第五单元平行四边形和梯形（讲义）-2024-2025学年四年级数学上册人教版

第五单元平行四边形和梯形 （知识梳理+例题精讲+专项练习） 知识梳理 1.平行与垂直 在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说两条直线互相平行。 两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。两条直线的交点叫做垂足。 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，它的长度叫点到直线的距离。 平行线间的距离处处相等 2.画垂线、画平行线（过直线上一点或过直线外一点） （1）重合（2）平移（3）画线（垂线标垂直符号） 画长方形或正方形（标长度、标垂直符号） 3.平行四边形：两组对边分别平行的四边形。特征：对边平行且相等，对角相等 从平行四边形一条边上的一点向对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的底。 高：画高用虚线，底边的垂足画垂直符号。 平行四边形有无数条高，有两种长度的高。具有不稳定性，易变形。 长方形和正方形是特殊的平行四边形。 梯形：只有一组对边平行的四边形。 平行的一组对边叫做底。短边叫上底，长边叫做下底；不平行的一组对边叫做腰。梯形有无数条高，只有一种长度的高。 等腰梯形（两腰相等）和直角梯形（有两个角是直角）是特殊的梯形。 例题精讲 例题一．画出下面图形的高． 【详解】试题分析：从三角形的一个顶点向对边（底）作垂直线，顶点和垂足间的距离叫做三角形一条高，一个三角形有三条高；平行四边形两底（两平行边）间的距离叫做平行四边形的高，一个平行四边形有无数条高，通常过平行边形的一个顶点向对边（底）作垂线，顶点和垂足间的距离就是平行四边形势的一条高． 解：作三角形和平行四边形的高如下： 故答案为 点评：注意，图形的高要用虚线画，并标出垂足． 例题二 判断：读数时，只要从高位起，依次读出每级的数字就行．　 　 10cm的直线比8cm的射线长2cm．　 　 三位数乘两位数，积可能是五位数，也可能是两位数．　 　 两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行．　 　． 答案．错误；错误；错误；正确 【详解】试题分析：（1）根据整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的0都不读出来，其他数位连续几个0都只读一个零． 即读多位数时，应先读亿级，再读万 级，最后读个级，万级和亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面 加读“万或亿”字． （2）直线没有端点，它向两方无限延伸，无法量得其长度；射线只有一个端点，它向一方无限延伸，也无法量得其长度；据此解答即可． （3）根据题意，可以假设这个两位数和三位数都是最小的数，然后再进行判断即可； （4）由垂直和平行的特征和性质可知：平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行；据此判断即可． 解：（1）解：读多位数时，应先读 亿级，再读 万级，最后读个级，万级和亿级的数要按照个级的数的读法来读，再在后面 加读“万或亿”字． 所以读数时，只要从高位起，依次读出每级的数字就行．是错误的； （2）因为直线没有端点，它向两方无限延伸，无法量得其长度； 射线只有一个端点，它向一方无限延伸，也无法量得其长度； 所以10cm的直线比8cm的射线长2cm，是错误的； （3）根据题意，假设这个两位数和三位数都是最小的数，即分别是10、100，那么，10×100=1000，因为1000是四位数，与题意不符， 所以，三位数乘两位数，积可能是五位数，也可能是两位数，是错误的； （4）由垂直和平行的特征和性质可知：平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行； 所以两条直线同时垂直于第三条直线，那么这两条直线互相平行．是正确的． 故答案为错误；错误；错误；正确． 点评：本题主要考查整数的读法，注意读亿级和万级数时要按照个级数的读法去读，区别是最后再加读“万或亿”字． 此题主要考查直线和射线的含义，应注意基础知识的灵活运用． 三位数乘两位数，积是几位数取决于两个因数的大小．三位数乘两位数的积最少是四位数，最多是五位数． 此题考查了垂直和平行的特征和性质，应注意理解和灵活运用． 例题三．量一量，画一画。 （1）量一量，∠1＝（    ）度，∠2＝（    ）度。 （2）画出图中梯形的高，量一量，高是（      ）厘米。（取整数） （3）画一条线段，把这个梯形分成一个平行四边形和三角形。 