为 (　　) A. (-,-1) B. (-1,) C. (-,1) D. (1,-) C 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 8. 如图,P是等腰直角三角形ABC外一点,把BP绕点B按顺时针方向旋转90°得到BP'.已知∠AP'B=135°,P'A∶P'C=1∶3,则P'A∶PB的值为 (　　) A. B. C. D. B 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 9. 如图,在正方形网格中,△MNP绕某点旋转一定的角度,得到△M1N1P1,则其旋转中心可能是A,B,C,D四个点中的点　　　　,旋转角的度数最小是　　　　.  10. (1) 将点N(1,)绕着原点O按顺时针方向旋转30°,则其对应点N'的坐标是　　　　;  (2) 将点P(0,)绕着原点O按逆时针方向旋转135°,则其对应点P'的坐标是　　　　. B 90° (,1) (-1,-1) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 11. 如图,△AOB是等边三角形,点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(1,).将△AOB绕点O按顺时针方向旋转15°,此时点A的对应点A'的坐标是 　　 　　. (,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 12. 如图,C为线段AB上一点,将线段CB绕点C旋转,得到线段CD.若DA⊥ AB,AD=1,BD=,则BC的长为　　　　. 解析:由题意,得CD=CB,∠A=90°.由勾股定理,得AB== =4.设BC=x,则CD=x,AC=4-x.∵ AD2+AC2=CD2,∴ 12+(4-x)2=x2,解得x=.∴ BC=. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 13. 将边长为2的正方形OABC按如图①所示的方式放置,O为原点. (1) 将正方形OABC绕点O按逆时针方向旋转60°(如图②),求点A的坐标; (1) 由题意,得AB=AO=2,∠OAB=90°.如图①,过点A 作AD⊥x轴于点D,则∠ADO=90°.∵ 旋转角为60°, ∴ ∠AOD=90°-60°=30°.∴ AD=AO=1.∴ DO= =.∴ 点A的坐标为(-,1) 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (2) 将图①中的正方形OABC绕点O按逆时针方向旋转75°(如图③),求点B的坐标. (2) 如图②,连接BO,过点B作BD⊥y轴于点D. ∵ 在正方形OABC中,∠AOB=45°,又∵ 旋 转角为75°,∴ ∠BOD=75°-45°=30°.∵ ∠OAB=90°,AB=AO=2,∴ 易得BO=2.∴ 在Rt△BOD中,BD=BO=.∴ OD= =.∴ 点B的坐标为(-,) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 14. 如图,在△ABC中,∠BAC=120°,以BC为边向外作等边三角形BCD,把△ABD绕点D按顺时针方向旋转60°后到△ECD的位置.若AB=6,AC=4,求∠BAD的度数和AD的长. ∵ △BCD为等边三角形,∴ ∠BDC=60°.在四边形 ABDC中,∵ ∠BAC+∠ABD+∠BDC+∠ACD=360°, ∠BAC=120°,∠BDC=60°,∴ ∠ABD+∠ACD=180°. 由旋转的性质,知AB=EC=6,AD=ED,∠ABD=∠ECD, ∠BAD=∠E,∠ADE=60°.∴ ∠ECD+∠ACD=180°, 即点A,C,E在同一条直线上.∵ ∠ADE=60°,AD=ED,∴ △ADE为等边三角形.∴ ∠BAD=∠E=60°,AD=AE=AC+EC=4+6=10 第14题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 $$第二十三章　旋　转 23.1　图形的旋转 第1课时　旋转的概念及性质 1. 下列现象中,属于旋转的是 (　　) A. 摩托车在急刹车时向前滑动 B. 电梯的上下运动 C. 拧开水龙头的过程 D. 飞机起飞后冲向空中的过程 2. 如图,把菱形ABOC绕点O按顺时针方向旋转得到菱形DFOE,连接OA, OD,则下列各角中,不是旋转角的为 (　　) A. ∠BOF B. ∠AOD C. ∠COE D. ∠COF C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 D 3. (教材P60探究变式)(2023·通辽)如图,将△ABC绕点A按逆时针方向旋转到△ADE,旋转角为α(0°<α<180°),点B的对应点D恰好落在边BC上.若DE⊥AC,∠CAD=24°,则旋转角α的度数为 (　　) A. 24° B. 28° C. 48° D. 66° C 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. (2022·六盘水)如图,将△ABC绕点A旋转得到△ADE.若∠B=90°,∠C= 30°,AB=1,则AE=　　　　.  　　 5. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠ABC=30°,AC=1cm,将Rt△ABC绕点A按逆时针方向旋转得到Rt△AB'C',使点C'落在边AB上,连接BB',则BB'的长是　　　　. 2 2cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图,将一块直角三角尺ABC绕30°角的顶点B按顺时针方向旋转,使得点A与CB的延长线上的点E重合. (1) 直角三角尺最少旋转了多少度? (2) 连接CD,求∠BDC的度数. (1) ∠ABE=180°-30°=150°,即直角三角尺最少 旋转了150°　 (2) 由旋转的性质,知BC=BD,∠EBD=∠ABC=30°,∴ 易得∠BDC=× 30°=15° 第6题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. (教材P60例题变式)如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且∠MAN=45°,把△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE,点E在直线BC上. (1) 求证:△AEM≌△ANM; (1) 由旋转性质,得△ADN≌△ABE,∴ ∠DAN=∠BAE, AN=AE.