第17讲 第2课时 导数与不等式恒成立(能成立)问题 课件-2025届高三数学一轮复习

第17讲　导数的综合应用 第2课时　导数与不等式恒成立(能成立)问题 第三章　 一元函数的导数及其应用 1 若对任意x∈(0，＋∞)，不等式2x＋ln x≤a(x2＋x)恒成立，求实数a的取值范围. f(x)＜g(x)型 举 题 说 法 1 【解答】 当a≤0时，F′(x)＞0，取x＝1，得F(1)＝2－2a＞0，所以F(x)≤0不可能恒成立． 设函数f(x)＝(x－1)(ex－e)，g(x)＝ex－ax－1，其中a∈R.若对∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，求a的最大值． f(x1)＜g(x2)型 2 【解答】 对∀x2∈[0，＋∞)，都∃x1∈R，使得不等式f(x1)≤g(x2)成立，等价于f(x1)min ≤g(x2)min. f(x1，x2)＜g(x1，x2)型 3 【解答】 洛必达法则 【解析】 当x≥0时，x－ln (x＋1)≤ax2恒成立，则实数a的取值范围是______． 4 新视角 【答案】 变式　已知函数f(x)＝(x＋1)ln x－a(x－1)，当x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0，则实数a的取值范围是______________． 【解析】 综上所述，a的取值范围是(－∞，2]. 【答案】(－∞，2] 随 堂 练习 【解析】 根据题意知f′(x)＝sin x－x，设h(x)＝f′(x)，则h′(x)＝cos x－1≤0，h(x)单调递减，所以当x＜0时，f′(x)＝h(x)＞h(0)＝0，f(x)单调递增，当x＞0时，f′(x)＝h(x)＜h(0)＝0，f(x)单调递减，所以f(x)≤f(0)＝0.又f(x)≤m恒成立，所以m的最小值为0. A 2．已知函数f(x)＝x2－x＋1，g(x)＝ln x＋1，若f(x)＞g(x)在区间(0，t)上恒成立，则实数t的取值范围是 (　　) A．(0，1) B．(0，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) B 【解析】 令h′(x)＝0，得x＝1(负值舍去)，故h(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以h(x)min＝h(1)＝0.根据题意知t的取值范围为(0，1]. 3．已知函数f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数． (1) 求f(x)的极值． 【解答】 f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数，f′(x)＝－k ln x，x＞0. ①若k＜0，则当x∈(0，1)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)有极小值f(1)＝k； ②若k＞0，当x∈(0，1)时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减，所以函数f(x)有极大值f(1)＝k. 综上所述，当k＜0时，f(x)有极小值f(1)＝k；当k＞0时，f(x)有极大值f(1)＝k. 3．已知函数f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数． (2) 当k＝4时，在函数g(x)＝f′(x)＋x2＋2x的图象上任取两个不同的点M(x1，y1)，N(x2，y2).若当0＜x1＜x2＜t时，总有不等式g(x1)－g(x2)≥4(x1－x2)成立，求正实数t的取值范围． 【解答】 当k＝4时，f′(x)＝－4ln x，g(x)＝x2＋2x－4ln x，当0＜x1＜x2＜t时，总有不等式g(x1)－g(x2)≥4(x1－x2)成立，即g(x1)－4x1≥g(x2)－4x2. 配套精练 17 A组　夯基精练 一、 单项选择题 1．若对任意正实数x，不等式x－ln x＋1＞a恒成立，则实数a的取值范围是 (　　) A．(－∞，1) B．(－∞，2) C．(1，＋∞) D．(2，＋∞) B 【解析】 【解析】 A 【解析】 因为f(x)＝x3－3x＋a，所以f′(x)＝3x2－3，所以当x∈(－2，－1)，(1，2)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当x∈(－1，1)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减． 因为f(－2)＝－2＋a，f(－1)＝2＋a，f(1)＝－2＋a，f(2)＝2＋a，所以当x∈[－2，2]时，f(x)max＝2＋a. D 【解析】 【答案】 C (－∞，8] 【解析】 【解析】 (－∞，0] 【解析】 设g(x)＝ex－2x＋3，则g′(x)＝ex－2.当x∈(－∞，ln 2)时，g′(x)＜0，函数g(x)单调递减，当x∈(ln 2，＋∞)时，g′(x)＞0，函数g(x)单调递增，所以g(x)≥g(ln 2)＝2－2ln 2＋3＝5－2ln 2＞0，故ex＞2x－3. (－∞，1] 【解析】 【解答】 易得f(x)＝x2－2tx＋1＝(x－t)2＋1－t2，x∈[1，2]，易知二次函数开口向上，对称轴为x＝t. 10．已知函数f(x)＝(x－1)ln x－m(x＋1). (1) 若x＝1是函数y＝f(x)的极值点，求m的值； 【解答】 【解答】 【解析】 若丙正确，因为f(x)是二次函数，且有两个零点，同时极值为负数，所以f(x)的图象开口向上即可，故a＞0. 因为只有一个同学的论述是错误的，只能乙错，故0＜a＜1. 【答案】C 12．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x)＝log2(4x＋1)－kx，g(x)＝2f(x)＋x＋1. (1) 求k的值； 【解析】 【解析】 谢谢观赏 当x＜1时，x－1＜0，ex－e＜0，所以f(x)＞0，当x≥1时，x－1≥0，ex－e≥0，所以f(x)≥0，所以f(x)≥0恒成立，当且仅当x＝1时，f(x)min＝0，所以对∀x2∈[0，＋∞)，g(x2)≥0恒成立，即ex－ax－1≥0.当x＝0时，ex－ax－1＝0≥0成立，当x＞0时，由ex－ax－1≥0，得a≤恒成立． 记h(x)＝ex－x－1，x＞0.因为h′(x)＝ex－1＞0恒成立，所以h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且h(0)＝0，所以h(x)＝ex－x－1＞0恒成立，即ex－1＞x，所以＞1(x＞0)，所以a≤1.所以a的最大值为1. $$