【分析】（1）量角的步骤是：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数，依此测量即可。 （2）梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号，依此画图，然后用直尺测量出高的长度即可。 （3）两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形；三角形有三条边，依此分割即可。 【详解】（1）经过测量可知，∠1＝130度，∠2＝60度。 （2）画图如下： 经过测量可知，高是1厘米。 （3）画图如下： 【点睛】此题考查了角的度量，梯形的高及画法，长度的测量，以及平面图形的分割。 专项训练 一、选择题 1．把下图中的7个四边形分成下面的两类，分类标准是（    ）。 A．四个角是否都相等 B．邻边是否相等 C．是否轴对称图形 D．对边是否都互相平行 2．如图中共有（ ）组垂线，（ ）组平行线。 A．4、2 B．2、4 C．2、2 3．把一张平行四边形卡片剪一刀，分成两个图形，下面几种情况中不可能出现的（    ）。 A．两个三角形 B．两个梯形 C．一个平行四边形和一个梯形 4．在同一平面内，作两条垂直于同一条直线的垂线，这两条垂线的关系是（    ）。 A．互相垂直 B．互相平行 C．既不互相平行，又不互相垂直 5．下面说法错误的是(   )． A．正方形相邻的两条边互相垂直 B．两条直线互相平行，这两条直线间的距离处处相等 C．平行四边形是特殊的长方形 二、填空题 6．下图中有( )个梯形，( )个平行四边形。 7．两组对边分别平行且相等，并且有四个直角的四边形一定是( )。 8．一个梯形中可以画( )条高，伸缩门应用了平行四边形的( )特性。 9．下图中，点A到直线m的距离是( )厘米。 10．在一个平面内，过直线外一点只能画 条直线与已知直线垂直。 11．有一个平行四边形ABCD，其中三个点的位置用数对表示分别是A（2，5），B（0，1），C（4，1），那么D点用数对表示是( )。 12．平行线间的距离处处相等，所以右图中，编号( )和编号( )两条线段一样长。 13．如图是一个平面图形。已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，那么图中共有( )个梯形。 14．如图，平行四边形的一条高是18厘米，这条高所对应的底是线段( )，这两条线段的位置关系为( )。 15．一个等腰梯形的周长是21厘米，上底和下底分别是5厘米和8厘米，则腰长是( )厘米。 16．平行四边形具有( )的特性，这个特性在实践中有广泛的应用。 三、判断题 17．平行四边形只有一组对边平行。         ( ) 18．在梯形里画一条线段，可以把梯形分成两个平行四边形。( ) 19．互相平行的两条直线，无论怎样延长都不会相交。( ) 20．音乐课中学习的五线谱中的线一定是相互平行的。( ) 21．平行四边形同一条底上的高有无数条，它们的长度都相等。( ) 四、解答题 22．如下图。 （1）在方格图中画一个与②号图形完全一样的图形。 （2）想一想、拼一拼：两个完全一样的②号图形可以拼成一个（    ）或（    ）或（    ）。 （3）如果把①号图形向右作平移运动，那么它与②号图形所形成的重叠部分不可能是（    ）。 A．正方形    B．长方形    C．平行四边形    D．梯形    E.三角形 23．如果天天、典典、龙龙三人跑得一样快，他们同时出发，谁最先抢到足球？画一画，并说明你判断的理由。 24．如图，直线，点是直线上一点，过点作，垂足为，垂线段的长叫做直线、间的距离。请在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为（        ）。 25．操作题。 （1）量一量，∠1＝（    ）。 （2）在图中找出一个D点，使ABCD是一个平行四边形。 （3）作出平行四边形ABCD的高。 26． 在图上画出B到AD的最短距离，并量出B到AD的距离．再过A点做BD的平行线． 27． 下面的方格纸，每个方格的小正方形边长是1厘米．请你分别在下面方格中画一个长方形、一个正方形和一个平行四边形． 28．如下图是一个跳棋棋盘，请你算算棋盘上共有多少个棋孔？ 28． 如图是直线L与直线L外点p．过点p画直线L的平行线与垂直线． 30．（1）量出下面这个角的度数． （2）过A点画出l1的平行线，画出l2的垂线． 31．先估一估图中各角的度数，再量一量各角的度数，你发现了什么？（直线a平行于直线b．） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】由四条边组成的封闭图形叫做四边形，再根据四边形的分类及其关系进行选择即可。