∵ ∠DAB=90°,∠MAN=45°,∴ ∠DAN+ ∠BAM=45°.∴ ∠BAE+∠BAM=∠MAE=45°.∴ ∠MAE=∠MAN.又∵ AE=AN,AM=AM,∴ △AEM≌ △ANM　 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若BM=3,DN=2,求正方形ABCD的边长. (2) 设CD=BC=x,则CM=x-3,CN=x-2.∵ △AEM≌△ANM, ∴ EM=NM.∵ BE=DN,∴ MN=EM=BM+BE=BM+DN=5. ∵ 易得∠C=90°,∴ MN2=CM2+CN2,即25=(x-3)2+(x-2)2, 解得x1=6,x2=-1(不合题意,舍去).∴ 正方形ABCD的边长 为6 第7题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 如图,在△AOB中,AO=1,BO=AB=,将△AOB绕点O按逆时针方向旋转90°得到△A'OB',连接AA',则线段AA'的长为 (　　) A. 1 B. C. D. 　　 9. (2022·宁夏)如图,直线a∥b,△AOB的边OB在直线b上, ∠AOB=55°,将△AOB绕点O按顺时针方向旋转75°至 △A1OB1,边A1O交直线a于点C,则∠1=　　　　. B 50° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=60°,BC=2.将△ABC 绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,连接AB'.如果点A,B',A'在 同一条直线上,那么AA'的长为　　　　. 6 解析:∵ ∠ACB=90°,∠B=60°,∴ ∠BAC=30°.∴ AB=2BC= 4.∵ △ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△A'B'C,∴ A'B'=AB=4,B'C= BC=2,CA'=CA,∠A'B'C=∠B=60°,∠A'=∠BAC=30°.∴ ∠CAA'=∠A' =30°.∴ ∠B'CA=∠A'B'C-∠CAA'=60°-30°=30°=∠CAA'.∴ AB'= B'C=2.∴ AA'=AB'+A'B'=6. 第10题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,将△ABC绕点C按顺时针方向旋转得到△DEC,点D落在线段AB上,连接BE. (1) 求证:DC平分∠ADE; (1) ∵ △DCE是由△ACB旋转得到,∴ CA=CD,∠A= ∠CDE.∴ ∠A=∠CDA.∴ ∠CDA=∠CDE.∴ DC平 分∠ADE　 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 试判断BE与AB的位置关系,并说明理由. (2) BE⊥AB　理由:由旋转性质,可知∠ACD=∠BCE. ∵ CA=CD,CB=CE,∴ ∠CAD=∠CDA=∠CBE=∠CEB. ∵ ∠ABC+∠CAB+∠ACD+∠DCB=180°,∴ ∠ABC+ ∠CBE+∠DCB+∠BCE=180°.∴ ∠DCE+∠DBE=180°. ∵ 易得∠DCE=∠ACB=90°,∴ ∠DBE=90°.∴ BE⊥AB. 第11题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 如图,O是等边三角形ABC内一点,∠BOC=150°,将△BOC绕点C按顺时针方向旋转,得到△ADC,连接OA,OD. (1) 求∠ODC的度数; (1) 由旋转的性质,得CD=CO,∠ACD=∠BCO.∵ 在等边 三角形ABC中,∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°,∴ ∠DCO= ∠ACO+∠ACD=60°.∴ △OCD为等边三角形.∴ ∠ODC =60° 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若OB=2,OC=3,求AO的长. (2) 由旋转的性质,得AD=BO=2,∠ADC=∠BOC=150°. ∵ △OCD为等边三角形,∴ OD=OC=3.∵ ∠ODC=60°, ∴ ∠ADO=∠ADC-∠ODC=90°.在Rt△AOD中,由勾股 定理,得AO== 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 13. 如图,在正方形ABCD中,E,F是对角线BD上的两点,且∠EAF=45°.将△ADF绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABQ,连接EQ.求证: (1) EA是∠QED的平分线; (1) ∵ 在正方形ABCD中,点E,F在对角线BD上,∴ ∠ADF =45°,∠BAD=90°.∵ △ADF绕点A按顺时针方向旋转 90°得到△ABQ,∴ ∠QAB=∠FAD,BQ=DF,AQ=AF, ∠ABQ=∠ADF=45°.∴ ∠QAF=∠QAB+∠BAF=∠FAD +∠BAF=∠BAD=90°.∵ ∠EAF=45°,∴ ∠EAQ=45°. ∴ ∠EAQ=∠EAF.在△AQE和△AFE中,∴ △AQE≌ △AFE.∴ ∠AEQ=∠AEF.∴ EA是∠QED的平分线 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) EF2=BE2+DF2. (2) 由(1),得△AQE≌△AFE,∴ EQ=EF.∵ 四边形ABCD 是正方形,∴ ∠ABD=45°.又∵ ∠ABQ=45°,∴ ∠QBE =90°.∴ 在Rt△QBE中,EQ2=BE2+BQ2.又∵ BQ=DF, ∴ EF2=BE2+DF2 第13题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 $$