只有一组对边平行的四边形叫做梯形；两组对边分别平行的四边形，叫做平行四边形，平行四边形的对边相等，依此选择。 【详解】四边形包括长方形、正方形、梯形和平行四边形，长方形和正方形是特殊的平行四边形；平行四边形、正方形、长方形的对边都相等，并且对边相互平行；只有一组对边平行的四边形叫做梯形；因此分类标准是对边是否都互相平行。 故答案为：D 【点睛】此题考查的是四边形的分类，熟练掌握平行四边形和梯形的特点是解答此题的关键。 2．A 【分析】两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直；同一平面内不相交的两条直线互相平行。据此观察图形得到垂线的组数和平行线的组数。 【详解】观察图形，有4个直角，所以有4组垂线，上下，左右两条线分别平行，所以有2组平行线。 故答案为：A。 【点睛】本题考查的是对垂线和平行线的理解。 3．C 【分析】只有一组对边平行的四边形叫梯形；两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；由平面上不在同一条直线上的三条线段首位顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形；把一张平行四边形卡片剪一刀，分成两个图形，有可能剪出两个三角形；有可能能剪出来两个梯形，但是不可能剪出来一个平行四边形和一个梯形，据此解答。 【详解】A．能剪出来两个三角形，故该选项不符合题意。 B．能剪出来两个梯形，故该选项不符合题意。 C．不可能剪出来一个平行四边形和一个梯形，故该选项符合题意。 把一张平行四边形卡片剪一刀，分成两个图形，不可能出现的是（一个平行四边形和一个梯形）。 故答案为：C 【点睛】本题考查平行四边形、梯形、三角形的特征，熟练掌握并灵活运用。 4．B 【分析】根据垂直和平行的性质：给一条直线作两条垂线，这两条垂线互相平行，据此解答。 【详解】如下图所示：这两条垂线互相平行。 故答案为：B 【点睛】本题考查垂线和平行的特征与性质，关键注意基础知识的灵活应用。 5．C 【详解】A.由正方形定义可知，正方形相邻的两条边互相垂直，正确； B. 两条平行线之间的垂线段叫做这两条平行线之间的距离，两条平行线之间的距离处处相等，此选项说法正确； C.平行四边形是特殊的长方形说法错误，应该是长方形是特殊的平行四边形。 故答案为：C。 【点睛】考查了对平行、垂直相关概念的认识和理解。 6． 7 9 【分析】平行四边形的两组对边分别平行且相等；梯形是只有一组对边平行的四边形；由此根据图形的特征判断图形的个数即可。 【详解】上图中，单个的梯形有3个，组合而成的梯形有4个，一共有7个梯形， 单个的平行四边形有2个，组合而成的平行四边形有7个，一共有9个平行四边形。 【点睛】此题解答的关键是：一定要认真观察，有条理、有顺序的进行数，做到不重复，不遗漏。 7．长方形 【分析】长方形的两组对边分别互相平行，两组对边分别相等，四个角都是直角，依此填空。 【详解】两组对边分别平行且相等，并且有四个直角的四边形一定是长方形。 如图所示： 【点睛】解答此题的关键是应熟练掌握长方形的特点。 8． 无数 容易变形 【分析】根据梯形高的含义：梯形有一组对边平行，在这组对边里，可以画无数条垂直线段，所以有无数条高；由平行四边形的特性可知，平行四边形具有不稳定性，所以容易变形，伸缩门应用了平行四边形易变形的特性。 【详解】一个梯形中可以画无数条高，伸缩门应用了平行四边形的容易变形特性。 9．2 【分析】点到直线的距离实际上就是过点A作直线m的垂线段，结合图形所示信息进行判断即可。 【详解】结合图示信息可知，点A到直线m的垂线段长度是2cm，意味着点A到直线m的距离是2厘米。 10．一 【详解】在一个平面内，过直线外一点只能画一条直线与已知直线垂直。 11．6，5 【分析】数对第一个数字表是列数，第二个数字表示行数。根据题中各点的位置画出图形可知D点位置。 【详解】如图： 【点睛】首先要根据数对确定位置，然后结合平行四边形的特点——两组对边分别平行且相等，再确定D点的坐标。 12． ① ④ 【分析】根据平行线之间的距离处处相等，结合图意可知编号① 和编号④两条线段一样长。 【详解】据分析可知： 平行线间的距离处处相等，所以图中，编号①和编号④两条线段一样长。 【点睛】本题考查了平行线的特征：平行线之间的距离处处相等。 13．3 【分析】梯形是只有一组对边平行的四边形，据此可知，四边形ABED、EDCF、EDGF是梯形。 【详解】由分析得： 图中共有3个梯形。 【点睛】本题关键是熟练掌握梯形的特征。 14． 【分析】根据平行四边形的高的意义，从平行四边形固定的底的对边上任意一点向它画垂线段，这条垂线段就是平行四边形的高；底与高这两条线段的位置关系是互相垂直。据此解答。 【详解】平行四边形的一条高是18厘米，这条高所对应的底是线段，这两条线段的位置关系是。 【点睛】此题考查的目的是理解掌握平行四边形高的意义，注意：底与高的对应。 15．4 【分析】因为梯形的周长＝两腰长度＋上底＋下底，又根据等腰梯形的特点，两腰相等，所以一条腰的长度＝（周长－上底－下底）÷2，代入数据计算即可。 【详解】（21－5－8）÷2 ＝（16－8）÷2 ＝8÷2 ＝4（厘米） 一个等腰梯形的周长是21厘米，上底和下底分别是5厘米和8厘米，则腰长是4厘米。 16．易变形 【解析】略 17．× 【分析】我们运用平行四边形的意义进行解答，即两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形，然后再进行判断。 【详解】两组对边分别平行的四边形叫作平行四边形。所以题干中的说法是错误的 故答案为：× 【点睛】本题运用平行四边形及梯形的定义进行解答，考查了学生对定义的掌握理解情况。 18．× 【分析】根据梯形、平行四边形的特征，梯形是只有一组对边平行的四边形，平行四边形的对边平行且相等。据此判断。 【详解】 如图： 连接梯形的对角线，可以得到两个三角形；过上底上的除两个端点外的任意一点做底的一条垂线，把梯形分成两个梯形；过上底上的除两个端点外的任意一点做腰的一条平行线，把梯形分成两个图形：一个平行四边形和一个梯形。 因为梯形只有一组平行的边，所以在梯形里画一条线段，得不到两个平行四边形。原题说法错误。 故答案为：× 19．√ 【分析】在同一平面内，永不相交的两条直线是平行线，也可以说是这两条直线互相平行，据此解答。 【详解】由分析得， 互相平行的两条直线，无论怎样延长都不会相交，此说法正确。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查了平行的意义及学生的生活经验，掌握平行的意义：在同一平面内，永不相交的两条直线是平行线是解题关键。 20．√ 【分析】根据平行的概念可知，同一平面内不相交的两条直线互相平行。结合生活实际可知五线谱的线在同一平面内且不相交，因此五线谱的线是互相平行的。 【详解】根据分析，再结合生活实际可知，音乐课中学习的五线谱中的线一定是互相平行的。 故答案为：√ 【点睛】本题考查的是平行的概念，要结合生活实际灵活运用。 21．√ 【分析】在平行四边形中，从一条边上的任意一点向对边作垂线，这点与垂足间的距离叫做以这条边为底的平行四边形的高，平行四边形有无数条高，习惯上作平行四边形的高时都从一个顶点出发作一边的垂线，用三角板的直角可以画出平行四边形的高。 【详解】根据分析可知：平行四边形同一条底上的高有无数条，它们的长度都相等，所以判断正确。 故答案为：√ 【点睛】平行四边形有两组对边分别平行，可以画出两组不同的高。 22．（1）见详解；（2）梯形；平行四边形；正方形；（3）E 【分析】（1）直角梯形是指有一个直角的梯形，属于四边形。梯形两腰既不相等也不平行，两底平行，但不相等，一个腰上的两角都是直角；据此画出直角梯形。 （2）两组对边分别平行、四条边相等、四个角都是直角的四边形叫做正方形。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。只有一组对边平行的四边形叫做梯形。 梯形是指一组对边平行而另一组对边不平行的四边形。两个完全一样的直角梯形拼接，可以拼接成一个梯形或平行四边形或正方形。 （3）①号图形和②号图形都是梯形，都有一组平行线，在移动相交过程中会有两组平行线相互交叉形成四边形，所形成的四边形可能有正方形、长方形、平行四边形、梯形。 【详解】（1）在方格图中画一个与②号图形完全一样的图形。 （2）想一想、拼一拼：两个完全一样的②号图形可以拼成一个（梯形）或（平行四边形）或（正方形）。 （3）如果把①号图形向右作平移运动，那么它与②号图形所形成的重叠部分不可能是（E）。 A.正方形    B.长方形    C.平行四边形    D.梯形    E.三角形 【点睛】熟悉四边形（正方形、长方形、平行四边形、梯形）的特征是解答此题的关键。 23．典典；图见详解；从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短；天天、典典、龙龙三人在一条直线上，从足球到这条直线的距离中，典典到足球的距离就是垂线段，距离最短。 【分析】三人跑得一样快，说明速度相同，谁离足球的路程近，谁先抢到。过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离。 【详解】 典典最先抢到足球，理由：从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短；天天、典典、龙龙三人在一条直线上，从足球到这条直线的距离中，典典到足球的距离就是垂线段，距离最短。 【点睛】此题应根据垂线段的性质进行解答。从直线外一点向已知直线画垂直线段和斜线，垂线段最短。 24．见详解；PQ＝MA＝NC 【分析】根据点到直线的距离：直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离画图；夹在两条平行线间的距离相等，可知垂线段，，垂线段的长度相等。 【详解】如图： 在图中分别过，分别做垂线段，，线段，，的大小关系为PQ＝MA＝NC。 25．（1）65° （2）（3）见详解 【分析】（1）量角的步骤：先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合。再看角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。据此解答即可。 （2）平行四边形的两组对边平行且相等，则D点和A点在同一行，D点在A点右边5格处。 （3）从平行四边形一条边上的一点到对边引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高。据此画图即可。 【详解】（1）∠1＝65° （2）（3） 【点睛】用量角器量角的度数时，注意看刻度要分清内外圈。平行四边形有无数条高。高一般用虚线表示，并画上垂足符号。 26． 【详解】试题分析：因为点到直线的距离垂直线段最短，B到AD的最短距离就是点B到AD的垂直距离，也就是三角形AD边上的高；过一点作已知直线（或线段）的方法是，把一三角板的一边靠紧这条已知直线（或线段），用一直尺靠紧三角板的另一边，滑动三角板，当三角板原来与已知直线（或线段）重合的一边经过直线（或线段）外这一点时，沿三角板的这边画直线（或线段），这条直线（或线段）就是已知直线（或线段）的平行线． 解：根据分析，画图如下： 量得B到AD的距离BC=2.5cm． 点评：本题主要是考查过直线（或线段）外一点作这条直线（或线段）的垂直线段和平行线． 27． 【详解】试题分析：根据长方形、正方形、平行四边形的特征即可完成作图，此题答案不唯一． 解：根据题干分析画图如下： 点评：此题主要考查长方形、正方形、平行四边形的特征以及其画法． 28．121个 【分析】把棋盘分割成一个平行四边形和四个小三角形，如图，平行四边形中棋孔数为9×9＝81，每个小三角形中有10个棋孔。所以棋孔的总数是81＋10×4，解答即可。 【详解】9×9＋10×4 ＝81＋40 ＝121（个） 答：共有121个棋孔。 【点睛】此题主要考查学生对平行四边形以及三角形性质的理解与应用。 29． 【详解】试题分析：（1）把三角板的一条直角边与已知直线重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和p点重合，过p点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即可． （2）把三角板的一条直角边与已知直线重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和p点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即可． 解：根据题干分析画图如下： 点评：本题考查了学生平行线和垂线的作法，培养学生的作图能力． 30．经过测量可得这个角是120度，并画图如下： 【详解】（1）用量角器的圆点和角的顶点重合，0刻度线和角的一条边重合，另一条边在量角器上的刻度就是该角的度数． （2）把三角板的一条直角边与已知直线l1重合，用直尺靠紧三角板的另一条直角边，沿直尺移动三角板，使三角板的原来和已知直线重合的直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边画直线即为过A点画的l1的平行线；把三角板的一条直角边与已知直线l2重合，沿直线移动三角板，使三角板的另一条直角边和A点重合，过A点沿三角板的直角边，向已知直线画直线即为l2的垂线． 31． 我发现两条直线相交，所形成的相对的角的度数相等，两条平行线被第三条直线所截，在平行同侧的角的大小相同． 【详解】试题分析：先估计角的大小，再用量角器量出各角的大小，再找出规律．据此解答． 解：我估计∠1=130度，∠2=50度，∠50度，∠4=130度，∠5=130度，∠6=50度，∠7=50度，∠8=130度． 测量结果如下图： 我发现两条直线相交，所形成的相对的角的度数相等，两条平行线被第三条直线所截，在平行同侧的角的大小相同． 点评：本题主要考查了学生测量角，并根据角的大小找出规律的能力． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$